高中数学各章易错点精析6-数列

第6章 数列【易错点1：n=1的讨论】例1、数列{}n a 前n 项和n s 且1111,3n n a a s +==。

（1）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式。

【易错点分析】此题在应用n s 与n a 的关系时误认为1n n n a s s -=-对于任意n 值都成立，忽略了对n=1的情况的验证。

易得出数列{}n a 为等比数列的错误结论。

解析：易求得2341416,,3927a a a ===。

由1111,3n n a a s +==得()1123n n a s n -=≥故()111112333n n n n n a a s s a n +--=-=≥得()1423n n a a n +=≥又11a =，213a =故该数列从第二项开始为等比数列故()()21114233n nn a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩。

例2、 已知数列{a n }的首项为a 1＝3，通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n ＝S n ·S n －1(n ≥2)． (1)求证：{1S n}是等差数列，并求其公差；(2)求数列{a n }的通项公式．解： (1)当n ≥2时，2(S n －S n －1)＝S n ·S n －1，两端同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝－12，根据等差数列的定义，知{1S n }是等差数列，且公差为－12.(2)由第(1)问的结果可得1S n ＝13＋(n －1)×(－12)，即S n ＝65－3n .当n ＝1时，a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(3n －5)(3n －8).所以a n＝⎩⎨⎧3 (n ＝1)，18(3n －5)(3n －8)(n ≥2).【易错点2：n 的分类讨论】例3、已知：函数23()3x f x x+=，数列}{n a 对N n n ∈≥,2总有111(),1n n a f a a -==；（1）求{n a }的通项公式。

（2）求和：1122334451(1)n n n n S a a a a a a a a a a -+=-+-++-*（3）若数列}{n b 满足：①}{n b 为1{}n a 的子数列（即}{n b 中的每一项都是1{}na 的项，且按在1{}n a 中的顺序排列）②}{nb 为无穷等比数列，它的各项和为21。

这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列}{n b ，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由。

解：（1）由23()3x f x x+=，又11111232312()333n n n n n n a a a f a a a -----++====+ 所以，}{n a 是以11a =为首项，23为公差的等差数列，即213n n a +=*()n N ∈ （2）当n 为偶数，11114()23n n n n n n n n n a a a a a a a da a -+-+-=-=-=-所以 22244422()332293n n n a a n S a a a n n +=-++=-=--当n 为奇数，则1n -为偶数，2211222123267(1)(1)93339n n n n n n n n S S a a n n -+++++=+=----+=综上：2222932679n n n n S n n n ⎧--⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数（3）设1321b k =+，公比10q m=>，则13132121n n b q k m p =⋅=++（*,k p N ∈）对任意的*n N ∈均成立，故m 是正奇数，又S 存在，所以1m >当3m =时，12S =，此时139b =，133n n b +=，成立 当5m =时，12S =，此时1215n b a ⎧⎫=∉⎨⎬⎩⎭故不成立 7m =时，12S =，此时137b =，37n n b =，成立当9m ≥时，1819m -≥，由12S =，得149b ≥，设1321b k =+，则238k ≤，又因为*k N ∈，所以1,2k =，此时11b =或135b =分别代入1112b S q ==-，得到0q <不合题意由此，满足条件（3）的}{n b 只有两个，即133n n b +=或37n nb =【易错点3：公比q 的分类讨论】例4、已知 {a n } 是等比数列，S n 是其前n 项和，判断S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列吗？当q = －1，k 为偶数时，S k = 0，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 不成等比数列； 当q ≠－1或q = －1且k 为奇数时，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列。

（忽视公比q = －1）例5、设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .错误解法 ,2963S S S =+ q q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131，.012(363）＝整理得--q q q1q 24q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 33336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由。

错误分析 在错解中，由qq a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131，01q q 2(q 363）＝整理得--时，应有1q 0a 1≠≠和。

在等比数列中，01≠a 是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比1=q 的情况，再在1≠q 的情况下，对式子进行整理变形。

正确解法 若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .又依题意963S 2S S =+ ⇒qq a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ⇒01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .243-=q 例6、已知一个等比数列{}n a 前四项之积为116，求这个等比数列的公比。

错解：设前四项为33,,,a a aq aq qq，则由已知得：4116a a aq q⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1q =或1q=故原等比数列的公比为23q =+23q =-分析：按上述设法，等比数列的公比20q >，各项一定同号，而原题中并无此条件，因此导致错误。

正解：设前四项为23,,,a aq aqaq ，公比为q ，则462116a q aq aq ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，由下式得1aq q =+，代入上式得42421(1)64116q q q q ⎛⎫=∴+= ⎪ ⎪+⎝⎭，∴2(1)8q q +=当0q >时，可得2610qq -+=，∴3q =±当0q <时，可得21010q q ++=，∴5q =--例7、 已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的取值范围是_______． 解： 设三角形的一边长为a ， ①当q ≥1时，由a ＋aq >aq 2，解得1≤q <1＋52；②当0<q <1时，由aq ＋aq 2>a ，解得5－12<q <1. 综合①②，得q 的取值范围是5－12<q <1＋52.例6、数列}{n a 中，11=a ，22=a ，数列}{1+⋅n n a a 是公比为q （0>q ）的等比数列。

（I ）求使32211+++++>+n n n n n n a a a a a a 成立的q 的取值范围；（II ）求数列}{n a 的前n 2项的和n S 2．【易错点分析】对于等比数列的前n 项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。

再者学生没有从定义出发研究条件数列}{1+⋅n na a 是公比为q （0>q ）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。

使思维受阻。

解：（I ）∵数列}{1+⋅n n a a 是公比为q 的等比数列，∴q a a a a n n n n 121+++=，2132q a a a a n n n n +++=，由32211+++++>+n n n n n n a a a a a a 得221111q q q a a q a a a a n n n n n n >+⇒>++++，即012<--q q （0>q ），解得2510+<<q ．（II ）由数列}{1+⋅n n a a 是公比为q 的等比数列，得q a aq a a a a nn n n n n =⇒=++++2121，这表明数列}{n a 的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q ，又11=a ，22=a ， ∴当1≠q 时，n S 2n n a a a a a a 2124321++++++=-)()(2642321n n a a a a a a a a +++++++++= qq q q a q q a n n n --=--+--=1)1(31)1(1)1(21， 当1=q 时，n S 2nn a a a a a a 2124321++++++=- )()(2642321n n a a a a a a a a +++++++++= n 3)2222()1111(=+++++++++= ．【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中q a a nn =+2是解题的关键，这种给出数列的形式值得关注。

另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为1这种特殊情况。

高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。

【易错点4：等差、等比数列的性质】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。

例8、在3和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求次数列的第3项。

错解：由等比数列性质得：33279a =±⨯=±分析：当39a =- 时，在3与9- 之间不存在等比中项。

正解：39a =例9、已知关于的方程230x x a -+=和230x x b -+=的四个根组成首项为34的等差数列，求a b +的值。