【成才之路】高中数学 第3章综合素质检测课时练习 新人教A版必修3

用心 爱心 专心 1 第三章综合素质检测 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是( ) A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上答案均不对 [答案] C [解析] 根据互斥事件和对立事件的定义，由题设易知两事件互斥但不对立． 2．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件： ①两球都不是白球； ②两球中恰有一白球； ③两球中至少有一个白球． 其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ [答案] A [解析] 从口袋内一次取出2个球，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件；而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件． 3．下面是古典概型的是( ) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时 B．为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将正整数作为基本事件时 C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止 [答案] C [解析] 抛掷两枚骰子，所得点数之和为2,3,4，„，12中的任意一个，但它们不是等可能出现的，故以所得点数之和作为基本事件，不是古典概型；求任意一个正整数平方的个 用心 爱心 专心 2

位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件，有无穷多个，故不是古典概型；从甲地到乙地共n条路线，选任一条路线都是等可能的，而最短路线只有一条，其概率为1n是古典概型；抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止，基本事件空间不确定． 4．在5件产品中，有4件正品，从中任取2件，2件都是正品的概率是( )

A.45 B.15

C.35 D.25 [答案] C [解析] 将正品编号为1,2,3,4，次品编号为5，所有可能取法构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共10种，其中两件

都是正品的取法有6种，∴概率P＝610＝35. 5．袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一黑球的概率是( ) A.15 B.45

C.13 D.12 [答案] B [解析] 从袋中任取2个球，有15种等可能取法(不妨将黑球编号为黑1、黑2、黑3，将白球编号为白1、白2、白3)．取出的两个球都是白球有3种等可能取法，取出的两个球，一白一黑有9种等可能取法，∴事件A＝“取出的两个球至多1黑”，共有9＋3＝12种取

法，∴P(A)＝1215＝45. [点评] “至多一黑”的对立事件为“两个都是黑球”故可用对立事件求解． 6．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1、P2、P3，则( ) A．P1＝P2C．P1[答案] B

[解析] 点数之和为12的只有一次(6,6)，∴P1＝136；点数之和为11的有两次(5,6)和

(6,5)，∴P2＝236＝118，点数之和为10的有三次(4,6)，(5,5)和(6,4)， ∴P3＝336＝112. 7．A是圆上固定的一点，在圆上其它位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它 用心 爱心 专心 3

的长度大于等于半径长度的概率为( ) A.12 B.23 C.32 D.14 [答案] B [解析] 这是一个几何概型的题目，要使弦长大于半径，只要A′选在如图所示的

上．

∵AA1′＝AA2′＝R， OA＝OA1′＝AA1′＝R，

∴∠A1′OA＝60°，∠AOA2′＝60°，

∴∠A1′OA2′＝120°，它所对的弧长为13圆周，故选B. 8．如果下了课后，教室里最后还剩下3位女同学，2位男同学，一会儿又走了一位女同学．如果没有两位同学一块儿走，则下一位是男同学走的可能性为( )

A.13 B.14

C.12 D.15 [答案] C [解析] 已知走了一位女同学，还剩下两位女同学和两位男同学，所有走的可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)一共6种． 那么下一位是男同学的可能只有(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，

男)，故P＝36＝12. 或因为又走了一个女同学，还有两男、两女四位同学，男、女生人数相等，故有几种男生先走的情形，就有几种女生先走的情形，∴下一位走的是男同学的可能性为12. 用心 爱心 专心 4

9．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，下列事件的概率：

(1)豆子落在红色区域概率为49； (2)豆子落在黄色区域概率为13； (3)豆子落在绿色区域概率为29； (4)豆子落在红色或绿色区域概率为13； (5)豆子落在黄色或绿色区域概率为49. 其中正确的结论有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 [答案] B [解析] 这是几何概型问题，一颗豆子落在每一点的可能性都是一样的，计算每个事件发生的概率，也就是先求出事件发生的区域，一共9个方块．

(1)P＝4个方块9个方块＝49；

(2)P＝3个方块9个方块＝13； (3)P＝2个方块9个方块＝29； (4)P＝红色或绿色区域全部区域＝(4＋2)个方块9个方块＝23； (5)P＝黄色或绿色区域全部区域＝3＋29＝59. ∴只有(1)(2)(3)正确． 10．甲、乙两人街头约会，约定谁先到后须等待10分钟，这时若另一个人还没有来就可离开．如果甲1点半到达．假设乙在1点到2点之间何时到达是等可能的，则甲、乙能会面的概率为( ) 用心 爱心 专心 5

A.12 B.13 C.14 D.16 [答案] B [解析] 设事件A1：“乙在1点到1点20分内到达”； 事件A2：“乙在1点20分到1点40分内到达”； 事件A3：“乙在1点40分到2点内到达”． 由题设知，以上三个事件的发生是等可能的．在A1或A3发生的情况下，甲、乙不能见

面，在A2发生的情况下，甲、乙能够见面．∴甲、乙能见到的概率为13. 11．一个人连续射击2次，则下列各事件中，与事件“恰中一次”互斥但不对立的事件是( ) A．至多射中一次 B．至少射中一次 C．第一次射中 D．两次都不中 [答案] D [解析] 记射中为1，不中为0，用(x，y)表示第一次射击结果为x，第二次射击结果为y，则所有可能结果有：(1,0)，(1,1)，(0,1)，(0,0)，恰中一次包括(1,0)和(0,1)． 当(1,0)发生时，A，B，C都发生了，故选D. 12．从－1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为( )

A.79 B.712

C.59 D.512 [答案] A [解析] 首先取a，∵a≠0，∴a的取法有3种，再取b，b的取法有3种，最后取c，c的取法有2种，

∴共组成不同的二次函数3×3×2＝18个． f(x)若有变号零点，不论a>0还是a<0，均应有Δ>0，即b2－4ac>0，∴b2>4ac.

①首先b取0时，a、c须异号，a＝－1，则c有2种，a取1或2，则c只能取－1，∴共有4种． ②b＝1时，若c＝0，则a有2种，若c＝－1，a只能取2. 若c＝2，则a＝－1，共有4种． ③若b＝－1，则c只能取0，有2种． 用心 爱心 专心 6

④若b＝2，取a有2种，取c有2种，共有2×2＝4种． 综上所述，满足b2>4ac的取法有4＋4＋2＋4＝14种，

∴所求概率P＝1418＝79. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A、B两个不同的岗位，每个岗位至少1人，则甲、乙被分到同一岗位的概率为________．

[答案] 13 [解析] 所有可能分配方式如表 A 甲、乙 甲、丙 乙、丙 甲 乙 丙

B 丙 乙 甲 乙、丙 甲、丙 甲、乙

共有基本事件6个，其中事件M＝“甲、乙两人被分到同一岗位”含2个基本事件，

∴P(M)＝26＝13. 14．从编号为1至5的5个大小相同的球中任取2个，则所取球的最大号码不超过3的概率为________．

[答案] 310 [解析] 用(x，y)表示取出的两个球的号码为x与y，则所有基本事件构成集合． Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共有基本事件10个． 设A＝“所取球的最大号码不超过3”，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}含基本事件3个，

∴P(A)＝310. 15．沿田字型的路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C的概率是______．

[答案] 23 [解析] 解法1：按规定要求从A往N走只能向右或向下，所有可能走法有：A→D→S→J→N，A→D→C→J→N，A→D→C→M→N，A→B→C→J→N，A→B→C→M→N，

A→B→F→M→N共6种，其中经过C点的走法有4种，∴所求概率P＝46＝23.