线性规划中的对偶问题与灵敏度分析
运筹学——线性规划的对偶理论与灵敏度分析
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原问题（LP）
对偶问题（DP）
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
a x a x a x b
21
1
22 2
2n n
2
s.t.
a x a x a x b
m1 1
m2
2
mn n
m
x
j
0,
(
j
1,
2,
, n)
1
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例2.1 资源的合理利用问题 某工厂在计划期内安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，
已知资料如表2.1所示，问应如何安排生产计划使 得既能充分利用现有资源有使总利润最大？
表2.1
I
II
资源总量
原材料
2
3
24
工时
5
2
26
利润(元)
4
3
2
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假设 x1、x2分别表示在计划期内生产产品I、II的件数，其数 学模型为：
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例2.5 已知 min Z 3x1 2 2x3 5x4 9x5
x1
x2
2x3
5
x1 0, x2无约束, x3 0
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按照表2.2将线性规划问题化为对偶问题
minW 20y1 10y2 5y3
3y1 4 y2 y3 4
s.t.
2 y1 3y2 y3 5
y1
3y2
2
第二章线性规划的对偶理论4-灵敏度分析
第二章线性规划的对偶理论4-灵敏度分析是指对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度的分析。
以前在线性规划问题中，都假定问题中的a ij ，b i ，c j 是已知数。
但实际上这些数往往是一些估计和预测的数据，如c j 随市场条件的改变而改变；a ij 随工艺条件的改变而改变；b i 则是根据资源投入后能产生多大经济效果来决定的一种决策变量。
当这些参数中的一个或几个变化时，问题的最优解会有什么变化，或者这些参数在一个多大的范围内变化时，问题的最优解不变。
这就是灵敏度分析所要研究解决的问题。
第二章对偶理论与灵敏度分析2.4 灵敏度分析C N -C B B -1N -C B B -10c j -z j B -1N B -1I C B X B B -1b X N X s X B非基变量基变量当B 为最优基时，上表检验数行应≤0灵敏度分析的步骤可以归纳如下：1.将参数的改变计算反映到最终单纯形表上来：△b /=B -1△b △P /j =B -1 △P j (c j -z j ) /= c j -∑=*m i iij y a12. 检查原问题是否仍为可行解3. 检查对偶问题是否仍为可行解4. 按下表所列情况得出结论和决定继续计算的步骤原问题对偶问题结论或继续计算的步骤可行解可行解问题的最优解或最优基不变可行解非可行解用单纯形法继续迭代求最优解非可行解可行解用对偶单纯形法继续迭代求最优解非可行解非可行解引进人工变量，编制新的单纯形表重新计算一、分析c的变化j的变化二、分析bi的分析三、增加一个变量xj的变化四、分析参数aij五、增加一个约束条件的分析、分析c j 的变化例：在最初讲的第一个例子中，（1）若甲种产品的利润降至1.5元/件，而乙的利润增至2元/件时，该公司的最优生产计划有何变化；解：(1) 将甲、乙的利润变化直接反映到最终单纯形表中得下表c j1.52000C B基b x 1x 2x 3x 4x 50x 315/20015/4-15/21.5x 17/21001/4-1/22x 23/2010-1/43/2c j -z j 0001/8-9/4[ ]例一c j →21000C B基b x 1x 2x 3x 4x 50x 315051000x 424620100x 5511001c j -z j →210000x 315051002x 1412/601/600x 5102/30-1/61c j -z j →01/30-1/300x 315/20015/4-15/22x 17/21001/4-1/21x 23/2010-1/43/2c j -z j →000-1/4-1/2[ ][ ]最优解为X = (2/7, 2/3, 15/2, 0, 0)T ，代入目标函数得z = 8.5。
3对偶问题与灵敏度分析
例一、用对偶单纯形法求解：
min Z 9 x1 12 x2 15 x3
