有理数与无理数
2.2 有理数与无理数
一、教学目标
（一）教学知识点：
1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．
2．能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由．
（二）能力训练要求：
1．让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的现实性和合理性，培养学生的动手操作能力和合作精神．
2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力．
（三）情感与价值观要求：
1．激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情．
2．引导学生充分进行交流、讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神．
3．了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神．
二、教学重点、难点
（一） 教学重点：
1．让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数．
2．有理数与无理数概念的理解．
（二）学习难点：
无理数概念的理解．
三、教具准备
两个边长为1的正方形，剪刀．
四、教学过程
课前活动：你能把23 化成小数吗？45 呢？19 呢？
（一）创设问题情境，引入新课：
老师：随着年龄的增长、学习的深入，我们对数的认识也在不断地更新，请同学们回忆一下，到目前为止，我们已经认识了哪些数？（举一个具体的例子）
学生：（学生可能说出的数）自然数、整数、分数、正整数、负整数、正分数、负分数、小数、有限小数、无限循环小数、无限不循环小数、偶数、奇数、质数、合数、正数、负数……
（大胆地让学生说，一个学生讲完，其他学生补充，教师在黑板上记录）
老师：不得了，我们已经认识这么多数，那么这些数与数之间有什么关系，你能不能帮我整理一下，理出一个思路呢？
比如：整数（板书），你能把属于整数的都找出来吗？
学生：正整数、负整数、0、自然数、素数（质数）、合数、奇数、偶数．
（在开始记录的数的上方编号①）
老师：同样，分数（板书），你能把属于分数的都找出来吗？
学生：正分数、负分数、有限小数、无限循环小数、带分数．（在开始记录的数的上方编号②）
老师：剩下还有一些数，它们是整数吗？是分数吗？
如果学生说到“小数”：首先小数有哪几类？
有限小数可以化为分数（如1.3）；
无限循环小数可以化为分数（如0.333…）；
还有没有其他的小数呢？（学生举例：π或0.3142537…）它是整数吗？是分数吗？那到底是什么数呢？
如果学生说到“无限不循环小数π”，它是整数吗？是分数吗？谁知道π是多少？
3.1415926…（追问：后面呢？后面呢？）课件展示π，尽可能位数多一点，让学生观察特点（无限、不循环）．
这样的数，生活中还有吗？我们来玩一个拼图游戏．
（二）讲授新课：
1．活动：请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形和剪刀，将小正方形沿着图中对角线剪开，设法重新拼成一个大正方形，大家动手试一试．
老师：经过同学们的努力，基本都完成任务了，请一位学生把自己拼的图在黑板上展示．老师：你们知道这个大正方形的面积是多少吗？为什么？
学生：它的面积为2，因为它是由两个面积为1的小正方形拼成的．
老师：你知道了这个图形的面积，对这个正方形，你还想知道它的一些什么信息呢？
学生：边长．
老师：你知道它的边长是多少吗？
如果有学生说出2，先表扬（看来你对数学是很有兴趣的，肯钻研），那么2是什么数呢？若回答1.414…（后面呢？）；若回答无限不循环小数（你怎么知道的呢？）
2．为了便于探究这个问题，我们假设拼成的大正方形的边长为x ，那么22 x ． 探究（1）x 是整数吗？
学生：因为12＝1，22＝4，x 是1和2之间的数，1＜x ＜2，所以x 不可能是整数？
（2）x 是分数吗？
通过EXCEL ，让学生寻找是否有这样的一个分数，它的平方正好是2？
找不到这样的一个分数，它的平方正好是2（直观感受），x 也不是分数．
换个角度：如果x 是分数，那么两个相同的分数相乘，积一定还是分数，不可能是2的．
（3）x 是怎样的数？
1.5×1.5＝
2.25； 1.41×1.41＝1.9881；
1.4×1.4＝1.96； 1.42×1.42＝
2.0164；
1.4＜x ＜1.5； 1.41＜x ＜1.42； 1.414＜x ＜1.415…
探索中，运用逼近的方法，得到1．4＜a ＜1.5，1.41＜a ＜1.42，1.414＜a ＜1.415，……，由此可以看到：a 是一个无限小数，它总介于两个有限小数值之间，但永远找不到这样的一个有限小数等于a ；同时，这些小数都不是循环小数．
按照这种方法探索下去，x 的值是1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 1…
老师：你们发现这个数和π有什么共同点吗？学生：无限、不循环．
3．引出有理数、无理数的定义．
我们把这一类新的数，无限不循环小数，叫做无理数．
而前面我们认识的整数和分数都是有理数．
如果把整数看成是分母为1的分数，那么有理数可以这样来描述：形如m n 的数（m 、n
是整数，n ≠0）．
所以分数都是有理数，随着今后学习的不断深入，我们会知道无理数是不可以用分数表示的，以后可以证明．
4．学习了有理数和无理数两个概念后，下面我写几个数，你们来判断一下，它是有理数还是无理数？
－3、1.1414、2π、0.1010010001…、－0.1010010001…、137 ．
老师：你还能写出一个无理数吗？
（三）关于无理数的历史背景：
第一个发现这样的数的人却被抛进大海，你想知道这其中的故事吗？
小故事：2500年前，当时的数学家毕达哥拉斯认为“宇宙中存在的数都是有理数”，拥护他的人认为毕达哥拉斯是至高无上的，他所说的一切都是真理．但后来有一位年轻学者希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，为此希伯索斯被投入大海．他为真理献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的．后来人们正视了希伯索斯的发现，也就是我们前面谈到的x 2＝2中的x 不是有理数．
我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会停滞不前，要向希伯索斯学习，学习他为追求真理而大无畏的精神．
（四）随堂练习：
例题：把下列各数分别填入相应的大括号内：
－0.5，－6，2.5，0，＋3，－0.333，－1.41421356…，2005，3.141，85%，
0.3030030003…，117 ，6
1.0 ，π 有理数集合：{－0．5， －6，
2.5，0，＋3， －0.333 ，2005，
3.141，85%，117 ，－61.0 …}；
无理数集合：{ －1.41421356…，0.3030030003…，π… }．
讨论：
对于“分数都是有理数”，有同学提出了疑问：
1．甲同学认为不一定，如227 计算器计算显示的结果是3.142857143，好像是无限不循
环小数，是无理数．
2．乙同学也认为不一定，如π7 就是无理数．
你认为他们的说法对吗？
（五）课时小结：
今天这节课你的收获是……（让学生说）
1．能判断一个数是有理数还是无理数．
2．通过拼图活动，让学生感受数不够用了，经历无理数产生的实际背景和引入的必要性．