2013高考数学教案和学案(有答案)--第2章__学案5

合集下载

2013年高考数学二轮复习学案：专题2函数的性质及应用试题和解析(II)

2013年高考数学二轮复习学案：专题2函数的性质及应用试题和解析（II ）高考中考查函数性质的形式不一，时而填空题，时而解答题，时而与其他章节综合，在解决问题的某一步骤中出现.在二轮复习中要注重知识点之间的联系，同时还要注意结合函数图象解决问题.,此外，函数的对称性、周期性常与函数的奇偶性、单调性综合起来考查；函数的零点问题是近年来新增的一个考点，也要引起足够的重视.1．已知函数F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.解析：由题意知F (－x )＝－F (x )，即f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12－1＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝2.[来源:学科网]令t ＝x ＋12，则f (t )＋f (1－t )＝2.分别令t ＝0，1n ，2n ，…，n －1n ，n n ，得f (0)＋f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＝ (2)∵a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)， ∴由倒序相加法得2a n ＝2(n ＋1)，故a n ＝n ＋1. 答案：n ＋12．(2012·徐州期末)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题 ①当c ＝0，y ＝f (x )是奇函数；②当b ＝0，c <0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ③y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称； ④方程f (x )＝0至多有两个实数根．其中命题正确的是________．解析：当c ＝0时f (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，①正确；当b ＝0，c <0时由f (x )＝0得x |x |＋c ＝0，只有一个正根，②正确；若P (x ，y )是y ＝f (x )图象上的任意一点，则f (－x )＝－x |x |－bx ＋c ＝2c －(x |x |＋bx ＋c )＝2c －y ，即P ′(－x,2c －y )也在y ＝f (x )的图象上，③正确；④不正确，如b ＝－2，c ＝0时，f (x )＝0有3个实数根．答案：①②③3．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )．给出下列命题： ①f (x )必是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图象必关于直线x ＝1对称； ③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④f (x )有最大值|a 2－b |. 其中正确的序号是________．解析：①显然是错的；②由于函数加了绝对值，所以对于一个函数值可能对应的x 值有4个，故不一定得到对称轴是x ＝1；由于a 2－4≤0时，f (x )＝x 2－2ax ＋b ，故③正确；④结合函数图象，可以判定函数无最大值．答案：③4．(2012·淮阴联考)给出下列四个结论：①函数y ＝k ·3x (k 为非零常数)的图象可由函数y ＝3x 的图象经过平移得到； ②不等式⎪⎪⎪⎪ax －1x >a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，＋∞； ③定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)·f (x )＝－1，则f (x )是周期函数；④已知f (x )满足对x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝7. 其中正确结论的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 解析：由|k |·3x ＝3x ＋log 3|k |(k ≠0)知①正确；由2∉M 得⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ，即a ≥14，故②不正确；由f (x ＋1)＝－1f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，故③正确；由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2得f (x )＋f (1－x )＝2且f ⎝⎛⎭⎫12＝1，故f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝7正确．答案：①③④5．给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎣⎡⎦⎤0，12； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k2(k ∈Z )对称；③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期是1； ④函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上是增函数．则其中真命题是________．解析：由m －12＜x ≤m ＋12解得－12≤x －m ≤12，故命题①正确；由f (k －x )＝|k －x －{k －x }|＝|k －x －(k－{x })|＝|－x ＋{x }|＝f (x )知②正确，④不正确；同理③正确．答案：①②③[典例1](2012·泰兴中学调研)设n 为正整数，规定：f n (x )＝f {f […f (x )]}n 个f ，已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1， 1＜x ≤2.(1)解不等式f (x )≤x ；(2)设集合A ＝{0,1,2}，对任意x ∈A ，证明：f 3(x )＝x ； (3)探求f 2 012⎝⎛⎭⎫89；(4)若集合B ＝{x |f 12(x )＝x ，x ∈[0,2]}，证明：B 中至少包含有8个元素． [解] (1)①当0≤x ≤1时，由2(1－x )≤x 得， x ≥23.∴23≤x ≤1. ②当1＜x ≤2时，∵x －1≤x 恒成立，∴1＜x ≤2.由①，②得，f (x )≤x 的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫23≤x ≤2. (2)证明：∵f (0)＝2，f (1)＝0，f (2)＝1， ∴当x ＝0时，f 3(0)＝f (f (f (0)))＝f (f (2))＝f (1)＝0；当x ＝1时，f 3(1)＝f (f (f (1)))＝f (f (0))＝f (2)＝1；当x ＝2时，f 3(2)＝f (f (f (2)))＝f (f (1))＝f (0)＝2.[来源:学科网ZXXK] 即对任意x ∈A ，恒有f 3(x )＝x . (3)f 1⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫89＝2⎝⎛⎭⎫1－89＝29， f 2⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫29＝149， f 3⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 2⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫149＝149－1＝59， f 4⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 3⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫59＝2⎝⎛⎭⎫1－59＝89. 一般地，f 4k ＋r ⎝⎛⎭⎫89＝f r ⎝⎛⎭⎫89(k ∈N ，r ∈N *)． ∴f 2 012⎝⎛⎭⎫89＝f 4⎝⎛⎭⎫89＝89.(4)由(1)知，f ⎝⎛⎭⎫23＝23，∴f n ⎝⎛⎭⎫23＝23.则f 12⎝⎛⎭⎫23＝23.∴23∈B .[来源:学#科#网Z#X#X#K] 由(2)知，对x ＝0，或1，或2，恒有f 3(x )＝x ， ∴f 12(x )＝f 4×3(x )＝x .[来源:学+科+网] 则0,1,2∈B .由(3)知，对x ＝89，29，149，59，恒有f 12(x )＝f 4×3(x )＝x ， ∴89，29，149，59∈B . 综上所述23，0,1,2，89，29，149，59∈B .∴B 中至少含有8个元素．本题给出新定义内容，第一问就是解不等式，第二问实际就是对定义的认识直接套用，第三问就需要对定义进行更深一步的认识，探究函数值之间存在的规律．[演练1]对于定义在D 上的函数y ＝f (x )，若同时满足(1)存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得任取x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c (c 是常数)； (2)对于D 内任意x 2，当x 2∉[a ，b ]时总有f (x 2)>c . 称f (x )为“平底型”函数．判断f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|，f 2(x )＝x ＋|x －2|是否是“平底型”函数？简要说明理由．解：f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|是“平底型”函数，[来源:学,科,网Z,X,X,K] 存在区间[1,2]使得x ∈[1,2]时，f (x )＝1，当x <1和x >2时，f (x )>1恒成立； f 2(x )＝x ＋|x －2|不是“平底型”函数，不存在[a ，b ]⊆R 使得任取x ∈[a ，b ]，都有f (x )＝常数． [典例2](2012·南京一模)对于函数f (x )，若存在实数对(a ，b )，使得等式f (a ＋x )·f (a －x )＝b 对定义域中的每一个x 都成立，则称函数f (x )是“(a ，b )型函数”．(1)判断函数f (x )＝4x 是否为“(a ，b )型函数”，并说明理由；(2)已知函数g (x )是“(1,4)型函数”，当x ∈[0,2]时，都有1≤g (x )≤3成立，且当x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2－m (x －1)＋1(m >0)，试求m 的取值范围．[解] (1)函数f (x )＝4x 是“(a ，b )型函数”，因为由f (a ＋x )·f (a －x )＝b ，得16a ＝b ，所以存在这样的实数对，如a ＝1，b ＝16. (2)由题意得，g (1＋x )·g (1－x )＝4，所以当x ∈[1,2]时，g (x )＝4g (2－x )，其中2－x ∈[0,1]．而x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2＋m (1－x )＋1＝x 2－mx ＋m ＋1>0，且其对称轴方程为x ＝m2.①当m2>1，即m >2时，g (x )在[0,1]上的值域为[g (1)，g (0)]，即[2，m ＋1]．则g (x )在[0,2]上的值域为[2，m ＋1]∪⎣⎡⎦⎤4m ＋1，2＝⎣⎡⎦⎤4m ＋1，m ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤3，4m ＋1≥1，此时无解；②当12≤m 2≤1，即1≤m ≤2时，g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫m 2，g (0)，即⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，m ＋1，所以g (x )在[0,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，m ＋1∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m ＋1，4m ＋1－m 24，由题意得⎩⎨⎧4m ＋1－m24≤3，m ＋1≤3，且⎩⎨⎧m ＋1－m 24≥1，4m ＋1≥1，解得1≤m ≤2；③当0＜m 2≤12，即0＜m ≤1时，g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫m 2，g (1)，即⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，2，则g (x )在[0,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，4m ＋1－m 24 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋1－m 24，4m ＋1－m 24，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1－m 24≥1，4m ＋1－m24≤3，解得2－263≤m ≤1.