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【期末专项复习】人教版数学九年级(上)第24章：圆 压轴题专项训练(附详细解答)

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第24章《圆》(解答题20题)(解析版)-2021-2022学年九上精选20题常考题型训练

第24章《圆》(解答题20题)(解析版)-2021-2022学年九上精选20题常考题型训练

人教版九年级上册精选20题常考压轴题题型训练（解答题）第24章圆1．（2021•南关区校级二模）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证DE是⊙O的切线；（2）若BF＝1，BD＝，则菱形ABCD的面积为 5 ．思路引导：（1）证明△DAF≌△DCE，可得∠DF A＝∠DEC，证出∠ADE＝∠DEC＝90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切线．（2）连接AH，在Rt△BDF利用勾股定理求解DF的长，再根据Rt△ADF中，利用勾股定理求解AB的长，再利用菱形的面积公式可求解．完整解答：（1）证明：连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，∴AB−BF＝BC−BE，即AF＝CE，∴△DAF≌△DCE（SAS），∴∠DF A＝∠DEC，∵AD是⊙O的直径，∴∠DF A＝90°，∴∠DEC＝90°∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD＝∠DF A＝90°，∴∠DFB＝90°，在Rt△BDF中，BF＝1，BD＝，∴DF2＝BD2−BF2＝5﹣1＝4，∴DF＝2，在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF2，∴AB2＝22+（AB﹣1）2，解得AB＝，∴S菱形ABCD＝AB•DF＝×2＝5．2．（2021•章丘区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC．若O为AB的中点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．①试说明：BD＝CD；②判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．思路引导：①根据题意和等腰三角形的性质，可以说明BD＝CD，本题得以解决；②先判断直线DE与⊙O的位置关系，然后根据题意和图形可以说明猜想的结论是否正确．完整解答：解：①连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD；②直线DE与⊙O相切，理由：连接OD，∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．3．（2021•保康县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD且交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）如果AB＝4，AE＝2，求⊙O的半径．思路引导：（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE 是⊙O的切线；（2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长．完整解答：（1）证明：如图，连接OA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥DE，∵∠AED＝90°，∴∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠AED＝90°，∵∠BDA＝∠EDA，∴△BDA∽△EDA，∴＝，∵AB＝4，AE＝2，∴BD＝2AD，∴BD2＝AD2+AB2，∴BD2＝BD2+42，解得BD＝．∴⊙O的半径为．4．（2021•镇雄县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．思路引导：（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OFC，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG ＝90°，即可求解；（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝＝4，根据圆周角定理得出∠DFC＝90°，根据三角形函数的定义即可得出结论．完整解答：（1）证明：如图，连接OF，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠OCF，∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF＝180°，∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∵OF为半径，∴FG是⊙O的切线；（2）解：如图，连接DF，∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5，∴BC＝＝4，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，∵DB＝DC，∴BF＝BC＝2，∵sin∠ABC＝，即，∴FG＝．5．（2021•诸城市三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC 的延长线于点D，AB交OC于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AE＝10，BE＝6，求图中阴影部分的面积．思路引导：（1）连接OA，利用已知条件OC∥AD求证∠OAD＝90°，即可求解；（2）根据已知条件可求证△AEC∽△ACB，利用相似三角形的线段比可求出半径，即可求解．完整解答：（1）证明：连接OA，∵AD//OC，∴∠AOC+∠OAD＝180°，∵∠AOC＝2∠ABC＝2×45°＝90°，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∵OA是⊙O的半径，（2）∵AO＝CO且∠AOC＝90°，∴∠ACO＝∠CAO＝45°，即∠B＝∠ACE，∵∠CAE＝∠BAC，∴△AEC∽△ACB，∴，∴AC2＝AE•AB＝10×（10+6）＝160，∴AC＝4，∴AO＝CO＝4，∴．