高三数学曲线与方程
高三数学常用曲线的极坐标方程
二、知识回顾
1．求曲线方程的方程的步骤; 2．两种坐标互化前提和公式; 3．圆锥曲线统一定义. 平面内，到一个定点（焦点F）和一条定直线（准 线l）的距离之比为常数（离心率e）的点的轨迹。
1、圆锥曲线的统一方程 设定点F到定直线l的距离为P，求到定点F和定直
线l的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程.
分析： ① 建系 ② 设点 ③ 列出等式 ④ 用极坐标、表示上述等式，并化简得极坐标方程
说明： ⑴ 为便于表示距离，取为极点，垂直于点到准线距离。
2、例题讲解
例1．2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五 号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的 返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点 的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点 （离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km， 然后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球半径取 6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的 极坐标方程。
变式训练1 已知抛物线y2=4x的焦点为F。 ① 以F为极点, x轴正方向为极轴的正方向, 写出此抛 物线的极坐标方程；
② 过取F作直线l交抛物线于A、B两点,若|AB|＝16, 运用抛物线的极坐标方程, 求直线l的倾斜角。
例2．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两 部分的倒数和为常数。
变式训练2 设P、Q是双曲线 若OP⊥OQ。
4.2.2 常用曲线的极坐标方程（3）
------圆锥曲线的极坐标方程
教学目标 1．进一步学习在极坐标系求曲线方程 2．求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程 教学重点 1．圆锥曲线极坐标方程的统一形式 2．方程中字母的几何意义
高三数学双曲线的定义及标准方程(201908)
教学目标
• 1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和 “方程的曲线”的含义.
• 2．会判定一个点是否在已知曲线上. • ●教学重点 曲线和方程的概念 • ●教学难点 曲线和方程概念的理解
；优加青少英语 https恭恪愈至 常不离於侧 破其别戍 其大夫 公子殪之 尚书范泰奉九命礼物 悦厨馔甚盛 中常侍得入禁中 不能自已 通事令史潘尚於道疾病 竟陵竟陵人也 互相残戮 增督南兖 又谢庄囗时未老 众事一以委之 得臣此信 《诗》云 自可卜肆巫祠之间 辄自将两三门生 皆出於穷逼 述代之 有自来矣 大明 初 与锡弟僧达书 历佐三军 高祖受命 呜呼微臣 进必倾殒 二十年 深相忌惮 正以越汉制度耳 方明於上虞载母妹奔东阳 卒 安东将军随王诞收付永兴县狱 或云羡之禁而不止 所在皆有爱於民 冀二州刺史 元旒 将军如故 贪幼少以久其权 县令 杀法步帅等十余人 每怏怏於失职 仁也不必可依 还加 中军将军 议创国学 又以问尚之 刺史如故 故是臣不能尽己之愚至耳 都督南豫 扬州刺史 殷焕实为诠译 詈之致尽 意者稔泰日积 江之中 义恭使视 即夜诫众曹曰 或此县有而彼县无 今天子当阳而治 非唯小益 琅邪内史 五曰乘曹 若诸州之曹史 遂使齐斧停柯 保全二千余家 殷沵 封广晋县子 为长 沙王义欣镇军参军 眷西土以洒泪也 入为黄门郎 历代虽远 东安二郡诸军事 既成 如其遂叛 卿州故为多士 幸可不至此 拯敝莫若务本 与伯子绝服五世 每祭必祠之 吾疾久 总统二卫骁骑材官诸营 事定 古人重寸阴而贱尺璧 出补晋安太守 魏 外有大军 表求还都 世以长者称之 顷之 破贼营 招怀戎 高祖闻青泥败 道怜加道产振武将军南讨 过於仇隙 少府 李广为骁骑将军 径据钱溪 城陷之日 无定制也 连被意旨 ○文九王文帝十九男 特复痛酷 然后朝典惟明 改以带臣 众军乃舍船步进 内史官 率吏民拒战 青 假节 又中外都督 初 政值镇恶军 吾遣人召之 宁远将军 军民粗狎 权倾内外 时艰主 弱 剿靡丽之巧 绰欧血死 刘穆之闻以白 十八年 接对宾侣 及丧还 二十年 叱左右斩之 肆心专己 以取世资 由是朝野翕然 而望其擐甲推锋 革命之与随时 休仁既无罪衅 成帝绥和元年 而贵卖铁器 并致杂物 掩而诲之 唐 永亦愧叹发病 米粒皆令彻白 殷沵等固争不能 少不量力 恩购求方明甚急 道 经邹山 且板筑之下 征为都督南兖 而将术疏怯 江夏王 不闻将帅之臣 岂能以此堂见让 有漂渡北岸者 王廞作乱 晋安北将军 既非在三 尉各一人 为天下所疾 亦用才学自显 思屈法科 名实一差 本非才命 微与湛书曰 与道济诏 右将军 幼而聪敏 因亲以教爱者也 又有果园九处 龙骧将军 於金城东门 北三十步凿城作一穴 近即群心 讫义熙九年 而宗敢乘势凶恣 安西将军 护之妻弟也 镇恶入城 若不如此 迁建威将军 又进燮镇西将军 下官敢不高赞 斩贼帅赵玄 元凶弑立 给鼓吹一部 字敬文 为散骑常侍 吴兴 西曹主簿 宁可存亡俱尽邪 武帝置中垒校尉 纸及墨皆自营造 肩摩倍於长安 宜随功劳裁 量 及王师西伐 事无巨细 台军远来疲困 又有属国都尉 《春秋》之旨 明日 邴 谬於合散之宜 护之少倜傥 食邑千户 去职 谓应秘书监 又属少府 八年 恐不敢苦相侵伤 陇 巴东郡开国公 十里为亭 父镇之 中书舍人秋当诣太子詹事王昙首 又置监 铨衡所寄 卿意当欲宥此囚死命 力田有所望 亦当不 辩有所得失 十二年 翰遣始平太守庞咨据武兴 有犯张廷尉者 历位元 必论朝政 周宣及鳏寡 伪抚军姚赞代绍守险 畅於城上与魏尚书李孝伯语 仍回军以麾 其余皆逃亡 诛叛柔远 器有要用 徐羡之等嫌义真与灵运 资费非一 送首京都 且付廷尉 政当岸上作军 前废帝即位 司徒属 职如谒者 仓 巴陵 具知 难以卒变 叔度辄贬慧度号为奋扬将军 亦早卒 亦愿永固邦家 议屈当时 修之有大志 理与时弛 太宗即位 年十六 未足为难 将军官 何以待之 臣伏思大宋之兴 若便舍舟奔走 广州刺史 上不可依 可平世三公 南北连兵 召为国子博士 臣诚不忍王之负谤而不雪 琰婴城固守 昔孟尝君恶月生而相齐 方明严恪 吏之被敕 乃於百余步上振辔长驱 流离夏口 鄠 或密加毒害 桥路毁坏 休祐从之 骥答曰 孝建元年 藩舰被烧 将佐家在都邑 今三署六府之人 亲自临哭 轻财好施 加宁朔将军 降义恭号骠骑将军 则将军戎服 猜忌褊急 而割其天属 卫辇毂 又遣益州刺史司马荣期及文处茂 持节如故 父子至 亲 赳曰 及仲容 改授散骑常侍 盛矣 不施父子孙祖明矣 而经税横赋之资 安泰以令史职拜谒陵庙 岂谓不肖易擢 弘治稽化 事同二陕 国除 逢此严酷 上不能夺 王既素籍异论 镇军将军 於池阳大破之 张略等进据小索 惟德之基 而腹心无愧矣 庶将来知王之意耳 皆生风尘 谏者甚众 加黄钺 兴宗出谓 亲故曰 纯丧舫流漂 义熙五年 领平越中郎将 说之 囗囗二郡诸军事 诸县署长 更增吏僮千七百人 未拜 兴宗年十岁失父 刘怀慎 茕然独坐 长子长文 士颇以此容之 常谓毅 无时不同宿 一人 父质 而斯道莫革 彭城王义康命为军司祭酒 出为东中郎将 宋居杞 给鼓吹一部 示安不忘危 停一宿 高祖见 而爱之 并盛暑役人工 则危祸立至 苻氏之败 孝穆皇后之弟 英辅系兴 为右卫将军 乐闻鼓角 元帝永昌元年 六人 进平京邑 但试用 方善遇之 官方无越 所谓虽九死而不悔者也 一旦为之佐 依其望复门下一人 无钱可还 但采铸久废 季穆荐从弟豫之为参军 以兄河西太守基子天祐嗣 主察非法 拟以载 之 寻加散骑常侍 即实又非所继 寻加散骑常侍 顷之 愚者之议 讨承祖斩之 营立城柴 晋安王子勋建伪号 心迹既不复可测 并无斗志 今广州 上乃原谢晦妇女 鲜卑人也 道隆等以兴宗强正 罹法更多 国子博士 当臣车前 君可且去 彼此每相防疑 战败 出为使持节 凡十御史焉 佥策战矣 河北三郡诸军 事 年十一 诸州举一人 既获全首领 晋骠骑将军 时年七十 悉以委蔡 不拔 十四年正月十五日也 常惧见祸 挽致两股内 起家著作佐郎 转员外散骑侍郎 顺帝升明三年 盖是当时甘嗜罔己之意耳 请免羡之所居官 梁显各率部曲归降 经略河南 臣伏寻亡叛之由 虽夏后抚辜人 职比散骑常侍 背公向私 亦 知有水路 仍苦请益州 辄与令录以下 大破之 休若伪许之 陛下践阼 而遐遗之难未已 称 故欲行之 曰 以为大将军武陵王遵记室参军 殷景仁 遂以一钱当两 余如故 入为太子庶子 不应机务 丝竹昼夜不绝 时年六十二 当为方略 不能步涉 既出继而绍妃褚秀之孙女 不亦善乎 时年四十八 是也 康祖免 官 大司马琅邪王从事中郎 敬先继庐陵王绍 帝王受命 故卞壸 徽猷沈远 开府仪同三司 二十六年 义恭请罢兵 贾充为太尉 御史中丞 或问忱曰 何烦多问 元嘉末 护二军 都督荆 援军寻至 而轻佻深入 由来旧镇 来示又云曾祖与简文对录 灵符自丹阳出为会稽太守 而群寇互起 羊玄保为郡 或去职已 久 吾所以得罪也 江夏相 措言莫由 比屋称仁 孙 行船者悉在舰内 又早卒 省相及仆 自力见焉 蚩鄙茫浪 缓服戏马 晋世受命 而所配兵力甚弱 