[精品课件]2019届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第六节 双曲线课件
数学一轮复习第八章平面解析几何8.7双曲线课件
△PF2Q的周长是_1_2__.
解析 由题意，得PF2－PF1＝2，QF2－QF1＝2. ∵PF1＋QF1＝PQ＝4， ∴PF2＋QF2－4＝4， ∴PF2＋QF2＝8. ∴△PF2Q的周长是PF2＋QF2＋PQ＝8＋4＝12.
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2， 3
概念方法微思考
1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为 双曲线吗？为什么？ 提示 不一定.当2a＝F1F2时，动点的轨迹是两条射线； 当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在； 当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线. 2.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没 有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0<a<b，双曲线哪些性质受影响？ 提示 离心率受到影响.∵e＝ac＝ 1＋ba2，故当 a>b>0 时，1<e< 2； 当 a＝b>0 时，e＝ 2(亦称等轴双曲线)；当 0<a<b 时，e> 2.
方程为
A.x42－y22＝1 C.x42－y82＝1
B.x42－y82＝1 或y42－x82＝1
√D.x42－y22＝1 或y42－x82＝1
解析 设双曲线方程为2xm2 －ym2＝1(m≠0)， 又2a＝4，∴a2＝4， 当m>0时，2m＝4，m＝2； 当m<0时，－m＝4，m＝－4. 故所求双曲线方程为x42－y22＝1 或y42－x82＝1.
∴ SF1PF2 ＝12PF1·PF2·sin 60°＝2 3.
引申探究 本例(2)中，“∠F1PF2＝60°”改为“P→F1·P→F2＝0”，则△F1PF2 的面积为__2___.
2019高三数学人教A版理一轮教师用书：第8章 第6节 双
第六节双曲线[考纲传真](教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第139页)[基础知识填充]1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.[知识拓展]三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A ．2B ．62C ．52 D ．1 D [依题意，e ＝ca ＝a 2＋3a ＝2，∴a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.] 3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝1A[由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，a 2＋b 2＝5，a ＞0，b ＞0，解得a ＝2，则b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1，故选A ．]5．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a >0)， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.](对应学生用书第140页)(1)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6(2)(2017·湖北武汉调研)若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12(1)B (2)B [(1)由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2， 解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.(2)由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．所以|PF |＋|P A |的最小值为9.][规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题,在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF 1|－|PF 2||＝2a平方，建立与|PF 1|·|PF 2|间的联系．[跟踪训练] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( ) 【导学号：97190291】A ．14 B ．13 C ．24D ．23A [由e ＝ca ＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，∴cos ∠AF 2F 1＝(4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a ＝14.](1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1(2)(2018·湖北调考)已知点A (－1,0)，B (1,0)为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 24＝1B ．x 2－y 23＝1C ．x 2－y 22＝1D ．x 2－y 2＝1(1)B (2)D [(1)由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)， 可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1. 故选B ．(2)由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB |＝|BM |＝2，∠ABM ＝120°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则|BN |＝1，|MN |＝3，所以M (2，3)，代入双曲线方程得4－3b 2＝1，解得b ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选D ．][规律方法] 求双曲线标准方程的主要方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，得双曲线方程. (2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.[跟踪训练] (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 23＝1 B ．x 29－y 216＝1 C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________．(1)C (2)x 216－y 29＝1 [由焦点F 2(5,0)知c ＝5. 又e ＝c a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9. ∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1，即x 216－y 29＝1.]◎角度1 双曲线的离心率问题(2018·长沙模拟(二))已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －22)2＋y 2＝83相切，则该双曲线的离心率为( )A ．62B ．32C ． 3D ．3A [由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0与圆相切得|22b |b 2＋a2＝22b c ＝223，即c ＝3b ，则c 2＝3b 2＝3(c 2－a 2)，化简得2c ＝3a ，则该双曲线的离心率为e ＝c a ＝32＝62，故选A ．]◎角度2 双曲线的渐近线问题(2018·合肥二检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．y ＝±2x [因为e ＝ca ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，故b ＝2a ，则此双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .]◎角度3 双曲线性质的综合应用(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D ．][规律方法] 与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.(2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)(2)(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)(3)(2017·武汉调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________. 【导学号：97190292】(1)C (2)A (3)8 [(1)由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a . ∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a 2＜2， ∴1＜e ＜ 2. 故选C ．(2)若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0， 即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A ．(3)因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ab x ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c )，所以bc a 2＋b2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.]。
2019年高考数学总复习核心突破 第8章 平面解析几何 8.5 双曲线的标准方程与性质课件
AC.k>o4pyrighBt.k2<-0104-20C1.k1>-A1 sposDe.-P1<tky<4Ltd.