6．（2021•南阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E是BC的中点．以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．思路引导：（1）连接OD，BD，根据圆的性质可知∠BDC＝90°，又因为点E是BC的中点，DE＝BE＝BC，∠EBD＝∠EDB，因为OB＝OD，∠OBD＝∠ODB，根据角度等量代换可知∠ODE＝90°，即可求解；（2）连接OE，由图形可知：S阴影＝S四边形OBED﹣S扇形OBD，通过圆的性质可以分别求出四边形OBED和扇形OBD的面积，即可求解．完整解答：（1）证明：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝BE＝BC，∴∠EBD＝∠EDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB，∵∠ABC＝∠EBD+∠OBD＝90°，∴∠ODE＝∠EDB+∠ODB＝∠EBD+∠OBD＝90°，∴OD⊥DE，OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OE，∵O是AB的中点，∴OB＝AB＝2，在Rt△ABC中，BC＝AB•tan A＝4，∵E是BC的中点，∴BE＝BC＝2，S△OBE＝×OB•BE＝2，由（1）知，∠ODE＝∠OBE＝90°，∵OB＝OD，OE＝OE，∴Rt△OBE≌Rt△ODE（HL），∴S△ODE＝S△OBE＝2，∴S四边形OBED＝4，∵∠A＝60°，∴∠BOD＝120°，∴S扇形OBD＝＝，∴S阴影＝S四边形OBED﹣S扇形OBD＝4﹣．7．（2021•周村区一模）如图，线段AB是圆O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E 是线段OB的中点，DE⊥AB交圆O于点D，点P是圆O上的一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是圆O的切线；（2）求的值．思路引导：（1）连接OD，DB，由已知可知DE垂直平分OB，BC＝OB，OB＝OD，由对应线段比例关系以及夹角相等，可求证△EOD∽△DOC，可得∠CDO＝∠DEO＝90°，即可求解；（2）连接OP，由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE，由对应线段比例关系以及夹角相等，可求证△OEP∽△OPC，即可求解．完整解答：（1）证明：如图，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴OB＝DO，OE＝BE，∵BC＝OB，OB＝OD，∴，∵∠DOE＝∠COD，∴△EOD∽△DOC，∴∠CDO＝∠DEO＝90°，∴CD是圆O的切线；（2）解：如图，连接OP，由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE，∴，∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴，8．（2021秋•雨花区校级月考）如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．（1）若∠B＝40°，求∠A的度数；（2）证明：CD＝DE；（3）若AD＝4，求CE的长度．思路引导：（1）由平行线的性质可得∠AOD＝∠B＝40°，再利用等腰三角形的性质可得；（2）根据三角形的内角和定理和圆内接四边形的性质可得∠C＝∠DEC，从而证明结论；（3）设CE＝x，则BE＝12﹣x，根据勾股定理可得AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，代入即可得出方程，从而解决问题．完整解答：（1）解：∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝40°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠A＝；（2）证明：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B，∠DEC＝∠A，∴∠CDE＝∠AOD，∵∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠DEC，∠ADO＝180°﹣∠A﹣∠AOD，∴∠C＝∠ADO＝∠A，∴∠C＝∠DEC，∴CD＝DE；（3）解：连接OE，AE，由（2）得AB＝BC＝12，∴∠AOE＝2∠B，∠B＝∠AOD，∴∠AOE＝2∠AOD，∴∠AOD＝∠DOE，∴AD＝DE，∴AC＝2AD＝8，∵AB是直径：∠AEB＝90°，设CE＝x，则BE＝12﹣x，∵AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，∴82﹣x2＝122﹣（12﹣x）2，解得：，∴CE＝．9．（2021•宜都市一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E，交⊙O于另一点F．（1）求证：∠DBE＝∠BCD．（2）若BC＝4，BE＝4，求AB的长．思路引导：（1）连接CF，由题意可知∠BCF＝∠ADC＝90°，利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠BFC，根据内角和为180°可得∠ACD＝∠FBC，因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，通过等量代换即可求解；（2）根据角的互余可得∠FEC＝∠FCE，从而可得FE＝FC，设FC＝x，则BF＝4+x，根据勾股定理即可求解．完整解答：（1）证明：如图，连接CF，∵BF为直径，∴∠BCF＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝∠BFC，∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠BAC，∠FBC＝180°﹣∠BCF﹣∠BFC，∴∠ACD＝∠FBC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DBE＝∠BCD；（2）解：∠DBE+∠DEB＝90°，∠DEB＝∠FEC，∴∠DBE+∠FEC＝90°，∵∠BCD+∠FCE＝90°，∠DBE＝∠BCD，∴∠FEC＝∠FCE，∴FE＝FC，设FC＝x，则BF＝4+x，在Rt△BCF中，BC2+FC2＝BF2，即（4）2+x2＝（4+x）2，解得x＝2，∴BF＝6，如图，过点A作AG⊥BC于G，∵AB＝AC，∴BG＝CG＝2，∴点A、O、G在同一直线上，∴OG＝FC＝1，∴AG＝AO+OG＝4，在Rt△ABG中，AB2＝AG2+BG2＝24，∴AB＝2．