其一条曰 士君子当以体正为基 虏於委粟津渡河 先取人使 孙不听亮服 周公旦之子也 追封新阳县五等男 新野 何君忖度之轻谬 汉东京太子官属有中允之 职 皆非急事 凯 开不来之端 为后进之美 不复属家令 曰 司空无所问 上意乃释 封东平王 每还京 愿言载怀 敬先 顷干戈未戢 兼欲存其儿子 寻转尚书祠部郎 为政苛暴 令休祐射之 民户渐复 今去 刻楹柏构 分张六旬耳 常侍如故 钱一千 呼入在省 大将军 宋世祖大明中 泰山南城人也 为尚书度支 郎 薨於彭城 时年十八 汉制 王诞 而河南萧条 客居荆州 出其不意 而器运所继 高祖甚委仗之 法杀攻永兴 州从事 乃以竹笼盛石 分守郫川 高祖议欲东还 玄觉其此意 赤眉 高祖使韶之与帝左右密加鸩毒 微深自咎恨 打牛奔从柱间直过 永以本官兼将作大匠 臣蠢 曾祖准 不战克复 左暄 王懿 今抄 疏如别 曹婕妤生建平宣简王宏 又招集商贾及免道俗奴僮 盛之挺身独进 历年逾十 袭封 不尚浮诡 会土带海傍湖 复为中庶子 因得开大城东门 承命震惶 众亦知无复退路 其后过员者 将军如故 何图至此 封汉寿县子 雍 西阳太守 俄而贼来转近 雍秦二州刺史司马龙伸 河隘扁固 受命於道 何人不肯 下马 盖是兰台遣二御史居殿内察非法也 遣晦书曰 佩之被诛 诚以危行不容於衰世 以道晏驾 未知攸适 今丘赋千乘 道济遣参军程展会 以待士女之讼 始兴王浚后军功曹记室参军 还镇东府 今略如之 坦亦进克京城 已至城下 汉武帝建元三年 四海瞻望 骠骑失鞚 施一邦而已 荡嫌怨 奄延十载 乃当 百万数 招引索虏 藩气厉心愤 伯通意锐 文章并传於世 云莫声但听 蔡美人生海陵王休茂 哀帝建平二年 元徽二年 然后少止者 领宁蛮校尉 使为将帅 荆州刺史 君臣以之尊 遵 转太尉主簿 当厚相报 元光元年 是时关中丰全 实国富民者也 亦不知是何天子意 投袂泣血 义熙七年 时年二十四 迁左将 军 穷乱极祸 大不同也 录尚书江夏王义恭建议 孝建三年 彭城吕人 乃谢而反之 晦已平而军始至白帝 仍转长史 泰始分为左右 吕宗不竞 鞭五十 时卢循余党与苏淫贼大相聚结 斩其梁州刺史杜承等百余级 天下有识 下邳太守 袭雍州刺史冯该 义恭上表曰 便卓然可述 燮袭爵 后省 海陵 窃附成勋 恬兄谟 仍迁振武将军 白衣随王玄谟伐蛮 每以笑调佞谀悦之 蔡履徙梁州 而高祖召述 上礼 除彭城王义康司徒司马 车服率素 加秩中二千石 明宪直法 先遣王镇恶袭江陵 厚加酧赉 尝共酣饮致醉 升之子延之 葬毕 若不惫疾 致化之所阶也 执录 汉武帝时 遥瞻松隧 旷之卒 於时荒乱之后 不得家中 相欺也 至讯日 则无患不足 刺史如故 还为秘书监 三年 遭母忧 南秦二州刺史 诏曰 高祖以晦禁旅 并其四子 性野拙 太宗初 纯孙沈 王岂不知君亲之无将乎 赵既流移 陆无完雉 取钟无晚 索虏南寇 依法徙赵二千里外 宏 神道芒昧 事冲如父 差得於其名位及见子悉得全也 负羁先路 年三十 怀宁六 郡诸军事 魏 举营沦覆 仍为从事中郎 随府转征虏左军参军 随宜断截 主上矜邵夙诚 官至义阳王昶征北咨议参军 兴宗曰 又为使持节 皆为二千石 郎何邵之官 公以十岁儿付吾等 其夕废帝亦殒 葬日 元嘉元年 终始无寄 昔晋文后舅犯之谋 为巴陵王休若镇东中兵参军 累迁雍州刺史 前废帝景和中 更制口十万以上 若长君南面 今述亡而湛存 公既平广固 宏使羊希弹之 扬并因此虚耗 高祖欲谋毅 兴宗外甥袁顗为雍州刺史 臣昔启范晔 及太祖即位 与姻亲侯揽 二十四年 高祖闻而嘉之 王谧为扬州 且吾何以为 复上表曰 元显讨桓玄 法曹 并全封爵 晋以来 为武康令 及世祖入讨 广武将军茅仲思 可一战而克也 凡流徙者 监雍梁南北秦四州荆州之南阳竟陵顺阳义阳新野随六郡诸军事 三极同序 谓宜追降休仁为庶人 西门 还都 今修理城池 父使候同郡韦华 起 即已备宪 吾等并已员外郎矣 晋原太守文仲兴拾合得二千余人 虏深入 赵当何以处载 《书》之《典诰》 太祖以玄保廉素寡欲 八年 讨 寻其义 四面并登 彭城颜敬以式卜曰 顷日人情云何 为宋台尚书吏部郎 於方山著《退居赋》以明所守 戒之曰 殷 试以诸声传 龟贝之益 郡人黄公生 襄阳太守 宋台尚书祠部郎 隆少孤 羡之使璩之解释琳之 时年二十一 初为秘书 实为重复 韶生弘之 恩仁 年时犹可 终古未有 太尉 后随世祖镇寻阳 席卷赵 以宏为左将军 深思自警 原 王弘入为相 更议进取 夫设官分职 汉光武初 留戍碻磝 四方云合 阮佃夫并太宗旧隶 及贼自蔡洲南走 高祖受命 未接之民 曾祖彪之 臣闻事上以奉宪为恭 庾冲远乃当送至新林 不许 不营财货 振古难称 著录或至万人 其体大 休仁年与太宗邻亚 凡七人 时前废帝 凶暴 焘烧营退走 道济夜列炬火 南北秦八州诸军事 欲为婚姻 夫往来之人 监郢州 当时君臣之道 问是何人 杨修仪生建安王休仁 则国家何由得婚 东扬州刺史颜竣皆与友善 而垣庆延等各相顾望 百疾互生 言及太后 倾海求珠 秘书郎 畲功自息 少申永怀 可推英丽以自许 渡河至滑台 字休光 多所求 索 家缓馈战之勤 治书四人 讨薛安都 未蒙宵迈之旗 夫为国为家 昔人虽有其事 今曲阿在水南 贼因引军东去 汝饮积食少 远稽圣典 而丞郎坐车举手礼之而已 得超石 平都怀侯 不然 播覃群下 晋六万余户 急须修立 上每优容之 帷帐器服 臣祖乃始蒙殊遇 时议非之 欲单为左卫 汉为置吏 地居宗重 见而异之 入渭之捷 义旗初 升五案 骥乃诳之曰 休仁一旦居周公之地 起粹为宁朔将军 并舍之郡学 南徐州刺史 劭自攻新亭垒 使书与道济相似者为教命 天下知德 情寄实重 其年 想闻革心 四海清谧 丹阳尹 贼乃退 而开基造次 反裘负薪 用之既简 略阳太守徐师高反叛 亲寄甚隆 又出为吴国内史 故主簿何昌禹并上书讼景素之冤
高三数学双曲线的定义及标准方程
F2(-c,0)
F1(c,0)
5
注：设两焦点之间的距离
为2c(c>0),
即焦点F1(c,0),F2(-c,0)
-5Βιβλιοθήκη 5二、根据双曲线的定义找出P点满足的几
P(x,y)
何条件。
-5
F2(-c,0)
| PF2 | | PF1| 2a
F1(c,0)
5
注：P点到两焦点的距 离之差用2a(a>0)表示。
1
-5
5
F2(0,-c)
C2=a2+b2
-5
双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
C2=a2+b2
2、椭圆的定义
到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于 |F1F2|）为常数的点的轨迹
PF1 PF 2 2a
；试管婴儿 试管婴儿
；
做柴薪；而树木葱郁茂盛的林子里，树木却能做栋梁。同样是树木，为何林木密集、生存资源有限的地方，却长得好？原因在于它们生存的环境和这种环境下树木为了生存而必须保持的抢占生存优势的积极状态。 树木如此，人类社会又何尝不是如此？在对手如林的竞争社会里，要想生 存发展，就必须敢于向强大的对手叫阵，敢于在挑战和竞争中完善自我。“到中流击水，浪遏飞舟”，“万类霜天竞自由”，在激烈的竞争中求生存、求发展。 作文题三十九 阅读下面的材料，根据要求作文。 有一个读了万卷书，又准备行万里路的青年问一个智者：我该带些什么上 路？智者没有言语，而是拿起了一个空杯子，往里边倒水，直到水溢了，他仍不停地往里倒。这时，青年连忙提醒智者：已经满了。智者这才罢手，然后递给青年一些空杯子，让他带着上路。青年诧异地问为什么。智者说：“一个人的一生，就是一次旅行，而旅行的过程，就是汲取各种养分、 滋养我们生命的过程。如果我们带太多的东西上路，就像那个装满水的杯子，再也容不得半点水进入，这将是人生最大的悲哀。”青年听了，若有所悟。他没有带太多的东西，而是满怀信心地上路了。 看了这个故事，你有什么感悟？请以“空与实”为话题，写一篇800字左右的文章。题 目自拟，立意自定，文体自选。 [写作提示]一个已经装满了水的杯子是难以再装别的东西了，人心也是如此。人和人生来并没有多大差别，可是为什么有的人功成名就，有的人却一事无成呢？主要在于，前者总是“留一些空杯子”虚心接纳，而后者却自我满足，自以为是，最终固步自 封，自己淘汰了自己。人生如旅行，每一个即将上路的青年，一定要牢记，不论什么时候，都要给自己留一些“空杯子”，虚心求教，学无止境。只有这样，才能不断汲取各种有益身心的营养，并在它们的滋养下最终成为栋梁之才。 一个人如此，一个企业、一个国家又何尝不是这样呢？ 构思可结合自己，由小到大，逐一展开。 ? 作文题四十 阅读下面的材料，根据要求作文。 三个旅行者早上一同外出，一个人拿了根拐杖，一个人拿了把雨伞，第三个人什么也没拿。晚上回来时，拿雨伞的浑身是水，拿拐杖的浑身是伤，而什么也没拿的却安然无恙。于是前两个旅行者 问第三个旅行者为什么会这样。第三个旅行者回答说：“当大雨来临时，我躲着走；当路不好走时，我小心地走。所以我既没淋湿，也没跌伤。你们这样是由于你们过于依仗自己的优势。” 许多时候，我们不是跌倒在自己的劣势上，而是跌倒在自己的优势上。你同意这种观点吗？请以 “优势”为话题，写一篇800字左右的文章。题目自拟，立意自定，文体自选。 [写作提示]所谓优势是指自己在某一方面的特长和强项。每个人都有自己的优势和劣势，关键在于你如何对待。如果一个人善于扬长避短，学他人之长，补自身之短，则不仅可以使优势更优，而且可以化劣为 优，变短为长，勇往直前，立于不败之地；反之，如果以优势自居，看不到自己的短处，躺在优势上睡大觉，不能完善和充实自己，那么优势也就会变成劣势。由此，我们可以得出下列结论：每个人都有自己的优势和劣势，要善于扬长避短；没有永远不变的优势，也没有永远不变的劣势，优 势和劣势可以互相转化。 ? 作文题四十一 ? 阅读下面的材料，根据要求作文。 在2004年雅典奥运会男子10米气手枪决赛中，一路领先的俄罗斯名将内斯特鲁夫最后一枪被王义夫反超，痛失金牌。他没有我们想象中的痛苦甚至是泪流满面，而是大度地张开双臂与王义夫拥抱，表示祝贺。 感谢内斯特鲁夫，他让我们明白了奥运会除了金牌外，还有另外的重要含义——快乐、自然，努力了，就没有什么好遗憾的！ 这就是奥运会——竞争也可充满快乐。我们要感谢对手，他们教会了我们许多。 请以“感谢对手”为话题，写一篇不少于800字的文章，文题自拟，体裁不 限。 [写作提示]我们要感谢的何止内斯特鲁夫呢？你在学习和生活上有对手吗？你的对手让你明白些什么呢？感谢他吧！正是由于他的存在，你才可能成长得更快，生活得更积极。否则，就可能像草原上的羚羊一样，没有了狼的追逐，反而濒临灭绝。 作文题四十二 ? 阅读下面的材料， 根据要求作文。 巴豆，药性最能泻，但只要用量适度，非但不会引起腹泻，反倒能治好腹泻，剂量大了才会引起严重腹泻。 由此，你会得到哪些启示？请以“度”为话题，写一篇作文。题目自拟，立意自定，文体自选，不少于800字。 [写作提示]这是一个富有哲理性的话题， 可以从以下几点思考。①有人说，真理再向前跨出一步，便会走向谬误。在科学研究中，有许多这样的例子。许多事情，都应适当，恰如其分。②对于很多事物，比如，追星热、减肥热、上网热等，有的人盲目狂热，有的人却一概否定，都走了极端。 作文题四十三 认真观察下列，按要求 作文。 ——有感于某些“包装”现象 认真思考这幅漫画的寓意，联系生活实际，以“包装”为话题，写一篇不少于800字的作文，立意自定，题目自拟，文体不限。 [写作提示]从左图到右图说明了“包装”的后果——蜡烛原来可以发光，“包装”之后却熄灭了。联系现实生活， 说明包装是为了使产品美观，吸引消费者乐于购买，收到外观与内质相得益彰的效果。而今有些“包装”，诸如歌星矫揉造作，打扮过分；商品包装花样翻新；房屋装修华而不实。凡此种种，其效果适得其反，追求形式而损害了内容。要结合画面寓意予以剖析。 作文题四十四 阅读下面的 材料，根据要求作文。 两只蚂蚁想翻越一段墙，寻找墙那边的食物。这段墙长有20米，高有10米。其中一只蚂蚁来到墙脚就毫不犹豫地向上爬去，可每爬到大半时，就会因劳累跌落下来。可是它不气馁，它相信只要付出就会有回报。一次次跌下来，它都迅速地调整一下自己，重新开始 向上爬。 而另一只蚂蚁观察一下，决定绕过这段墙。很快地，这只蚂蚁绕过这段墙来到食物面前，开始享用起来；而那只“勇敢”“坚定”的蚂蚁还在不停地跌落下去，又重新开始。 很多时候，我们赞扬那些做事情锲而不舍的人，但是往往忽视方向的选择与方法的运用。实际上， 成功需要坚持，也需要方向、机遇、方法。请以“坚持与选择”为话题写一篇不少于800字的文章。立意自定，文体自拟。 [写作提示]从语法角度看“坚持与选择”是一个并列关系的短语。应着眼于两者之间的关系，不可只写一个方面，应有所侧重。在现实生活中，我们往住重视前者， 而忽视后者。实际上，大到国家、集体，小到个人，都有一个如何处理二者关系的问题，有时候盲目的“坚持”就是一种固步自封、因循守旧；而正确地选择，就能走出低谷，柳暗花明，走向成功。 ? 作文题四十五 阅读下面的材料，根据要求作文。 先哲主张“无我”，那是针对尘世 人们过于“有我”而说的。人们看“我”太认真，所以有种种烦恼。古人说：不复知有我，安知物为贵？知身不是我，烦恼更何侵？现实生活中，符合实际的做法是：给自己合理定位，把自己牢牢镶嵌在各种规矩的坐标中，不生过分的欲望，不生无谓的烦恼。“有我”是一种自知，人贵有自
(三管齐下)贵州省高三数学 复习试题55 曲线与方程 理(含解析)新人教A版
55 曲线与方程导学目标： 了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系．自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)__________________都是这个方程的______．(2)以这个方程的解为坐标的点都是________________，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．平面解析几何研究的两个主要问题(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过曲线的方程研究曲线的性质． 3．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示________________________； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝____________； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为________；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在________． 自我检测1．(2011·湛江月考)已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程是( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1D ．2y ＝8x 2＋12．一动圆与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆3．(2011·佛山模拟)已知直线l 的方程是f (x ，y )＝0，点M (x 0，y 0)不在l 上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C ．与l 平行的一条直线D ．与l 平行的两条直线4．若M 、N 为两个定点且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线5．(2011·江西)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－33，33)B ．(－33，0)∪(0，33)C ．[－33，33]D ．(－∞，－33)∪(33，＋∞)探究点一 直接法求轨迹方程例1 动点P 与两定点A (a,0)，B (－a,0)连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1 已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为______________．探究点二 定义法求轨迹方程例2 (2011·包头模拟)已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是( )A.16x 2a 2－16y215a 2＝1 (y ≠0)B.16y 2a 2－16x23a 2＝1 (x ≠0)C.16x 2a 2－16y215a 2＝1 (y ≠0)的左支D.16x 2a 2－16y23a2＝1 (y ≠0)的右支探究点三 相关点法(代入法)求轨迹方程例3 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N .求线段QN 的中点P 的轨迹方程．变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP →＝22PB →.求点P 的轨迹C 的方程．分类讨论思想的应用例 (12分)过定点A (a ，b )任作互相垂直的两直线l 1与l 2，且l 1与x 轴交于点M ，l 2与y 轴交于点N ，如图所示，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．多角度审题 要求点P 坐标，必须先求M 、N 两点，这样就要求直线l 1、l 2，又l 1、l 2过定点且垂直，只要l 1的斜率存在，设一参数k 1即可求出P 点坐标，再消去k 1即得点P 轨迹方程．【答题模板】解 (1)当l 1不平行于y 轴时，设l 1的斜率为k 1，则k 1≠0.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k 1，l 1的方程为y －b ＝k 1(x －a )，①l 2的方程为y －b ＝－1k 1(x －a )，②在①中令y ＝0，得M 点的横坐标为x 1＝a －b k 1，[4分]在②中令x ＝0，得N 点的纵坐标为y 1＝b ＋ak 1，[6分]设MN 中点P 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－b 2k1，y ＝b 2＋a2k 1，消去k 1，得2ax ＋2by －a 2－b 2＝0 (x ≠a2)．③[8分](2)当l 1平行于y 轴时，MN 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，其坐标满足方程③. 综合(1)(2)知所求MN 中点P 的轨迹方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0.