九年级弧、弦、圆心角、圆周角及点、直线、圆与圆的位置关系
数学九年级上第三篇第四节《圆周角》课件
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
新人教版九年级数学上册第24章《圆》单元教学设计
第二十四章圆单元要点分析教学内容1．本单元数学的主要内容．（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．（3）正多边形和圆．（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．2．本单元在教材中的地位与作用．学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．教学目标1．知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．（5）探索弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．教学重点1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用．3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用．5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．6．直线L 和⊙O 相交⇔d<r ；直线L 和圆相切⇔d=r ；直线L 和⊙O 相离⇔d>r 及其运用．7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．10．两圆的位置关系：d 与r 1和r 2之间的关系：外离⇔d>r 1+r 2；外切⇔d=r 1+r 2；相交⇔│r 2-r 1│<d<r 1+r 2；内切⇔d=│r 1-r 2│；内含⇔d<│r 2-r 1│．11．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．12．n °的圆心角所对的弧长为L=180n R π，n °的圆心角的扇形面积是S 扇形=2360n R π及其运用这两个公式进行计算．13．圆锥的侧面积和全面积的计算．教学难点1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，•并运用它解决一些实际问题．3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．4．点与圆的位置关系的应用．5．三点确定一个圆的探索及应用．6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．7．切线的判定定理与性质定理的运用．8．切线长定理的探索与运用．9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．10．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ的关系的应用．11．n 的圆心角所对的弧长L=180n R π及S 扇形＝2360n R π的公式的应用． 12．圆锥侧面展开图的理解．教学关键1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、•性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，•发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．单元课时划分本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：24．1 圆 3课时24．2 与圆有关的位置关系 4课时24．3 正多边形和圆 1课时24．4 弧长和扇形面积2课时教学活动、习题课、小结3课时。
苏科版九年级上册数学《圆》章节知识点2.1-2.9
§【知识点总结】一、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A运动所形成的图形叫做圆，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O位圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”0圆可以看成是定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形。
例1：下列说法：①经过点P的圆又无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为2cm且经过点P 的圆有无数个；④二、点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点P在圆内⇔d＜r点P在圆上⇔d=r点P在圆外⇔d＞r例2：在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，则下列说法中，不正确的是（）A.当a＜5时，点B在⊙A内B.当1＜a＜5时，点B在⊙A内C.当a＜1时，点B在⊙A外D.当a＞5时，点B在⊙A外三、圆中的相关概念（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.（2）圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都在半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧（3）顶点在圆心的角叫做圆心角（4）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.能够互相重合的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.（5）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧例3：下列说法中不正确的是：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②优弧大于劣弧，半圆是弧；③长度相等的两条弧是等弧；④圆心不同的圆不可能是等圆.【典例展示】题型一性质的简单应用例1：如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（）A．a＞b＞c B．a=b=c C．c＞a＞b D．b＞c＞a题型二简单的证明题例2：如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD（1）试说明A、E、C、F四点共圆（2）设线段BD与（1）中的圆相交于点M、N，说明BM=ND题型三分类讨论题例3：某点到圆周上的最长距离为8cm，最短距离为6cm。
九年级数学圆知识点总结北师大版
九年级数学圆知识点总结北师大版一、圆的定义1、以点O与直线距离r为半径所画的圆称为以点O为圆心，以r为半径的圆2、圆上任意两点间的部分称为弧3、连接圆上任意两点的线段称为弦4、经过圆心且两个端点都在圆周上的线段称为直径二、圆的性质1、圆的对称性1)圆是中心对称图形，对称中心是圆心2)圆是轴对称图形，过圆心的每条直线都是圆的对称轴2、圆的旋转不变性圆任意半径所对的圆周角等于二分之一的半径所对的圆心角3、圆的直径所对的性质圆的直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
