平面的投影及平面上的点和直线
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3第三章 点、直线和平面的投影
东北大学 工程图学教研室
§3－3
平面的投影
e f
QH
h
e
e f
h g
h
g
Z e
h
（2）铅垂面
e (f) (g) h l
f X e(f)
QH
O f Z
h(g) YH i l
K
efgh--直线; g YW 反映、角 的真实角度; efgh和efgh --类似形。
1)在与其平行的投影面上的投 影反映平面的实形； 2)另两个投影积聚成直线，且 分别平行于相应的投影轴。
a az a ay a ax
a
1. 点的正面投影 和水平投影的连 线垂直于OX轴 （aaOX）；
2. 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（aaOZ）； 3. 点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离 （aax=aaz）。
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§3－1
点的投影
c
o x
b b a
c
o c
a 两相交直线 b x b 两平行直线
c
直线和线外一点
各种形式可以互相转换
东北大学 工程图学教研室
§3－3
平面的投影
2. 用迹线表示平面(P50)
Z PV PV PW PW O PH YH 正面迹线 水平迹线 侧面迹线 YW
PH
X
迹线 —— 平面与投影面的交线
东北大学 工程图学教研室
i j i j
i (l)
i (l)
（3）侧垂面
j RW X (k ) j i j
O l k YH
k
ijkl --直线; j (k) 反映、角 YW 的真实角度; ijkl和ijkl --类似形。
§3－3
平面的投影
e f
QH
h
e
e f
h g
h
g
Z e
h
（2）铅垂面
e (f) (g) h l
f X e(f)
QH
O f Z
h(g) YH i l
K
efgh--直线; g YW 反映、角 的真实角度; efgh和efgh --类似形。
1)在与其平行的投影面上的投 影反映平面的实形； 2)另两个投影积聚成直线，且 分别平行于相应的投影轴。
a az a ay a ax
a
1. 点的正面投影 和水平投影的连 线垂直于OX轴 （aaOX）；
2. 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（aaOZ）； 3. 点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离 （aax=aaz）。
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§3－1
点的投影
c
o x
b b a
c
o c
a 两相交直线 b x b 两平行直线
c
直线和线外一点
各种形式可以互相转换
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§3－3
平面的投影
2. 用迹线表示平面(P50)
Z PV PV PW PW O PH YH 正面迹线 水平迹线 侧面迹线 YW
PH
X
迹线 —— 平面与投影面的交线
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i j i j
i (l)
i (l)
（3）侧垂面
j RW X (k ) j i j
O l k YH
k
ijkl --直线; j (k) 反映、角 YW 的真实角度; ijkl和ijkl --类似形。
制图基础知识：点直线平面的投影
点、直线、平面的投影
2.1 投影的基本知识 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
1
2.1 投影的基本知识
一、投影的概念 利用投射线在投影面上产生物体投影的
方法称为投影法
2
二、投影的分类
1.中心投影法
S
投影中心
投射线
B A C
物体 投影 P
c
b a
投影面
中心投影法
用于画透视图
3
Y=0,Z=0 Z=0
● 8 ● 3 5 ● 4 ●
●
●
12
● ●
7
16
二、两点的相对位置
△X=|XA-XB| △Y=|YA-YB| △Z=|ZA-ZB|
以A点为基准，B点在A点的右、前、上方。
17
三、重影点
当Xa=Xb、Ｚa=Zb、 Ya≠Yb时，点在Ｖ面重影。 当Xa=Xb 、Ya=Yb 、Za≠Zb时，点在Ｈ面重影。 当Ya=Yb 、Za=Zb 、Xa≠Ｘb时，点在Ｗ面重影。
az a′
2．点到投影面的距离等于点的投影 到投影轴的距离。
Z
a〞 ax X a A ay Y
点的三面投影
14
点的三面投影图
例2-1 已知点A的正面投影a’和水平投影a，求A的侧面投影a”。
●
15
例2-2 已知点A的坐标（5，7，4）；点B的坐标（12，3，0），点C 的坐标（8，0，0），求作各点的三面投影图。 分析点A位空间点，B在H面上，C在X轴上。
31
三、两直线的相对位置
１．两直线平行
如果空间两直线相互平行，则它们的同面投影必定 相互平行；反之，如果两直线的各同面投影相互平行， 则两直线在空间一定相互平行。