2 x1 2 x2 x3 10
2
x1
3 x2
x3
12
x1 x2 5 x3 14
x j 0( j 1.2.3)
解：将模型转化为 max Z 9x1 12x2 15x3
2 x1 2 x2 x3 x4
显然，工厂给这些生产要素定价，既要保证自己的利益， 又要使自己的价格具有竞争力
价格越低 越好
价格越高 越好
供给-需求函数
P
需求
均衡点
供给 Q
一个合理的定价是：收取的加工费不能低于自己 生产所得收益，在此前提下使总加工费尽量小。 即：
Min w=360y1+200y2+300y3
s.t. 9y1+4y2+3y3≥70 4y1+5y2+10y3≥120 y1,y2≥0
若 X(0),Y(0) 分别为（LP）和（DP）的可
行解，那么 CX(0)≤ Y(0)b。
(证明)
该定理说明：如果原问题 是最大化问题，则它的任 意可行解对应的目标函数 值都会小于等于其对偶问 题(极小化)的任一可行解 对应的目标函数值
例如
Max z=2x1+2x2-4x3
s.t. X1+3x2+3x3≤30 4x1+2x2+4x3≤80 X1,x2,x3≥0
若其中一个问题有最优解，则另一个问 题也有最优解，且两者最优值相等
证明
定理5（互补松弛定理）
原问题及其对偶问题的可行解X(0)和Y(0) 是最优解的充要条件是：
Y(0)XS=0，YSX(0)=0
XS,YS分别为原问题松弛向量和对偶问题剩余向量
第四章对偶与灵敏度分析
二、对偶的性质
考虑 （P）
max z = CX AX ≤ b s .t . X ≥ 0
（D）
min z = Yb YA ≥ C s .t . Y ≥ 0
1 .对称性
（P）与（D）互为对偶。
2.弱对偶性 设X，Y分别是（P），（D）的可行解，则CX ≤ Yb. C X ≤ YA X 证：由（P）、（D）的约束可得 Y AX ≤ Y b
（2）对偶约束的经济解释——产品的机会成本 (Opportunity Cost)
增加单位资源可以增加的利润
max z = s.t.
c1x 1
+ c2x 2 L
+ c jx j L
+ cnx n ≤ b 1 y1
a 1 1x 1 + a 1 2 x 2 L + a 1 jx j L + a 1 n x n
1 2 3 1 2 3 1 2 3
甲 乙
对偶模型的一般式
以例7为例，原问题为
记Y = ( y ，y , y ), 则对偶问题为
1 2 3
max z = CX
（P）
minw = Yb
（D）
AX ≤ b s .t . X ≥ 0
YA≥ C s.t. Y ≥ 0
这是最常见的对偶模型形式，称为对称式对偶模型。二者间 具有十分对称的对应关系：
例8：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z = 2 x 1 + 3x 2 x 1 + 2 x 2 ≤ 3 2 x − x ≤ 5 1 2 s .t . − x 1 + 3x 2 = 1 x 1 ≥ 0
例8：写出下面线性规划的对偶规划模型：
第2章：线性规划的对偶理论和灵敏度分析l
2.1 单纯性法的矩阵描述和改进的单纯性法*** 2.2 对偶问题的提出与线性规划的对偶理论** 2.3 影子价格与对偶单纯性法*** 2.4 灵敏度分析
2.1 单纯形法的矩阵描述
为了便于利用计算机求解大规模 的线性规划问题，所以需要讨论单纯 形法的矩阵描述。
y1 2 y 2
s .t
y1 3 y1
2
y2
2 y3 3 y3 5
对 偶 问
y1 y 2 y3 1
题
y 1 0 , y 2 0 , y 3 无 约 束
2.2.2 线性规划的对偶理论与基本性质*
对称性 弱对偶性 无界性 最优性 对偶定理（强对偶性） 互补松弛性 对偶关系在单纯形表中的关系
KK根1S据标K准 形 规 范 形 ,
输计基基入算 X利 BXBsBKBBs用:利XKs初1(B(用,(P0(hx始(Pj11xj(1,j)1,jP1,基h初(x,jP21xjx2,j2等 )j,1B2,初,0行,x,P,x等jj2变,mPjm,x)(jm,)行j换Pm非T)),j,1,T非变(X基,xB,PNX基j向K换msj2;N|)C,量向KTI(B;),sB矩C量,X,C0B阵PK矩NN|(,sj0ImNC;阵;b)|)CsNsB,;KN非BK;01KbB,);(基KC,sIo11|Nrb向0B，(B;h0K量b2110)1bB矩,，oK1br阵，=( hN|2B0)1K;B|0B1 K*=,
8
4x1
4 x2
x4 16 x5 12
x1, x2, x3, x4, x5 0
加入了松弛 变量x3,,x4, x5表示没有 被利用的资 源，所以没 有利润，故 相应的价值 系数均为零。
第二章线性规划问题的对偶与灵敏度分析教材
(LP2) Min ω＝15y1+24y2+5y3
st.