综上所述，所求m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2－263，2.本题主要考查函数的综合性质，分类讨论思想，第一问比较容易，好入手，第二问转化有点困难，应先把函数在[1,2]上的解析式求出来，然后求值域并转化为子集关系解题．求值域实质就是二次函数中轴动区间定的类型，并且同时研究两个二次函数，要进行比较．[演练2](2012·金陵中学期末)已知函数f (x )的图象在[a ，b ]上连续不断，定义： f 1(x )＝min{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])， f 2(x )＝max{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])．其中，min{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最小值，max{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最大值．若存在最小正整数k ，使得f 2(x )－f 1(x )≤k (x －a )对任意的x ∈[a ，b ]成立，则称函数为区间[a ，b ]上的“k 阶收缩函数”．(1)若f (x )＝cos x ，x ∈[0，π]，试写出f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)已知函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,4]，试判断f (x )是否为[－1,4]上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出相应的k ；如果不是，请说明理由；(3)已知b >0，函数f (x )＝－x 3＋3x 2是[0，b ]上的2阶收缩函数，求b 的取值范围．解：(1)f 1(x )＝cos x ，x ∈[0，π]，f 2(x )＝1，x ∈[0，π]．(2)∵f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[－1，0)，0，x ∈[0，4]，f 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[－1，1)，x 2，x ∈[1，4]，∴f 2(x )－f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0)，1，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，4].当x ∈[－1,0]时，1－x 2≤k (x ＋1)， ∴k ≥1－x ，即k ≥2；当x ∈(0,1)时，1≤k (x ＋1)，∴k ≥1x ＋1，即k ≥1；当x ∈[1,4]时，x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥x 2x ＋1，即k ≥165.综上，存在k ＝4，使得f (x )是[－1,4]上的4阶收缩函数． (3)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)，∴在(0,2)上f ′(x )>0，f (x )递增，在(2，＋∞)上f ′(x )<0，f (x )递减． ①当0<b ≤2时，f (x )在[0，b ]上递增， ∴f 2(x )＝f (x )＝－x 3＋3x 2，f 1(x )＝f (0)＝0. ∵f (x )＝－x 3＋3x 2是[0，b ]上的2阶收缩函数， ∴(ⅰ)f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)对x ∈[0，b ]恒成立，即－x 3＋3x 2≤2x 对x ∈[0，b ]恒成立，即0≤x ≤1或x ≥2.∴0＜b ≤1.(ⅱ)存在x ∈[0，b ]，使得f 2(x )－f 1(x )>(x －0)成立．即存在x ∈[0，b ]，使得x (x 2－3x ＋1)<0成立．即x <0或3－52<x <3＋52，∴只需b >3－52.综上3－52<b ≤1.②当2＜b ≤3时，f (x )在[0,2]上递增，在[2，b ]上递减， ∴f 2(x )＝f (2)＝4，f 1(x )＝f (0)＝0， f 2(x )－f 1(x )＝4，x －0＝x .∴当x ＝0时，f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)不成立． ③当b >3时，f (x )在[0,2]上递增，在[2，b ]上递减， ∴f 2(x )＝f (2)＝4，f 1(x )＝f (b )<0， f 2(x )－f 1(x )＝4－f (b )>4，x －0＝x .∴当x ＝0时，f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)也不成立．综上3－52＜b ≤1.[典例3](2012·栟茶模拟)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)． (1)当a >1时，求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围． [解] (1)证明：f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)·ln a ，由于a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，ln a >0，a x －1>0，所以f ′(x )>0.故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)当a >0，a ≠1时，因为f ′(0)＝0，且f ′(x )在R 上单调递增，故f ′(x )＝0有惟一解x ＝0.所以x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：x (－∞，0)0 (0，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )递减极小值递增又函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，所以方程 f (x )＝t ±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝(f (x ))min ＝f (0)＝1，解得t ＝2.(3)因为存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1,1]时，|f (x )max －f (x )min |＝f (x )max－f (x )min ≥e －1.由(2)知，f (x )在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (0)＝1，[来源:学科网ZXXK] f (x )max ＝max{f (－1)，f (1)}．而f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ，记g (t )＝t －1t－2ln t (t >0)，因为g ′(t )＝1＋1t 2－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t －12≥0(当且仅当t ＝1时取等号)，所以g (t )＝t －1t －2ln t 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g (1)＝0，所以当t >1时，g (t )>0；当0<t <1时，g (t )<0，也就是当a >1时，f (1)>f (－1)；当0<a <1时，f (1)<f (－1)． ①当a >1时，由f (1)－f (0)≥e －1 ⇒a －ln a ≥e －1⇒a ≥e ，②当0<a <1时，由f (－1)－f (0)≥e －1 ⇒1a ＋ln a ≥e －1⇒0＜a ≤1e，综上知，所求a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)．本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，一二两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第三问要将“若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1”转化成|f (x )max －f (x )min |＝f (x )max －f (x )min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．[演练3](2012·无锡期中)已知二次函数g (x )对任意实数x 都满足g (x －1)＋g (1－x )＝x 2－2x －1，且g (1)＝－1.令f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋m ln x ＋98(m ∈R ，x >0)． (1)求g (x )的表达式；(2)若∃x >0使f (x )≤0成立，求实数m 的取值范围； (3)设1＜m ≤e ，H (x )＝f (x )－(m ＋1)x ，证明：对∀x 1，x 2∈[1，m ]，恒有|H (x 1)－H (x 2)|<1. 解：(1)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c ，于是g (x －1)＋g (1－x )＝2a (x －1)2＋2c ＝(x －1)2－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，c ＝－1.又g (1)＝－1，则b ＝－12.所以g (x )＝12x 2－12x －1.(2)f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋m ln x ＋98 ＝12x 2＋m ln x (m ∈R ，x >0)．当m >0时，由对数函数性质，f (x )的值域为R ；当m ＝0时，f (x )＝x 22>0对∀x >0，f (x )>0恒成立；当m <0时，由f ′(x )＝x ＋mx＝0⇒x ＝－m ，列表：x (0，－m )－m (－m ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )减极小值增这时，f (x )min ＝f (－m )＝－m2＋m ln －m .f (x )min >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋m ln －m >0，m <0⇒－e<m <0.所以若∀x >0，f (x )>0恒成立，则实数m 的取值范围是(－e,0]．故∃x >0，使f (x )≤0成立，实数m 的取值范围(－∞，－e]∪(0，＋∞)．(3)证明：因为对∀x ∈[1，m ]，H ′(x )＝(x －1)(x －m )x ≤0，所以H (x )在[1，m ]内单调递减．于是|H (x 1)－H (x 2)|≤H (1)－H (m )＝12m 2－m ln m －12.|H (x 1)－H (x 2)|<1⇔12m 2－m ln m －12<1⇔12m －ln m －32m<0. 记h (m )＝12m －ln m －32m (1＜m ≤e)，则h ′(m )＝12－1m ＋32m 2＝32⎝⎛⎭⎫1m －132＋13>0，所以函数h (m )＝12m －ln m －32m 在(1，e]上是单调增函数．所以h (m )≤h (e)＝e 2－1－32e ＝(e －3)(e ＋1)2e <0，故命题成立．[专题技法归纳](1)对复杂函数的对称性应注意利用最根本的定义解决，奇偶性只是对称性中最特殊的一种． (2)对于形如：∀x 1，x 2∈[1，m ]，恒有|H (x 1)－H (x 2)|<1的问题，要注意转化成最值问题处理．同时在利用导数的正负探究函数的单调性时，为判断导函数的正负，有时还需要设计成研究导函数的最值问题．1．定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg|x －2||，x ≠2，1， x ＝2，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，求f (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝________.解析：作出函数f (x )的图象可以得到x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝9.f (9)＝|lg 7|＝lg 7. 答案：lg 72．