2.1 投影的基本知识 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
1
2.1 投影的基本知识
一、投影的概念 利用投射线在投影面上产生物体投影的
方法称为投影法
2
二、投影的分类
1.中心投影法
S
投影中心
投射线
B A C
物体 投影 P
c
b a
投影面
中心投影法
用于画透视图
3
Y=0,Z=0 Z=0
● 8 ● 3 5 ● 4 ●
●
●
12
● ●
7
16
二、两点的相对位置
△X=|XA-XB| △Y=|YA-YB| △Z=|ZA-ZB|
以A点为基准，B点在A点的右、前、上方。
17
三、重影点
当Xa=Xb、Ｚa=Zb、 Ya≠Yb时，点在Ｖ面重影。 当Xa=Xb 、Ya=Yb 、Za≠Zb时，点在Ｈ面重影。 当Ya=Yb 、Za=Zb 、Xa≠Ｘb时，点在Ｗ面重影。
az a′
2．点到投影面的距离等于点的投影 到投影轴的距离。
Z
a〞 ax X a A ay Y
点的三面投影
14
点的三面投影图
例2-1 已知点A的正面投影a’和水平投影a，求A的侧面投影a”。
●
15
例2-2 已知点A的坐标（5，7，4）；点B的坐标（12，3，0），点C 的坐标（8，0，0），求作各点的三面投影图。 分析点A位空间点，B在H面上，C在X轴上。
31
三、两直线的相对位置
１．两直线平行
如果空间两直线相互平行，则它们的同面投影必定 相互平行；反之，如果两直线的各同面投影相互平行， 则两直线在空间一定相互平行。
直线平面的投影
直线平面的投影直线和平面的投影是物理学和几何学中的重要概念，用于描述一个对象在不同视角下的视觉效果。
在这篇文章中，我将详细介绍直线和平面的投影原理、计算方法以及应用。
一、直线的投影直线的投影是指直线在一些方向上的映射，投影的结果是一个线段或者点。
在几何学中，直线的投影通常是指直线在其中一平面上的影子。
1.1直线投影的原理直线的投影原理可以理解为光线的折射原理。
当一束直线光线遇到一个不透明的物体时，物体会遮挡光线，使得光线在物体的背面无法到达。
在这种情况下，我们只可以看到从物体那一侧射出的光线，也就是物体的投影。
1.2直线投影的计算方法计算直线的投影可以利用几何学中的相似三角形和投影比例来解决。
假设直线的长度为l，直线与投影平面的夹角为θ，投影距离为d，我们可以计算投影长度p。
根据三角形相似性，根据比例有：p/d=l/h其中，h为直线在投影平面上的投影高度。
因此，直线的投影长度为：p=(l*d)/h1.3直线投影的应用直线的投影在现实生活中有很多应用，例如日光灯的投影、桥梁的投影等等。
在建筑设计和工程施工中，直线的投影也是一个非常重要的概念。
通过计算直线的投影长度，可以确定施工中的尺寸和位置。
平面的投影是指平面在一些方向上的映射，投影的结果可以是一个线段、一个点或者一个图形。
2.1平面投影的原理平面的投影原理类似于直线投影的原理，也是基于光线的折射原理。
当一束平行光线垂直照射在一个平面上时，在投影平面上会形成一个平行于光线的投影。
2.2平面投影的计算方法计算平面的投影可以利用几何学中的相似三角形和投影比例来解决。
假设平面的长度和宽度分别为L和W，平面与投影平面的夹角为θ，投影距离为d，我们可以计算投影的长度P和宽度W'。
根据三角形相似性，根据比例有：P/d=L/hW/d=W'/h其中，h为平面在投影平面上的投影高度。
因此，平面的投影长度为：P=(L*d)/h平面的投影宽度为：W'=(W*d)/h2.3平面投影的应用平面投影在几何学和物理学中有很多应用。
点、直线、平面的投影
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四、两直线相对位置
两直线的相对位置有 平行、 相交和交错（或称交叉、异面）。
平行直线的两面投影
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(一)两直线平行
对于两条一般位置直线，只要这两条直线的两面投影 彼此平行，则空间两直线就平行。
两条侧平线 但是对于两条侧平线，要判断它们在空间上是否平行， 侧面投影 还要看它们的侧面投影是否平行。
结论： 直角的两边不平行于投影面时，直角的投影不是直角。
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下图所示 如下图所示，构成直角的两边，AB倾斜于H面，BC平 行于H面，因BC⊥AB，BC⊥Bb，故BC⊥平面ABba，又因 为BC//bc，所以bc⊥平面ABba。加之ab∈平面ABba，所以 bc⊥ab，即∠abc=90°
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H
侧平面
投影特点： 1. W面投影反映实形。 2. V面和H面投影积聚成直线，且分别平行于OZ轴和OYH轴。
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三、平面内的线和点
由初等几何可知，直线和点在平面内的几何条件是： （1）如果一直线通过平面内的两点或通过平面内的一点 示例1 示例2 且平行于平面内的一直线，则此直线属于该平面。 （2）如果点位于平面内任一直线上，则该点属于该平面。示例