10．（2021•福建模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB于点F，直线CF与直线BD于点G．（1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；（2）连接AG，若AG＝BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠ABC的度数．思路引导：（1）根据垂直的定义得到∠ABD＝∠ACF，根据圆周角定理得到∠ABD＝∠ACD，根据全等三角形的性质得到DE＝GE，于是得到结论；（2）延长CB交AG于点H，连接OA，OB，OC，EF，根据圆周角定理得到∠GAF＝∠GEF＝∠BCF，求得∠AHB＝∠BFC＝90°，根据全等三角形的性质得到AF＝CF，推出△AFC为等腰直角三角形，得到∠BAC＝45°，根据切线的性质得到OA⊥AG，根据平行线的性质得到∠AOB＝∠OBC＝45°，于是得到答案．完整解答：解：（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠ABD＝∠ACF，又∵＝，∴∠ABD＝∠ACD，∴∠ACG＝∠ACD，又∵∠GEC＝∠DEC＝90°，CE＝CE，∴△CEG≌△CED（ASA），∴DE＝GE，又CE⊥GD，∴点G和D关于直线AC成轴对称；（2）延长CB交AG于点H，连接OA，OB，OC，EF，如图，∵BE⊥AC，AF⊥CG，∴A、G、F、E四点共圆，B、F、C、E四点共圆，∴∠GAF＝∠GEF＝∠BCF，∴∠AHB＝∠BFC＝90°，又∵∠AFG＝∠CFB＝90°，AG＝CB，∴△AGF≌△CBF（AAS），∴AF＝CF，∴△AFC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，又OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵AG与⊙O相切，∴OA⊥AG，∴BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC＝45°，∴，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝112.5°．11．（2021•淅川县一模）如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．（1）求证：△CDE≌△ABC；（2）若AC为⊙O的直径，填空：①当∠E＝60°时，四边形OCFD为菱形；②当∠E＝45°时，四边形ABCD为正方形．思路引导：（1）先判断出∠BAC＝∠DCE，进而得出∠CDE＝∠ABC，即可得出结论；（2）①先判断出点D是AE的中点，再利用DF∥AC，点F是CE的中点，即可得出AC ＝AE，即可得出结论；②先判断出AD＝CD，∠ADC＝90°，进而得出∠ACD＝45°，再判断出∠DCE＝∠ACD＝45°，即可得出∠ACE＝90°，即可得出结论．完整解答：证明：（1）∵，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角，∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS）；（2）如图，①连接AF，∵AC是直径，∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，∵四边形OCFD是菱形，∴DF∥AC，OD∥CE，∵OA＝OC，∴AD＝DE（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵DF∥AC，∴CF＝EF（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵∠AFC＝90°，∴AC＝AE（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），∵AC＝CE，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等边三角形，∴∠E＝60°；故答案为：60°；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，∵AC＝CE，CD⊥AE，∴∠DCE＝∠ACD＝45°，∴∠ACE＝90°，∵AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形．∴∠E＝45°．故答案为：45°．12．（2021•枣阳市模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝，求劣弧BC的长．思路引导：（1）由题意连接OC，依据垂直平分线的性质得出∠EBC＝∠ECB，进而利用切线得出∠OBE＝90°，OB⊥BE，即可求解；（2）设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣DF＝R﹣2，OB＝R，进而利用OD2+BD2＝OB2，得到R，最后根据三角函数求出∠BOC，从而运用劣弧BC＝得出答案．完整解答：（1）证明：连接OC，如图，∵OD⊥BC，∴CD＝BD，∴OE为BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC+∠EBC＝∠OCB+∠ECB，即∠OBE＝∠OCE，∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∴∠OBE＝90°，∴OB⊥BE，∵OB是半径，∴BE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣DF＝R﹣2，OB＝R，在Rt△OBD中，BD＝BC＝，∵OD2+BD2＝OB2，∴，解得R＝4，∴OD＝2，OB＝4，∴cos∠BOD＝，∴∠BOD＝60°，又OD⊥BC，OB＝OC，得∠BOC＝120°，∴劣弧BC＝．13．