【答案】A
4
3.已知双曲线的焦点是F1(-7,0)、F2(7,0),双曲线上一点 到两个焦点的距离之差的绝对值为10,求此双曲线的标准 方程.
8.5 双曲线的标准方程与性质
【考纲要求】 理解双E曲va线l的ua定ti义on,了o解n双ly曲. 线的标准方程及其 ted with Aspos几e何.S性lid质e.s for .NET 3.5 Client Profile 5.2
【学习重C点op】yrig双h曲t 线20的0标4准-2方0程11. Aspose Pty Ltd.
为顶点与焦点的双曲线的方程. 【解】设双曲线的方程为������������-������������=1(a>0,b>0),
������������ ������������
则有 a2=25-9=16,b2E=2v5-a1l6u=a9,tion only. 图8-9 ted wi∴th双A曲s线p的os方e程.S为l������������i������d������-���e���������������=s1.for .NET 3.5 Client Profile 5.2
������������ ������
的距离是 ( )
A.12 B.14 C.16 D.18
(2)双曲线������������-������������=1 的焦点坐标是 ( )
������������ ������
A.(5,0)和(-5,0)
B.(0,5)和(0,-5)
高考数学一轮专项复习ppt课件-双曲线(一)(通用版)
高考一轮总复习•数学
第19页
(3)由题设，知 F1(－4,0)，F2(4,0)，E(0,2)，圆 E 的半径 r＝1，由点 P 为双曲线 C 右支 上的动点，知|PF1|＝|PF2|＋6，
高考一轮总复习•数学
第13页
重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
第14页
题型 双曲线的定义及应用
典例 1(1)(2024·河南名校模拟)已知△ABC 的顶点 A(－6,0)，B(6,0)．若△ABC 的内切 圆圆心在直线 x＝3 上，则顶点 C 的轨迹方程是( )
A．x92－2y72 ＝1 B．2x72 －y92＝1 C．x92－2y72 ＝1(x>3) D．2x72 －y92＝1(x>3 3)
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第11页
3．与双曲线x22－y2＝1 有相同的渐近线，且与椭圆y82＋x22＝1 有共同的焦点的双曲线方
程是( )
A．x22－y42＝1
B．y22－x42＝1
C．x42－y22＝1
D．y42－x22＝1
解析：可设双曲线方程为 y2－x22＝λ，故 2λ＋λ＝6，λ＝2，所以所求双曲线方程为y22－
高考一轮总复习•数学
第23页
(2)不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2， 在△F1PF2 中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2＝12，∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2 3. (3)动点 B 满足|AB|＝2，则点 B 的轨迹是以 A 为圆心，以 2 为半径的圆．设双曲线的左 焦点为 F1，则 F1(－3，0)．由题知|PF1|－|PF|＝4，|PF|＝|PF1|－4.|PF|－|PB|＝|PF1|－|PB|－ 4≤|BF1|－4，当且仅当 B，P，F1 三点共线时等号成立．又因为|BF1|max＝|AF1|＋2＝ 32＋22＋ 2＝ 13＋2，所以|PF|－|PB|的最大值为 13＋2－4＝ 13－2.
平面解析几何 PPT课件
基 础 知 识 要 打 牢
3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 A．1 B．4 ( )
高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效
C．1或3
高 频 考 点 要 通 关
D．1或4
4－m 解析：由1＝ ，得m＋2＝4－m，m＝1. m＋2
答案：A
新课标(理科)
目 录
定它的倾斜角为 0° .