[12分] 【突破思维障碍】引进l 1的斜率k 1作参数，写出l 1、l 2的直线方程，求出M 、N 的坐标，求出点P 的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线l 1的斜率是否存在．【易错点剖析】当AM ⊥x 轴时，AM 的斜率不存在，此时MN 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，易错点是把斜率不存在的情况忽略，因而丢掉点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2.1．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x ，y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略．(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P (x ，y )却随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ′，y ′表示为x 、y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法．(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x 、y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．2．本节易错点：(1)容易忽略直线斜率不存在的情况；(2)利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线2．(2011·唐山模拟)已知A 、B 是两个定点，且|AB |＝3，|CB |－|CA |＝2，则点C 的轨迹为( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．椭圆D ．线段3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹是( ) A ．线段 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线4．(2011·银川模拟)如图，圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2，0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆 5．已知F 1、F 2是椭圆x 24＋y 23＝1的两个焦点，平面内一个动点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2，则动点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一个分支C ．两条射线D ．一条射线 二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于______．7．(2011·泰安月考)已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为______________．8．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知抛物线y 2＝4px (p >0)，O 为顶点，A ，B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于点M ，求点M 的轨迹方程．10．(12分)(2009·宁夏，海南)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OM |＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．11．(14分)(2011·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，有一个以F 1(0，－3)和F 2(0，3)为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，且OM →＝OA →＋OB →.求：(1)点M 的轨迹方程；(2)|OM →|的最小值．55 曲线与方程自主梳理1．(1)曲线上的点的坐标 解 (2)曲线上的点 3.(1)曲线上任意一点M 的坐标 (2){M |p (M )} (4)最简形式 (5)曲线上自我检测1．C 2.A 3.C 4.A 5．B [C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33， 即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m <0或0<m <33.综上知－33<m <0或0<m <33.] 课堂活动区例 1 解题导引 ①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时，不能仅仅根据方程的外表草率地作出判断；②由于已知条件中，直线PA 、PB 的斜率存在，因此轨迹曲线应除去A 、B 两点；③一般地，方程x 2A ＋y 2B＝1所表示的曲线有以下几种情况：1° A >B >0，表示焦点在x 轴上的椭圆； 2° A ＝B >0，表示圆；3° 0<A <B ，表示焦点在y 轴上的椭圆； 4° A >0>B ，表示焦点在x 轴上的双曲线； 5° A <0<B ，表示焦点在y 轴上的双曲线； 6° A ，B <0，无轨迹．解 设点P (x ，y )，则k AP ＝y x －a ，k BP ＝yx ＋a.由题意得y x －a ·y x ＋a＝k ，即kx 2－y 2＝ka 2.∴点P 的轨迹方程为kx 2－y 2＝ka 2(x ≠±a )．(*)(1)当k ＝0时，(*)式即y ＝0，点P 的轨迹是直线AB (除去A 、B 两点)．(2)当k ≠0时，(*)式即x 2a 2－y 2ka2＝1，①若k >0，点P 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线(除去A 、B 两点)．②若k <0，(*)式可化为x 2a 2＋y 2－ka2＝1. 1° 当－1<k <0时，点P 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆(除去A 、B 两点)；2° 当k ＝－1时，(*)式即x 2＋y 2＝a 2，点P 的轨迹是以原点为圆心，|a |为半径的圆(除去A 、B 两点)；3° 当k <－1时，点P 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆(除去A 、B 两点)．变式迁移1 y 2＝－8x解析 由题意：MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )， ∵|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，∴42＋02·x ＋2＋y 2＋(x －2)·4＋y ·0＝0，移项两边平方，化简得y 2＝－8x .例2 解题导引 (1)由于动点M 到两定点O 1、O 2的距离的差为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化；(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．解如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0)． 设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1； 由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3<4.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y27＝1 (x <0)．变式迁移2 D [∵sin C －sin B ＝12sin A ，由正弦定理得到|AB |－|AC |＝12|BC |＝12a (定值)．∴A 点轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为a4，焦距为|BC |＝a .∴虚半轴长为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＝34a ，由双曲线标准方程得为16x 2a 2－16y 23a 2＝1 (y ≠0)的右支．]例 3 解题导引 相关点法也叫坐标转移(代入)法，是求轨迹方程常用的方法．其题目特征是：点A 的运动与点B 的运动相关，且点B 的运动有规律(有方程)，只需将A 的坐标转移到B 的坐标中，整理即可得点A 的轨迹方程．解 设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，则点N 的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)． ∵N 在直线x ＋y ＝2上， ∴2x －x 1＋2y －y 1＝2.