D 面ABC
面内定线的方法小结：
方法1：在平面内取两已知点连线。 方法2：过已知点做已知线的平行线。
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例2-10 如下图所示，点M属于三棱锥的一侧面△SAB，已知 △SAB的两投影及点M的H面投影，求：（1）点M的V面投影m ′ ； （2）在△SAB内过点M作一水平线。
Ⅰ
作图步骤：
b
(三)投影面垂直线
投影特性：
四、两直线相对位置
两直线的相对位置有 平行、 相交和交错（或称交叉、异面）。
平行直线的两面投影
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(一)两直线平行
对于两条一般位置直线，只要这两条直线的两面投影 彼此平行，则空间两直线就平行。
两条侧平线 但是对于两条侧平线，要判断它们在空间上是否平行， 侧面投影 还要看它们的侧面投影是否平行。
结论： 直角的两边不平行于投影面时，直角的投影不是直角。
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下图所示 如下图所示，构成直角的两边，AB倾斜于H面，BC平 行于H面，因BC⊥AB，BC⊥Bb，故BC⊥平面ABba，又因 为BC//bc，所以bc⊥平面ABba。加之ab∈平面ABba，所以 bc⊥ab，即∠abc=90°
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H
侧平面
投影特点： 1. W面投影反映实形。 2. V面和H面投影积聚成直线，且分别平行于OZ轴和OYH轴。
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三、平面内的线和点
由初等几何可知，直线和点在平面内的几何条件是： （1）如果一直线通过平面内的两点或通过平面内的一点 示例1 示例2 且平行于平面内的一直线，则此直线属于该平面。 （2）如果点位于平面内任一直线上，则该点属于该平面。示例
D 面ABC
面内定线的方法小结：
方法1：在平面内取两已知点连线。 方法2：过已知点做已知线的平行线。
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例2-10 如下图所示，点M属于三棱锥的一侧面△SAB，已知 △SAB的两投影及点M的H面投影，求：（1）点M的V面投影m ′ ； （2）在△SAB内过点M作一水平线。
Ⅰ
作图步骤：
b
(三)投影面垂直线
投影特性：
点、直线、平面的投影
第2章 点、直线、平面的投影
2.1 投影法及性质 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
2.5 平面内的点和直线
1 投影法及性质
物体在阳光的照射下，就会在墙面或地面投下影子，这就是投影现 象。投影法是将这一现象加以科学抽象而产生的。 投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称 为投影法。 投影法分中心投影法和平行投影法两种。
二、平面对一个投影面的投影特性
平面的投影特性是由平面相对于投影面的位置决定的。
平面在三投影面体系中的投影特性
1、投影面垂直面
垂直于某一投影面而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。
2、投影面平行面
平行于某一投影面而与另外两个投影面垂直的平面，称为投影面平行面。
投影面垂直面的投影特性:
投影面平行线的投影特性 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映其实长及与另两投影面倾角的实大， 另外两投影分别平行于相应的投影轴。
2、投影面垂直线
垂直于某一投影面而与另两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。 垂直于H面的直线为铅垂线，垂直于V面的直线为正垂线，垂直于W面的直线为侧垂线。
投影面垂直线的投影特性 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点，另外两投影分别垂直于相 应的投影轴，并反映其实长。
[例1] 已知点A（20、15、24），求点A的三面投影。
作图： 1） 画坐标轴（X、YH、YW、Z、O）；在X轴上量取Oax=20; OayH =15; Oaz =24； 2) 根据点的投影规律：点的投影连线垂直于投影轴。分别过ax作OX轴的垂直线、 过az作Z轴的垂直线,两垂直线的交点得点A的V面投影a＇,过ayH作OY轴的垂直线与 a＇ax的延长线相交得点A的H面投影a; 3)过原点O作∠YHOYW的平分线； 4)延长ayH与平分线相交，再过交点作垂直于Ｙw轴的直线； 5）过a＇作Z轴的垂线与垂直Ｙw轴的直线相交于a＂，即为A的W面投影。
2.1 投影法及性质 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
2.5 平面内的点和直线
1 投影法及性质
