模态测试与分析基本概念
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模态分析模态分析模态分析是研究结构动⼒特性⼀种⽅法，⼀般应⽤在⼯程振动领域。
其中，模态是指机械结构的固有振动特性，每⼀个模态都有特定的固有频率、阻尼⽐和模态振型。
分析这些模态参数的过程称为模态分析。
由有限元计算的⽅法取得——计算模态分析；通过试验将采集的系统输⼊与输出信号经过参数识别获得——试验模态分析。
通常，模态分析都是指试验模态分析。
概述振动模态是弹性结构固有的、整体的特性。
通过模态分析⽅法搞清楚了结构物在某⼀易受影响的频率范围内的各阶主要模态的特性，就可以预⾔结构在此频段内在外部或内部各种振源作⽤下产⽣的实际振动响应。
因此，模态分析是结构动态设计及设备故障诊断的重要⽅法。
机器、建筑物、航天航空飞⾏器、船舶、汽车等的实际振动模态各不相同。
模态分析提供了研究各类振动特性的⼀条有效途径。
⾸先，将结构物在静⽌状态下进⾏⼈为激振，通过测量激振⼒与响应并进⾏双通道快速傅⾥叶变换（FFT）分析，得到任意两点之间的机械导纳函数（传递函数）。
⽤模态分析理论通过对试验导纳函数的曲线拟合，识别出结构物的模态参数，从⽽建⽴起结构物的模态模型。
根据模态叠加原理，在已知各种载荷时间历程的情况下，就可以预⾔结构物的实际振动的响应历程或响应谱。
近⼗多年来，由于计算机技术、FFT分析仪、⾼速数据采集系统以及振动传感器、激励器等技术的发展，试验模态分析得到了很快的发展，受到了机械、电⼒、建筑、⽔利、航空、航天等许多产业部门的⾼度重视。
已有多种档次、各种原理的模态分析硬件与软件问世。
模态的阶：如果把这些共振频率都按照频率值从⼩到⼤排，就是“阶”。
每个物体都有⾃⼰的共振频率，⽽且还有不⽌⼀个共振频率。
可能⼗⼏Hz的时候会发⽣共振，⼏百Hz的时候⼜会发⽣共振。
如果进⾏模态分析，就是说把这个物体的共振频率都找出来。
⽐如说最⼩的共振频率就是⼀阶。
为什么⼀般做模态分析,只关注低阶模态,⽽忽略⾼阶模态呢⼀般载荷的频率是⽐较低的，所以只需要考虑与前⼏阶低阶模态是否会共振。
模态测试方面的经典书籍
模态测试方面的经典书籍模态测试是软件测试中的一种方法，用于评估软件系统在不同条件下的性能和行为。
以下是关于模态测试方面的经典书籍，它们涵盖了模态测试的基本概念、技术和最佳实践。
1.《模态测试实践指南》（Modal Testing: A Practical Guide）- D. J. Ewins这本书是模态测试领域的经典之作，介绍了模态测试的基本原理、测试方法和数据分析技术。
它详细解释了如何设计和执行模态测试，并提供了实用的案例研究和问题解答。
2.《模态测试与分析》（Modal Testing and Analysis）- A. D. Marinescu这本书介绍了模态测试的理论和实践，包括模态参数的测量和分析、模态试验设计、数据采集与处理等方面的内容。
它深入探讨了模态测试的各个环节，并提供了丰富的案例和实例来帮助读者理解和应用模态测试技术。
3.《振动模态测试与分析》（Vibration Modal Testing and Analysis）-D. J. Ewins这本书介绍了振动模态测试的基本原理和方法，包括模态参数的测量和分析、模态试验设计、数据采集与处理等方面的内容。
它提供了大量的实例和案例，帮助读者理解和应用振动模态测试技术。
4.《模态测试与分析技术》（Modal Testing and Analysis Techniques）- S. N. Sinha这本书详细介绍了模态测试和分析的各个方面，包括模态参数的测量和分析、模态试验设计、数据采集与处理等内容。
它提供了大量的实例和案例，帮助读者理解和应用模态测试技术。
5.《结构动力学与模态测试》（Structural Dynamics and Modal Testing）- J. H. Cannon这本书讲解了结构动力学和模态测试的基本原理和方法，包括结构振动的基本理论、模态参数的测量和分析、模态试验设计、数据采集与处理等内容。
它通过实例和案例来帮助读者理解和应用结构动力学和模态测试技术。
模态分析综述