4、圆的标准方程和一般方程圆的标准方程：(x - a)2 + (y - b)2 = r2；圆的一般方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F > 0)5、直线与圆的位置关系设直线L与圆O有交点A，B；若点A，B重合，则称直线与圆相切；若点A，B不重合，则称直线与圆相割；经过两点A，B画一直线L，则称直线L为圆O的割线；经过圆心O画一直线L‘，则称直线L’为圆O的切线。
三、点与圆的位置关系设P(x，y)，O为坐标原点，则：设d为点P到O的距离；r为半径；d与r的关系可总结为：当d < r时，点P在圆内；当d = r时，点P在圆上；当d > r时，点P在圆外。
四、垂径定理及其推论1、垂径定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(在“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦”的前提下“垂直于弦的直径平分弦”也成立)推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
九年级数学圆知识点总结一、圆的基本性质1、圆的定义：线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
2、圆心：固定端点O称为圆心3、半径：线段OA称为圆的半径4、圆心角：从定点O引出的射线在圆内部分称为圆心角5、圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，在圆心同侧，且顶点在圆上的角叫做圆周角6、圆的周长：圆上任意一点到圆心的距离(半径)和过该店画弧的两条线段的弧度之和叫做圆的周长7、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积二、与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系：以点P与圆O的为例(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)，P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O 内，PO<r。
九年级数学上册-第3章 对圆的进一步认识 复习课件-青岛版
∵
l 2πR
=
n 360
,
S扇形 πR2
=
n 360
,
∴l
=
nπR 180
, S扇形
=
n 360
πR2
这样就不至于因死记硬背而出错。
将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长
和半径表示的扇形面积公式：
S扇形
=
1 2
lR
这一公式与三角形面积公式酷似。为了便于记忆， 只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底、R看
• 3、熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用； 理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积 和全面积的计算。
【重难点】
重点
1、垂径定理； 2、与圆有关的位置关系； 3、弧长公式和扇形面积公式的应用。
难点
1、垂径定理； 2、切线的性质与判定。
【知识网络】
圆的基本性质
圆的对称性
轴对称 中心对称
与圆有关的角的性质
（2）若⊙O的半径为 3，DE 3，求AE。
A
23
O
E
B
D
6
方法总结： 1、如果已知直线与圆有 交点，常连接圆心与交 点，再证明连线垂直于 半径即可；
2、如果不明确直线 与圆的交点，往往要作 出圆心到直线的垂线段，
C 再证明这条垂线段等于
半径即可。
【巩固练习】
1、如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，则 在不添加辅助线的情况下，求出图中与∠CDB相 等的角 ∠CAB ∠BAD ∠BCD
B
O
A
【布置作业】
1、如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则
⊙O的半径等于（ B）
A.8
九年级数学上册专题第14讲圆的有关性质重点、考点知识总结及练习
第14讲圆的有关性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩垂径定理弧、弦、圆心角的关系圆的有关性质圆周角定理及推论圆内接四边形的性质 知识点1垂径定理①弦和直径：(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。
直径等于半径的两倍。
②弧：(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B 为端点的的弧记作AB ⌒,读作弧AB.(2)半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如 ACB .小于半圆的弧叫做劣弧，如AB 。
（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。
③弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。
四者有一个相等，则其他三个都相等。
圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
④圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。
⑤垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．⑥同心圆与等圆（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。
（图一）（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。
北师版初中九下数学精品授课课件 第三章 圆 圆周角和圆心角的关系 第2课时 圆周角定理及其推论2,3
D A
·
O
B
C
D A
C
O·
B
我们发现∠BAD与∠BCD之间有 什么关系？
D A
·
O
B
C
D A
C
O·
B
推论 圆内接四边形的对 角互补.
D A
·
O
B
C
D A
C
O·
B
几何语句： ∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD =180°（圆内接四边形
的对角互补）.
想一 想 如图，∠DCE 是圆内接四边形
么解？：∠BAD与∠BCD的关系仍然
成立
连接BAODB，1 O2，D，BCD 1 1.
2
2
则
D A
1
C
O ·2
∵∠1+∠2=360°,
B
∴∠BAD+∠BCD=180°.
D A
·
O
B
C
D A
C
O·
B
这两个四边形ABCD有什么共 同的特点？
D A
·
O
B
C
D A
C
O·
B
四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上， 像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆.
（1） （2） （3） （4）
2. 如图，⊙O的直径AB =10cm，C为⊙O
上的一点，∠B=30°，求AC的长.
解：∵AB为直径，
B
∴∠BCA = 90°.