物体在阳光的照射下，就会在墙面或地面投下影子，这就是投影现 象。投影法是将这一现象加以科学抽象而产生的。 投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称 为投影法。 投影法分中心投影法和平行投影法两种。
二、平面对一个投影面的投影特性
平面的投影特性是由平面相对于投影面的位置决定的。
平面在三投影面体系中的投影特性
1、投影面垂直面
垂直于某一投影面而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。
2、投影面平行面
平行于某一投影面而与另外两个投影面垂直的平面，称为投影面平行面。
投影面垂直面的投影特性:
投影面平行线的投影特性 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映其实长及与另两投影面倾角的实大， 另外两投影分别平行于相应的投影轴。
2、投影面垂直线
垂直于某一投影面而与另两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。 垂直于H面的直线为铅垂线，垂直于V面的直线为正垂线，垂直于W面的直线为侧垂线。
投影面垂直线的投影特性 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点，另外两投影分别垂直于相 应的投影轴，并反映其实长。
[例1] 已知点A（20、15、24），求点A的三面投影。
作图： 1） 画坐标轴（X、YH、YW、Z、O）；在X轴上量取Oax=20; OayH =15; Oaz =24； 2) 根据点的投影规律：点的投影连线垂直于投影轴。分别过ax作OX轴的垂直线、 过az作Z轴的垂直线,两垂直线的交点得点A的V面投影a＇,过ayH作OY轴的垂直线与 a＇ax的延长线相交得点A的H面投影a; 3)过原点O作∠YHOYW的平分线； 4)延长ayH与平分线相交，再过交点作垂直于Ｙw轴的直线； 5）过a＇作Z轴的垂线与垂直Ｙw轴的直线相交于a＂，即为A的W面投影。
02 第二章 点、直线和平面的投影
2 1 3(4 )
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， 面的重影点， 面的重影点。 Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 面的重影点
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
交叉两直线的投影及重影点可见性的判断
d' 1'(2') a' c' 1'(2') b'
Ⅱ Ⅰ
2 a 2 c 1 b d 1
4.过 点作水平线CD AB相交 CD与 相交。 例4.过C点作水平线CD与AB相交。
a a' a"
点A的水平投影 点A的正面投影 点A的侧面投影
a' A ax
az a"
空间点用大写字母表 示，点的投影用小写字母 表示。
a
aY
2.三投影面体系中点的投影规律 2.三投影面体系中点的投影规律
（1） a'a⊥X轴 （2） a'a" ⊥Z轴
（3） aax =a"az 。
1.已知点的两个投影 求第三投影。 已知点的两个投影， 例1.已知点的两个投影，求第三投影。 解法一:
3.已知点A(15,15,20)作出点的投影图 已知点A(15,15,20)作出点的投影图。 例3.已知点A(15,15,20)作出点的投影图。
a' 20
a"
15 15 a
4.投影面和投影轴上的点 4.投影面和投影轴上的点
A a' b'
a' a" b' C c' O c" c Bb b" a b c' c
a'b'
A B
a" b"
a b 投影特性 （1） a' b'积聚成一点 积聚成一点 （2） a b ⊥OX; a"b" ⊥OZ （3）a'b'＝a"b" ＝ AB
《画法几何》第2章 点、直线、平面的投影
相交（或交 叉）成直角 的两直线， 只要其中有 一条直线平 行于某投影 面，则它们 在该投影面 上的投影仍 反映直角
水平线
Ｂ
b a
Ａ Ｃ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面 上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相 交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4） （
1
b
判断重影点重 合投影的可见性 时，要在其他投 影中比较它们坐 标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影 面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投 影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即 求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角 （直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α
工程制图第三章-点、直线、平面投影
从属于投影面的直线 从属于投影面的铅直线 从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。