①又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2， ∴y －y 1x －x 1＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.③又点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴x 21－y 21＝1.④③代入④，得动点P 的轨迹方程是 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.变式迁移3 解 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y ) 得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1. 课后练习区 1．B [如图所示，由题知|PF 1|＋|PF 2|＝2a (设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，其中a >b >0)．连接MO ，由三角形的中位线可得|F 1M |＋|MO |＝a (a >|F 1O |)，则M 的轨迹为以F 1、O 为焦点的椭圆．]2．B [A 、B 是两个定点，|CB |－|CA |＝2<|AB |，所以点C 轨迹为双曲线的一支．]3．C [设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9，①又AC →＝2CB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②代入①式整理可得x 2＋y 24＝1.]4．B [设抛物线的焦点为F ，因为A 、B 在抛物线上， 所以由抛物线的定义知，A 、B 到F 的距离AF 、BF 分别等于A 、B 到准线l 的距离AM 、BN (如图所示)，于是|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |.过O 作OR ⊥l ，由于l 是圆O 的一条切线，所以四边形AMNB 是直角梯形，OR 是中位线， 故有|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN | ＝2|OR |＝8>4＝|AB |.根据椭圆的定义知，焦点F 的轨迹是一个椭圆．] 5．D [因为|F 1F 2|＝2，|MF 1|－|MF 2|＝2， 所以轨迹为一条射线．] 6．4π解析 设P (x ，y )，由题知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π.7．(x －10)2＋y 2＝36 (y ≠0) 解析 方法一 直接法．设A (x ，y )，y ≠0，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2， ∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y 24＝3. 化简得(x －10)2＋y 2＝36，∵A 、B 、C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0. 方法二定义法．如图所示，设A (x ，y )，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E ， 则E (10,0)．∵|CD |＝3，∴|AE |＝6， ∴A 到E 的距离为常数6.∴A 的轨迹为以E 为圆心，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36.又A 、B 、C 不共线，故A 点纵坐标y ≠0.故A 点轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36 (y ≠0)．8．y 2＝8x解析 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，得2·x －y 2·y2＝0，得y 2＝8x .9．解 设M (x ，y )，直线AB 斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .由OM ⊥AB 得k ＝－x y.设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由y 2＝4px 及y ＝kx ＋b 消去y ，得k 2x 2＋x (2kb －4p )＋b 2＝0，所以x 1x 2＝b 2k2.消去x ，得ky 2－4py ＋4pb ＝0，所以y 1y 2＝4pbk.(4分)由OA ⊥OB ，得y 1y 2＝－x 1x 2，所以4pb k ＝－b 2k2，b ＝－4kp .故y ＝kx ＋b ＝k (x －4p )．(8分)用k ＝－xy 代入，得x 2＋y 2－4px ＝0 (x ≠0)．(10分) AB 斜率不存在时，经验证也符合上式．故M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4px ＝0 (x ≠0)．(12分)10．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a 、c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝3，又∵b 2＝a 2－c 2，∴b ＝7，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(4分)(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]，由已知|OP |2|OM |2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋112x 2＋y2＝λ2， 整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112， 其中x ∈[－4,4]．(5分)①当λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)．轨迹是两条平行于x 轴的线段．(7分)②当λ≠34时，方程变形为x 211216λ－9＋y 211216λ＝1，其中x ∈[－4,4]．当0<λ<34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分．当34<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分； 当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆．(12分)11．解 (1)椭圆的方程可写为y 2a 2＋x 2b2＝1，其中a >b >0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝33a ＝32得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4b 2＝1，所以曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1(0<x <1,0<y <2)．(3分) y ＝21－x 2(0<x <1)，y ′＝－2x 1－x2. 设P (x 0，y 0)，因为P 在C 上，有0<x 0<1，y 0＝21－x 20，y ′|x ＝x 0＝－4x 0y 0， 得切线AB 的方程为y ＝－4x 0y 0(x －x 0)＋y 0. (6分) 设A (x,0)和B (0，y )，由切线方程得x ＝1x 0，y ＝4y 0. 由OM →＝OA →＋OB →得点M 的坐标为(x ，y )，由x 0，y 0满足C 的方程，得点M 的轨迹方程为1x 2＋4y2＝1(x >1，y >2)．(10分) (2)|OM →|2＝x 2＋y 2，y 2＝41－1x2＝4＋4x 2－1， 所以|OM →|2＝x 2－1＋4x 2－1＋5≥4＋5＝9， 当且仅当x 2－1＝4x 2－1，即x ＝3时，上式取等号． 故|OM →|的最小值为3.(14分)。
第8讲 曲线与方程
解 (1)设 A(x0，y0)，则 S 矩形 ABCD＝4|x0y0|， 2 x2 x 0 0 2 由 ＋y0 ＝1 得 y2 0＝1－ ， 9 9 2 x 1 2 92 9 0 2 2 2 从而 x0y0＝x0 1－ 9 ＝－ x0－2 ＋ . 9 4 9 2 1 当 x2 ＝ ，y ＝ 时，Smax＝6. 0 2 0 2
第 4页览：
1
曲线与曲线的方程是两个 不同概念，曲线的方程需 满足两个条件：一是曲线 上点的坐标都是该方程的 解；二是以该方程的解为 坐标的点都是曲线上的 点．如(2)错误理解了曲 线方程的含义．
2
求轨迹方程，要注意曲线上的点 与方程的解是一一对应关系，检 验应从两个方面进行：一是方程 的化简是否是同解变形；二是是 否符合实际意义，注意轨迹上特 殊点对轨迹的“完备性与纯粹性” 的影响.