在Rt△ABC中，
∠ABC=30°，
AB=1A0C， 1 AB 5cm
2
∴
.
O·
2023年九年级中考一轮复习数学课件圆的基本性质
例 4 如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 AB 的中点，连结 CE 交 BD 于点 F，延长 CE 交⊙O 于点 G，连结 BG.
(1)求证：FB2＝FE·FG； (2)若 AB＝6，求 FB 和 EG 的长．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝BC，
∴A︵D＝B︵C.
(2)如图，连结 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD， ∴BD＝DC． ∵OB＝OC，∴OD 垂直平分 BC． ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝2 10，∴BD＝2 5. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设 OF＝t，则 DF＝5－t. 在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中，52－t2＝(2 5)2－(5－t)2，解得 t＝3， ∴BF＝4.∴BC＝8.
理
相等的圆周角所对的弧相等..
推 1、半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 论 2、圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角.
常 见 图 形
圆中常用辅助线：
遇到 弦时
有作垂直于弦的 半径(或直径)或再连接过弦的端点
的半径.
常连弦心距
【解】如图 1，当 PA，PB 不在同一个半圆时，过点 P 作直径 PQ，连结
AQ，BQ.
∵PQ 是⊙O 的直径，
∴∠PAQ＝∠PBQ＝90°.
∵⊙O 的半径 r＝1，
∴PQ＝2r＝2.
图1
∵PA＝ 3，PB＝ 2，
∴cos∠APQ＝PPAQ＝ 23，
cos∠BPQ＝PPQB＝
2 2.
∴∠APQ＝30°，∠BPQ＝45°.
∴∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝75°.
九年级数学圆的知识点总结大全
一、圆的定义和性质1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
2.圆的要素：圆心、半径、圆周。
3.圆的性质：（1）半径相等的两个圆是同心圆；（2）同圆中，圆心角等于圆周角的1/2；（3）同弧上的两条弦所对的圆心角相等；（4）圆心角相等的弧相等；（5）相等弧所对的弦相等；（6）正多边形的内角和是定值，因此内接于一个圆的正多边形的各个内角相等；（7）直径是弦中最长的。
二、弧与圆周角1.弧的定义：圆上两点间的弧是以这两点为端点的两条互不相交的圆弧中，长的那一段。
2.弧的性质：（1）圆周角所对的弧是唯一确定的；（2）全周角所对的弧是定长的。
3.圆周角的定义：以圆心为端点的两条互不相交的射线所夹的角。
4.圆周角的度量：可以用角的度数来衡量。
三、切线与弦1.切线的定义：切线是与圆只有一个公共点的直线。
2.切线与半径的关系：切线与半径的关系是切线⊥半径。
3.弦的定义：两点之间的线段叫做弦。
4.弦的性质：（1）圆内的弦比它们所对的圆心角小，而且与一个圆心角的两个弧所对的弧一样；（2）相等的弦所对的圆心角相等。
四、相交弦定理1.弦上的点：如果一个点在弦上，则这个点到两个端点的距离相等。
2.相交弦定理：如果两个弦相交于圆内的一个点，则这两个弦上的两个点一定分别在另一个弦上的两侧。
五、余弦定理1.面积的性质：圆内、圆外的面积相等，夹在一个圆内的圆周弧的面积也相等。
2.余弦定理：在一个圆上，任意两条弧所对的圆心角的余弦值相等。
六、正多边形的面积公式1.正六边形的面积：正六边形的面积=3×（边长）²×√3÷22.正八边形的面积：正八边形的面积=2×（边长）²×√23.正十二边形的面积：正十二边形的面积=3×（边长）²×√34. 正十六边形的面积：正十六边形的面积=4×（边长）²×tan(22.5°)。
人教版九年级上册数学《圆周角》圆教学说课复习课件
(1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它. (2)探究并掌握圆周角定理及其推论. (3)体会“由特殊到一般”“分类”“化归”等数学思想.
推进新课
知识点1 圆周角的定义及圆周角定理
1.圆心角的定义?
C
顶点在圆心的角叫圆心角.
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ O
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫圆周角．
125°.
5.如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，
∠AOC=78°，求∠DAB的度数．
解：∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠B.
又∵∠B=
1 2
∠AOC=39°.