（2021•思明区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D边AC上，∠DBC ＝∠BAC，⊙O经过A、B、D三点，连接DO并延长交AB于点E，交⊙O于点F．（1）求证：CB是⊙O的切线；（2）若DE＝6，EF＝14，求CD的长度．思路引导：（1）连接OB、BF，综合圆周角的基本性质以及题意推出∠DBC＝∠OBF，从而结合直径所对的圆周角证明∠OBC＝90°，即可得出结论；（2）连接AF，延长BO交AF于点H点，推出四边形ACBH为矩形，先求出半径，然后根据题意推出△ADE∽△BOE，从而结合相似三角形的性质求出AD，然后结合垂径定理求出OH，得出AC的长度，从而得出结论．完整解答：（1）证明：如图，连接OB、BF，则∠OBF＝OFB，根据圆周角的性质，∠BFO＝∠BAC，∵∠DBC＝∠BAC，∴∠DBC＝∠BFO，∴∠DBC＝∠OBF，∵DF为⊙O的直径，∴∠DBF＝∠DBO+∠OBF＝90°，∴∠DBO+∠DBC＝90°，即∠OBC＝90°，且OB为半径，∴CB是⊙O的切线；（2）解：如图，连接AF，延长BO交AF与H点，∵DF为直径，∴∠DAF＝90°，且∠C＝∠OBC＝90°，∴四边形ACBH为矩形，∴∠OHA＝90°，根据垂径定理：AF＝2AH，∵DE＝6，EF14，∴DF＝20，DO＝BO＝10，EO＝DO﹣DE＝4，∵HB∥AC，∴△ADE∽△BOE，∴，可得AD＝15，在Rt△ADF中，AF＝＝5，∴AH＝HF＝AF＝，在Rt△OHF中，OH＝＝，∴HB＝AC＝OH+BO＝，∴CD＝AC﹣AD＝﹣15＝，即CD的长度为．14．（2021秋•诸暨市月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．思路引导：（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，先证明α+β＝45°，再过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，判定△AEB ≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2＝NF2，将相关线段代入即可得出结论；完整解答：解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；15．（2021•贵池区模拟）已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O 的切线，切点为点C，D为弧AC上一点，连接BD、BC、DC．（1）如图1，求证：∠D＝∠PCB；（2）如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC＝5，求⊙O的半径．思路引导：（1）利用切线的性质和圆周角定理即可证明；（2）利用平行四边形的性质，三角形内角和定理，结合（1）的结论，证明△OBC是等边三角形，即可求出⊙O的半径．完整解答：（1）证明：如图1，连接AC，OC，∵AB为直径，PC为⊙O的切线，∴∠ACB＝∠OCP＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∵∠A＝∠D，∴∠D＝∠PCB；（2）解：如图2，连接AC，OC，∵四边形CDBP为平行四边形，∴∠D＝∠CPB，由（1）得，∠ACB＝∠OCP＝90°，∠D＝∠A＝∠CPB，∴∠D＝∠A＝∠CPB＝∠PCB，在△ACP中，∠A+∠ACB+∠BCP+∠CPB＝180°，∴∠A+∠BCP+∠CPB＝90°，∴∠A＝∠CPB＝∠PCB＝30°，∴∠OBC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝5，故⊙O的半径为5．16．（2021•奎屯市一模）如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．思路引导：（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OE，再证∠FEO＝90°即可；（2）先证明△FEA∽△FBE，根据相似三角形对应边成比例求出AF＝5，BF＝20，BE＝2AE．再根据圆周角定理得出∠AEB＝90°，利用勾股定理列方程，即可求出AE的长．完整解答：（1）证明：连接OE，∵∠B的平分线BE交AC于D，∴∠CBE＝∠ABE．∵EF∥AC，∴∠CAE＝∠FEA．∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE，∴∠FEA＝∠OEB．∵∠AEB＝90°，∴∠FEO＝90°．∴EF是⊙O切线．（2）解：在△FEA与△FBE中，∵∠F＝∠F，∠FEA＝∠FBE，∴△FEA∽△FBE，∴＝＝，∴AF•BF＝EF•EF，∴AF×（AF+15）＝10×10，解得AF＝5．∴BF＝20．∴＝，∴BE＝2AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE2+BE2＝152，∴AE2+（2AE）2＝225，∴AE＝3．17．（2021•商河县二模）如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：EF⊥AC．（2）连接DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．思路引导：（1）连接OE，如图，先证明OE∥AC，再利用切线的性质得OE⊥EF，从而得到EF⊥AC；（2）连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，利用圆周角定理得到∠BED＝90°，则DE ＝BD＝r，BE＝r，再证明∠EDF＝90°，∠DFE＝60°，接着用r表示出DF＝r，EF＝r，CE＝r，从而得到r+r＝2，然后解方程即可．完整解答：（1）证明：连接OE，如图，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC，∵EF为切线，∴OE⊥EF，∴EF⊥AC；（2）解：连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，∵BD为直径，∴∠BED＝90°，在Rt△BDE中，∵∠B＝30°，∴DE＝BD＝r，BE＝r，∵DF∥BC，∴∠EDF＝∠BED＝90°，∵∠C＝∠B＝30°，∴∠CEF＝60°，∴∠DFE＝∠CEF＝60°，在Rt△DEF中，DF＝r，∴EF＝2DF＝r，在Rt△CEF中，CE＝2EF＝r，而BC＝2，∴r+r＝2，解得r＝，即⊙O的半径长为．18．