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中考数学易错题精选 -反比例函数练习题及答案
一、反比例函数
1．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边 BC 在 x 轴上，点B， D 的坐标分别为B（1， 0），D（ 3， 3）．
（1）点 C的坐标 ________；
（ 2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过直线AC 上的点E，且点 E 的坐标为（ 2 ，m），求 m 的值及反比例函数的解析式；
（3）若（ 2）中的反比例函数的图象与CD 相交于点F，连接 EF，在直线AB 上找一点P，
使得 S△PEF=S△CEF，求点 P 的坐标．
【答案】（1）（ 3， 0）
（2）解：∵ AB=CD=3， OB=1，
∴A 的坐标为（ 1， 3），又 C（3， 0），
设直线 AC 的解析式为y=ax+b，
则，解得：，
∴直线 AC 的解析式为y=﹣x+．
∵点 E（ 2， m）在直线AC 上，
∴m= ﹣× 2+=，
∴点 E（ 2，）．
∵反比例函数y=的图象经过点E，
∴k=2 × =3，
∴反比例函数的解析式为y=
（3）解：延长 FC 至 M ，使 CM=CF，连接 EM，则 S△
EFM=
△
）．S EFC， M（ 3，﹣ 0.5
在 y= 中，当 x=3 时， y=1，
∴F（3， 1）．
过点 M 作直线 MP∥ EF交直线 AB 于 P，则 S△PEF=S△MEF．
设直线 EF的解析式为y=a'x+b'，
∴，解得，
∴y=﹣ x+ ．
设直线 PM 的解析式为y=﹣x+c，
代入 M（ 3，﹣ 0.5），得： c=1，
∴y=﹣ x+1．
当 x=1 时， y=0.5，
∴点 P（ 1， 0.5）．
同理可得点P（ 1， 3.5）．
∴点 P 坐标为（ 1， 0.5）或（ 1， 3.5）．
【解析】【解答】解：（1）∵ D（ 3， 3），
∴OC=3，
∴C（3，0）．
故答案为（ 3， 0）；
【分析】（ 1）由 D 的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出 C 的坐标；（ 2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由 D 的纵坐标确定出CD的长，即为AB 的长，再由 B 的坐标确定出 OB 的长，再由 A 为第一象限角，确定出 A 的坐标，由 A 与 C 的坐标确定出直线AC 的解析式，将 E 坐标代入直线AC 解析式中，求出m 的值，确定出 E 的坐标，代入反比例解
析式中求出k 的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC 至 M ，使CM= CF，连接
EM，则 S△EFM= S△EFC， M （ 3，﹣ 0.5）．求出 F（ 3，1），过点 M 作直线 MP∥ EF交直线 AB 于 P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到 S△PEF=S△MEF．此时直线 EF 与直线 PM 的斜率相同，由 F 的横坐标与 C 横坐标相同求出 F
的横坐标，代入反比例解析式中，确定出 F 坐标，由 E 与 F 坐标确定出直线 EF 斜率，即为直线 PM 的斜率，再由 M 坐标，确定出直线 PM 解析式，由 P 横坐标与 B 横坐标相同，将横坐标代入直线
PM 解析式中求出 y 的值，即为 P 的纵坐标，进而确定出此时 P 的坐 B
标．
2．一次函数y=ax+b（ a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于y 轴交于点C，与x 轴交于点D，点 D 的坐标为（﹣ 1 ， 0 ），点A tan∠ CDO=2．过点 B 作 BH⊥ y 轴交 y 轴于 H，连接 AH．
A， B 两点，与的横坐标是 1 ，
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ ABH 面积．
【答案】（1）解：∵点 D 的坐标为（﹣ 1， 0）， tan∠ CDO=2，∴C O=2，即 C（ 0， 2），
把 C（0， 2）， D（﹣ 1， 0）代入 y=ax+b 可得，
，解得，
∴一次函数解析式为y=2x+2，
∵点 A 的横坐标是1，
∴当 x=1 时， y=4，即 A（ 1，4），
把 A（ 1， 4）代入反比例函数 y= ，可得 k=4，
∴反比例函数解析式为 y=
（2）解：解方程组，可得或，∴B（﹣ 2，﹣ 2），
又∵ A（ 1， 4）， BH⊥y轴，
∴△ ABH 面 =× （2×4+2）=6．
【解析】【分析】（ 1）先由 tan∠ CDO=2 可求出 C 坐，再把 D 点坐代入直解析式，
可求出一次函数解析式，再由直解析式求出 A 坐，代入双曲解析式，可求出双曲
解析式；（ 2）△ ABH 面可以 BH 底，高 =y A-y B=4-(-2)=6.
