高等数学(下)期末考试试卷(A)

高等数学A-2 试题（A ）卷（闭）

学年第 二 学期 使用班级 级

学院 班级 学号 姓名

1、交换积分次序_____________________),(),(230

3

1

1

2

=+⎰

⎰⎰

⎰-x x dy y x f dx dy y x f dx 。

2、xy

e

z sin =，则__________________=dz 。

3、设2

2

2

2

:R z y x S =++，则

__________2=⎰⎰ds x S

。 4、设某二阶常系数齐次线性微分方程以x x

e C e

C y 321+=-为通解，则该二阶常系数齐次线性微

分方程为________________

。

二、选择题（本题共3小题，每小题3分，满分9分，每小题给出四个选项，把正确答案填在题后的括号内）

1、设常数0>k ，则级数

2

1

)1(n

n

k n n

+-∑∞

= [ ] )(A 绝对收敛； )(B 条件收敛； )(C 发散； )(D 敛散性与k 的取值有关。

2、函数()22

22

22,0,0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在原点)0,0(处 [ ]

)(A 连续，偏导数存在； )(B 连续，但偏导数不存在； )(C 不连续，但偏导数存在； )(D 不连续，偏导数也不存在。

3、设2

2

2

2

:R z y x V ≤++，则

dv z y x V

⎰⎰⎰

++222为 [ ]

32)(4R A π； 4)(R B π； 3

4)(4R C π； 42)(R D π。

三、计算（每小题6分，共30分）

1、设)()(1

y x yg xy f x

z ++=，其中g f ,具有二阶连续的导数，求y x z ∂∂∂2。

2、计算⎰⎰

++=D

dxdy y y x I )2(2

2，其中D 是由圆x y x 222=+围成的平面区域。 3、求

⎰

+++-L

x x dy y y e dx x y y e )cos ()sin (，其中L 为圆周22x ax y -=上从点)

0,2(a A 到点)0,0(O 的一段弧。

4、求曲面3=+-xy z e z

在点)0,1,2(处的切平面及法线方程。

5、求幂级数n

n x n n ∑∞

=+1

21的收敛域与和函数。

四、解答下列各题（本题共4小题，每小题每题6分，共24分） 1、设函数),(y x z z =由0),(=++x z y y z x F 确定，求x

z ∂∂。

2、求函数2e y

z x =在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点(2,1)Q -的方向的方向导数。

3、设)(x y y =满足方程x e y y y 223=+'-''，且其图形在点)1,0(与曲线12+-=x x y 相

切，求函数)(x y 。

4、将函数)11()(≤≤-=x x x f 展开成以2为周期的傅立叶级数。

五、（本题满分8分）求函数22

1216z x y x y =+-+在区域22

25x y +≤上的最大值与最小值。

六、（本题满分9分）已知曲线积分dy x ydx x e L

x

)()](2[ϕϕ-+⎰

与路径无关，且0)0(=ϕ。

（1）求)(x ϕ； （2）计算dy x ydx x e x )()](2[)

1,1()

0,0(ϕϕ-+⎰

的值。

七、（本题满分8分）计算⎰⎰

∑

++++2

222)(z y x dxdy

a z axdydz ，其中∑为下半球面2

22y x a z ---=的下侧，a 为大于零的常数。

高等数学（下）期末试卷（A ）

参考答案

一、填空题： 1、

⎰

⎰

-y y

dx y x f dy 231

),(； 2、)(cos sin xdy ydx xy e xy +；

3、3

44R π； 4、032=-'-''y y y 。

二、选择题：

1、B ；

2、C ；

3、B 三、计算： 1、解：

)()()(12y x g y xy f x y

xy f x x z +'+'+-=∂∂ （3分） )()()(2y x g y y x g xy f y y

x z

+''++'+''=∂∂∂。 （3分） 2、解： 根据对称性，

⎰⎰⎰⎰+=++D

D

d y x d y y x σσ)()2(2222， （2分） 作极坐标变换⎩⎨

⎧==θ

θsin cos r y r x ，则θπ

θπcos 20,22≤≤≤≤-r ， （2分）

原式420

422

4

cos 20

3

22

8cos 8cos 4I d d dr r d ⨯====

⎰⎰⎰

⎰-

-π

π

πθ

π

πθθθθθ

2

3221438π

π=

⨯⨯⨯= 。 （2分） 3、解：

添加直线段OA L :1，则 原式dy y y e dx x y y e x x L L L )cos ()sin )((

1

1

+++--=⎰

⎰

+ （4分）

2220

22

a a xdx dxdy a D

-=

-=⎰⎰⎰π

。 （2分）

4、 解：

3),,(-+-=xy z e z y x F z ,则

1,,-===z

z y x e F x F y F ，(2,1,0)

{,,1}

{1,2,0}z n y x e =-=r

， （4分）

所以所求切平面为 (2)2(1)0,240x y x y -+-=+-=即 。 （1分）

所求的法线方程为 0

2112-=

-=-z y x 。 （1分） 5、解： 因为, 1||

lim 1

=+∞

→n

n n a a 所以幂级数的收敛半径为1=R ，