6y2+y3≥2
5y1+2y2+y3≥1
y1, y2, y3 ≥0
称(LP1)为原问题，(LP2)为对偶问题
当LP中的变量均具有非负约束，其约束条件当目 标函数求极大时均取“≤”号，而当目标函数求极小 时均取“≥”时，则称这样的LP问题具有对称形式
提出 问题
(LP1)
max z = 2x1+x2
st.
5x2≤15
6x1+2x2 ≤24
x1+x2 ≤5
x1, x2≥0
设备A y1 设备B y2 调试工序 y3
一个公司要收 购美佳公司的 资源(设备)，问 它至少要付出 多大的代价？
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假设y1、y2、y3分别代表单位时 间设备A、设备B、调试工序的出 让价
第二章 线性规划的对偶与灵敏度分析
§ 1 线性规划的对偶问题 § 2 对偶问题的基本性质 § 4 对偶单纯形法 § 5 灵敏度分析
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本章内容重点
• 线性规划的对偶问题概念、理论及经济意义 • 线性规划的对偶单纯形法 • 线性规划的灵敏度分析
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§1 线性规划的对偶问题
x1－x2－x3 =－5
y3
x1 ≤ 0, x2 ≥0, x3无约束
掌握两者之间的对应系： 对偶问题的变量对应原问题 的约束方程，对偶问题的约 束方程对应原问题的变量 （见表2-2）
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Min ω = 15y1+ 20y2－5y3
St. －y1－5y2+ y3≥－5 x1
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析..
z'=-17/2
z = 17/2
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问题分析
问题： 原问题：
Z=1 ω=CX=Yb min z= 15y + 24y2 + 5y3
Z/ b=(Yb) 利润 '=Y max z= 2 x1 + x2
5x2 ≤ 15 6x1 + 2x2 ≤ 24 约束 条件 st . x1 + x2 ≤ 5 x1， x2 ≥ 0
A有空闲
B设备已经饱和 调试工序也已经满负荷
一个问题？
市场上设备 A、设备 B 和调试工序每小时值多少钱？ 在什么价位时，才能使美佳公司愿意出让自己的资源？
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设：
y1 — 设备A值的价值 y2 — 设备B值的价值 y3 — 调试工序值的价值
min z= 15 y1 + 24y2 + 5y3
max z=CX AX (≤ ＝ ≥) b X (≤ ＝ ≥) 0 或无约束 有n个决策变量 xj (j＝0、2……n) xj ≥ 0
对偶问题（原问题）
min w=Yb T A Y (≤ ＝ ≥) C Y (≤ ＝ ≥) 0 或无约束 有n个约束条件 对应的约束为 ≥
变量
xj ≤ 0 xj 无约束
约束
对应的约束为 ≤ 对应的约束为 ＝
有m个约束条件 对应的约束为 ≤
约束
对应的约束为 ≥ 对应的约束为 ＝
有m个决策变量 yj (j＝0、 2……m) yj ≥ 0
变量
yj ≤ 0 yj 无约束
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三、对偶问题的基本性质（对称形）
对称性：对偶问题的对偶问题是原问题 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目 标函数值，不大于其对偶问题任意可行解的 目标函数值 对偶定理：若一个问题有最优解，则另一问 题也有最优解，且目标函数值相等。若原问 -1 题最优基为B，则其对偶问题最优解Y*=CBB 无界性：原问题无界，对偶问题无可行解
