材料力学答案第六章

第六章答案

第六章弯曲应力

6.1钢丝直径d=0.4mm,弹性模量E=200GPa,若将钢丝弯成直径 D=400mm 的圆弧时，试

求钢丝横截面上的最大弯曲正应力。

（200MPa ）

解：钢丝的弯矩和中性层曲率半径之间的关系为： 则：心旦，由弯曲正应力公式得f 二如=荃，钢丝弯成圆弧后，产生的弯

E

(2) rr —

J —

Ed 3

200 10

0.4 -200MPa

kJ

—

—200 MPa -max

D

D

400

2

6.2矩形截面梁如图所示。 b =

=8cm, h =12cm, 试求危险截面上

(20.8MPa, 10.4MPa, 0) 解：由平衡方程

1

得到：F A 二 F B =丄 2 4 =4KN

2

危险截面在梁的中点处：

1 2 1 2 M max ql

2 4 4KNm 8 8 1

1 I z =

b h 2=

80 1203 =1152 104

12

12

6.3从直径为d 的圆木中截取一矩形截面梁，试根据强度

曲变形，其中性层的曲率半径

D d D

------------ &——

2 2

mm 4

4KN

观点求出所截取的矩形截面的最合理的高

h 和宽b 。

4KNm

a 、c 、d 三点的弯曲正应力。

(h= -d , b=」d)

3 3

机械

解：最大弯曲正应力:

max-max

一y max-

max

土木W z

4KNm

系数：

1 2 1 2 2 1 2 3 W=1bh二b(d _b)=1(db_b)

dW dt d2 -3b2

h/b的最佳值应应使梁的抗弯截面系数为最大。抗弯截面为b为自变量的函数。

6.4图示两根简支梁，其跨度、荷载及截面面积都相同。一个是整体截面梁，另一个是由两 根方木叠置而

成(二方木之间不加任何联

1 3 1 3 8 4

bh 3 150 2003 = 108 mm 4

12 12

再有矩形截面梁的弯曲正应力

弯曲正应力为L.T-10MP a ，许用剪应力为? ‘ = 1MPa , 试求许可荷载

P 。(P=8.1kN )

解：依题给条件，对梁进行受力分析，

由平衡条件，列平衡方程，做出剪力图 和弯矩图如右所示 (1)按木材弯曲正应力强度要求确定许可荷载

F s S ； T = -----------------

I z b ，故 9 =0, a

F S

2

40 103

3 _

_ 2.0 A 2 150 200

MPa

F S S Z

I z b 40 103 5.625 105

108 150

= 1.5 MPa

6.6图示简支梁由三块木板胶合而成， l=1m,胶缝的许用剪应力为

!. l-0.5MPa

木材的许用

系)，试画出沿截面高度的弯曲正应力分布 图，并分别计算梁中的最大弯曲正应力。

2 2 (3ql 3ql )

3

, T~3 丿 16a 8a

解：做出梁的弯矩图如右所示：

(1)对于整体截面梁:

.r i i 1 r 1 I 1 t t (

2

T

------------------------------------------

故：二 max

1

l 2

M max _ 8ql - 3ql 2 "WT z a

3

(2)对于两根方木叠置

由于这是两个相同的方木叠合而成, 且其之间不加任何的联系，故有

6.5某梁的矩形截面如图，弯曲剪力

a 、 40kN ，求截面上 a 、

b 、

c 三点的弯曲剪应力。

(a =2MPa , .b =1.5MPa , ,c =0)

解：从图形上可以看出截面形心在其对称中心 上,

I z

wN

-j

丿丿

i 90

Q y =

有铆钉间距

2Q 产

S f 铆，得每个铆钉承受的剪力为：

铆钉的剪应力：

-16.2 MPa ::-丄90 Mpa 1 2

-3.14 d 2

4

故，校核安全。

6.9半径为r 的圆形截面梁，切掉画阴影线的部分后，反而有可能使抗弯截面模量增大(何 故？)。试求使 W 为极值

的:-，并问这对梁的抗弯刚度有何影响？(

? =78° )

1 1 PI

P 1 M max

=4 4

10

W W 1

2 x 90x120

6 (2 )按木材剪应力强度要求确定许可荷载 max

(3)按胶合面剪应力强度要求确定许可荷载 ?