(2)倾斜角的范围为 [0，π) ．
新课标(理科)
目 录
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基 础 知 识 要 打 牢
2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的 正切值叫做这条直 线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α ，倾
斜角是90°的直线没有斜率．
高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效
高 频 考 点 要 通 关
3π B(2，－3)的直线的倾斜角为 ，则y＝ 4 A．－1 B．－3
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基 础 知 识 要 打 牢
4．(2012· 长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线， 则a的值为________．
5－3 a－3 解析：kAC＝ ＝1，kAB＝ ＝a－3. 6－4 5－4 由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
基 础 知 识 要 打 牢
名
称
几何条件
方
程
局限性 不包括_________ 垂直于坐
ห้องสมุดไป่ตู้
截 在x轴、y轴上 距 的截距分别为a， 式 b(a，b≠0)
x y ＋ ＝1 a b __________
标轴 和_______ 过原点 的直线
2024届高考数学一轮复习第8章第6节双曲线课件
第六节 双曲线
考试要求：1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．了解双曲线的简单几何性质．
01
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现
1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差___的_绝__对__值___等于非零常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的_焦__点__，两 焦点间的距离叫做双曲线的_焦__距__．
焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边． (1)在椭圆中， ①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c. ②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦
定理： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ. ③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为
图2
思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求 解． C 解析：如图，作PM⊥AF于点M，
1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几 何性质寻找a，c的关系式． 2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率 公式和正切的二倍角公式．本题的解答体现了数学运算的核心素 养． 3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体 现了基础性和综合性的统一．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0， c>0. (1)当a<c时，点P的轨迹是双曲线． (2)当a＝c时，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线． (3)当a>c时，点P不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线课件理
12/11/2021
第十七页，共七十四页。
经典(jīngdiǎn)题型冲关
12/11/2021
第十八页，共七十四页。
题型 1 双曲线的定义及应用
典例1
(2017·湖北武汉调研)若双曲线x42－1y22 ＝1 的
第二十九页，共七十四页。
[条件探究 1] 若将典例中条件变为“以|F1F2|为直径的 圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”，求双曲线的方程．
解 因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交 点为(3,4)，所以 c＝5，ba＝43.又 c2＝a2＋b2，所以 a＝3，b＝ 4，所以此双曲线的方程为x92－1y62 ＝1.
第8章 平面 解析几何 (píngmiàn)
8．6 双曲线
12/11/2021
第一页，共七十四页。
12/11/2021
第二页，共七十四页。
基础知识过关(guò〃guān)
12/11/2021
第三页，共七十四页。
[知识梳理] 1．双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的 绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做 双曲线．这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点间的距 离叫做双曲线的 焦距．
12/11/2021
第三十一页，共七十四页。
方法技巧
双曲线标准方程的求解方法
1．定义法．
2．待定系数法．
提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键
是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关
高考数学一轮复习第8章解析几何第6讲双曲线
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”
(1平面内到点F1(0,4,F2(0,－4距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2方程 － ＝1(mn＞0表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3双曲线方程 － ＝λ(m＞0,n＞0,λ≠0的渐近线方程是 － ＝0,即 ± ＝0．( √ )
(4等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 ．( √ )
(5若双曲线 － ＝1(a＞0,b＞0与 － ＝1(a＞0,b＞0的离心率分别是e1,e2,则 ＋ ＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线．( √ )
题组二 走进教材
2．(必修2P61T1若双曲线 － ＝1(a＞0,b＞0的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( A )
∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|,
∴由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线．
(2设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,可知|PF|＝4＋|PF1|,所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图形可知,当点A,P,F1共线时,满足|PF1|＋|PA|最小,|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5,故所求的最小值为9．
(4过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|．
(5双曲线的离心率公式可表示为e＝ ．
(6双曲线的形状与e的关系：|k|＝ ＝ ＝ ,e越大,即渐近线斜率的绝对值就越大,双曲线开口就越开阔．
(7 － ＝1(a＞0,b＞0与 － ＝1(a＞0,b＞0互为共轭双曲线,其离心率倒数的平方和为1．
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线讲义理含解析