对偶理论和灵敏度分析(新)
W＝Y’b=CBB-1b=Z
所以当原问题为最优解时，对偶问题为可行解且具有相 同的目标函数值。
非对称形式的原—对偶问题
minz=2x1+3x2-5x3+x4 s.t. x1+x2-3x3+x4≥5 2x1 +2x3-x4≤4 x2+x3+x4=6 x1≤0,x2,x3≥0
x2+x3+x4≥6 x2+x3+x4≤6
A(3,0)
B(1.8,0.4)
C(0,4)
D(2,2)
可行解
z
最优解
A
6
B
4.8
是
C
12
D
10
3 2 1
A(1,0)
B(0.8,0.6)
C(0,1)
O(0,0)
可行解
w
最优解
O
0
A
3
B
4.8
是
C
4
单纯形法计算的矩阵描述
Max Z=CX AX≤b
Max Z=CX+0Xs AX+IXs=b
I 为m×m的单位矩阵
≤
≥
=
≥
Free
≤
≥
≥
=
≤
≥
x1≥0
x2≤0
x3: Free
原始问题变量的个数(3)等于对偶问题约束条件的个数(3)； 原始问题约束条件的个数(4)等于对偶问题变量的个数(4)。 原始问题变量的性质影响对偶问题约束条件的性质。 原始问题约束条件的性质影响对偶问题变量的性质。
*
写对偶问题的练习（2）
原始和对偶问题可行解目标函数值比较
(整理)第三章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析
精品文档第三章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析主要内容：1、对偶问题及其性质； 2、对偶单纯形法；3、灵敏度分析。
重点与难点：对偶问题与原问题的对应关系，对偶问题的基本性质，对偶单纯形法的求解步骤，灵敏度分析的方法。
要 求：理解线性规划对偶问题的性质，熟练掌握对偶单纯形法的求解步骤和灵敏度分析的方法和技巧，能够用这些数学方法解决实际问题。
§1 对偶问题的对称形式一、对偶问题引例，某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗，该工厂每生产一件产品甲可获利2元，每生产一件产品乙可获利3元，问应如何安排计划才能使该工厂获利最多？解：设1x 、2x 分别为甲、乙两种产品的产量则目标函数2132m ax x x z +=约束条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,12416482212121x x x x x x(1)假设该工厂决定不再生产甲、乙产品，而将其出租或出售。
这时要考虑每种资源的定价问题，设321,,y y y 分别为出租单位设备台时的租金和出让单位原材料A 、B 的附加额。
作一比较：若用一个单位台时和4个单位原材料A 生产一件产品甲，可获利2元，那么生产每件产品甲的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件甲产品的利润。
即：2421≥+y y同理，将生产每件乙产品的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件乙产品的利润。
即：精品文档34231≥+y y将工厂所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为32112168y y y ++=ω对工厂来说，ω越大越好；但对接受者来说，支付的愈少愈好，所以工厂只能在满足≥所有产品的利润前提下，使其总收入尽可能小，才能实现其愿望。
为此，得到如下模型：32112168m in y y y ++=ω⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥+≥+3,2,1,0342243121j y y y y y j(2)我们就称(2)为模型(1)的对偶问题。
线性规划的对偶理论与灵敏度分析2011,9上
c3