若函数f (x )满足：f (x ＋3)＝f (5－x )且方程f (x )＝0恰有5个不同实根，求这些实根之和为________．解析：由题意可得到图象关于x ＝4对称，所以和为20. 答案：203．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，则b ＋c 的最大值是________．解析：由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在区间[－1,2]上满足f ′(x )≤0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2b －c －3≥0，4b ＋c ＋12≤0，此问题相当于在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥0，4b ＋c ＋12≤0，下求目标函数z ＝b ＋c 的最大值．作出可行域(图略)，由图可知，当直线l ：b ＋c ＝z 过2b －c －3＝0与4b ＋c ＋12＝0的交点M ⎝⎛⎭⎫－32，－6时，z 最大，∴z max ＝－32－6＝－152. 答案：－1524．某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别给出下面几个结论： ①等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立； ②函数f (x )的值域为(－1,1)； ③若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)； ④函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点．其中正确结论的序号有________(请将你认为正确的结论的序号都填上) 解析：①显然正确；由|f (x )|＝|x |1＋|x |<1＋|x |1＋|x |＝1知②正确；可以证明f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，故③正确；由f (x )－x ＝0得x1＋|x |＝x ，此方程只有一根x ＝0，故④不正确．答案：①②③5．若关于x 的方程x 2＝2－|x －t |至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是________．解析：方程等价于|x －t |＝2－x 2，结合y ＝|x －t |与y ＝2－x 2图象，如图，找出两边临界值，可得－94≤t ＜2.答案：⎣⎡⎭⎫－94，2 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：f (x )＝2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f (x )＝(x －1)3(x <2)单调递增且值域为(－∞，1)，f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)7．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b ，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程为f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析：由定义运算“*”可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)，2x －1≤x －1，(x －1)2－(2x －1)(x －1)，2x －1>x －1，＝⎩⎨⎧2⎝⎛⎭⎫x －142－18，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x >0，画出该函数图象可知满足条件的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0.答案：⎝⎛⎭⎪⎫1－316，08．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝________.解析：由f (x ＋6)＝f (x )，可知函数的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝335＋3＝338.答案：3389．(2012·南师附中)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2，对于任意x ∈[t －2，t ]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是________．解析：f (x ＋t )≥2f (x )等价于f (x ＋t )≥f (2x )根据奇偶性得到函数在定义域上是单调递减函数，所以x ＋t ≤2x 恒成立，解得t ≤－ 2.答案：(－∞，－ 2 ]10．(2012·北京高考)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0.则m 的取值范围是________．解析：当x ＜1时，g (x )＜0，当x ＞1时，g (x )＞0，当x ＝1时，g (x )＝0.m ＝0不符合要求；当m ＞0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m ＞0时，不符合第①条的要求；当m ＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m ＜－(m ＋3)，2m ＜－4，－(m ＋3)＜1或者⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－(m ＋3)＜2m ，2m ＜1，－(m ＋3)＜－4，解第一个不等式组得－4＜m ＜－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案：(－4，－2 )11．(2012·栟茶一模)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，是否存在m ∈R ，使得f (m )＝－a 成立时，f (m ＋3)为正数？若存在，证明你的结论；若不存在，说明理由；(2)若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有2个不等实根，证明必有一个根属于(x 1，x 2)；(3)若f (0)＝0，是否存在b 的值使{x |f (x )＝x }＝{x |f [f (x )]＝x }成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)因为f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，所以a >0且c <0.∵f (1)＝0，∴1是f (x )＝0的一个根，由韦达定理知另一根为ca .[来源:学科网ZXXK]∵a >0且c <0，∴ca <0<1.又a >b >c ，b ＝－a －c ，∴－2<c a <－12.假设存在这样的m ，由题意，则 a ⎝⎛⎭⎫m －c a (m －1)＝－a <0，∴ca <m <1. ∴m ＋3>ca ＋3>－2＋3＝1.∵f (x )在(1，＋∞)单调递增， ∴f (m ＋3)>f (1)＝0，即存在这样的m 使f (m ＋3)>0. (2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x )是二次函数． ∵g (x 1)·g (x 2)＝⎣⎡⎦⎤f (x 1)－f (x 1)＋f (x 2)2⎣⎡⎦⎤f (x 2)－f (x 1)＋f (x 2)2 ＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2≤0，又∵f (x 1)≠f (x 2)，g (x 1)·g (x 2)<0，∴g (x )＝0有两个不等实根，且方程g (x )＝0的根必有一个属于(x 1，x 2)． (3)由f (0)＝0得c ＝0，∴f (x )＝ax 2＋bx . 由f (x )＝x ，得方程ax 2＋(b －1)x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1－b a，又由f [f (x )]＝x 得a [f (x )]2＋bf (x )＝x . ∴a [f (x )－x ＋x ]2＋b [f (x )－x ＋x ]＝x .∴a [f (x )－x ]2＋2ax [f (x )－x ]＋ax 2＋b [f (x )－x ]＋bx －x ＝0. ∴[f (x )－x ][af (x )－ax ＋2ax ＋b ＋1]＝0，即[f (x )－x ][a 2x 2＋a (b ＋1)x ＋b ＋1]＝0. ∴f (x )－x ＝0或a 2x 2＋a (b ＋1)x ＋b ＋1＝0. (*) 由题意(*)式的解为0或1－ba 或无解，当(*)式的解为0时，可解得b ＝－1，经检验符合题意；当(*)式的解为1－ba 时，可解得b ＝3，经检验符合题意；当(*)式无解时，Δ＝a 2(b ＋1)2－4a 2(b ＋1)<0，即a 2(b ＋1)(b －3)<0， ∴－1<b <3.综上可知，当－1≤b ≤3时满足题意． 12．已知函数f 1(x )＝e |x－2a ＋1|，f 2(x )＝e |x－a |＋1，x ∈R ，1≤a ≤6.[来源:学|科|网](1)若a ＝2，求f (x )＝f 1(x )＋f 2(x )在[2,3]上的最小值；(2)若|f 1(x )－f 2(x )|＝f 2(x )－f 1(x )对于任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围；[来源:Z*xx*] (3)求函数g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2－|f 1(x )－f 2(x )|2在[1,6]上的最小值．解：(1)对于a ＝2，x ∈[2,3]，f (x )＝e |x －3|＋e |x－2|＋1＝e 3－x ＋e x －1≥2e 3－x ·e x －1＝2e ，当且仅当e 3－x ＝e x －1，即x ＝2时等号成立，∴f (x )min ＝2e.(2)|f 1(x )－f 2(x )|＝f 2(x )－f 1(x )对于任意的实数x 恒成立，即f 1(x )≤f 2(x )对于任意的实数x 恒成立，亦即e |x－2a ＋1|≤e |x－a |＋1对于任意的实数x 恒成立，∴|x －2a ＋1|≤|x －a |＋1，即|x －2a ＋1|－|x －a |≤1对于任意的实数x 恒成立．又|x －2a ＋1|－|x －a |≤|(x －2a ＋1)－(x －a )|＝|－a ＋1|对于任意的实数x 恒成立，故只需|－a ＋1|≤1，解得0≤a ≤2. 又1≤a ≤6，∴a 的取值范围为1≤a ≤2.(3)g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2－|f 1(x )－f 2(x )|2＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )>f 2(x )，①当1≤a ≤2时，由(2)知f 1(x )≤f 2(x )，g (x )＝f 1(x )＝e |x－2a ＋1|，图象关于直线x ＝2a －1对称，如右图，又此时1≤2a －1≤3，故对x ∈[1,6]，g (x )min ＝f 1(2a －1)＝1.②当2＜a ≤6时，(2a －1)－a ＝a －1>0，故2a －1>a . x ≤a 时，f 1(x )＝e －x ＋(2a －1)>e－x ＋a ＋1＝f 2(x )，g (x )＝f 2(x )＝e |x－a |＋1；x ≥2a －1时，f 1(x )＝e x －(2a －1)<e x－a ＋1＝f 2(x )，g (x )＝f 1(x )＝e |x－2a ＋1|；a <x <2a －1时，由f 1(x )＝e －x ＋(2a －1)≤e x－a ＋1＝f 2(x )，得x ≥3a －22，其中a <3a －22<2a －1，故3a －22≤x ＜2a －1时，g (x )＝f 1(x )＝e |x －2a ＋1|，a <x <3a －22时，g (x )＝f 2(x )＝e |x －a |＋1. 因此，2＜a ≤6时，g (x )＝⎩⎨⎧f 1(x )，x ≥3a －22，f 2(x )，x <3a －22.令f 1(x )＝e |x －2a ＋1|＝e ，得x 1＝2a －2，x 2＝2a ，且3a －22<2a －2，如右图． (ⅰ)当a ≤6≤2a －2，即4≤a ≤6时，g (x )min ＝f 2(a )＝e ；(ⅱ)当2a －2＜6≤2a －1，即72≤a ＜4时，g (x )min ＝f 1(6)＝e |6－2a ＋1|＝e 2a －7；[来源:学科网](ⅲ)当2a －1<6，即2<a <72时，g (x )min ＝f 1(2a －1)＝1，g (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤a <72，e 2a －7，72≤a ＜4，e ，4≤a ≤6.。