∴∠DAB=39°.
6.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点 ，且∠ACB=45°，求弦AB的长. 解：连接OA、OB. ∵∠ACB=45°, ∴∠BOA=2∠ACB=90°. 又OA=OB, ∴△AOB是等腰直角三角形.
A
B
图中圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 有怎样
的关系？
C
先猜一猜，再用 量角器量一量.
O
ACB 12AOB
A
B
（1）在圆上任取B⌒C，画出圆心角∠BOC 和圆 周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
A A
A
O
O
O
B
B
C
B
C
C
（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半？
周角所对的弦是直径.
圆内接四边形：圆内接四边形的内角和为360°,并且四边形的对角互补.
1 2
α.
证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.
M
又∠C＝β＝ 12∠AOB,
C
∴β＝
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弧.弦.圆心角.圆周角点、直线、圆与圆的位置关系仁如图，四边形ABCD内接于0O,若ZBOD=138°,则它的一个外角ZDCE等于（）.A. 69。
B. 42°C・ 48。
D・ 38°2•如图所示，Zl, Z2, Z3的大小关系是（）.A・ Z1>Z2>Z3 B・ Z3>Z1>Z2 C・ Z2>Z1>Z3 D・ Z3>Z2>Z13.如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范囤是________ ・仁这是一个射门游戏, 球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（ZABC）有关。
2、我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一个点能作几个圆？经过两点、三点……呢？结论:知识点一（弧、弦、IS心角、圆周角）【知识梳理】知识点一、弧、弦、圆心角的关系1•圆心角定义如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.知识点二、圆周角1.圆周角定义：像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。
的圆周角所对的弦是直径.4•圆内接四边形：（1）左义：圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）.5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，它们中间只要有一组量相等, （例如圆心角相等），那么英它各组量也分別相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等）. *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各•组量也分别不等.【例题精讲】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用例1.已知：如图所示，OO中弦AB=CD.求证：AD = BC.【变式】如图所示，已知AB是00的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM丄AB, DN丄AB.求证:AC = BD.类型二、圆周角定理及应用【变式】如图，ZiABC内接于0O, ZC=45% AB=4,则G>0的半径为()・【课堂练习】仁观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角?2•如图，四边形ABCD内接于二0,点E在对角线AC上，EC=BC=DC.(1)若匸CBD=39°.求二BAD的度数：(2)求证："1=12・3•如图，二0的直径AB垂直于弦CD,垂足为E, ZA=22.5% 0C=4, CD的长为(知识点二（点、直线、圆与圆的位置关系）【知识梳理】要点一、点和圆的位置关系1.点和圆的三种位置关系：由于平而上圆的存在，就把平而上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判泄方法；设0O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有（2）点P在圆上Od二厂O 十》2 _ r；（3）点P在圆外Od "O 十2.三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点二、直线和圆的位置关系1.直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线，公共点叫切点.（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.2.直线与圆的位置关系的判定和性质.直线与圆的位宜关系能否像点与圆的位宜关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确赵圆的大小，因此研究宜线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点（圆心）的位置关系.