模态分析综述一、前言模态分析是研究结构动力特性的一种近代方法,是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
模态是机械结构的固有振动特性,每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得,这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。
振动模态是弹性结构固有的、整体的特性。
如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内,各阶主要模态的特性,就可能预知结构在此频段内,在外部或内部各种振源作用下实际振动响应,而且一旦通过模态分析知道模态参数并给予验证,就可以把这些参数用于(重)设计过程,优化系统动态特性,或者研究把该结构连接到其他结构上时所产生的影响。
因此,模态分析是结构动态设计及设备故障诊断的重要方法。
近十余年以来,模态分析的理论基础,已经由传统的线性位移实模态、复模态理论发展到广义模态理论,并被进一步引入到非线性结构振动分析领域,同时模态分析理论汲取了振动理论、信号分析、数据处理、数理统计以及自动控制的相关理论,结合自身的发展规律,形成了一套独特的理论体系,创造了更加广泛的应用前景。
这一技术已经在航空、航天、造船、机械、建筑、交通运输和兵器等工程领域得到广泛应用。
二、模态分析的定义与用处模态分析的经典定义：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。
坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。
由振动理论知：一个线性振动系统，当它按自身某一阶固有频率作自由谐振时，整个系统将具有确定的振动形态（简称振型或模态）。
模态是工程结构的固有振动特性，每一个模态具有特定参数，即固有频率、阻尼比和模态振型等。
此外，基于线性叠加原理，一个复杂的振动还可以分解为许多的模态叠加。
一般地，以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法，称为模态分析。
更确切地说，模态分析是研究系统物理参数模型、模态参数模型和非参数模型的关系，并通过一定手段确定这些系统模型的理论及其应用的一门学科。
模态分析概述
你能为我解释模态分析吗？好，需要花费一点时间，但是这是任何人都能明白的事情……你不是第一个要求我用通俗易懂的语言解释模态分析的人，这样一来，任何人都能明白模态分析到底是怎样一个过程。
简单地说，模态分析是根据用结构的固有特征，包括频率、阻尼和模态振型，这些动力学属性去描述结构的过程。
那只是一句总结性的语言，现在让我来解释模态分析到底是怎样的一个过程。
不涉及太多的技术方面的知识，我经常用一块平板的振动模式来简单地解释模态分析。
这个解释过程对于那些振动和模态分析的新手们通常是有用的。
考虑自由支撑的平板，在平板的一角施加一个常力，由静力学可知，一个静态力会引起平板的某种静态变形。
但是在这儿我要施加的是一个以正弦方式变化，且频率固定的振荡常力。
改变此力的振动频率，但是力的峰值保持不变，仅仅是改变力的振动频率。
同时在平板另一个角点安装一个加速度传感器，测量由此激励力引起的平板响应。
现在如果我们测量平板的响应，会注意到平板的响应幅值随着激励力的振动频率的变化而变化。
随着时间的推进，响应幅值在不同的频率处有增也有减。
这似乎很怪异，因为我们对此系统仅施加了一个常力，而响应幅值的变化却依赖于激励力的振动频率。
具体体现在，当我们施加的激励力的振动频率越来越接近系统的固有频率（或者共振频率）时，响应幅值会越来越大，在激励力的振动频率等于系统的共振频率时达到最大值。
想想看，真令人大为惊奇，因为施加的外力峰值始终相同，而仅仅是改变其振动频率。
时域数据提供了非常有用的信息，但是如果用快速傅立叶变换（FFT）将时域数据转换到频域，可以计算出所谓的频响函数（FRF）。
这个函数有一些非常有趣的信息值得关注：注意到频响函数的峰值出现在系统的共振频率处，注意到频响函数的这些峰出现在观测到的时域响应信号的幅值达到最大时刻的频率处。