2013高考数学教案和学案(有答案)--第5章__学案26

学案26 平面向量的数量积及其应用导学目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．自主梳理 1．向量的夹角(1)已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的________．(2)向量夹角θ的范围是________________，a 与b 同向时，夹角θ＝______；a 与b 反向时，夹角θ＝______.(3)如果向量a 与b 的夹角是________，我们说a 与b 垂直，记作________． 2．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：______________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影． (2)向量数量积的性质：①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝______________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________； ③a·a ＝________或|a |＝________； ④cos〈a ，b 〉＝______________； ⑤|a·b |____|a||b |. 3．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝________；(2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________；(3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝a ·(λb )＝____________＝λa ·b . 4．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝____________；(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔____________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则|a |＝________________， cos 〈a ，b 〉＝_______________.(4)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________，所以|AB →|＝_____________. 自我检测1．(2010·湖南改编)在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →＝________.2．(2010·重庆改编)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝________. 3．已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ＝________.4．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________．5．(2009·天津)若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.探究点一向量的模及夹角问题例1 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |； (3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．变式迁移1 (1)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值为________．(2)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________．探究点二两向量的平行与垂直问题例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长度的3倍(k >0)．(1)求证：a ＋b 与a －b 垂直； (2)用k 表示a ·b ；(3)求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.变式迁移2 (2009·江苏)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .探究点三向量与三角函数的综合应用例3 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 32x ，sin 32x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4.(1)求a·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．变式迁移3 在三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2sin 2A ＋B2＋cos 2C ＝1.(1)求角C 的大小；(2)若向量m ＝(3a ，b )，向量n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，－b 3，m⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝－16.求a 、b 、c 的值．1．一些常见的错误结论：(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若a 2＝b 2，则a ＝b ；(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(4)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(5)|a·b |＝|a |·|b |；(6)(a·b )c ＝a (b·c )；(7)若a·b ＝a·c ，则b ＝c .以上结论都是错误的，应用时要注意． 2．证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有： (1)要证AB ＝CD ，可转化证明AB →2＝CD →2或|AB →|＝|CD →|.(2)要证两线段AB ∥CD ，只要证存在唯一实数λ≠0，使等式AB →＝λCD →成立即可． (3)要证两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →＝0.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为________． 2．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________.3．(2010·湖南改编)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________． 4．(2010·英才苑高考预测)已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为________．5．(2011·南京月考)设a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a·b ＝25，则sin α＝________.6．(2010·广东金山中学高三第二次月考)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．7．已知点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________． 8．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 夹角为3π4，且m·n ＝－1，则向量n ＝__________________.二、解答题(共42分)9．(12分)已知O 为坐标原点且OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在线段OC 上是否存在点M ，使MA →⊥MB →，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．(14分)已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝(cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ)．(1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－k a ＋t b ，满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t的最小值．11．(16分)(2010·济南三模)已知a ＝(1,2sin x )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，1，函数f (x )＝a·b (x ∈R )．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )＝85，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．答案自主梳理1．(1)夹角 (2)[0，π] 0 π (3)π2a⊥b 2.(1)a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉 (2)①|a |cos 〈a ，e 〉 ②a·b＝0 ③|a |2 a·a ④a·b |a||b |⑤≤ 3.(1)b·a (2)a·c ＋b·c (3)λ(a ·b ) 4.(1)a 1b 1＋a 2b 2 (2)a 1b 1＋a 2b 2＝0 (3)a 21＋a 22a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22(4)(x 2－x 1，y 2－y 1)x 2－x 12＋y 2－y 12自我检测 1．16解析因为∠C ＝90°，所以AC →·CB →＝0，所以AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝(AC →)2＋AC →·CB →＝16. 2．22解析 |2a －b |＝2a －b 2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8＝22.3．－12解析由(a ＋λb )·b ＝0得a·b ＋λ|b |2＝0， ∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.4．y 2＝8x (x ≠0)解析由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)．5．－2解析合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，这样利用向量关系式，求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332，12，然后求得MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，52，所以MA →·MB →＝－2.课堂活动区例1 解 (1)∵(2a －3b )(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61，∴a·b ＝－6. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝16＋2×－6＋9＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin∠ABC ＝12×4×3×32＝33.变式迁移1 (1)2 (2)λ<12且λ≠－2解析 (1)∵|a |＝|b |＝1，a·b ＝0，展开(a －c )·(b －c )＝0⇒|c |2＝c·(a ＋b ) ＝|c |·|a ＋b |cos θ，∴|c |＝|a ＋b |cos θ＝2cos θ，∴|c |的最大值是2.(2)∵〈a ，b 〉∈(0，π2)，∴a ·b >0且a ·b 不同向．即|i |2－2λ|j |2>0，∴λ<12.当a ·b 同向时，由a ＝λb (λ>0)得λ＝－2. ∴λ<12且λ≠－2.例2 解题导引 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解 (1)由题意得，|a |＝|b |＝1， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴a ＋b 与a －b 垂直．(2)|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2＋2k a ·b ＋1， (3|a －k b |)2＝3(1＋k 2)－6k a ·b .由条件知，k 2＋2k a ·b ＋1＝3(1＋k 2)－6k a ·b ，从而有，a ·b ＝1＋k 24k (k >0)．(3)由(2)知a ·b ＝1＋k 24k ＝14(k ＋1k )≥12，当k ＝1k时，等号成立，即k ＝±1.∵k >0，∴k ＝1.此时cos θ＝a ·b|a ||b |＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故a ·b 的最小值为12，此时θ＝π3.变式迁移2 (1)解因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c ) ＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2.(2)解由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝s in β＋cos β2＋4cos β－4sin β2＝17－15sin 2β≤42.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为42.(3)证明由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .例3 解题导引与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．解 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32x －sin x 22＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－32.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.变式迁移3 解 (1)∵2sin 2A ＋B2＋cos 2C ＝1，∴cos 2C ＝1－2sin 2A ＋B2＝cos(A ＋B )＝－cos C .∴2cos 2C ＋cos C －1＝0. ∴cos C ＝12或－1.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵m ⊥n ，∴3a 2－b 23＝0，即b 2＝9a 2. ①又(m ＋n )·(－m ＋n )＝－16，∴－8a 2－89b 2＝－16，即a 2＋b 29＝2.②由①②可得a 2＝1，b 2＝9，∴a ＝1，b ＝3. 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，∴c ＝7.课后练习区 1．6解析由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0得2k －12＝0，∴k ＝6. 2．150°解析 ∵S △ABC ＝12|a ||b |sin∠BAC ＝154， ∴sin∠BAC ＝12.又a·b <0， ∴∠BAC 为钝角．∴∠BAC ＝150°.3．120°解析由(2a ＋b )·b ＝0，得2a·b ＝－|b |2.cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－12|b |2|b |2＝－12. ∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°. 4.655解析因为a·b ＝|a|·|b |·cos〈a ，b 〉，所以，a 在b 上的投影为|a |·cos〈a ，b 〉＝a·b|b |＝21－842＋72＝1365＝655. 5.35解析 ∵a·b ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α＝25， ∴1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴sin α＝35. 6．120° 解析设a 与b 的夹角为θ，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ，∴c·a ＝0，即(a ＋b )·a ＝0.∴a 2＋a·b ＝0.又|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos θ＝0.∴cos θ＝－12，θ∈[0°，180°]，即θ＝120°.7．－25解析如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且∠B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45， ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝BC →·CA →＋CA →·AB →＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25. 8．(－1,0)或(0，－1)解析设n ＝(x ，y )，由m·n ＝－1，有x ＋y ＝－1.①由m 与n 夹角为3π4，有m·n ＝|m|·|n |cos 3π4， ∴|n |＝1，则x 2＋y 2＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－1， ∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．9．解设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)，∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．……………………………………(4分)∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115. ∴M 点坐标为(2,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115. 故在线段OC 上存在点M ，使MA →⊥MB →，且点M 的坐标为(2,1)或(225，115)．………(12分) 10．(1)证明 ∵a·b ＝cos(－θ)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin ()－θ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a ⊥b .……………………………………………………(4分)(2)解由x ⊥y 得，x·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，∴－k a 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.………………………………………………………………(8分) 又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0，∴k ＝t 3＋3t .…………………………………………………………(10分) ∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t ＝t 2＋t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋114. 故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.………………………………………………………(14分) 11．解 (1)f (x )＝a·b ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2sin x ＝2cos x cos π6－2sin x sin π6＋2sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.…………………………………………………………(5分) 由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，。

2013高考数学第二轮复习学案_第1--8讲答案

1第1讲二次函数一、课前热身1、D 2 110 3、D 4、（－∞，－1）二、例题探究例1．解：令sin t x =，[1,1]t ∈-，∴221()(2)24a y t a a =--+-+，对称轴为2at =，（1）当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）．（2）当12a>，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增，由max 111242y a a =-+-+=，得103a =．（3）当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减，由max 111242y a a =---+=，得2a =-（舍去）．综上可得：a 的值为2a =-或103a =．例2．解法一：由题知关于x 的方程22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根，设根为12,x x则120x x ≤或121200x x x x ∆≥⎧⎪>⎨⎪+>⎩，得94a ≤≤．解法二：由题知(0)0f ≤或(0)0(21)020f a >⎧⎪--⎪->⎨⎪∆≥⎪⎩，得94a ≤．例3．解：（1）2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3．（2）∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立， ∴2(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1)．（3）由2(1)0ax bx b ++-=得1222x x b a +=-，由题知1k =-，2121y x a =-++，2设,A B 中点为E ，则E 的横坐标为21(,)2221b b a a a -++，∴212221b b a a a -=++，∴2112142a b a a a=-=-≥-++，当且仅当12(01)a a a =<<，即2a =时等号成立，∴b的最小值为4-．冲刺强化训练(1)1、A2、A3、C4、，或它们的某个子集。