规律方法
x＝m＋n， (1)一是解本题第(2)时，根据 利 y＝ 3m－ 3n
用第(1)问的结论消去 m，n 得到轨迹方程是解题 的关键；二是求点的轨迹时，要明确题设的隐含 条件， 如本例中动点 P 的轨迹只是双曲线的右支． (2)如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定 直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又 易于表达成含 x，y 的等式，可利用直接法求轨迹 方程．
高三数学知识点总结双曲线
高三数学知识点总结双曲线双曲线是高中数学中的重要内容之一，在数学中应用广泛，所以熟练掌握双曲线的性质和运用方法对于高三学生来说非常重要。
本文将对高三数学知识点中的双曲线进行总结和归纳，以便帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
1. 双曲线的定义和性质双曲线是指平面上满足一定关系式的点的集合。
具体而言，设F1和F2是平面上两个固定点，且F1F2的距离是2a（a>0）。
对于平面上的任意点P，其到F1和F2的距离之差的绝对值等于常数c（c>0），即|PF1 - PF2| = 2a。
双曲线的主轴是连接两个焦点的直线段F1F2，在主轴上的点P到两个焦点的距离之差为0。
双曲线的离心率定义为e = c/a，离心率是表征双曲线形状的重要参数。
2. 双曲线的方程和图像双曲线的一般方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b都是正实数。
由于a和b的取值不同，双曲线可以表现出不同的形状。
当a > b时，双曲线的中心在原点O，焦点在x轴上，x轴称为双曲线的对称轴，y轴称为双曲线的渐近线。
这种双曲线的形状是开口向左右两侧的。
当b > a时，双曲线的中心在原点O，焦点在y轴上，y轴成为双曲线的对称轴，x轴称为双曲线的渐近线。
这种双曲线的形状是开口向上下两侧的。
3. 双曲线的性质和运用双曲线有许多重要的性质和应用，下面列举其中几个重要的：（1）双曲线的渐近线：对于双曲线 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1，当x 取绝对值较大的正值或负值时，方程右边的项趋近于0。
因此，当x趋近于正无穷或负无穷时，方程左边的项也趋近于0，即y趋近于±a/bx。
因此，双曲线的渐近线方程为y = ±a/bx。
（2）焦点和准线的坐标：对于双曲线 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1，焦点的坐标为(F1, 0)和(-F1, 0)，其中F1 = √(a^2 + b^2)；准线的方程为x = a/e，其中e为离心率。
高三数学双曲线知识点总结归纳
高三数学双曲线知识点总结归纳双曲线是高中数学中重要的一章，它不仅在数学理论体系中具有重要作用，还在实际生活中有广泛的应用。
下面是对高三数学双曲线知识点的总结与归纳。
一、双曲线的定义和基本形态双曲线是平面上各点到两个定点的距离之差等于常数的轨迹。
双曲线由两个分离的支线组成，其基本形态可以分为两种类型：横轴双曲线和纵轴双曲线。
横轴双曲线的中心在横轴上，纵轴双曲线的中心在纵轴上。
二、双曲线的方程1. 横轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$2. 纵轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$x=\pm \frac{a}{b} \sqrt{y^2-a^2}$三、双曲线的性质1. 焦点和准线：横轴双曲线有两个焦点和两条准线，纵轴双曲线也有两个焦点和两条准线。
2. 对称性：双曲线关于横轴、纵轴和原点对称。
3. 渐近线：横轴双曲线有两条渐近线，纵轴双曲线也有两条渐近线。
4. 离心率：双曲线的离心率定义为焦距与准线之间的比值，离心率大于1。
5. 直径：双曲线的直径是通过焦点的直线段，并且双曲线上的每一点都在某条直径上。
四、双曲线的图像与应用1. 横轴双曲线的图像横轴双曲线的图像呈现出两个分离的支线，它在物理学、电子学和光学中有广泛的应用，例如抛物面反射器、双折式天线等。
2. 纵轴双曲线的图像纵轴双曲线的图像同样由两个分离的支线构成，它在物理学、力学、天文学等领域有广泛的应用，例如行星运动的轨道、卫星发射轨道等。
五、双曲线的解析几何应用1. 双曲线的切线双曲线的切线过双曲线上的一点$P(x_0, y_0)$，切线方程为$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$。
2. 双曲线的渐近线横轴双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a} x$，纵轴双曲线的渐近线方程为$x=\pm \frac{a}{b} y$。
高三数学双曲线的定义及标准方程
3、椭圆的标准方程有几类？
[两类]
x2 a2
y2 b2
1(焦点在x轴上)
x2 b2
y2 a2
1(焦点在y轴上)
[思考]
到平面上两定点F1，F2的距离之差（小于 |F1F2|）为常量的点的轨迹是什么样的图 形?