3．如，四形 OP1A1B1、 A1P2A2B2、 A2P3 A3B3、?、 A n﹣1P n A n B n都是正方形，角OA1、
AA、AA、?、A A 都在 y 上（ n≥1的整数），点P （ x， y ），点 P （x
2，
1223n﹣1 n1112
y2），?， P n（ x n， y n）在反比例函数y=（x＞0）的象上，并已知B1（ 1，1）．
（1）求反比例函数 y= 的解析式；
（2）求点 P2和点 P3的坐；
（ 3）由（ 1）、（ 2）的果或律猜想并直接写出：△ P n B n O的面________ ，点
P n的坐 ________ （用含【答案】（1）解：在正方形B1与 P1关于 y 称，∵B1（ 1，1），
∴P1（ 1，1）．n的式子表示）．
OP1A1B1中， OA1是角，
k=1×1=1，即反比例函数解析式y=
（2）解：接P2B2、 P3B3，分交 y 于点 E、 F，
又点 P1的坐（ 1， 1），
∴OA1=2，
点 P2的坐（ a，a+2），
代入 y= 得 a= -1，
故点 P2的坐（-1，+1），
A1E=A2E=2 -2， OA2=OA1+A1A2=2 ，
点 P3的坐（ b， b+2），
代入 y= （ >0）可得 b=-，
故点 P3的坐（- ，+ ）
（3） 1；（ -，+）
【解析】【解答】解：（ 3）∵=2=2× =1，=2=2× =1，?
∴△ P n B n O 的面1，
由 P1（ 1， 1）、 P2（1，+1）、 P3（，+）知点 P n的坐（，+），
故答案： 1、（，+）．
【分析】（ 1）由四形 OP1 11111
A B 正方形且OA 是角知B与 P 关于 y 称，得出
点 P1（1， 1），然后利用待定系数法求解即可；
（2）接 P2B2、 P3B3，分交 y 于点 E、 F，由点 P1坐及正方形的性知OA1=2，P2的坐（ a， a+2），代入解析式求得 a 的即可，同理可得点P3的坐；
（3）先分求得 S△P1 B1 O、 S△P2B2O 的，然后找出其中的律，最后依据律行算即可 .
4．抛物y=+x+m 的点在直y=x+3 上，点F（ 2，2）的直交抛物于点
M、 N 两点（点M 在点 N 的左边）， MA ⊥x 轴于点 A， NB⊥ x 轴于点 B．
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示），再求m 的值；（2）设点 N 的横坐标为a，试用含 a 的代数式表示点N 的纵坐标，并说明NF=NB；
（3）若射线NM 交 x 轴于点 P，且 PA?PB=，求点M的坐标．
【答案】（1）解： y= x2+x+m=（x+2）2+（m﹣1）
∴顶点坐标为（﹣2， m﹣ 1）
∵顶点在直线y=x+3 上，
∴﹣ 2+3=m﹣ 1，
得 m=2；
（2）解：过点 F 作 FC⊥ NB 于点 C，
∵点 N 在抛物线上，
∴点 N 的纵坐标为：a2 +a+2，
即点 N（ a，a2+a+2）
在 Rt△ FCN中， FC=a+2， NC=NB﹣ CB= a2+a，
∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（ a+2）2，
=（a2+a）2 +（ a2+4a） +4，
而 NB2=（a2+a+2）2，
=（a2+a）2 +（ a2+4a） +4
∴N F2=NB2，
NF=NB
（3）解：连接AF、 BF，
由 NF=NB，得∠ NFB=∠ NBF，由（ 2）的思路知， MF=MA ，
∴∠ MAF=∠ MFA，
∵MA ⊥ x 轴， NB⊥ x 轴，
∴MA ∥ NB，
∴∠ AMF+∠BNF=180 °
∵△ MAF 和△ NFB 的内角总和为360 ，°
∴2∠ MAF+2∠ NBF=180 ，°∠ MAF+∠
NBF=90 ，°∵∠ MAB+∠ NBA=180 ，°
∴∠ FBA+∠ FAB=90 ，°又∵
∠ FAB+∠ MAF=90°，
∴∠ FBA=∠ MAF=∠ MFA，
又∵∠ FPA=∠ BPF，
∴△ PFA∽△ PBF，
∴=，PF2=PA× PB=，
过点 F 作 FG⊥ x 轴于点 G，在 Rt△ PFG中，
PG==，
∴PO=PG+GO=，
∴P（﹣，0）
设直线 PF： y=kx+b，把点 F（﹣ 2， 2）、点 P（﹣，0）代入y=kx+b，解得 k=，b=，
∴直线 PF： y= x+，
解方程x2+x+2= x+，
得 x=﹣ 3 或 x=2（不合题意，舍去），
当 x=﹣ 3 时， y=，
∴M （﹣ 3，）．
【解析】【分析】（ 1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线