下而图（1）中直线与圆心的距离小于半径：图（2）中直线与圆心的距离等于半径; 图（3）中直线与圆心的距离大于半径.B. 4 c. W2 D. 8 （1）点戸在圆内OH如果0O的半径为r,圆心O到直线/的距离为d,那么C1)直线，和OOffl交od<r;(2)直线/和©0相切O d =〔3)直线闲100相离0 d〉r.要点三、圆和圆的位置关系1. 圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2. 两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系；设00］的半径为门，002半径为门，两圆心002的距离为d,则:两圆外离Od>ri+r2两圆外切Od=r】+r2两圆相交O ri-r2<d<r1+r2 (rE)两圆内切O d=r「r2 (ri>r2)两圆内含OdVrw (ri>r2)【例题精讲】类型一、点与圆的位置关系例1•已知00的半径r=5cm,圆心O 到直线/的距离d=OD=3cm,在直线/上有P 、Q 、R 三点，且有PD=4cm, QD>4cm, RDV4cm, P 、Q 、R 三点与00位巻关系各是怎样的？类型二、直线与圆的位置关系彳列2.如图，以0为原点建立平面直角坐标系，每一小格为一个单位，圆心为A (3, 0)的匚A 被y 轴截得 的弦长BC=8,如图，解答下列问题：(1) ::A 的直径为 _____ :(2) 请在图中将:JA 先向上平移6个单位，再向左平移花8个单位得到二D,观察你所画的图形，则匚D 的 圆心D 的坐标为 _____ :匚D 与x 轴的位置关系是 ______ ,匚D 与y 轴的位置关系是 _____ ,匚D 与匚A 的位宜 关系是 ：【变式】如图，两个同心圆，大圆半径为5cm,小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦AB4-• ••••••••< § X • § 旳■•峠■ ••斗《 • ■ •■斗• K 斗• ••寸 ' • •••••••• § k W •••中• •ittiicir! ：：：：：：：：.J：：：：：：：； T T T T T T T rZL I 4- ■ • ! 4 ：：：：：：：：：：：：：：：：：：4»-i ・•丿• • x J •• ・■■■■■■•♦• •••••••a § A • 丫 ••冲■ •峠••・乂••呵• • ■ •■斗• •• •• ••••••••• ••••••••0♦ •。
・••2・：•:•?; ■ - 74 - • •例3.如图所示，已知ZAOB=30°, P是OA上的一点，OP=12cm,以r为半径作0P.<1）当r=7cm时，试判断OP与OB位置关系：（2）若OP与OB相离，试求出r需满足的条件.j类型三.三角形的外接圆例4•如图，已知OO为AABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E, F分别是边AC和BC上的中点，试判断四边形CEDF的形状，并加以证明.【变式】如图，已知，在A ABC中，AB=10, ZA=70% ZB=50°,求△ ABC外接圆<30的半径.类型四、圆与圆的位置关系例5•如图所示，00的半径为5,点P为0O外一点，OP=8.求：（1）以P为圆心作0P与OO相切,则0P的半径为多少？（2）当OP与00相交时，0P的半径的取值范用为多少？【变式】已知与OO2相切，OCh的半径为3cm, ©02的半径为2cm,则0心的长是（）A. lcm B・ 5cm C・ 1cm 或5cm D・ 0・5cm 或2・5cm【课堂练习】1 •已知圆的半径等于5cm,根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm： (2)5 cm： (3)6 cm,判泄点P与圆的位宜关系，并说明理由.2•在RtA ABC中.ZC=90% AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位宜关系？为什么？(l)r=2厘米：(2)r=2.4厘米：(3)=3匣米3•如图所示，在RtA ABC中，ZB = 90% ZA的平分线交BC于D,以D为圆心，DB长为半径作0D.求证：直线AC与。
D相切.4•如图，已知A ABC,请作出该三角形的外接圆OO (要求尺规作图，保留作图痕迹，不要写作图过程).5•⑴已知两圆的半径分别为3cm, 5cm,且其圆心距为7cm,则这两圆的位置关系是()A.外切B.内切C.相交D.相离⑵已知OOl与002相切，0O1的半径为3cm, 002的半径为2cm,则O1O2的长是（）A. lcm B・ 5cm C・ 1cm 或5cm D・ 0・5cm 或2・5cm1•如图，在00中，若圆心角ZAOB=100°, C是肩上一点，则ZACB等于（）.A. 80°B・ 100。
C・ 130。
D・ 140°A2•如图所示，AB是。
O的直径，AD=DE, AE与BD交于点C,则图中与ZBCE相等的角有（）A. 2个B・3个C・4个D. 5个E3. A, B, C, D, E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过英中的三点作圆，最多能作（）.A. 5个圆B. 8个圆C・10个圆 D. 12个圆4. 已知0O的半径为1,点P到圆心O的距离为〃，若关于X的方程H—加+d=0有实根，则点P（）.A.在OO的内部B.在OO的外部C.在OO上D.在OO上或00的内部5. _________________________________________________ 已知线段QP, AP=AQ,以QP 为直径作圆，点A与此圆的位巻关系是 ____________________________________ .6•如图，圆内接四边形ABCD两组对边延长线分别相交于点E, F,且ZA=55% ZE=30%则HF= ・7•如图，it RtZABC中，二ACB=90。