高中数学必修五全部学案
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【高二数学学案】
§1.1 正弦定理和余弦定理
第一课时 正弦定理
一、1、基础知识 设∆ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,R 是∆ABC 的外接圆半径。 (1)正弦定理:===2R 。 (2)正弦定理的三种变形形式: ①==b A R a ,sin 2,c=。
②==
B R
a
A sin ,2sin ,=C sin 。 ③=c b a ::。
(3)三角形中常见结论: ①A+B+C=。②a <⇔b 。
③任意两边之和第三边,任意两边之差第三边。 ④2
sin
B
A +=,=+)sin(
B A ,)(2sin B A +=。 2、课堂小练 (1)在AB
C ∆中,若A sin >B sin ,则有( ) A 、a b
D 、a ,b 的大小无法确定 (2)在ABC ∆中,A=30°,C=105°,b=8,则a 等于( ) A 、4 B 、24 C 、34 D 、54 (3)已知ABC ∆的三边分别为c b a ,,,且a b B A :cos :cos =,则ABC ∆是三角形。 二、例题 例1、根据下列条件,解ABC ∆: (1)已知
30,7,5.3===B c b ,求C 、A 、a ; (2)已知B=30°,2=b ,c=2,求C 、A 、a ; (3)已知b=6,c=9,B=45°,求C 、A 、a 。
例2、在ABC ∆中,C
B C
B A cos cos sin sin sin ++=
,试判断ABC ∆的形状。
三、练习 1、在ABC ∆中,若B b A a cos cos =,求证:ABC ∆是等腰三角形或直角三角形。
2、在ABC ∆中,5:3:1::=c b a ,求
C
B
A sin sin sin 2-的值。
四、课后练习 1、在ABC ∆中,下列等式总能成立的是( ) A 、A c C a cos cos =
B 、A c
C b sin sin = C 、B bc C ab sin sin =
D 、A c C a sin sin =
2、在ABC ∆中,
120,3,5===C b a ,则B A sin :sin 的值是( )
A 、
35 B 、53 C 、73 D 、7
5 3、在ABC ∆中,已知
60,8==B a ,C=75°,则b 等于( )
A 、24
B 、34
C 、64
D 、3
32
4、在ABC ∆中,A=60°,24,34==b a ,则角B 等于( )
A 、45°或135°
B 、135°
C 、45°
D 、以上答案都不对 5、根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是( ) A 、
30,16,8===A b a ,有两解 B 、
60,20,18===B c b ,有一解 C 、
90,2,5===A b a ,无解
D 、
150,25,30===A b a ,有一解
6、已知ABC ∆中,
45,60,10===C B a ,则c 等于( )
A 、310+
B 、)13(10-
C 、)13(10+
D 、310
7、在ABC ∆中,已知A b B a tan tan 2
2
=,则此三角形是( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、直角或等腰三角形
8、在ABC ∆中,C=2B ,则B
B
sin 3sin 等于( )
A 、a b
B 、b a
C 、c a
D 、a
c
9、在ABC ∆中,已知
45,2,===B cm b xcm a ,如果利用正弦定理,三角形有两解,则x 的取值
范围是( ) A 、2 B 、x >22 C 、2 D 、0 10、三角形两边之差为2,夹角的余弦值为5 3 。该三角形的面积为14,则这两边分别为( ) A 、3和5 B 、4和6 C 、5和7 D 、6和8 11、在ABC ∆中,若 60,32,2=∠==B b a ,则c=,=∠C 。 12、在ABC ∆中,已知6:5:4)(:)(:)(=+++b a a c c b ,则C B A sin :sin :sin 等于 13、在ABC ∆中, 30,1,3===B b a ,则三角形的面积等于。 14、若ABC ∆三个角A 、B 、C 成等差数列,且最大边为最小边的2倍,则三内角之比为 。 15、已知ABC ∆中,c AB a BC ==,,且 b b c B A -=2tan tan ,求A 。 16、已知在ABC ∆中,A=45°,2,6==BC AB ,求其他边和角。 17、在ABC ∆中若C=3B ,求 b c 的取值范围。 18、已知方程0cos )cos (2 =+-B a x A b x 的两根之积等于两根之和,且a 、b 为ABC ∆的两边,A 、B 为a 、b 的对角,试判定此三角形的形状。 五、课后反思 1.12 余弦定理 时间: 一、基础填空 1、余弦定理:三角形中任何一边的等于其他两边的的减去这两边与它们的的的的倍,即 a 2=,b 2=,c 2=。 2、余弦定理的推论: =A cos ,=B cos ,=C cos 。 3、运用余弦定理可以解决两类解三角形问题:、 (1)已知三边,求; (2)已知和它们的,求第三边和其他两个角。 4、ABC S ∆===。 二、典型例题 例1、ABC ∆中,已知 30,33,3===B c b ,求角A 、角C 和边a 。 练习1:已知ABC ∆中,)13(:6:2::+=c b a ,求 ABC ∆的各角度数。