如果我们将频响函数叠加在时域波形之上，会发现时域波形幅值达到最大值时的激励力振动频率等于频响函数峰值处的频率。
机械结构的振动测试与模态分析
机械结构的振动测试与模态分析机械结构的振动是指在运动或工作过程中，由于受到外界激励或内部失稳因素的影响而出现的周期性或非周期性的振动现象。
振动不仅会影响机械结构的正常运行，还可能导致结构疲劳、损坏，甚至产生严重事故。
因此，了解机械结构的振动特性，进行振动测试和模态分析，对于结构设计、改进和维护具有重要意义。
1. 振动测试振动测试是通过实验手段对机械结构的振动特性进行测量和分析的过程。
常见的振动测试手段包括加速度传感器、速度传感器、位移传感器等。
通过这些传感器，可以测量到结构在不同频率范围内的振动加速度、振动速度和振动位移等参数。
振动测试不仅可以定量地描述结构的振动特性，还可以研究振动的传播路径、频谱特性和共振现象等。
2. 模态分析模态分析是对机械结构的振动特性进行分析和研究的过程。
模态分析的目的是确定结构的振动模态，即结构的固有频率、振型和阻尼等参数。
通过模态分析，可以了解机械结构在不同频率下的振动特性，并确定结构中可能存在的共振点和振动节点。
同时，模态分析还可以帮助设计师优化结构的设计，减小结构的振动幅值，提高结构的工作效率和可靠性。
3. 应用案例以汽车底盘为例，进行振动测试和模态分析的应用。
在汽车行驶过程中，底盘承受着来自路面的冲击和车辆运动的振动。
通过振动测试，可以测量到底盘在不同行驶速度下的振动加速度和振动速度等参数。
通过模态分析，可以确定底盘的固有频率和振型，判断底盘是否在某些特定频率下容易出现共振现象。
根据振动测试和模态分析的结果，可以对底盘的结构进行优化，提高底盘的刚度和减小噪声，提高驾驶的舒适性和汽车的安全性能。
4. 振动测试与模态分析的意义振动测试与模态分析对于机械结构的设计、改进和维护具有重要意义。
通过振动测试，可以了解机械结构在不同工况下的振动特性，及时发现结构的振动异常和故障等。
通过模态分析，可以确定结构的固有频率和振型，为结构的优化设计提供依据。
同时，振动测试与模态分析还可以帮助工程师评估结构的可靠性和耐久性，减小结构的振动幅值，提高结构的工作效率和可靠性。
空调压缩机管路模态分析与模态测试
该涡旋压缩机空调系统配管在设计阶段采用了有限元分析及模态试验相结合的手段，高效解决了压缩机吸排气管路的共振问题，现总结如下：
1模态分析基本原理
模态分析是将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。空调管路由多段管焊接组成，并且有其他感温包、阻尼块等零件附着其上，可以看做是n个有限个自由度的离散系统。
管结构的模态分析
空调管路系统的三维结构：空调管路系统主要包括压缩机、配管，配管与压缩机焊接连接，压缩机通过减震垫圈和螺栓固定于空调底板上。本次测试只针对配管，由于配管单体自由状态与实际装配有差异，增加的约束将导致配管模态发生变化，因此在管路装配在整机上的状态下进行测试。空调配管系统在工作时发生振动，主要受压缩机吸气口和排气口低频气流激励，在管道上产生压力脉动（尤其是管道的折弯、变截面和阀门处）导致管道振动。由于配管结构主要承受压缩机振源的激励，非出口的定频涡旋压缩机额定转速一般在2900r/min，所以配管结构的固有频率及振型主要关注压缩机激励主频率±10%附近的共振影响频带，即44~53Hz。为了探究压缩机激励是否与配管系统发生共振，采用有限元方法对配管系统进行模态分析。本分析主要考察管路振动特性，对机组简化完非必要部件后，建立有限元模型。将压冷凝接管端、压缩机支撑底脚、气液分离器底脚、壳管底脚施加固定约束。所有铜管采用壳单元，并使用子空间迭代法对管系结构进行求解，提取前20阶模态的固有频率。根据模态分析结果显示，共振带内共有5阶固有频率，但振型最大位移非双系统下的吸气管与排气管管型，设计较好的避开了43~53Hz共振带的影响，无运行共振风险。但在试验样机测试阶段，双系统下的吸气管与排气管皆出现明显振动超标问题，为此开展了对应模块机试验整改问题的深入研究。