y=x+3 上，建立方程求出m 的值。
（2）过点 F 作 FC⊥ NB 于点C，根据已知条件点N 在抛物线上，可得出N 点坐标，在Rt△ FCN 中，利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，用含 a 的代数式分别表示出进而得出
NF2、 NB2，即可得出到NF=NB。
（3）要求点M 的坐标，需要先求出直线PF 的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA ，然后连接AF、 FB，再通过证明△ PFA∽ △ PBF，利用相关的比例线段将PA?PB 的值转化为PF2的值，进而求出点 F 的坐标和直线 PF 的解析式，由图像可知直线 PF 和抛物线相较于点M，
建立方程求解，即可得点 M 的坐标。
5．平面直角坐标系 xOy 中，点 A、 B 分别在函数 y1= （ x＞ 0）与 y2=﹣（x＜ 0）的图象上， A、B 的横坐标分别为 a、 b．
（1）若 AB∥ x 轴，求△ OAB 的面积；
（2）若△ OAB 是以 AB 为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求 ab 的值；
（3）作边长为 2 的正方形ACDE，使 AC∥ x 轴，点 D 在点 A 的左上方，那么，对大于或等
于 3 的任意实数a，CD 边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知，点A（ a，），B（b，﹣），
∵AB∥ x 轴，
∴，
∴a=﹣ b；
∴A B=a﹣ b=2a，
∴S△OAB= ?2a?=3
（2）解：由（ 1）知，点A（ a，），B（b，﹣），
222222
∴OA =a +（），OB =b +（﹣），
∴OA=OB，
∴OA2=OB2，
∴a2+（）2=b2+（﹣）2，
∴a2﹣ b2=（）2﹣（）2，
∴（ a+b）（ a﹣ b） =（+）（﹣）=，
∵a＞ 0， b＜ 0，
∴ab＜ 0， a﹣ b ≠0，
∵a+b ≠0，
∴1=，
∴a b=3（舍）或 ab=﹣3，
即： ab 的值为﹣ 3；
（3）解：对大于或等于 3 的任意实数 a， CD 边与函数 y1=（x＞ 0）的图象都有交点．理由：如图，
∵a ≥3， AC=2，
∴直线 CD 在 y 轴右侧且平行于y 轴，
∴直线 CD 一定与函数y1=（x＞0）的图象有交点，
∵四边形 ACDE是边长为 2 的正方形，且点 D 在点 A（ a，）的左上方，
∴C（ a﹣ 2，），
∴D（ a﹣ 2，+2），
设直线 CD 与函数 y1=（x＞0）相交于点F，
∴F（a﹣ 2，），
∴FC=﹣=，
∴2﹣ FC=2﹣=，
∵a ≥3，
∴a﹣ 2＞0， a﹣3 ≥0，
∴≥0，
∴2﹣ FC≥0，
∴F C≤2，
∴点 F 在线段 CD 上，
即：对大于或等于 3 的任意实数a， CD 边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点．
【解析】【分析】（ 1）先判断出a=﹣ b，即可得出AB=2a，再利用三角形的面积公式即可
得出结论；（ 2 ）利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出
直线 CD 和函数出 FC，再判断
y1=
FC
与
（ x＞0 ）必有交点，根据
点 2 的大小即可．
A 的坐标确定出点C， F 的坐标，进而得
6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与 x 轴交于点B，与 y 轴交于点A，与反比例函数 y=的图象在第二象限交于点C， CE⊥ x 轴，垂足为点E， tan ∠ABO=，OB=4，
OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点 D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 D 作 DF⊥y 轴，垂足为点F，连接OD、 BF．如果 S△BAF=4S△DFO，求点 D 的坐标．
【答案】（1）解：∵OB=4， OE=2，∴ BE=OB+OE=6．
∵CE⊥ x 轴，
∴∠ CEB=90 ．°
在 Rt△ BEC中，∠ CEB=90°， BE=6， tan∠ ABO=，
∴C E=BE?tan∠ ABO=6 × =3，
结合函数图象可知点 C 的坐标为（﹣ 2， 3）．
∵点 C 在反比例函数y=的图象上，
∴m= ﹣ 2 × 3=﹣ 6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣
