《完全平方公式》典型例题.

（1） (2 - 3x )2

；（2） (2ab + 4a )2

；（3） ( am - 2b ) 2 ．

（1） ( x - 3) 2 - x 2 ；（2） (2a - b - )(2a - b + ) ；（3） ( x + y )2 - ( x - y )2 ．

例 6 利用完全平方公式进行计算：（1）

201 2

；

（2） 99 2

；

（3） (30 ) 2

《完全平方公式》典型例题

例 1 利用完全平方公式计算：

1

2

例 2

计算：

（1） (3a - 1)2 ；（2） (-2 x + 3 y )2 ；（3） (-3x - y )2 ．

例 3 用完全平方公式计算：

（1） (-3 y + 2 3 x ) 2

； （2） (-a - b )2 ； （3） (3a + 4b - 5c )2 ．

例 4

运用乘法公式计算：

（1） ( x - a )( x + a )( x 2 - a 2 ) ； （2） (a + b - c )(a - b - c ) ；

（3） ( x + 1)2 ( x - 1)2 ( x 2 + 1)2 ．

例 5 计算：

1 1 1 1

2 4 2 2

1

3

例 7 已知 a + b = 3, ab = -12 ，求下列各式的值．

（1） a 2 + b 2 ；（2） a 2 - ab + b 2 ；（3） (a - b )2 ．

例 8

若 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + b + c )2 ，求证： a = b = c ．

（3） ( am - 2b )2 = a 2m 2 - 2amb + 4b 2 ．

参考答案

例 1 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进

行计算．

解：（1） (2 - 3x )2 = 22 - 2 ⨯ 2 ⨯ 3x + (3x )2 = 4 - 12x + 9 x 2 ；

（2） (2ab + 4a )2 = (2ab )2 + 2 ⨯ 2ab ⨯ 4a + (4a )2 = 4a 2b 2 + 16a 2b + 16a 2 ；

1 1

2 4

说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该

公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现

(2 - 3x )2 = 4 - 12x + 3x 2 的错误．

例 2 分析：（2）题可看成 [(-2 x ) + 3 y ]2 ，也可看成 (3 y - 2 x )2 ；

（3）题可看

成 [-(3x + y )]2 ，也可以看成 [(-3x ) - y ]2 ，变形后都符合完全平方公式．

解：（1） (3a - 1)2 = (3a )2 - 2 ⋅ 3a ⋅1 + 12

= 9a 2 - 6a + 1

（2）原式 = (-2 x )2 + 2 ⋅ (-2 x ) ⋅ 3 y + (3 y )2

= 4 x 2 - 12xy + 9 y 2

或原式 (3 y - 2 x )2

= (3 y )2 - 2 ⋅ 3 y ⋅ 2 x + (2 x )2

= 9 y 2 - 12xy + 4 x 2

（3）原式 = [-(3x + y )]2

= (3x + y )2

= (3x )2 + 2 ⋅ 3x ⋅ y + y 2

= 9 x 2 + 6 x y + y 2

或原式 = (-3x )2 - 2 ⋅ (-3x ) ⋅ y + y 2

例3分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式x为公式中a，3y为公

解：（1）(-3y+2

=9x2+6x y+y2

说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．

2

3

式中b，利用差的平方计算；第（2）小题应把(-a-b)2化为(a+b)2再利用和的平方计算；第（3）小题，可把任意两项看作公式中a，如把(3a+4b)作为公式中

的a，5c作为公式中的b，再两次运用完全平方公式计算．

24

x)2=(x-3y)2=x2-4x y+9y2

339

（2）(-a-b)2=(a+b)2=a2+2ab+b2

（3）(3a+4b+5c)2=(3a+4b)2-10c(3a+4b)+25c2

=9a2+30ac-40bc+25c2+16b2+24ab 说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：(a+b)2=a2+b2，(a-b)2=a2-b2．

例4分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完

全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项a-c，和互为相反数的项b，所以先利用平方差公式计算[(a-c)+b]与[(a-c)-b]的积，再利用完全平方公式计算(a-c)2；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为[(x+10(x-1)(x2+1)]2，再利用乘法公式计算．

解：（1）原式=(x2-a2)(x2-a2)=(x2-a2)2=x4-2a2x2+a4

（2）原式=[(a-c)+b][(a-c)-b]=(a-c)2-b2

=a2-2ac+c2-b2

（3）原式=[(x+1)(x-1)(x2+1)]2=[(x2-1)(x2+1)]2

=(x4-1)2=x8-2x4+1．

说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，