y 1 0 , y 2 0 , y 2 0 , y 3 0
可编辑版 16
令 y 2 y 2 - y 2 , y 3 -y 3 ,由此得 :
则 建立该线性规划的数学模型为：
Min z = 300y1+400y2+250y3 y1+2y2 ≥ 50 y1+y2+y3 ≥ 100 y1,y2,y3 ≥ 0
(LP2)
LP1 与LP2 是一对对偶问题
可编辑版 6
cj cBi xBi
50 x1 0 x4 100 x2 yj=cj-zj
LP1最终单纯型表
x1
a22 x2 a22 x2
a23 x3 a23 x3
a23 x3 a23 x3
b2 b2
a31x1 a32 x2 a33 x3 a33 x3 b3
x1 0, x2 0, x3 0, x3 0
对偶变量
y1 y2 y2 y3
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其对偶问题为：
min w b 1 y 1 b 2 y 2 b 2 y 2 b 3 y 3
a 21 x 1
a 22 x 2
a2n xn
b2
a
m
1
x
1
am2x2
a mn
xn
bm
x1, x2 , , xn 0
可编辑版 9
用yi（i=1，2，…..，m）代表第i种资源的 估价，则其对偶问题的一般形式为：
minZ b 1 y 1 b 2 y 2 b m y m
a 11 y 1 a 12 y 2 a m 1 y m c 1
50 100 0 0
x1
x2
x3
x4
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线性规划中的对偶问题与灵敏度分析线性规划是一种优化方法，广泛应用于各个领域的决策问题。
在线性规划中，对偶问题与灵敏度分析是两个重要的概念和工具，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
1. 对偶问题
在线性规划中，对偶问题是指与原始问题相对应的一个问题。
它通过转换原始问题并构造一个新的问题，以便从不同的角度来解释和解决原始问题。
对偶问题能够提供原始问题的一些有用信息，并且在某些情况下，对偶问题的解与原始问题的解是相等的。
对偶问题的构造可以通过拉格朗日对偶性理论来完成。
该理论通过构造一个拉格朗日函数，将原始问题中的约束条件转化为拉格朗日乘子，从而得到对偶问题。
对偶问题的目标函数是原始问题的约束条件的线性组合。
解决对偶问题可以通过求解拉格朗日函数的最优化问题来实现。
对于线性规划问题，对偶问题的解可以通过求解一组线性方程或线性不等式来获得。
对偶问题的解不仅可以提供原始问题的一些信息，还可以用于检验原始问题的解的可行性和最优性。
2. 灵敏度分析
灵敏度分析是在线性规划中评估解决方案对问题参数变化的响应程度的方法。
它可以帮助我们了解如果问题的参数发生变化，对解决方案的影响有多大，并做出相应的调整和决策。
灵敏度分析可以通过改变单个参数或多个参数来进行。
其中，常见的灵敏度分析包括目标函数系数的变化、约束条件右侧常量的变化和新增或取消约束条件。
这些变化可以用来模拟实际情况中可能发生的条件变化，以及评估解决方案的稳定性和可行性。
在进行灵敏度分析时，我们可以通过计算变动参数对解决方案的影响程度来得到一些关键指标。
例如，参数的变化导致目标函数值的变化量称为“影子价格”，而约束条件右侧常量的变化导致解决方案中相应决策变量的变化量，则称为“机会成本”。
灵敏度分析的结果可以帮助我们确定参数的重要性，判断解决方案的可行性和稳定性，以及找到最佳的决策方案。
在实际应用中，灵敏度分析可以帮助我们应对不确定性和风险，做出更加准确和可靠的决策。
总结：
对偶问题与灵敏度分析是线性规划中的两个重要概念和工具。
对偶问题可以帮助我们从不同的角度理解和解决原始问题，提供一些有用的信息。
灵敏度分析可以评估解决方案对问题参数变化的响应程度，帮助我们确定参数的重要性和解决方案的可行性。
通过综合运用对偶问题和灵敏度分析，我们可以更好地应对决策问题，得出准确和可靠的解决方案。