2013高考数学教案和学案有答案学案44

2013高考数学教案和学案(有答案)--第9章学案44学案44 圆的方程导学目标： 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．自主梳理1．圆的定义在平面内，到________的距离等于________的点的________叫做圆．2．确定一个圆最基本的要素是________和________．3．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，其中________为圆心，____为半径．4．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是____________________，其中圆心为________________________，半径r＝________________________.5．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2. 自我检测1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆时，m的取值范围为______________．2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是________．3．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是______________．4．已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，则a的取值范围是________．225．过圆x＋y＝4外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则△APB的外接圆方程为________．探究点一求圆的方程例1 求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．变式迁移1 根据下列条件，求圆的方程．(1)与圆O：x2＋y2＝4相外切于点P(－1，3)，且半径为4的圆的方程；(2)圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．探究点二圆的几何性质的应用例2 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．变式迁移2 如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切且与x 轴及直线y＝x分别相切于C、D两点．(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．探究点三与圆有关的最值问题例3 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．y变式迁移3 如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求的最大值与最小值． x1．求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与难度．2．点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系．d<r时，点在圆内；d＝r时，点在圆上；d>r 时，点在圆外．3．本节主要的数学思想方法有：数形结合思想、方程思想．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是______________．222．圆x＋y＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0 (a、b∈R)对称，则ab的取值范围是____________．3．(2011·苏州模拟)已知点P(2,1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a，b的值分别为________和________．4．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值为________．5．(2011·泰州模拟)已知f(x)＝(x－2 010)(x＋2 011)的图象与x轴、y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是________．6．(2010·天津)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________________．7．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1,0)、B(3，0)两点，则圆的方程为______________．8．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为3，则a＝________.二、解答题(共42分)9．(14分)根据下列条件，求圆的方程：(1)经过A(6,5)、B(0,1)两点，并且圆心C在直线3x＋10y ＋9＝0上；(2)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.10．(14分)(2011·南京模拟)已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．(1)求x＋y的最大值和最小值；y(2)求 x(3)求x＋y＋2x－4y＋5的最大值和最小值．11．(14分)如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20米，拱高OP＝4米，每隔4米需用一支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01米)(≈28.72)．学案44 圆的方程答案自主梳理1．定点定长集合 2.圆心半径 3.(a，b) rDED＋E－4F22?4．D＋E－4F>0 ?－2，－2 2 6．(1)＝ (2)> (3)<自我检测11．m<或m>1 2.x2＋(y－2)2＝1 3.x－y－3＝0 4 －1－1－1＋74．(，－1)∪() 3235．(x－2)2＋(y－1)2＝5课堂活动区例1 解题导引 (1)一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径．(2)一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．解方法一设圆心为C，所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，E6＋2DE?.∴kCB＝则圆心C?. 2??2D8＋2E6＋2?1由kCB·kl＝－1，∴＝－1.① D?38＋2又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，②又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③解①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30.∴所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.方法二设圆的圆心为C，则CB⊥l，从而可得CB所在直线的方程为y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.①由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)．6＋4又kAB＝＝1， 8＋2∴AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.②11x＝2由①②联立后，解得 3y＝－2113，－?. 即圆心坐标为?2??2?2??28＋6＝∴所求圆的半径r ＝?. ?2??2?2113125x－?2＋?y2＝. ∴所求圆的方程为??2??22变式迁移1 解 (1)设所求圆的圆心Q的坐标为(a，b)，圆Q 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝42，又∵OQ＝6，222??0－a?＋?0－b?＝6∴联立方程?， ??－1－a?2＋?3－b?2＝16???解得a＝－3，b＝33，所以所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－33)2＝16.(2)如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°，而圆心15(0,0)到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6. 3＋422所以所求圆的方程为x＋y＝36.例2 解题导引 (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题利用方程思想求m值，即“列出m的方程”求m值．解方法一将x＝3－2y，代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，得5y2－20y＋12＋m＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：12＋my1＋y2＝4，y1y2＝. 5∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2.∴9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0，12＋m∴9－6×4＋5×0， 515－，3?，半径r＝. ∴m＝3，此时1＋36－3×4>0，圆心坐标为??2?2 方法二如图所示，设弦PQ中点为M，∵O1M⊥PQ，∴kO1M＝2.1－3?，又圆心坐标为??2?1x，∴O1M的方程为y－3＝2??2??y＝2x＋4，即y＝2x＋4.由方程组? ?x＋2y－3＝0，?解得M的坐标为(－1,2)．则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋(y－2)2＝r2.∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，MQ2＝r2.在Rt△O1MQ中，O1M2＋MQ2＝O1Q2. 211＋?－6?－4m22－1?＋(3－2)＋5＝∴??2?4153?. ∴m＝3.∴半径为，圆心为??2?2变式迁移2 解 (1)∵M的坐标为(3，1)，∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M的方程为(x3)2＋(y－1)2＝1.设圆N的半径为r，连结MA，NC，OM，则MA⊥x轴，NC⊥x轴，由题意知：M，N点都在∠COD的平分线上，∴O，M，N三点共线．由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，21OM∶ON＝MA∶NC，即＝r＝3， 3＋rr则OC＝33，则圆N的方程为(x－33)2＋(y－3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，3此弦的方程是y＝x3)，即x－3y－3＝0， 3圆心N到该直线的距离d＝ 2则弦长为2r－d33.例3 解题导引与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：y－b(1)形如μ形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋byx－a形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．解 (1)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截|2－0＋b|距b取得最大值或最小值，此时3，解得b＝－6. 2所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． ?2－0?＋?0－0?＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(23)2＝7－3.变式迁移3 解 (1)设P(x，y)，则P点的轨迹就是已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝6.y而OP的斜率， xy设k，则直线OP的方程为y＝kx. x 当直线OP与圆相切时，斜率取最值．|3k－3|因为点C到直线y＝kx的距离d＝， k＋1|3k－3|所以当6， k＋1即k＝3±22时，直线OP与圆相切．y即3＋22，最小值为3－2. x课后练习区12－∞， 1．(－2， 2.?4?33．0 －3a2a22?解析圆的方程可化为?x＋2＋(y－1)＝1＋－b，由题知圆心在直线x＋y－1＝0上，4a∴－＋1－1＝0，∴a＝0，又点(2,1)在圆上，所以b＝－3. 24．32|3|3解析 lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到lAB的距离d＝，23∴AB边上的高的最小值为－1.又AB＝22. 231∴S△min＝×2×?－1?＝32. 2?2?5．(0,1)解析由题意，知圆与x轴的交点为A(2 010,0)，B(－2 011，0)，与y轴的交点为C(0，－2 010×2 011)，D(0，y2)．设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，此方程的两根为2 010和－2 011，∴F＝－2 010×2 011.令x＝0，得y2＋Ey－2 010×2 011＝0.∴－2 010×2 011×y2＝－2 010×2 011.∴y2＝1.6．(x＋1)2＋y2＝2解析直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)，即圆C的圆心坐标为(－1,0)．又圆C|－1＋0＋3|与直线x＋y＋3＝0相切，∴圆C的半径为r＝＝2.∴圆C的方程为(x＋1)2＋y22＝2.7．(x－2)2＋(y－1)2＝2解析所求圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，故线段AB的垂直平分线x＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x－3y－1＝0上，所以，两直线的交点即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)2，所以，圆的标准方程为(x－2)2＋(y －1)2＝2.8．0解析由于弦AB的长为23，则圆心(1,2)到直线ax－y＋3＝0的距离等于1， |a－2＋3|即1，解得a＝0. a＋19．解 (1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0，???3x＋2y－15＝0，?x＝7，?由解得?(3分) ?3x＋10y＋9＝0，?y＝－3.??∴圆心为C(7，－3)．又CB65，故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.(7分)(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q点的坐标分别代入得?2D－4E－F＝20，①?? ?3D－E＋F＝－10. ②?(8分)又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，③2由|x1－x2|＝6有D－4F＝36. ④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.(14分)10．解 (1)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的纵截距，所以x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径， |2＋?－3?－t|即1，解得t＝2－1或t＝－2－1， 2所以x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.(5分) yy(2)(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有xx公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线方程为y＝kx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2k－?－3?|＝1， 1＋k33解得k ＝－2＋或k＝－2－， 33y3所以的最大值为－2， x323最小值为－2－.(10分) 3(3)x＋y＋2x－4y＋5，即[x－?－1?]＋?y－2?，其最值可视为点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又因为圆心到定点(－1,2)的距离为34x＋y＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，34－1.(14分)11．解建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由于圆心在y轴上，所以D＝0，那么方程即为x2＋y2＋Ey＋F＝0.(3分) 下面用待定系数法来确定E、F的值．因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解，2??4＋4E＋F＝0，于是有方程组?2(7分) ?10＋F＝0，?解得F＝－100，E＝21.∴这个圆的方程是x2＋y2＋21y－100＝0.(10分)把点P2的横坐标x＝－2代入这个圆的方程，得(－2)2＋y2＋21y－100＝0，y2＋21y－96＝0.∵P2的纵坐标y>0，故应取正值，－21＋21＋4×96∴y＝3.86(米)． 2所以支柱A2P2的高度约为3.86米．(14分)荐小学数学教案[1000字] 荐初二数学教案(800字) 荐生活中的数学教案[1000字] 荐人教版初一上数学教案(全册) [1500字] 荐工程数学教案 (500字)。

2013届高考数学一轮复习精品学案：第5讲_函数的图像

高考数学科一轮复习精品学案第5讲函数的图像一．课标要求：1．掌握基本初等函数的图象的画法及性质。

如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；2．掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；3．识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。

甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；4．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图像，了解它们的变化情况。

二．命题走向函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。

其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。

知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。

从历年高考形势来看：（1）与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题；（2）函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察；（3）与幂函数有关的问题主要以21132,,,,x y x y x y x y x y =====-为主，利用它们的图象及性质解决实际问题；预测2013年高考函数图象：（1）题型为1到2个填空选择题；（2）题目多从由解析式得函数图象、数形结合解决问题等方面出题；函数综合问题：（1）题型为1个大题；（2）题目多以知识交汇题目为主，重在考察函数的工具作用；幂函数：单独出题的可能性很小，但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其性质来解决；三．要点精讲1．函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。

2013届高考数学导数、定积分复习学案

2013 届高考数学导数、定积分复习教案2013年一般高考数学科一轮复习精选教案第 38 讲导数、定积分一．课标要求：1．导数及其应用（ 1）导数观点及其几何意义①经过对大批实例的剖析，经历由均匀变化率过渡到刹时变化率的过程，认识导数观点的实质背景，知道刹时变化率就是导数，领会导数的思想及其内涵；②经过函数图像直观地理解导数的几何意义。

（ 2）导数的运算①能依据导数定义求函数 y=c，y=x ，y=x2 ，y=x3 ，y=1/x ，y=x 的导数；②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法例求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 f （ ax+b））的导数；③会使用导数公式表。

（ 3）导数在研究函数中的应用①联合实例，借助几何直观探究并认识函数的单一性与导数的关系；能利用导数研究函数的单一性，会求不超出三次的多项式函数的单一区间；②联合函数的图像，认识函数在某点获得极值的必需条件和充足条件；会用导数求不超出三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超出三次的多项式函数最大值、最小值；领会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

（4）生活中的优化问题举例比如，使收益最大、用料最省、效率最高等优化问题，领会导数在解决实质问题中的作用。

（5）定积分与微积分基本定理①经过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中认识定积分的实质背景；借助几何直观领会定积分的基本思想，初步认识定积分的观点；②经过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与行程的关系），直观认识微积分基本定理的含义。

（6）数学文化采集相关微积分创办的时代背景和相关人物的资料，并进行沟通；领会微积分的成立在人类文化发展中的意义和价值。

详细要求见本《标准》中”数学文化”的要求。

二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实质问题的强有力的数学工具，运用导数的相关知识，研究函数的性质：单一性、极值和最值是高考的热门问题。

2013届高三数学二轮复习学案(教师版)：2-9 2-10 基本初等函数

§2-9 §2—10 基本初等函数（1）（2）一复习要点：本章复习的基本初等函数包括（1）正比例函数（2）反比例函数（3）一次函数（4）二次函数（5）指数函数（6）对数函数二次函数知识要点:1、二次函数有以下三种解析式：一般式:__________________________________ 顶点式：___________________________________ 零点式:________________________其中21,x x 是方程02=++c bx ax的根2、研究二次函数的图像要抓住开口方向、顶点坐标，讨论二次函数的单调性和最值除抓住开口方向、顶点坐标外，还要抓住对称轴与所给区间的相对位置。

3、二次函数与一元一次方程、一元二次不等式之间的内在联系及相应转化 ①)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图像与x 轴交点的横坐标是方程f(x)=0的实根;②当____ ___时，f （x ）〉0恒成立，当___ ____时，f(x ）≤0恒成立.结论成立的条件是x R ∈。

4、利用二次函数的图像和性质，讨论一元二次方程实根的分布:设21,x x 是方程2()0(0)f x axbx c a =++=>的两个实根，写出下列各情况的充要条件①当mx m x ><21,时，_____________________________________________②当在),(n m 有且只有一个实根时，___________________________________③当在),(n m 内有两个不相等的实根时，_______________________________④当两根分别在),(n m ，),(q p 且Φ=⋂),(),(q p n m 时，________________5、奇偶性:二次函数)0()(2≠++=a c bx axx f 成为偶函数的充要条件是二例与练：1、已知函数1)3()(2+-+=x m mxx f 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值区间是 D(A)]1,0( (B)（0,1) （C ）)1,(-∞ (D ）]1,(-∞2、设0>b ，二次函数221y axbx a a =+++-的图像为下列之一,则a 的值为（C ） (A ） 1 (B) —1 (C ） 251-- (D)251+-2。