第6讲 双曲线对应学生用书P149 1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做□01双曲线．这两个定点叫做双曲线的□02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的□03焦距． 集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0： (1)当□04a <c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当□05a ＝c 时，P 点的轨迹是两条□06射线； (3)当□07a >c 时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b .(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直．1．概念辨析(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )(4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与y 2b 2－x 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．小题热身(1)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±33x B ．y ＝±3x C ．y ＝±233x D ．y ＝±32x答案 A解析 双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)两焦点之间的距离为4，∴2c ＝4，解得c ＝2；∴c 2＝a 2＋1＝4，∴a ＝3； ∴双曲线的渐近线方程是y ＝±13x ，即y ＝±33x .故选A. (2)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.答案 17解析 由题意知|PF 1|＝9<a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.(3)经过点A (5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 答案x 216－y 216＝1 解析 设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (5，－3)代入，得λ＝16，故所求方程为x 216－y 216＝1.(4)(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.答案 4解析 由已知，b 2＝4，e ＝c a ＝52，即c 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝54，又因为a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＋4a 2＝54，a 2＝16，a ＝4.题型 一 双曲线的定义及应用1．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|PA |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12 答案 B解析 由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|PA |＝4＋|PB |＋|PA |≥4＋|AB |＝4＋－2＋－2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．∴|PF |＋|PA |的最小值为9.故选B.2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.答案 34解析 ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝22＋22－422×42×22＝34. 条件探究 举例说明2中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，求△F 1PF 2的面积．解 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝2 3.(1)应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．(2)在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF 1|－|PF 2||＝2a 平方，建立与|PF 1|·|PF 2|间的联系．1．F 1，F 2分别是双曲线C ：x 29－y 27＝1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|＝8，则△PF 1F 2的周长为( )A ．15B ．16C ．17D ．18 答案 D解析 由已知得a ＝3，b ＝7，c ＝a 2＋b 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝8.由双曲线的定义可知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|＝8，所以|PF 2|＝2.所以△PF 1F 2的周长是|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝18.2．方程 x ＋2＋y 2－x －2＋y 2＝12的化简结果为( )A.x 236－y 264＝1 B.x 264－y 236＝1 C.x 236－y 264＝1(x >0) D.x 264－y 236＝1(x >0) 答案 C解析 由已知得点P (x ，y )到点F 1(－10,0)和点F 2(10，0)的距离之差为12，显然12<|F 1F 2|，所以点P 的轨迹是以F 1(－10,0)，F 2(10,0)为焦点，实轴长为12的双曲线的右支，已知方程是点P 的轨迹方程，由a ＝6，c ＝10得b ＝c 2－a 2＝8，所以点P 的轨迹方程可化为x 236－y 264＝1(x >0)．题型 二 双曲线的标准方程及应用1．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2)B.x 22－y 214＝1(x ≤－2)C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) 答案 A解析 设动圆的半径为r ，由题意可得MC 1＝r ＋2，MC 2＝r －2，所以MC 1－MC 2＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故其标准方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)．2．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.求双曲线标准方程的两种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． 注意：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)求解．1．设F 1和F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过Q (5，3)点，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 22－y 22＝1C.x 23－y 29＝1D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 F 1和F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，F 1，F 2，P (0,2b )构成正三角形，∴2b ＝3c ，即有3c 2＝4b 2＝3(a 2＋b 2)，∴b 2＝3a 2；双曲线x 2a 2－y 2b2＝1过点Q (5，3)，∴5a 2－33a2＝1，解得a 2＝4，∴b 2＝12， ∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.故选D.2．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案x 24－y 2＝1解析 因为此双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，即x 2±y ＝0，所以可设此双曲线方程为x24－y 2＝λ(λ≠0)．又因为此双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，λ＝1，所以此双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 题型 三 双曲线的几何性质角度1 与双曲线有关的范围问题1．(2015·全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233答案 A解析 不妨令F 1为双曲线的左焦点，则F 2为右焦点，由题意可知a 2＝2，b 2＝1，∴c2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0)·(3－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝x 20＋y 20－3.又知x 202－y 20＝1，∴x 20＝2＋2y 20，∴MF 1→·MF 2→＝3y 20－1<0.∴－33<y 0<33.故选A.角度2 与双曲线渐近线有关的问题2．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4 答案 B解析 因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －，y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －，y ＝－33x ，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3，所以N (3，－3)，所以|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－322＝3.