汽轮发电机定子绕组端部模态测试与分析
汽轮发电机定子绕组端部模态测试与分析何青;崔志斌;韩泓池【摘要】汽轮发电机的定子绕组端部在运行中受到旋转电磁力的作用而受迫振动,造成安全隐患.因此,新机出厂或大修时,需对发电机定子绕组端部动态特性做出判断,以便及时排除故障,减少经济损失.以模态分析的试验法为指导,对一台汽轮发电机的定子绕组端部进行测试和试验数据分析,进而得出该发电机励端和汽端的模态振型估计结果.在测试和分析过程中发现:模态置信准则矩阵能够为可能的错误模态估计结果指出思考的方向;不理想的激励信号输入或不理想的响应信号试验数据会降低模态估计结果的精度.【期刊名称】《电力与能源》【年(卷),期】2017(000)004【总页数】5页(P467-471)【关键词】汽轮发电机;定子绕组;模态测试;模态分析;模态置信准则【作者】何青;崔志斌;韩泓池【作者单位】华北电力大学能源动力与机械工程学院,北京 102206;华北电力大学能源动力与机械工程学院,北京 102206;华北电力大学能源动力与机械工程学院,北京 102206【正文语种】中文【中图分类】TM311在汽轮发电机运转发电过程中，定子线圈电流和转子端部的漏磁通彼此作用，定子端部绕组会受到它们之间所产生的旋转电磁力的作用。
定子绕组端部出现的振动问题，从20世纪90年代起，我国对此问题开展了研究。
模态分析是力学结构动力学特征研究的一种手段，模态参数可通过仿真计算或试验数据分析得到。
在汽轮发电机的研发过程中，利用ANSYS等有限元分析软件进行的计算模态分析，能够为定子端部结构设计提供一定的技术支持[1]。
在汽轮发电机新机出厂、交接及检修过程中，试验模态分析能够为其定子端部的动态特性评判提供依据。
基于多年来工程人员的应用经验及研究人员的研究成果，我国于2006年发布了《透平型发电机定子绕组端部动态特性和振动试验方法及评定》的国家标准。
近些年来，测量按国外先进技术制造的1 000 MW汽轮发电机定子端部的动态特征时，仇明等发现了尽管测试结果不与标准要求相符但被测对象并不存在端部故障的情况，并提出了修订标准的建议[2]。
模态分析简介
模态分析用于确定设计结构或机器部件的振动特性（固有频率和振型），即结构的固有频率和振型，它们是承受动态载荷结构设计中的重要参数。
同时，也可以作为其它动力学分析问题的起点，例如瞬态动力学分析、谐响应分析和谱分析，其中模态分析也是进行谱分析或模态叠加法谐响应分析或瞬态动力学分析所必需的前期分析过程。
ANSYS的模态分析可以对有预应力的结构进行模态分析和循环对称结构模态分析。
前者有旋转的涡轮叶片等的模态分析，后者则允许在建立一部分循环对称结构的模型来完成对整个结构的模态分析。
ANSYS产品家族中的模态分析是一个线性分析。
任何非线性特性，如塑性和接触（间隙）单元，即使定义了也将被忽略。
ANSYS提供了七种模态提取方法，它们分别是子空间法、分块Lanczos法、PowerDynamics法、缩减法、非对称法、阻尼法和QR阻尼法。
阻尼法和QR阻尼法允许在结构中存在阻尼。
后面将详细介绍模态提取方法。
§1.2模态分析中用到的命令模态分析使用所有其它分析类型相同的命令来建模和进行分析。
同样，无论进行何种类型的分析，均可从用户图形界面（GUI）上选择等效于命令的菜单选项来建模和求解问题。
后面的“模态分析实例（命令流或批处理方式）”将给出进行该实例模态分析时要输入的命令（手工或以批处理方式运行ANSYS时）。
而“模态分析实例（GUI方式）” 则给出了以从ANSYS GUI中选择菜单选项方式进行同一实例分析的步骤。
（要想了解如何使用命令和GUI选项建模，请参阅< <ANSYS建模与网格指南>>）。
<<ANSYS命令参考手册>>中有更详细的按字母顺序列出的ANS YS命令说明。
§1.3模态提取方法典型的无阻尼模态分析求解的基本方程是经典的特征值问题：其中：=刚度矩阵,=第阶模态的振型向量（特征向量）,=第阶模态的固有频率（是特征值）,=质量矩阵。
有许多数值方法可用于求解上面的方程。