2013届高考数学二轮复习精品教学案专题02-函数与导数(教师版)

【2013考纲解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用.2.理解函数的单调性及几何意义;学会运用函数图象研究函数的性质,感受应用函数的单调性解决问题的优越性,提高观察、分析、推理、创新的能力.3.了解函数奇偶性的含义;会判断函数的奇偶性并会应用；掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用.4.掌握一次函数的图象和性质;掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系，理解“三个二次”的内在联系，讨论二次方程区间根的分布问题.7.了解幂函数的概念;结合函数12321,,,,y x y x y x y y xx=====的图象,了解它们的变化情况.8.掌握解函数图象的两种基本方法:描点法、图象变换法；掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质.9.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数；根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.10.了解指数函数、对数函数及幂函数的境长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.11.了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义;能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数.12.了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次)，会求在闭区间函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次)；会用导数解决某些实际问题。

【知识络构建】【重点知识整合】一、函数、基本初等函数的图象与性质1．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质，是函数中最常涉及的性质，特别注意定义中的符号语言；(2)奇偶性：偶函数其图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数其图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．特别注意定义域含0的奇函数f(0)＝0；(3)周期性：f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则称f(x)为周期函数，T是它的一个周期．2．对称性与周期性的关系(1)若函数f(x)的图象有两条对称轴x＝a，x＝b(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，2|b－a|是它的一个正周期，特别地若偶函数f(x)的图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则函数f(x)是周期函数，2|a|是它的一个正周期；3．函数的图象(1)指数函数、对数函数和幂函数、一次函数、二次函数等初等函数的图象的特点；(2)函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据图象记忆性质)指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况；对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况；幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0，α＝0，α<0三种情况．二、函数与方程、函数的应用1．函数的零点方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．二分法用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；第二步：求区间[a，b]的中点c；第三步：计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．3．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答．三、导数在研究函数性质中的应用及定积分1．导数的几何意义4．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值的最小者．5．定积分与曲边形面积(1)曲边为y ＝f (x )的曲边梯形的面积：在区间[a ，b ]上的连续的曲线y ＝f (x )，和直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛a b|f x |d x .当f (x )≥0时，S ＝⎠⎛a b f (x )d x ；当f(x)<0时，S ＝－⎠⎛ab f (x )d x . (2)曲边为y ＝f (x )，y ＝g (x )的曲边形的面积：在区间[a ，b ]上连续的曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )，和直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛a b |f (x )－g (x )|d x .当f (x )≥g (x )时，S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )<g (x )时，S＝⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x .【高频考点突破】考点一、函数及其表示函数的三要素：定义域、值域、对应关系.两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．1．求函数定义域的类型和相应方法(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．(2)对于复合函数求定义域问题，若已知f (x )的定义域[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域应由不等式a ≤g (x )≤b 解出．(3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． 2．求f (g (x ))类型的函数值应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值、图像、解不等式等问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性.例1、函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)【变式探究】设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x .则f (x )的值域是 ( )A ．[－94，0]∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D ．[－94，0]∪(2，＋∞)解析：令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2.令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋x ＜－1或x ＞，x 2－x －－1≤x当x ＜－1或x ＞2时，函数f (x )＞f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f (12)≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0.故函数f (x )的值域是[－94，0]∪(2，＋∞)．答案：D考点二、函数的图像作函数图像有两种基本方法：一是描点法；二是图像变换法，其中图像变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．例2、函数y ＝x2－2sin x 的图像大致是 ( )【变式探究】函数y＝x ln(－x)与y＝x ln x的图像关于( )A．直线y＝x对称B．x轴对称C．y轴对称D．原点对称考点三、函数的性质1．单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判定函数的单调性常用定义法、图像法及导数法．对于选择题和填空题，也可用一些命题，如两个增(减)函数的和函数仍为增(减)函数等．2．函数的奇偶性反映了函数图像的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．例3、对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )A．4和6 B．3和1C．2和4 D．1和2考点四二次函数的图像与性质：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像是抛物线 ①过定点(0，c )；②对称轴为x ＝－b 2a ，顶点坐标为(－b 2a ，4ac －b24a)．(2)当a ＞0时，图像开口向上，在(－∞，－b 2a ]上单调递减，在[－b2a ，＋∞)上单调递增，有最小值4ac －b 24a；当a ＜0时，图像开口向下，在(－∞，－b 2a ]上单调递增，[－b2a ，＋∞)上单调递减，有最大值4ac －b 24a .例 4、已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，∴x ＝1时，f (x )取得最小值1；x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图像的对称轴为直线x ＝－a ， ∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5.故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．【变式探究】设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，如果f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．－b 2aB ．－baC ．cD.4ac －b 24a【方法技巧】求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴.考点五指数函数、对数函数及幂函数指数函数与对数函数的性质：1．对于两个数都为指数或对数的大小比较：如果底数相同，直接应用指数函数或对数函数的单调性比较；如果底数与指数(或真数)皆不同，则要增加一个变量进行过渡比较，或利用换底公式统一底数进行比较．2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解.例5、已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( ) A ．10个 B ．9个 C ．8个D ．1个解析：画出两个函数图像可看出交点有10个．答案：A1．函数的零点与方程根的关系：函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝g (x )的图像交点的横坐标．2．零点存在性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．例6、函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内 ( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点【变式探究】在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为 ( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)解析：因为f (14)＝e14＋4×14－3＝e14－2<0，f (12)＝e12＋4×12－3＝e12－1>0，所以f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为(14，12)．答案：C【方法技巧】函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①数值的确定；②所在区间的确定；③个数的确定．解决这类问题的常用方法有解方程、根据区间端点函数值的符号数形结合，尤其是那些方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.例7、如图，长方体物体 E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速移动，速度为v (v ＞0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；(2)其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少． ①当0＜c ≤103时，y 是关于v 的减函数．故当v ＝10时，y min ＝20－3c2.②当103＜c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数，故当v ＝c 时，y min＝50c. 【变式探究】某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．(1)请将从甲地到乙地的运输成本y (元)表示为航行速度x (海里/小时)的函数； (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．法二：由(1)y ＝150⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x (0<x ≤50) 令f (x )＝x ＋1 600x (0＜x ≤50)，f ′(x )＝1－1 600x 2，则x ∈(0,40)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，则x ∈(40,50)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； ∴x ＝40时，f (x )取最小值80， y min ＝12 000.故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．【方法技巧】应用函数知识解应用题的步骤(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类．(2)用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解． (3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．考点八利用导数求切线导数的几何意义：(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点 (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)． (2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝ f ′(x 0)(x －x 0)． (3)导数的物理意义：s ′(t )＝v (t )，v ′(t )＝a (t )．例8、曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 ( ) A ．－9 B ．－3 C ．9D ．15【方法技巧】求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率k，求切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率．列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.考点九、利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系：在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．例9、设a＞0，讨论函数f(x)＝ln x＋a(1－a)x2－2(1－a)x的单调性．解：由题知a＞0，x＞0，f′(x)＝2a1－a x2－－a x＋1x，令g(x)＝2a(1－a)x2－2(1－a)x＋1，(1)当a＝1时，g(x)＝1＞0，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)当0＜a＜1时，g(x)的图像为开口方向向上的抛物线，Δ＝[－2(1－a)]2－8a(1－a)＝4(1－a)(1－3a)若1 3≤a＜1，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0，仅当a＝13，x＝32时取等号，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；综上，当0＜a＜13时，f (x )在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减；当13≤a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减．其中x 1＝错误!，x 2＝错误!. 考点10、利用函数单调性求极值1.若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数 f (x )的极大值；若在x 0 附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．2．设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．例10、设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a 的取值范围；(2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．解：(1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19. 所以，当a ＞－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间．【方法技巧】1．利用导数研究函数的极值的一般步骤 (1)确定定义域． (2)求导数f ′(x )．(3)①若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检验f ′(x )在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况，从而求解．2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【难点探究】难点一函数的性质的应用例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，则f (1)＝( ) A ．－3 B ．－1C ．1D ．3(2)设奇函数y ＝f (x )(x ∈R)，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________．【点评】函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的实际通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．本题第(2)小题中，实际上就是用已知条件给出了这个函数，解决问题的基本思路有两条：一条是把这个函数在整个定义域上的解析式求出，然后再求解具体的函数值；一条是推证函数的性质，把求解的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值．本题根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )还可以推证函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，函数又是奇函数，其图象关于坐标原点对称，这样就可以画出这个函数在⎣⎡⎦⎤－12，32上的图象，再根据周期性可以把这个函数的图象拓展到整个定义域上，进而通过函数的图象解决求指定的函数值，研究这个函数的零点等问题，在复习中要注意这种函数图象的拓展．【变式探究】设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f x ，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (107.5)＝( )A ．10 B.110 C ．－10 D ．－110【答案】B【解析】根据f (x ＋3)＝－1f x ，可得f (x ＋6)＝－1f x ＋＝－1－1fx＝f (x )，所以函数y ＝f (x )的一个周期为6.所以f (107.5)＝f (108－0.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)＝f (－2.5＋3)＝－1f －＝110. 难点二函数的图象的分析判断例2、函数f (x )＝ax m (1－x )n 在区间[0,1]上的图象如图2－1所示，则m ，n 的值可能是( )图2－1A ．m ＝1，n ＝1B ．m ＝1，n ＝2C ．m ＝2，n ＝1D ．m ＝3，n ＝1 【答案】B【点评】函数图象分析类试题，主要就是推证函数的性质，然后根据函数的性质、特殊点的函数值以及图象的实际作出判断，这类试题在考查函数图象的同时重点是考查探究函数性质、用函数性质分析问题和解决问题的能力．利用导数研究函数的性质、对函数图象作出分析判断类的试题，已经逐渐成为高考的一个命题热点。