G

F s

综上所述可知 P=8100N=8.1KN 6.7在图a 中，若以虚线所示的纵向面和横向面从梁中截 出一部分，如图 b 所示，试求在纵向面 abed 上由 dA 组成的内力系的合力，并说明它与什么力平 衡。(Q= 3q (I _x)x ) 4h

解：有剪应力互等定律可知，纵向截面 上剪应力与横向截面上剪应力大小相等， 中性层上剪应力变化规律为： 纵截面abed 上剪应力合力为： 6.8图示梁由两根 36a 工字钢铆接而成。铆钉的间 距为 s=150mm,直径 d = 20mm,许用 剪应力 l.)-90MPa 。梁横截面上的剪力 F s = 40kN 。试校核 铆钉的剪切强度。(=16.2MPa ) 解：查表可得，36 a 工字钢的惯性矩 2 4

I

= 15800cm ，截面面积丄=76.48cm 截面高度h 二36cm 。组合惯性矩为 4

机械

土木

h 2

一根工字钢的截面对中性轴的静面矩为: S ze =18 76.48 =1380cm 3

铆钉连接处的纵截面上的剪力流:

40 103 1380 10“

81200 10$

=68KN /m

解：切掉阴影部分后剩余的面积，是由 4个相同的直角三角形和 4个相同的扇形面积组成,

一个直角三角形面积对水平直径的惯性矩为： 一个扇型面积对水平直径的惯性矩为：

因为圆截面在中性轴附近聚集了较多的材料而离中性轴远处的材料却较少， 当切掉适当的小

弓形面积后，使之离中性轴远处的材料密集度增大， 因而抗弯截面系数笔增大。剩余面积对 水平直径的惯性矩为:

I

4a-si Ma

x _ 8

y

m a x

4si

HB

1 3

3

W x

3.14 r 3=0 ?785r 3 未切前

4

1

4

4

I x 3.14 r =0.785r

4

比较后可知，切后抗弯截面系数增大，而抗弯刚度降低, 变形能力降彳氐

6.10试求图示梁的最大弯曲正应力和最大弯曲剪应力。

(；：「max "OOMPa ,

.max

=1.05MPa )

6.11图示铸铁梁，材料的许用拉应力 tJ = 40MPa , 许用 压应力 匕

l=100MPa , I z = 5965cm 4 ,

y c =157.5mm 。试校核梁的强度。(；「cmax =：52.8MPa ,

-1 max

=26.4MPa )

W x max = 0.791r 3，

I x = 0.7 7 44

6.12图示一铸铁梁，材料的许用拉应力与许用 压应力之比为lq HrJ-1/3，试求水平翼缘板 的合理宽度 b 。( b=316mm ) 6.13图所示矩形截面悬臂梁， 承受载荷F y 和 F z 作用，且F y = F z = F = 1.0 kN,截面高度h = 80 mm ，宽度b = 40 mm ，许用应力 I" )-160 MPa , a = 800 mm 。试校核梁的 强度。 6.14简支梁受力如图，求梁上最大正应力， 并求跨中点的总挠度。已知弹性模量 E 100GPa 。( cmax = 9.83 MPa , f max = 6mm ) 解：内力 6.15试校核图示梁的强度。已知〔小

11.25KNm

M

机械

土木

1

M

11

.

KNm

15°

M y ,max

z

150

------------------*

t

200

1

1

■ m

r

i

1

c k -

y 2

—一序

I

尹

T 三TOkN

-

F=10kN ：i

1W[

亠1.5m 」

1.5m 」

-K M r 3 4a -si r4a

8si na

抗弯截面系数:

解:

F

s,max

ql

10 3

2

= 15KN 因而使梁的抗断能力提高，抗弯曲

(提示：.max 发生在中性轴上。)

=160MPa 。( (max = 140 MPa ) 60 6.16试求图示具有切槽杆的最大正应力。 （^nax = 14o MPa ）—4------------------------- 力 面 M M F=144kN

if 120 "

F

F=144kN F=1kN 支折线梁受力如图，横截面为 25cm*25cm （（max = 3.72 Mpa （压应力）（在 / 1oy

才5 法：

10 J

I

/

6.1 F=8KN ,求梁上的最大正应力。 为弯 解： 由截 内 的正方形， F

B 截面）） 解：本题为弯曲和拉压组合问题: 1）约束力 1）内力 F C