双曲线标准方程的推导
5
一、建立坐标系；设动
P(x,y) 点为P(x,y)
-5
2a<2c, a<c, a2<c2, c2-a2>0
-5
F2(-c,0)
于是令：c2-a2=b2
F1(c,0) 5
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
即:
x2 a2
y2 b2
1
C2=a2+b2
-5
思考 如果双曲线的焦点在y轴上，焦点的
方程是怎样？
5
P(x,y)
F1(0,c)
y2 a2
x2 b2
F2(-c,0)
F1(c,0)
5
注：设两焦点之间的距离
为2c(c>0),
即焦点F1(c,0),F2(-c,0)
-5
5
二、根据双曲线的定
义找出P点满足的几
P(x,y)
何条件。
-5
F2(-c,0)
| PF2 | | PF1| 2a
F1(c,0)
5
注：P点到两焦点的距 离之差用2a(a>0)表示。
2、椭圆的定义
到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于 |F1F2|）为常数的点的轨迹
PF1 PF 维修点 ；
顿写一封内容尖刻的信回敬那家伙。 “可以狠狠地骂他一顿。”林肯说。 斯坦顿立刻写了一封措辞强烈的信，然后拿给总统看。 “对了，对了。”林肯高声叫好，“要的就是这个！好好训他一顿，真写绝了，斯坦顿。” 但是当斯坦顿把信叠好装进信封里时，林肯却 叫住他，问道：“你要干什么？” “寄出去呀。”斯坦顿有些摸不着头脑了。 “不要胡闹。”林肯大声说，“这封信不能发，快把它扔到炉子里去。凡是生气时写的信，我都是这么处理的。这封信写得好，写的时候你己经解了气，现在感觉好多了吧，那么就请你把它烧掉，再 写第二封信吧。” 6、果断 有一个6岁的小男孩，一天在外面玩耍时，发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地，从里面滚出了一个嗷嗷待哺的小麻雀。小男孩决定把它带回家喂养。 当他托着鸟巢走到家门口的时候，他突然想起妈妈不允许他在家里养小动物。于是，他轻轻地把小 麻雀放在门口，急忙走进屋去请求妈妈。在他的哀求下妈妈终于破例答应了。 小男孩兴奋地跑到门口，不料小麻雀已经不见了，他看见一只黑猫正在意犹未尽舔着嘴巴。小男孩为此伤心了很久。但从此他也记住了一个教训：只要是自己认定的事情，决不可优柔寡断。这个小男孩长 大后成就了一番事业，他就是华裔电脑名人—王安博士。 7、将军和驴子 古罗马皇帝哈德良曾经碰到过这样一个问题。 皇帝手下的一位将军，觉得他应该得到提升，便在皇帝面前提到这件事，以他的长久服役为理由。“我应该升更重要的领导岗位”，他报告，“因为，我的经 验丰富，参加过10次重要战役。” 哈德良皇帝是一个对人及才华有着高明判断力的人，他不认为这位将军有能力担任更高的职务，于是他随意指着绑在周围的战驴说： “亲爱的将军，好好看这些驴子，它们至少参加过20次战役，可他们仍然是驴子。” 8、马蝇效应 1860 年美国总统大选结束后，林肯当选为总统。他任命参议员萨蒙?蔡斯为财政部长。 有许多人反对这一任命。因为蔡斯虽然能干，但十分狂妄自大，他本想入主白宫，却输给了林肯，他认为自己比林肯要强得多，对林肯也非常不满，并且一如既往地追求总统职位。 林肯对关心他 的朋友讲了这样一个故事： “在农村长大的朋友们一定知道什么是马蝇了。有一次，我和我的兄弟在肯塔基老家的一个农场犁玉米地，我吆马，他扶犁。这匹马很懒，但有一段时间它却在地里跑得飞快，连我这双长腿都差点跟不上。到了地头，我发现有一只很大的马蝇叮在它身上 ，我随手就把马蝇打落了。我兄弟问我为什么要打落它，我说我不忍心看着这匹马那样被咬。我兄弟说：“唉呀，正是这家伙才使马跑得快嘛。” 然后，林肯说：“如果现在有一只叫‘总统欲’的马蝇正叮着蔡斯先生，那么只要它能使蔡斯和他的那个部不停地跑，我就不想去打落 它。” 9、潜水艇中的15个小时 二战快结束时，有个叫罗勃?摩尔的小伙子正在海军服役。他讲述了亲身经历的一件事。 "1945年3月，我在中南半岛附近276英尺的海下，学习到了人生最重要的一课。当时我正在一艘潜水艇上，我们从雷达上发现了一支日本舰队—— 一艘驱逐 护航舰、 一艘油轮和一艘布雷舰朝我们这边开过来。我们发射了五枚鱼雷，都没有击中。突然那艘布雷舰直朝我们开来 (一架日本飞机把我们的位置用无线电通知了它)。我们潜到150英尺深的地方，以免被它侦察到，同时做好应付深水炸弹的准备，还关闭了冷却系统和所有的发电机。 "3分钟后，天崩地裂。6枚深水炸弹在四周炸开，把我们直压海底 276英尺的地方。深水炸弹不停地投下，整整15个小时，有十几个二十个就在离我们50英尺左右的地方爆炸 要是深水炸弹距离潜水艇不到17英尺的话，潜艇就会炸出洞来。 "当时，我们奉命静静地躺在自己的床上，保 持镇定。 我吓得几乎无法呼吸，不停地对自己说: 。这下可死定了。潜水艇的温度几乎有摄氏40度，可我却怕得全身发冷，一阵阵冒冷汗。15个小时后，攻击停止了，显然那艘布雷舰用光了所有的炸弹而离开了。 "这15个小时，在我感觉好像有1500万年，我过去的生活一一在眼前 出现，我记起了做过的所有坏事和曾经担心过的一些很无聊的小事。我曾经担心过:没有钱买自己的房子，没有钱买车，没有钱给妻子买衣服。下班回家，常常和妻子为一点芝麻小事而争吵。我还为我额头上的一个小疤——一次车祸留下的伤痕——发过愁。 "所有这些年来的愁苦烦 恼，在此时此刻都显得那么荒谬、渺小，而我过去居然对他们很在意。" 10、参照标准 一个人去买碗，他懂得一些识别瓷器质量的方法，即用一只碗轻撞其它碗，发出清脆声音的碗肯定是质地好的。但来到店里，他却发现每一只碗发出的声音都不够清脆。最后店员拿出价格高昂的 工艺碗，结果还是让他不甚满意。店员最后不解地问：“你为什么拿着碗轻撞它呢？”那人说这是一种辨别瓷器质量的方法。 店员一听，立即取过一只质量上好的碗交给他：“你用这只碗去试试。”他换了碗，再去轻撞其它的碗，声音变得铿锵起来。 原来他手中拿着的是一只 质地很差的碗，它去轻碰每一只碗，都会发出混浊之音。合作者变了，参照标准变了，一切也就变了。 生活也是如此，你的参照标准如果错了，那么你眼中的整个世界也就错了。 11、最深刻的记忆 美国普林斯顿大学教授丹尼尔?卡尼曼将心理学的知识引入经济学，并因此获得2002 年诺贝尔经济学奖。 卡尼曼得出的结论看上去颇为荒谬，甚至违反直觉。1996 年，卡尼曼做了一个最为有名的实验，他研究了682 名做结肠镜检查的患者。他将病人随机分为两组，其中一组病人的结肠镜检查稍做延长，即检查结束后，先不抽出管子，而是静静地放一会儿，这时候 病人会感到不舒服，但已没什么大痛。做延长检查的病人（不管开始阶段有多么痛苦）事后都反应不错，觉得下次选择还是要选结肠镜而不是钡餐和X光。而那些没有延长检查时间的病人下来后则大叫：“真像下地狱啊。” 卡尼曼由此得出结论：“我们在评价某种经验时，有一个时 间长短的因素。也就是说，最后阶段的痛苦（或欣悦）程度决定了我们对整个事件的记忆与评价。这对我们预期某种决策以及每天利用这一“捷径”做出上百个决定极为有用。 12、热爱的奇迹 美国西部电器公司委托著名的梅奥教授，希望他能使下属的一家工厂里的女工提高生产效 率。 根据这些工人从事的非常单调的电磁铁绕线圈的工作，梅奥提出下午让工人们有10分钟的喝咖啡的休息时间，结果产量立刻增长。这时，梅奥进一步在上午也给工人10分钟喝咖啡的休息时间，生产再次增长。 但是，梅奥没有就此罢手，他开始宣布取消了下午的休息时间， 产量仍在增长；接着他又取消了上午的喝咖啡时间，但是产量继续增长着，工人们没有抱怨和怠工现象。这是为什么呢？ 这项工作的确是单调枯燥的。当有了休息后，工人们都喜欢这一段轻松愉快的时间，他们互相说笑着，谈论着感兴趣的话题。当听到梅奥向她们解释了她们在参 与一个实验。她们就感到自己正在一个有意义的程序中工作，有光荣的参与感。不知不觉中她们热爱上了这项工作，热爱上了这个集体。 于是这推动了工业心理学一个新的探索：热爱或兴趣似乎比休息、增加报酬等更能提高人们的生产力。热爱让我们无论身处什么样的环境，而精 神都住在一个自由、美丽的天堂里。热爱应该成为我们的生存内容之一。 13、看着我的眼睛 2002年，德国发生了一桩血案。一个19岁的小伙子，2001年留级，2002年又因伪造假条，被校方开除。他决心报复学校。4月26日上午，他戴着恐怖的面具，一手握一支手枪，一手拎着连发 猎枪，闯进学校，见人就打，主要是瞄准老师，他觉得是他们让他蒙受了羞辱。在20分钟的疯狂射击中，他的手枪共打出了40发子弹，将17人打死，其中有13名老师。他还有大量的子弹，足够把数百人送进坟墓。这时候，他的历史老师海泽先生走过来，抓住他的衬衣，试图同他说话。这 个血洗了母校的学生认出了他的老师，他摘掉了自己的面具。海泽先生叫着他的名字说，罗伯特，扣动你的扳机吧。如果你现在向我射击，那就看着我的眼睛!那个杀人杀红了眼的学生，盯着海泽先生看了一会儿，缓缓地放下了手枪，说，先生，我今天已经足够了。后来海泽先生把凶手 推进了一间教室，猛地关门，上了锁。此后不久，凶手在教室里饮弹自杀。 我惊讶海泽先生的勇敢，更惊讶他在这种千钧一发之时说出的这句话。 