2013版高考数学一轮复习精品学案选修系列(第5部分矩阵与变换)

2013版高考数学一轮复习精品学案：选修系列第五部分矩阵与变换【高考新动向】一、线性变换与二阶矩阵 1．考纲点击（1）了解二阶矩阵的概念；（2）了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法；（3）理解矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即1212(αβ)αβA A A λλλλ+=+；（4）了解几种常见的平面变换。

2．热点提示（1）矩阵相等概念的应用；（2）求常见的平面变换公式及其矩阵；（3）求曲线在二阶矩阵对应的线性变换作用下的曲线方程及其图形；二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵 1．考纲点击（1）了解矩阵与矩阵的乘法的意义，理解矩阵乘法不满足交换律、消去律。

会验证二阶矩阵乘法满足结合律；（2）理解逆矩阵的意义、唯一性、存在性和（AB ）-1=B -1A -1等简单性质，了解其在变换中的意义；（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵；（4）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义；（5）会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组，理解线性方程组的存在性、唯一性。

2．热点提示（1）二阶矩阵乘法的运算及其在变换中的应用；（2）逆矩阵的求及其在解二元一次方程组中的应用。

三、变换的不变量与矩阵的特征向量 1．考纲点击（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向量的意义；（2）会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形），利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α简单的表示，并能用它来解决问题。

2．热点提示（1）计算二阶矩阵的特征值、特征向量；（2）利用矩阵的特征值、特征向量表示A n α。

【考纲全景透析】一、线性变换与二阶矩阵 1．矩阵的相关概念（1）由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵，数a,b,c,d 称为矩阵的元素。

在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列。

2013高考数学教案和学案有答案学案21

2013高考数学教案和学案(有答案)--第4章学案21学案21 二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝______________；(2)cos 2α＝________________＝________________－1＝1－________________；kπππ(3)tan 2α＝____________________ (α≠α≠kπ＋)．242公式的逆向变换及有关变形sin 2α(1)sin αcos α＝________________?cos α＝；2sin α(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝______________；升幂公式：1＋cos α＝______________，1－cos α＝______________；变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝________________. 自我检测51．已知sin α＝sin4α－cos4α的值为________．5π42．已知x∈(－0)，cos xtan 2x＝________.2523．函数y＝(sin x－cos x)－1的最小正周期为________． 4.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________．5．函数f(x)＝cos 2x－2sin x的最小值和最大值分别为________和________．探究点一三角函数式的化简例1 求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．4cos4x－2cos 2x－1变式迁移1 (2010·泰安一模)已知函数f(x)＝.π??π??sin?4＋x?sin?4－x?11π?的值； (1)求f??12?π10，?时，求g(x)＝(x)＋sin 2x的最大值和最小值． (2)当x∈??4?2探究点二三角函数式的求值ππ1ππ1例2 已知sin(＋2α)·2α)＝α∈()，求2sin2α＋tan α－－1的值．44442tan απsin?α＋45变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝，求的值．13cos?2α＋4π?π3π3ππ(2)已知cos(α＋＝≤α<，求cos(2α的值．45224探究点三三角恒等式的证明例 3 (2010·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f(x)的解析式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．变式迁移3 求证：sin 2x?sin x＋cos x－1??sin x－cos x＋1? ＝1＋cos xsin x.转化与化归思想例 (14分)(2010·江西)已知函数f(x)＝??11tan x??sin2x＋msin??xπ4sin??x－π4. (1)当m＝0时，求f(x)在区间?π3π?8，4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f(α)＝35，求m的值．【答题模板】解 (1)当m＝0时，f(x)＝??1＋cos xsin xsin2x ＝sin2x ＋sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x2＝12??2x－π4＋1??，[3分] 由已知x∈?π?8，3π4?，得2x－π4∈??0，5π4??，[4分] 所以sin??2x－π4??∈??－221??，[5分] 从而得f(x)的值域为??12?0，?2??.[7分](2)f(x)＝sin2x＋sin xcos x－m2x＝1－cos 2x212x－m2cos 2x＝12x－(1＋m)cos 2x]12[9分]2sin αcos α2tan α4由tan α＝2，得sin 2α＝， sinα＋cosα1＋tanα5 cos2α－sin2α1－tan2α3cos 2α＝.[11分] 5cosα＋sinα1＋tanα31431?1＋m??＋，[12分] 所以＝?25255解得m＝－2.[14分] 【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，辅助元素法，“1”的代换法等．α＋β(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，2βαααα－＋?β－，＝??2?224(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)＝______.π1π2β＝，那么tan?α＋＝________. 2．已知tan(α＋β)＝，tan??44?45π1－，0?)，则sin α的值为________． 3．(2011·淮安模拟)已知cos 2α＝ (其中α∈??4?2x2sin212π?4．若f(x)＝2tan x－，则f??12?的值为________． xxsin 225．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sin B的值是________．π12π6．(2011·镇江模拟)已知α)＝cos(＋2α)的值是________．63327．函数y＝2cosx＋sin 2x的最小值是________．cos 2α28．若，则cos α＋sin α的值为________．π2α－sin??4二、解答题(共42分)9．(14分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°；3－4cos 2α＋cos 4α(2)3＋4cos 2α＋cos 4απ?110．(14分)(2010·南京一模)设函数f(x)3sin xcos x－cos xsin??2x?2(1)求f(x)的最小正周期；π0，?时，求函数f(x)的最大值和最小值． (2)当∈??2?11．(14分)(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x －4cos x.π(1)求f(的值；3(2)求f(x)的最大值和最小值．答案自主梳理(1)2sin αcos α (2)cos2α－sin2α 2cos2α 2sin2α1－cos 2α1＋cos 2α2tan α1αα(3) 2cos2 2sin2 (sin α±cos α)2 (1)α (2)222221－tanα自我检测31．－5解析原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)3＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－5242．－7π4解析∵x∈(－0)，cos x＝25332tan x24∴sin x＝－，tan x＝－tan 2x＝5471－tanx3．π解析 y＝sin2x－2sin xcos x＋cos2x－1＝－sin 2x，∴T ＝π. 4．－2sin 4解析原式＝4cos4＋2?sin 4－cos 4? ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|＝－2sin 4.35．－3 2解析 f(x)＝cos 2x－2sin x13sin x＋?2，＝1－2sin2x－2sin x＝－2?2?2?13则sin x＝－时，f(x)最大＝22sin x＝1时，f(x)最小＝－3. 课堂活动区例1 解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解 y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x ＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x) ＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin 2x＋sin22x＝(1－sin 2x)2＋6，由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10，当sin 2x＝1时，y取得最小值6. 变式迁移1 解 (1)f(x) ?1＋cos 2x?2－2cos 2x－1cos22x＝π??π?π??π???sin?4＋x?sin?4－x?sin?4x?cos?4＋x?2cos22x2cos22x＝＝2cos 2x，πcos 2x??sin?2＋2x?11π11ππ－＝2cos?－?＝2cos 3. ∴f??12?6?6π2x＋?. (2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x2sin?4??πππ3π0，，∴2x?，，∵x∈??44?44π∴当x＝g(x)max＝2，8当x＝0时，g(x)min＝1.例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．ππ解由sin(2α)·sin(－2α)44ππ＝sin(＋2α)·cos(2α)441π11＝＋4α)cos 4α＝ 22241ππ5π∴cos 4α＝，又α∈(，，故α＝，24212sin2α－cos2α12∴2sinα＋tan α－1＝－cos 2α＋tan αsin αcos α5π2cos653－2cos 2α5π＝－cos 2α＋cos－.sin 2α65π2sin6变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角，512cos α∴sin α＝.1313πsin?α＋sin α＋cos α??sin α＋cos α?422∴＝cos 2αcos?2α＋4π?cosα－sinα222213＝14cos α－sin α5121313πππ(2)cos(2α＋)＝cos 2αcossin 2αsin4442＝(cos 2α－sin 2α)， 2π3π3ππ7π∵α<，α＋<. 22444π3又cos(α＋＝， 453ππ7π4故可知<α，∴sin(α＋＝－， 24445π从而cos 2α＝sin(2α＋2ππ4324＝2sin(α＋)cos(α＋＝2×(－)×. 445525ππsin 2α＝－cos(2α＋)＝1－2cos2(α2437＝1－2×)2＝. 525π22247∴cos(2α＋＝(cos 2α－sin 2α)＝(－－) 4222525312＝－. 50例3 解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角条件恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．解 (1)由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∴tan(α＋β)＝2tan α.tan α＋tan βx＋y(2)由(1)得＝2tan α，即＝2x， 1－tan αtan β1－xyxx∴y＝. ，即f(x)＝1＋2x1＋2x(3)∵角α是一个三角形的最小内角，π∴0<α≤，0<x≤3， 3112设g(x)＝2x＋，则g(x)＝2x＋2(当且仅当x＝时取“＝”)． xx22故函数f(x)的值域为(0]． 4变式迁移3 证明因为左边＝2sin xcos x [sin x＋?cos x－1?][sin x－?cos x－1?]2sin xcos x＝sinx－?cos x－1?2sin xcos x＝sinx－cosx ＋2cos x－12sin xcos xsin x＝＝－2cosx＋2cos x1－cos xsin x?1＋cos x?＝?1－cos x??1＋cos x?sin x?1＋cos x?1＋cos x＝＝右边． sinxsin x所以原等式成立．课后练习区11．－ 6解析∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，1∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝ 6 1cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α632.22ππ解析因为α＋β－α＋β， 44ππβ. 所以α＋＝(α＋β)－??44ππα＋＝tan??α＋β?－?β?? 所以tan??4??4??πβtan?α＋β?－tan??43＝. π22?1＋tan?α＋β?tan?β－413．－ 21解析 cos 2α＝1－2sin2α， 2π1－，0?，∴sin2α＝.又∵α∈??4?41∴sin α＝－. 24．8x1－2sin222cos x解析 f(x)＝2tan x＋2tan x＋ 1sin xsin x224＝ sin xcos xsin 2xπ4∴f?＝8. ?12πsin 635. 2解析由cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化简变形，得2cos2B －3cos B＋1＝0，13∴cos Bcos B＝1(舍)．∴sin B＝. 2276．－ 92ππ解析 cos(＋2α)＝－cos(－2α) 33ππ7＝－cos[2(α)]＝－[1－2sin2(－α)]＝－. 6697．1－2解析∵y＝2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋1＋cos 2xπ2x＋＋1，＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin?4?π∴当sin(2x＋＝－1时，函数取得最小值1－2. 418.2cos2α－sin2αcos 2α解析∵＝π?2?sin?α－4??sin α－cos α?221＝－2(sin α＋cos α)＝－，∴cos α＋sin α＝. 229．解 (1)∵sin 2α＝2sin αcos α，sin 2α∴cos α＝，…………………………………………………………………………(3分) 2sin αsin 40°sin 80°1sin 160°∴原式＝ 2sin 20°2sin 40°22sin 80°sin?180°－20°?1＝……………………………………………………………………(7分) 16sin 20°163－4cos 2α＋2cos22α－1(2)原式＝(9分) 3＋4cos 2α＋2cos2α－1?1－cos 2α?2?2sin2α?24＝＝tan α.………………………………………………………(14分) ?1＋cos 2α??2cosα?π?110．解 f(x)＝3sin xcos x －cos xsin??2＋x?－231＝sin 2x－x－1 22π2x－－1.…………………………………………………………………………(4分) ＝sin?6?2π(1)T＝π，故f(x)的最小正周期为π.…………………………………………………(6分) 2πππ5π(2)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤2666πππ所以当2x－，即x＝时，f(x)有最大值0，………………………………………(12分) 623ππ3当2x＝－即x＝0时，f(x)有最小值－…………………………………………(14分) 662π2πππ11．解 (1)f()＝2cossin2－333339＝－12＝－.………………………………………………………………………(4分) 44(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x＝3cos2x－4cos x－127＝3(cos x－)2－，x∈R.………………………………………………………………(10分) 33因为cos x∈[－1,1]，所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；27当cos x＝时，f(x).……………………………………………………(14分)33荐小学数学教案[1000字]荐初二数学教案(800字) 荐生活中的数学教案[1000字] 荐人教版初一上数学教案(全册) [1500字] 荐工程数学教案 (500字)。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

