特征值与特征向量定义与计算

特征值与特征向量

特征值与特征向量的概念及其计算

定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，

称为A的特征多项式，记ƒ(λ)=| λE-A|，是一个P上的关于λ

的n次多项式，E是单位矩阵。

ƒ(λ)=| λE-A|=λn+α1λn-1+…+αn= 0是一个n次代数方程，称为A 的特征方程。特征方程ƒ(λ)=| λE-A|=0的根 (如：λ0) 称为A的特征根(或特征值)。 n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

以A的特征值λ0代入 (λE-A)X=θ，得方程组 (λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为 |λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。

一.特征值与特征向量的求法

对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得：

[λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是：

即说明特征根是特征多项式 |λ0E-A| =0的根，由代数基本定理

有n个复根λ1, λ2,…, λn，为A的n个特征根。

当特征根λi (I=1,2,…,n)求出后，(λi E-A)X=θ是齐次方程，λi 均会使 |λi E-A|=0，(λi E-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λi E-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。

例1. 求矩阵的特征值与特征向量。

解：由特征方程

解得A有2重特征值λ1=λ2=-2，有单特征值λ3=4

对于特征值λ1=λ2=-2，解方程组 (-2E-A)x=θ

得同解方程组 x1-x2+x3=0

解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)

分别令自由未知量

得基础解系

所以A的对应于特征值λ1=λ2=-2的全部特征向量为

x=k1ξ1+k2ξ2 (k1,k2不全为零)

可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数≤特征根的重数。

对于特征值λ3=4，方程组 (4E-A)x=θ

得同解方程组为

通解为

令自由未知量 x3=2 得基础解系

所以A的对于特征值λ3=4 得全部特征向量为 x= k3 ξ3例2.求矩阵的特征值与特征向量解：由特征方程

解得A有单特征值λ1=1，有2重特征值λ2=λ3=0

对于λ1=1，解方程组 (E-A) x = θ

得同解方程组为

同解为

令自由未知量 x3=1，得基础解系

所以A的对应于特征值λ1=1的全部特征向量为 x=k1ξ1 (k1≠0)

对于特征值λ2=λ3=0，解方程组 (0E-A)=θ

得同解方程组为

通解为

令自由未知量 x3=1，得基础解系

此处，二重根λ=0 的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数<特征根的重数，这种情况下，矩阵A是亏损的。

所以A的对应于特征值λ2=λ3=0 得全部特征向量为 x=k2ξ3

例3．矩阵的特征值与特征向量

解：由特征方程

解得A的特征值为λ1=1, λ2=i, λ3=-i

对于特征值λ1=1，解方程组 (E-A)=θ，由

得通解为

令自由未知量 x1=1，得基础解系ξ1=(1,0,0)T，所以A的对应于特征值λ1=1得全部特征向量为 x=k1ξ1

对于特征值λ2=i，解方程组 (iE-A)=θ

得同解方程组为

通解为

令自由未知量 x3=1，得基础解系ξ2=(0,i,1)T，所以A对应于特征值λ2=1的全部特征向量为 x=k2ξ2 (k2≠0)。

对于特征值λ3=-i，解方程组 (-E-A)x=θ，由

得同解方程组为

通解为

令自由未知量 x3=1，，得基础解系ξ3=(0,-i,1)T，所以A的对应于λ3=-i的全部特征向量为 x=k3ξ3。特征根为复数时，特征向量的分量也有复数出现。

特征向量只能属于一个特征值。而特征值λi的特征向量却有无穷多个，他们都是齐次线性方程组 (λi E-A)x=θ的非0解。其中，方程组(λi E-A)x=θ的基础解系就是属于特征值λi的线性无关的特征向量。

性质1. n阶方阵A=(a ij)的所有特征根为λ1，λ2，…, λn(包括重根)，则

证第二个式子：

由伟达定理，λ1λ2…λn=(-1)nαn

又 |λE-A|=λn+α1λn -1+…+αn-1λ1+αn中用λ=0 代入二边，得：|-A|=αn，而 |A|=(-1)nαn= λ1λ2…λn，

性质2. 若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则是A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

证：

可见是A-1的一个特征根。

其中λ≠0，这是因为0不会为可逆阵的特征根，不然，若λi=0, |A|= λ1λ2…λn=0，A奇异，与A可逆矛盾。

性质3. 若λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则

λm是A m的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

证：1) Ax=λx，二边左乘A，得：A2x=Aλx=λAx=λλx=λ2x，

可见λ2 是 A2 的特征根；

2) 若λm 是 A m 的一个特征根，A m x= λm x，

二边左乘A，得：A m+1x=AA m x=Aλm x=λm Ax=λmλx=λm+1x，

得λm+1是A m+1的特征根

用归纳法证明了λm 是 A m 的一个特征根。

性质4. 设λ1，λ2，…, λm是方阵A的互不相同的特征值。x j是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则 x1,x2,…,x m线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系，因而是一个很重要的结论。

性质4可推广为：设λ1，λ2，…, λm为方阵A的互不相同的特征值，x11,x12,…,x1,k1是属于λ1的线性无关特征向量，……，

x m1,x m2,…,x m,k1是属于λm 的线性无关特征向量。则向量组

x11,x12,…,x1,k1,…, x m1,x m2,…,x m,k1也是线性无关的。即对于互不相同特征值，取他们各自的线性无关的特征向量，则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。