（2）解：∵点 D 在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴ 设点D的坐标为（n，﹣）（ n＞ 0）．
在 Rt△ AOB 中，∠ AOB=90°， OB=4， tan∠ABO=，
∴O A=OB?tan∠ ABO=4 × =2．
∵S△BAF= AF?OB=（OA+OF）?OB=（2+）× 4=4+．
∵点 D 在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，
∴S=×|﹣6|=3 ．
△DFO
=4S，
∵S△BAF△DFO
∴4+=4 ×3，
解得： n=，
经验证， n=是分式方程4+=4×3的解，
∴点 D 的坐标为（，﹣4）．
【解析】【分析】（ 1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函
数图象即可得出点 C 的坐标，再根据点 C 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即
可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；（2）由点 D 在反比例函数在第四象限的
图象上，设出点 D 的坐标为（ n，﹣）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA 的长
度，再利用三角形的面积公式利用含n 的代数式表示出S△BAF，根据点 D 在反比例函数图
形上利用反比例函数系数k 的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的
面积间的关系即可得出关于n 的分式方程，解方程，即可得出n 值，从而得出点 D 的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx+b（ k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A
（2，﹣ 3）和点 B（n ，2）．
（1）求直线与双曲线的表达式；
（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P 是双曲线y=（m≠0）上的整
点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交直线AB 于点 Q，当点P 位于点Q 下方时，请直接写
出整点 P 的坐标．
【答案】（1）解：∵双曲线 y=（m≠0）经过点A（ 2，﹣ 3），∴m=﹣6．
∴双曲线的表达式为y=﹣．
∵点 B（n，2）在双曲线y=﹣上，
∴点 B 的坐标为（﹣ 3， 2）．
∵直线 y=kx+b 经过点 A（ 2，﹣ 3）和点 B（﹣ 3， 2），
∴
解得，
∴直线的表达式为y=﹣x﹣ 1
（2）解：符合条件的点P的坐标是（1，﹣6）或（6，﹣
1）．
【解析】【分析】（ 1）把 A 的坐标代入可求出 m，即可求出反比例函数解析式，把 B 的坐标代
入反比例函数解析式，即可求出 n，把 A， B 的坐标代入一次函数解析式即可求出
点一次函数解析式；（2）根据图象和函数解析式得出即可．
8．已知抛物线与轴的两个交点间的距离为2．
（1）若此抛物线的对称轴为直线，请判断点（3,3）是否在此抛物线上？
（2）若此抛物线的顶点为（S， t ），请证明；
（3）当时，求的取值范围
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的两个交点间的距离
为 2，可得抛物线与轴的两个交点为（0， 0）和（ 2， 0），
所以抛物线的解析式为与
当时，
所以点（ 3,3）在此抛物线上.
（ 2）解：抛物线的顶点为
间的距离为2，
可得抛物线与轴的两个交点为（，则对称轴为直线
，， 0 ）和（
，且抛物线与
， 0）
轴的两个交点
所以抛物线的解析式为与
由得
所以；
（3）解：由（ 2）知即整理得
由对称轴为直线，且二次项系数
可知当时，b的随a的增大而增大
当 a=10 时，得
当 a=20 时，得
所以当时，
【解析】【分析】（ 1）根据已知条件得出两个交点坐标，利用待定系数法求出解析式，然
后验证点（ 3,3）是否在这条抛物线上即可；（2）先确定对称轴为直线，再得出与x 轴的两交点坐标为（， 0）和（，0），再利用待定系数法求出解析式的顶点
式可得解；（ 3）把 t=-1 代入顶点坐标公式，得到二次函数解析式，根据函数的增减性分别计算a=10 和 20 时 b 的值从而得解 .