角度3 与双曲线离心率有关的问题3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ 答案 B解析 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，且“右”区域是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <b ax ，y >－ba x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<2b a ，即b a >12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞，选B.1．与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．2．与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝ca是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e >1.(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．1．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x2m 2＋n －y23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案 A解析 由题意可知，c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2，其中c 为半焦距， ∴2c ＝2×2|m |＝4，∴|m |＝1，∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0， ∴－m 2<n <3m 2，∴－1<n <3.故选A.2．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( )A ．2 B. 2 C ．2 2 D ．4答案 B解析 因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y ＝±x ，所以a ＝b .因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以22a ＝1，所以a ＝b ＝2，双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b ＝ 2.3．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2答案 C解析 由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a . 在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc， ∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝bc，∴b 2＋4c 2－6a 22b ·2c＝b c⇒c 2＝3a 2，∴e ＝ 3.故选C.题型 四 直线与双曲线的综合问题已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 解 (1)若双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k 2，解得－2<k <2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2， 即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.又因为－2<k <2，且k ≠±1， 所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.1．判断直线与双曲线位置关系的三个步骤2．一个易错点联立直线与双曲线方程消元后，一定要注意二次项系数是否为零的判断或讨论． 3．一组常用结论过双曲线x 2m －y 24＝1的右焦点F 作x 轴的垂线与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为8，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±32xB ．y ＝±22xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x 答案 C解析 由右焦点F (c,0)，∴c 2m －y 24＝1，∴y ＝±4m，∴|AB |＝8m，∵△AOB 的面积为8，∴12×8m ×m ＋4＝8，解得m ＝43， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±223x ，即y ＝±3x . 高频考点 双曲线的离心率、渐近线问题考点分析 高考题对双曲线的考查，通常以选择或填空题的形式出现，考查内容以离心率、渐近线问题为主．[典例1] (2019·安徽皖江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，四点P 1(4,2)，P 2(2,0)，P 3(－4,3)，P 4(4，3)中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )A.52B.52C.72D.72答案 C解析 由双曲线的对称性可知P 3(－4,3)，P 4(4,3)在双曲线上，且P 1(4,2)一定不在双曲线上，∴P 2(2,0)也在双曲线上，∴a ＝2，b ＝3，c ＝7，∴e ＝72. [典例2] 如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)两渐近线的夹角是60°，则该双曲线的离心率是________．答案233或2 解析 易知双曲线的渐近线的斜率是±b a .又两渐近线的夹角为60°，则b a ＝tan30°或b a＝tan60°，即e 2－1＝13或e 2－1＝3，又e >1，所以e ＝233或e ＝2，故该双曲线的离心率为233或2.[典例3] (2018·华南师大附中二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点F 2关于直线y ＝bax 的对称点为M ，若点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线方程为________．答案 y ＝±2x解析 设点F 2关于直线y ＝b ax 的对称点是M 在双曲线的左支上，MF 2交渐近线于点N ，则|MN |＝|NF 2|＝|bc |b 2＋a2＝b ，|ON |＝|OF 2|2－|NF 2|2＝c 2－b 2＝a ，又因为O 是F 1F 2的中点，N 是MF 2的中点，所以|MF 1|＝2a ，又由双曲线的定义知|MF 2|－|MF 1|＝2a ，所以2b －2a ＝2a⇒b a＝2，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x .。
高考数学复习第八章解析几何第6节双曲线课件文新人教A版
[训练 1] (2019·辽宁大连月考)已知点 F 是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左焦点，
点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若△
ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是
(B )
A．(1，＋∞)
B．(1,2)
C．(1,1＋ 2)
(B )
A．x82－1y02 ＝1
B．x42－y52＝1
C．x52－y42＝1
D．x42－y32＝1
解析
由
y＝
5 2x
可得ba＝
5 2.
①
由椭圆1x22 ＋y32＝1 的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得 a2＋b2＝9. ②
由①②可得 a2＝4，b2＝5. 所以 C 的方程为x42－y52＝1.
2．双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的两条渐近线互相垂 直(位置关系)． (4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2ab2. (5)过双曲线焦点 F1 的弦 AB 与双曲线交在同支上，则 AB 与另一个焦点 F2 构成 的△ABF2 的周长为 4a＋2|AB|.
第八章 解析几何
第六节 双曲线
1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决 实际问题中的作用． 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的 几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 3.理解数形结合思想． 4.了 解双曲线的简单应用．
栏 目 导 航
01 课前回扣·双基落实 02 课堂互动·考点突破