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模态测试与分析基本概念 1. 模态假设：线性假设、时不变假设、互易性假设、可观测性假设 线性假设：结构的动态特性是线性的，就是说任何输入组合引起的输出等于各自输出的组合，其动力学特性可以用一组线性二阶微分方程来描述。 时不变性假设：结构的动态特性不随时间变化，因而微分方程的系数是与时间无关的常数。 可观测性假设：这意味着用以确定我们所关心的系统动态特性所需要的全部数据都是可以测量的。 互易性假设：结构应该遵从Maxwell互易性原理，即在q点输入所引起的p点响应，等于在p点的相同输入所引起的q点响应。 2. EMA、OMA、ODS 试验模态分析(Experimental Modal Analysis, EMA) 力锤激励EMA技术 激振器激励EMA技术 工作模态分析(Operational Modal Analysis, OMA) 工作变形模态(Operational Deflection Shape, ODS) 3. SISO、SIMO、MIMO SISO：设置1个响应测点，力锤激励遍历所有测点，也称为SRIT SIMO：设置若干响应测点，力锤激励遍历所有测点，也称为MRIT；用一个激振器固定在某测点处激励结构，测量所有测量自由度的响应，经FFT快速测量计算FRF MIMO：用多个激振器激励结构，测量所有测量自由度的响应，经FFT快速测量计算MIMO-FRFs，输入能量均匀，数据一致性好，能分离密集和重根模态，在大型复杂或轴对称结构模态试验尤为重要 4. 模态分析基本步骤 建立模型：确定测量自由度、生成几何、确定各类参数：BW，参考点、触发等 测量：FRF，（时域数据可选） 参数估计：曲线拟合、参数提取 验证：MAC、MOV、MP等 锤击法测试流程 激振器随机激励测试流程图 无论是锤击法测试还是激振器测试，都需将捕捉到的时域数据通过FFT变换转换到频域。FFT变换为输入和输出信号提供线性傅立叶谱（注意这些函数都是复值函数）。这将提供输入自谱(Gxx)，输出自谱(Gyy)和输入-输出的互谱(Gyx)。这三个谱使用各自的时域数据进行平
均。一旦得到Gxx、Gyx 和Gyy，那么就可计算频响函数和相干了。 5. 测点布置原则 总原则：需要测量足够数目的测点，使得能唯一地描述所有你想获得的系统模态振型 6. 空间混叠 空间上布置的测点数目过少，造成多阶（>=2）模态振型相同，不能唯一区别关心的各阶模态振型 7. 几何模型的作用 表征测点的位置，非结构模型，线框模型，非实体模型，用于表征振型动画 8. 节点 节点位置是响应为零的位置。 9. 触发、预触发 10. 力锤法和激振器法的不同之处 力锤激励 人工激励，受人为因素影响严重 设备简单，移动方便，不影响试件的动态特性 快速地宽频带激励 激振器激励 难于安装，操作复杂，存在附加影响 有多种激励信号可供选择，且激励信号已知 经常用于大型复杂结构 适当选择激励信号能改善线性结构的测量结果 结构存在非线性时，选择适当信号既可以把非线性平均掉 11. 力谱 力脉冲的自谱 12. 平均 力锤法：每个测点位置锤击的次数； 激振器法：激励信号重复激励次数。 13. 参考点、参考点选择的原则 不能位于所关心的模态的节点上 参考点处的振动量要显著 先验知识、分析模型等 选择多点作为参考点 14. 驱动点（原点）、跨点 驱动点：激励和响应在同一测点位置； 跨点：激励和响应不在同一测点位置；
*ij1ij1ij*
11
*ij2ij2*22
*ij3ij3*33
aah(j)(jp)(jp)aa(jp)(jp)aa(jp)(jp)
幅值 实部 *1i1j11i1j1ij*
11
*2i2j22i2j2*22
*3i3j33i3j3*33
quuquuh(j)(jp)(jp)quuquu(jp)(jp)quuquu(jp)(jp)
相位 虚部 图1 驱动点FRF（幅值、相位、实部和虚部） 驱动点测量具有一些重要的特征： 共振峰和反共振峰交替出现，这一点在FRF的幅值曲线图中得到体现； 每经过一个共振峰时相位滞后180度，每经过一个反共振峰时相位超前180度； 频响函数虚部的所有峰值都位于频率轴的同一侧。 15. FRF：幅值和相位、实部和虚部
