完全平方公式典型例题

《完全平方公式》典型例题例1 利用完全平方公式计算：

1222)bam?2(．（（1）3；（2））；)4a(2(2?3x)ab?2

例2 计算：

222．3）（2）；（1）（；)yx?3y)(?3x??(2)?1(3a

例3用完全平方公式计算：

2222)3y?x(?．）；（；（1）（2）3)b?5c(3a?4)?(a?b3

运用乘法公式计算：例4

22）；（1）；（2)?xxx(?a)(?a)(a)?c)(a?b?(a?bc2222）．3（)(x(x?1(x?1))?1

计算：例5

11112222)?a?b2?(?(x3)?x2ab?)(）（1）．3；）（；2（)(xy(x??y)?2242 1222)30(99）；）（3利用完全平方公式进行计算：例6 （1）2012；（3

例7已知，求下列各式的值．12??b?3,aba?22222b??aab?ba．（（1）3）；；（2）)ba(? 2222，求证：．若例8 c?b?a)c?b?a(?)c?b?a(3．

参考答案

例1 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算．

2222；1）解：（xx?x)9?4??212?2?2?3x?(32(?3x)2222222；）

（2a??16a164a?(4a)?4ab(2ab?4a))?(2abb?2?2ab?112222b42?aambm?(am?2b)?．3）（24说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现22的错误．x3??412x(2?3x)?22；（3（2）题可看成）题可看，也可看成例2 分析：)xy)?3y]?2(3[(?2x22，变形后都符合完全平方公式．，也可以看成

成]y3x3x?y)])?[(?[?(222 1解：（）1?3a?(3a)1?2(3a?1)??2

1a??6?9a22）原式（2)(3yx)?3y??(?2x)2??(?222y?94xxy?12?2或原

式)2x(3y?22)xx?(2)y?2?3?23?(y22x412xy?9y??2 3）原式

（)]x?y?[?(32)?y?(3x22y?y?x)x?2?33?(22

y??6xy?9x22或原式y?y?)x3?(?2?)x3?(?

22y?6xy?9x?说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．

2x为公式中a1）小题，直接运用完全平方公式，为公例3分析：第（y3322

再利用和的化为b，利用差的平方计算；第（2）小题应把式中)b(a(??b)a?平方计算；第（3）小题，可把任意两项看作公式中a，如把作为公式中)4b3a?(的a，作为公式中的b，再两次运用完全平方公式计算．c52242222y94xyy)3y???x?x)(x?3(? 1）=解：（3392222 = （2）b2)ab?a??(a?b)b?a?(222 3）

（c?25a?4bba?4))?10c(3(a?4b?5c)3?(3222 =

ab24??16b?30ac?40bc?259ac222，运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：说明：b?a?(a?b)222．b??(a?b)a例4 分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完a?c，全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项和互为相反数的项b，所以先利用平方差公式计算与的

积，]?b?c?b])[(a?[(ac)2；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为再利用完全平方公式计算)a?c(22，再利用乘法公式计算．)]?x?1)(x1[(x?10(22222224224 =（1）原式解：

a2a?a)??x(x?ax)(xa??)?(x22 = （2）原式bc)??b]?(a?a[(a?c)?b][(?c)222bc?a?2ac?

=

22222）原式3= （)]?xx?1)(1??[(x1)(x1)(x?1)]?[(4284．= 1xx1(x?)??2?灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，计算本题时先观察题目特点，说明：以达到简化运算的目的．

例5 分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式．

11112222?9?39?x?xx?3x(x?3)??x；1）解：（24441111

（2）])?2a?b2a?b)?][(?(2a?b?)(2ab?)?[(222211222??b?)4??4aab?(2a?b；

44222222

（3）)xy??(xy?y)?x??2xy?y(x?y)2?(x2222．xy?4?2xxy?2xy ?y??xy?说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究．

例6 分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和或差．

222）；解：（1?2?200200?1??(200?1)40401201?222．（2）

98011?2?100?1)100?100?99??(11112222)?(2??)30?30??(30)(30＝）（3

333311?900?20??920.92说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的．

222，可知完全平方公式例7分析：（1）由ba??2(a?b)ab?22222?33??aab?b；，可求得ab?2)b(a?2222；（2）45??12)bab??33a??ab?b?a(?222．3）

（57)?2?(?)12?a?2ab?b??33a(?b2222解：（1）33??24??(?12)9ba?b?(a?)2?ab?3?22222（）245?12?33?)12?(?33?ab?)b?a(?b?ab?a

22222）（3ab?b2?(aa?b))?a??2ab?b( 57?33?24?(?12)??33?2222是灵活运用，变形明说：该题是为b?2ab?b)??a(a222，再进行代换．ab?a?b)ab?2?(222就可由已知条件展开，若能得出例8分析：,0?c?a)?(b?c)?((a?b)得到进而同时此题还用到,?c?a?b?b,b?cc?a??b0,b?c?0,c?a?0,aa2222．公式bc22ac?c??2(a?b?c)ab?a??b2222得由

证明：,c)?)?(3(aa?b??cb222222

ac22bc??c?32?aab?b?a3??3bc222.0bc?2ac?b2?2c?2ab?2a?2222222则

0)?a?(c??2?2ab?b?)(bc?2bc?ac)(a222 .0?c?(?a(a?b)(?b?c))222

∵.)0?a?0,(c?)(a(?b)?0,b?c∴.0?c?a,??a?b0,bc?0即得．c?b?a,a?c,c?b,b?a