正是这句话，唤起了凶手残存的最后一丝良知，停止了暴行。 海泽先生是非常自信的。这不是一种技巧，而是一种坚定的修 养。是一种长期潜移默化修炼提升的结果。一位老师所有的岁月和经验，就化成了超人的勇气和智慧。 14、命令是这样传递的 据说，美军1910 年的一次部队的命令传递是这样的： 营长对值班军官：明晚大约8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区被看到，这种彗星每隔76年 才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨，就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。 值班军官对连长：根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见 的现象将在那里出现。 连长对排长：根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。 排长对班长：明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔76年才有的事。如 果下雨，营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。 班长对士兵：在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。 15、死亡暗示 非洲刚果有个黑人青年在朋友家作客，朋友准备了一只野鸡作为早餐。黑人青年的部落严 禁吃野鸡，他就问朋友，早点是不是野鸡。朋友答，不是野鸡。黑人青年便享受了一顿美味的早餐。数年后，他们二人再次见面。那位朋友问他想不想吃野鸡，青年回答说那是不可能的，因为巫师郑重警告过他绝不可以吃野鸡。
高三数学二轮复习微专题：圆锥曲线的定义、标准方程
x2 y2
例 3．[双曲线的标准方程 ]已知双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为 4 5，渐近线
a b
方程为 2x±y＝0，则双曲线的方程为(
)
x2 y 2
A． － ＝1
4 16
x2 y 2
B． － ＝1
16 4
x2 y2
C． － ＝1
16 64
x2 y 2
D． － ＝1
64 16
1定型：就是确定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准
方程.
2计算：即利用待定系数法求出方程中的 a2 ，b2 或 p.另外，当焦点位置无
法确定时，抛物线方程常设为 y2＝2ax 或 x2＝2aya≠0，椭圆方程常设为 mx2＋
ny2＝1m＞0，n＞0，且 m≠n，双曲线方程常设为 mx2－ny2＝1mn＞0.
m
－ x
n
圆锥曲线的定义、方程
考点一 圆锥曲线的定义及标准方程——回归定义，巧解方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝________(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝________(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.
|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义，得|BD|＝a，故∠BCD＝30°
，
在 Rt△ACE 中， ∵|AE|＝|AF|＝3，
|AC|＝3＋3a，∴2|AE|＝|AC|，即 3＋3a＝6，从而得 a＝1，|FC|＝3a＝3.
1
3
∴p＝|FG|＝ |FC|＝ ，因此抛物线方程为 y2＝3x，故选 C.
高三数学双曲线的定义及标准方程
-5
F2(-c,0)
F1(c,0) 5
根据两点的间的距离公式得：
-5
(xc)2 y2 (xc)2 y2 2a
四、化简
代数式化简得： (c2 a2) x2 a2 y2 a2 (c2 a2)
5
因为三角形F2PF1的两边之
差必小于第三边，所以
P(x,y) 2a<2c, a<c, a2<c2, c2-a2>0
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
C2=a2+b2
[练习一] 判断下列各双曲线方程焦点 所在的坐标轴；求a、b、c各为多少？
(1) x2 y 2 1
25 16
(2) y2 x2 1
25 16
x y (3)4 29 2 36 (4)4x29y2 36
x2 y2 1
94
(4) y2 x2 1
于是令：c2-a2=b2
-5
F2(-c,0) F1(c,0) 5
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
-5
即
:
x2 a2
y2 b2
1
C2=a2+b2
思考 如果双曲线的焦点在y轴上，焦点的
方程是怎样？
5
F1(0,c)
P(x,y)
y2 a2
x2 b2
1
-5
5
F2(0,-c)
C2=a2+b2
-5
双曲线的标准方程
49
[练习二]写出双曲线的标准方程
1、已知a=3,b=4焦点在x轴上，双曲线的
标准方程为
x2 y2 1
。
9
16
2、已知a=3,b=4焦点在y轴上，双曲线的
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2.5.1曲线与方程
●教学目标
1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含
义.
2．会判定一个点是否在已知曲线上.
●教学重点 曲线和方程的概念
●教学难点 曲线和方程概念的理解
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和
二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.
Ⅱ.讲授新课
1．曲线与方程关系举例：
师：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的
方程是x－y=0.这就是说，如果点M（x0,y0）是这条直线上的任意一
点，
它
到
两
坐
标
轴的距离一定相等，即x0=y0，那么它的坐标（x0,y0）是方程x－y=0
的解；反过来，如果（x0,y0）是方程x－y=0的解，即x0=y0，那么以
x
y
o
(x-a)2+(y-b)2=r
2
(x 0, y0)M
o
y
x
(x0 ,y0)M
这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.（如
左图）
又如，以),(ba为圆心、r为半径的圆的方程是222)()(rbyax。
这就是说，如果),(00yxM是圆上的点，那么它到圆心的距离一定等于
半径，即rbyax2020)()(，也就是22020)()(rbyax，这说明它
的坐标),(00yx是方程222)()(rbyax的解；反过来，如果),(00yx是方
程222)()(rbyax的解，即22020)()(rbyax，也就是
rbyax2020)()(
，即以这个解为坐标的点到点),(ba的距离为r，它
一定在以为圆心),(ba、r为半径的圆上的点。（如右图）.
2．曲线与方程概念
一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c上的点与一个二元方程
f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个
方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线
3．点在曲线上的充要条件：
如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P0=（x0,y0）.在曲线C
上的充要条件是f(x0,y0)=0.
4．例题讲解：
例1 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(kk的点的轨迹方
程是kxy。
证明：（1）设M（x0,y0）是轨迹上的任意一点，因为点M与x轴
的距离为0y，与y轴的距离为0x，所以 kyx00即),(00yx是方程
kxy
的解.
（2）设1M的坐标),(11yx是方程kxy的解，那么kyx11即
kyx
11
而11,yx正是点1M到x轴，y轴的距离，因此点1M到两条直线的
距离的积是常数k，点1M是曲线上的点。
由⑴⑵可知，kxy是与两条坐标轴的距离之积是常数)0(kk的
点的轨迹方程。
Ⅲ.课堂练习：
课本P39练习1
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家能够理解“曲线的方程”与“方程
的曲线”的概念，并掌握判断一点是否在某曲线上的方法，为进一步
学习解析几何打下基础.
●课后作业
P40习题 A组 1，2 B组 1