学案5 函数的单调性与最值导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理 1．单调性(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2))，那么就说f (x )在区间I 上是单调________________．(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是单调________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是单调________．(3)单调区间：如果函数y ＝f (x )在某个区间上是单调增函数或减函数，那么说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为__________．(4)函数y ＝x ＋ax(a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上单调________；在(－a ，0)，(0，a )上单调________；函数y ＝x ＋ax(a <0)在____________上单调递增．2．最值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0)(或≥f (x 0))，则称f (x 0)为y ＝f (x )的最____(或最____)值．自我检测1．若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是________________．(用“单调减函数”、“单调增函数”、“不单调”填空)2．(2011·连云港模拟)设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有f (a 2＋1)________f (a )．(填“>”、“<”或“＝”)3．下列函数在(0,1)上是增函数的是________(填序号)． ①y ＝1－2x ；②y ＝x －1；③y ＝－x 2＋2x ；④y ＝5.4．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋4是区间(－∞，4]上的减函数，则实数a 的取值范围是________．5．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为______________________．探究点一函数单调性的判定及证明例1 设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．变式迁移1 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)＝1，设F (x )＝f (x )＋1f (x )，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论．探究点二函数的单调性与最值例2 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．变式迁移2 已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．探究点三抽象函数的单调性例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.分类讨论及数形结合思想例 (14分)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．【答题模板】解 f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .[2分](1)当a <0时，由图①可知，f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[5分](2)当0≤a <1时，由图②可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[8分](3)当1<a ≤2时，由图③可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1.[11分](4)当a >2时，由图④可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1. 综上，(1)当a <0时，f (x )min ＝－1，f (x )max ＝3－4a ； (2)当0≤a <1时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝3－4a ； (3)当1<a ≤2时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝－1； (4)当a >2时，f (x )min ＝3－4a ，f (x )max ＝－1.[14分] 【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x ＝a ，而a 的取值不定，从而导致了分类讨论．(2)不是应该分a <0,0≤a ≤2，a >2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f (0)，也有可能是f (2)．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有： (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．总结如下：若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)f (x )与f (x )＋C 具有相同的单调性．(2)f (x )与af (x )，当a >0时，具有相同的单调性，当a <0时，具有相反的单调性．(3)当f (x )恒不等于零时，f (x )与1f (x )具有相反的单调性．(4)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )＋g (x )是增(减)函数．(5)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )·g (x )当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·泰州模拟)“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的____________条件．2．(2009·天津改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围为________．3．(2009·宁夏，海南改编)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围为________．5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的符号为________(填“正”、“负”、“不确定”)．6．(2011·淮安调研)函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数； ④y ＝|f (x )|是增函数．8．(2011·苏州质检)设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x的最小值是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 10．(14分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b>0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．答案自主梳理1．(1)增函数(减函数) (2)增函数减函数 (3)单调区间 (4)递增递减 (－∞，0)，(0，＋∞) 2.大小自我检测1．单调减函数 2．> 3．③ 4．a ≤－35．[－43＋c,55＋c ]课堂活动区例1 解题导引对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．解在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝(x 2＋a )(x 1＋b )－(x 2＋b )(x 1＋a )(x 1＋b )(x 2＋b )＝(b －a )(x 2－x 1)(x 1＋b )(x 2＋b ).∵a >b >0，∴b －a <0，∴(b －a )(x 2－x 1)<0，又∵x ∈(－∞，－b )∪(－b ，＋∞)，∴只有当x 1<x 2<－b ，或－b <x 1<x 2时，函数才单调．当x 1<x 2<－b ，或－b <x 1<x 2时，f (x 2)－f (x 1)<0，即Δy <0.∴y ＝f (x )在(－∞，－b )上是单调减函数，在(－b ，＋∞)上也是单调减函数．变式迁移1 解在R 上任取x 1、x 2，设x 1<x 2，∴f (x 2)>f (x 1)，F (x 2)－F (x 1)＝[f (x 2)＋1f (x 2)]－[f (x 1)＋1f (x 1)]＝[f (x 2)－f (x 1)][1－1f (x 1)f (x 2)]， ∵f (x )是R 上的增函数，且f (5)＝1，∴当x <5时，0<f (x )<1，而当x >5时f (x )>1； ①若x 1<x 2<5，则0<f (x 1)<f (x 2)<1，∴0<f (x 1)f (x 2)<1，∴1－1f (x 1)f (x 2)<0，∴F (x 2)<F (x 1)；②若x 2>x 1>5，则f (x 2)>f (x 1)>1，∴f (x 1)·f (x 2)>1，∴1－1f (x 1)f (x 2)>0，∴F (x 2)>F (x 1)．综上，F (x )在(－∞，5)上为减函数，在(5，＋∞)上为增函数．例2 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，设x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1－x 2－12x 2＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)．∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵1<x 1<x 2，∴1－12x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)方法一在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)， y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1递增， ∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )恒成立，故a >－3.方法二 f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，满足题意，当a <0时，函数f (x )递增；当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当且仅当f (x )min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.方法三在区间[1，＋∞)上f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．即a >－x 2－2x 恒成立．又∵x ∈[1，＋∞)，a >－x 2－2x 恒成立，∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)的最大值． ∴a >－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1.当x ＝1时，u 取得最大值－3，∴a >－3. 变式迁移2 解设1<x 1<x 2.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－(x 2－a x 2＋a2)＝(x 1－x 2)(1＋ax 1x 2)<0.又∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2恒成立．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，－x 1x 2<－1.∴a ≥－1，∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．例3 解题导引 (1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f (x )为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．解 (1)方法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0， ∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．方法二设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0.而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．又∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1) ∴f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式迁移3 解 (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，∴f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2. 由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴当x >0时，由f (|x |)<－2，得f (x )<f (9)，∴x >9；当x <0时，由f (|x |)<－2，得f (－x )<f (9)， ∴－x >9，故x <－9，∴不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．课后练习区 1．充分不必要解析 f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．(－2,1)解析由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1. 3．6解析由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．(0,1]解析 f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.5．正解析 ∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0， ∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)， f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)， f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)，∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.6．[0，32]解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －3)x (x ≥0)(x －3)x (x <0).画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．7．③解析举例：设f (x )＝x ，易知①②④均不正确． 8．4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4.9．(1)证明当x ∈(0，＋∞)时， f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.………………………………………………………………………(5分) ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．…………………………………………(6分)(2)解由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．……………………………………(8分)∵h ′(x )＝2－1x2，x ∈(1，＋∞)∵2－1x 2>0，x ∈(1，＋∞)，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．………………………………………………………(12分) 故a ≤h (1)，即a ≤3.∴a 的取值范围为(－∞，3]．…………………………………………………………(14分) 10．解设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0，由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．…………………………………………………………(4分)(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.……………………………………………………………(8分) (3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.………………………………………………………………(13分) 综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.………………………………………………(14分) 11．解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．……………………………………………………………(4分) (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1<1.…………………………………………………………………(8分)∴－32≤x <－1.……………………………………………………………………………(9分)(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f (x )≤1.…………………………………………………………………(10分) 问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立．下面来求m 的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.………………………………………………………(14分)。