3自由度的悬臂梁模型 幅值 相位 实部 虚部 驱动点FRF具有一些重要的特征： 共振点（峰）和反共振点（峰）交替出现； 每经过一个共振点（峰）相位滞后180度，每经过一个反共振点（峰）相位超前180度； 频响函数的虚部所有峰值位于频率轴的同一侧。 16. 相干 17. 留数 H(s)
=下残余项+*jkk*kikkAA(ss)(ss)+上残余项
T
kkkk
A(s)quu
**1()()()kmijkijkijkkaahjjpjp
ijkkikjkaquu
111213111213212223212223313233313233kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
aaauuuuuuaaauuuuuuqaaauuuuuu
1112121313kkkkkkkk
auauquau
18. 稳定图：O、F、V、D、S
o 极点不稳定(新出一频率) f 极点的频率在公差范围内稳定 d 极点的阻尼和频率在公差范围内稳定 v 极点向量在公差范围内稳定 s 极点的频率、阻尼、向量在公差范围内都稳定 19. SUM，MIF，MMIF，CMIF，稳定图
指示工具SUM函数、MMIF函数、CMIF函数和稳定图 表：时域多参考点模态提取
MMIF2
2 CMIF
SUM
2 STABILITY 20. 极点：物理极点、数学极点 **1()()()kmijkijkijkkaahjjpjp
𝐏𝐤=𝝈𝒌+𝝎𝒌 𝑷𝒌∗=𝝈𝒌∗+𝝎𝒌
∗
𝝈𝒌：阻尼因子 𝝎𝒌：有阻尼固有频率
21. 重根、伪重根 伪重根：指一个频率分辨率内存在两个根。 22. 曲线拟合：SDOF与MDOF、Local和Global 测得的FRF被分解成多个单自由度的系统，如下图所示 23. 实模态、复模态 实模态的一些特征： 1. 通过驻波描述实模态，而这些驻波的节点位置是固定的； 2. 所有点同一时刻通过它们的最大和最小位置处； 3. 所有点同一时刻通过零点位置； 4. 模态振型为带符号的实数值； 5. 所有点同结构上任何其他点，要么完全同相位，要么完全反相位； 6. 无阻尼得到的模态振型与比例阻尼的模态振型相同，这些振型解耠质量、阻尼和刚度矩
阵。 复模态的一些特征： 1. 通过行波描述复模态，节点似乎在结构上移动； 2. 所有点不在同一时刻通过它们的最大值位置处，一些点似乎落后其它点； 3. 所有点不在同一时刻通过零点位置； 4. 模态振型不能用实数描述，为复数； 5. 不同自由度之间不存在特定的相位关系，没有完全同相位或者完全180度反相关系； 由无阻尼情况得到的模态振型将不解耦阻尼矩阵。 比例（实）模态 非比例（复）模态 无阻尼：极点和留数为纯虚数，振型值为实数； 比例阻尼：极点是复数，留数为纯虚数，振型值为实数； 一般阻尼：极点、留数和振型值全为复数。
复模态的实频、虚频形状与实模态有很大差别。不再与峰值相对应，实频曲线的正负峰不再对应半功率点。因此不能用实频、虚频曲线确定模态参数及σ。 24. MAC
响应的模态置信判据MAC表示模态的可信程度，其算式为： 如果复向量与之间存在线性相关，则MSF 对应于二者的比例常数，而MAC的值则接近于1。如果二者是线性独立的，则MAC的值将会很小（接近于零），且MSF没有什么意义。在更一般的意义上，MAC 的概念可施加于两个任意的复向量。即用于比较两个有任意标尺的模态振型向量，相似的模态振型具有高值的MAC。对于两相对应的模态而言，MAC的值应接近于100％，而相应的留数向量，及通过模态参预因子给定标尺的模态振型之间的MSF值应该是非常一致的。MAC的第二个应用是检验模态振型被质量矩阵加权时的正交性，即 lkmVMVklTk,
=0 , ll 其中，km表示第k阶模态的模态质量。 甚至在质量矩阵不知道的情况下，上式也是可利用的，通常假定其为有大致相等元素的对角线矩阵。在这一前提下，计算两个不同模态之间的MAC值，也就等于近似地检验它们之间的正交性。
25. 模态参与 运动方程 {}{}{}{()}MxCxKxFt
认识到模态转换是从特征值求解过程中得到，是用物理坐标{}x通过模态向量合集U
与模态坐标{}p发生关系 112233{}{}{}{}{}xUpupupup