9．已知，抛物线的图象经过点，．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）如图1，是抛物线对称轴上一点，连接，，试求出当的值最小时点的坐标；
（ 3）如图2，是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标．
【答案】（ 1）解：将，的坐标分别代入．
得
解这个方程组，得，
所以，抛物线的解析式为
（2）解：如图1，由于点、关于轴对称，所以连接，直线与轴的交点即为所求的点，
由，令，得，
解得，，
点的坐标为，
又，
易得直线的解析式为：．
当时，，
点坐标
（3）解：设点的坐标为，
所以所在的直线方程为．那么，与直线的交点坐标为，与抛物线的交点坐标为．
由题意，得
①，即，
解这个方程，得或（舍去）．
②，即，
解这个方程，得或（舍去），
综上所述，点的坐标为，或，．
【解析】【分析】（ 1）将点、的坐标代入可得出、的值，继而得出这个抛物线的
解析式；（ 2）由于点、关于轴对称，所以连接，直线与轴的交点即为所求
的点，利用待定系数法确定直线的解析式，然后求得该直线与轴的交点坐标即可；（ 3 ）如图2，交于，设，根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特
征，设点的坐标为，，．
然后分类讨论：分别利用或，列关于的方程，然后分别解关于的方程，从而得到点坐标
10．如图，抛物线与轴交于两点(在的左侧)，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称.
（1）求抛物线的解析式及点的坐标 :
（2）点是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时，求出点的坐标 ;
（3）点在轴上，且，请直接写出点的坐标 .
【答案】（ 1）解：根据题意得，
解得
抛物线的解析式为
抛物线的对称轴为直线
点与点关于抛物线的对称轴对称
点的坐标为
（2）解：连接
点与点关于抛物线的对称轴对称.
为定值，
即由当的值最小
三点在同一直线上时
解得，
的周长最小
在由当
的左侧，
两点坐标可求得直线
时，
的解析式为
当的周长最小时，点的坐标为
（3）解：点坐标为或
【解析】【分析】（ 1）利用待定系数法即可求出n，利用对称性C、 D 关于对称轴对称即可求出点 D 坐标 .（ 2） A， P， D 三点在同一直线上时△ PAC的周长最小，求出直线AD 的解析式即可解决问题.（3）分两种情形① 作DQ∥AC交x轴于点Q，此时∠ DQA=∠DAC，满足条件 . ②设线段AD 的垂直平分线交AC 于 E，直线DE 与x 的交点为Q′，此时∠Q′ DA= ′，CAD满足条件，分别求解即可.
11．已知函数
（1）判断该函数的图象与轴的交点个数．
（2）若，求出函数值在时的取值范围．
（3）若方程在内有且只有一个解，直接写出的范围．
【答案】（ 1）解：△，当时，图象与轴只有一个交点，当时，图象与轴有两个交点
（2）解：时，，
当时，函数有最小值，
当时，，
故：
（3）解：若方程在内有且只有一个解，
即为和函数只有一个交点，
函数，与轴的交点为：，函数的顶点坐标为：，故在时，
和函数只有一个交点时，或
【解析】【分析】（ 1 ）△，即可求解；（ 2）时，，当时，函数有最小值，当时，，即可求解；（ 3 ）若方程在
内有且只有一个解，即为和函数只有一个交点，即可求解
12．综合与探究
如图，抛物线的图象经过坐标原点O，且与轴的另一交点为(，0).
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线与抛物线相交于点 A 和点 B(点 A 在第二象限 )，设点 A′是点 A 关于原点 O 的对称点，连接A′B，试判断AA′B的形状，并说明理由；
（3）在问题 (2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A， B， A′，P 为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（ 1）解：∵抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点（0，0）和 (， 0)，
∴，
解得：；
∴.
（2）解：AA′B是等边三角形；
∵，
解得：，
∴A()， B()，
过点 A 分别作 AC⊥轴，AD⊥ A′B，垂足分别为C， D，
∴A C= ，OC= ，在 Rt
AOC中
OA=，
∵点 A′与点 A 关于原点对称，
∴A′ ()， AA′ =，
∵B()，
∴A′ B=2-(- )=，
又∵ A()， B()，
∴A D= ，BD= ，在 Rt
ABD中
AB=，
∴AA′ =A ′，B=AB
∴Δ AA′B是等边三角形
（3）解：存在正确的点 P，且以点 A、 B、 A′、 P 为顶点的菱形分三种情况；设点 P 的坐标为：（ x，y）．
①当 A′B为对角线时，有，
解得：，
∴点 P为：；
②当 AB 为对角线时，有，
解得：，
∴点 P为：；