（2021•鼓楼区校级模拟）已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l ∥BC．（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．思路引导：（1）根据切线的性质、垂径定理证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．完整解答：（1）证明：∵l与⊙O相切于点P，∴PD⊥l，∵l∥BC，∴PD垂直平分弦BC，∴，∴∠BAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC；（2）∠BAD＝∠BCD，且∠BAD＝∠DAC，∴∠DAC＝∠BCD，在△ADC和△CDE中∠DAC＝∠BCD，∠ADC＝∠EDC，∴△ADC∽△CDE，∴，即，得DC＝4．19．（2020秋•高州市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．（1）若BE＝8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．思路引导：（1）根据题意和图形，利用勾股定理、垂径定理可以解答本题；（2）根据三角形全等、勾股定理可以求得线段OE的长．完整解答：解：（1）设⊙O的半径长为r，则OD＝r，OE＝r﹣8，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，∴DE＝12，∴OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣8）2+122，解得，r＝13，即⊙O的半径是13；（2）连接BC，∵∠DMB＝∠D，∠DMB＝∠DCB，∴∠D＝∠DCB，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，∴CE＝DE＝12，∠CEB＝∠DEO，∴△CEB≌△DEO（ASA），∴OE＝BE＝0.5OB，设⊙O的半径长为r，则r2＝122+（0.5r）2，解得，r＝或r＝﹣8（舍去），∴OE＝4．20．（2021•南关区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．思路引导：（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；（2）根据勾股定理计算即可．完整解答：解：（1）相切，理由如下：连接AD，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴CD＝BD＝BC．∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠ODE＝∠CED＝90°．∴OD⊥DE．∴DE与⊙O相切．（2）由（1）知∠ADC＝90°，∴在Rt△ADC中，由勾股定理得AD＝＝4．∵S ACD＝AD•CD＝AC•DE，∴×4×3＝×5DE．∴DE＝．。

人教版九年级数学上册《第二十四章圆 》测试卷-附参考答案

人教版九年级数学上册《第二十四章圆 》测试卷-附参考答案

人教版九年级数学上册《第二十四章圆》测试卷-附参考答案一、单选题1．已知AB是⊙O的直径，的度数为60°，⊙O的半径为2cm，则弦AC的长为（）A．2cm B．cm C．1cm D．cm2．已知圆O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP=4，则点P与圆O的关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆外C．点P在圆上D．无法确定3．如图，是的直径，若，则圆周角的度数是（）A．B．C．D．4．如图，已知半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C，设半圆的半径为2，则四边形的周长为（）A．7 B．9 C．12 D．145．如图，是的内接三角形，作，并与相交于点D，连接BD，则的大小为（）A．B．C．D．6．如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形．若对角线，则的长为（）A．B．C．D．7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（）A．B．C．D．8．如图，半径为的扇形中，是上一点，垂足分别为，若，则图中阴影部分面积为( )A．B．C．D．二、填空题9．如图，是的弦，C是的中点，交于点D.若，则的半径为 .10．如图，是的直径，交于点，且，则的度数= ．11．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为．12．如图，为的外接圆，其中点在上，且，已知和则．13．如图，以正方形的顶点为圆心，以对角线为半径画弧，交的延长线于点，连结，若，则图中阴影部分的面积为.（结果用表示）三、解答题14．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，是的中点，连接BC，AO，BD.求的大小.15．如图，是的外接圆，且，点M是的中点，作交的延长线于点N，连接交于点D．（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径．16．如图，等腰内接于，AC的垂直平分线交边BC于点E，交于F，垂足为D，连接AF并延长交BC的延长线于点P．（1）求证：；（2）若，求的度数．17．如图，在中，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．18．如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB于点D，点P在OC的延长线上，AC平分∠PAB.（1）判断AP与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，弦AB平分OC，求与弦AB、AC围成的阴影部分的面积.参考答案：1．A2．A3．B4．D5．A6．C7．D8．B9．510．24°11．12．13．14．解：又是中点在和中≌∴BD=OA是直径，OA是半径90°且30°. 15．（1）证明：∵∴∵点M是的中点∴∴∴∴是的直径∴∵∴∴是的切线；（2）解：如图所示，连接，设交于D∵∴设的半径为r，则∵∴在中，由勾股定理的∴∴∴的半径为．16．（1）证明：如图，连接BF．∵AC的垂直平分线交边BC于点E，交于F，且圆是轴对称图形，∴O，E，F三点共线，∴∴∴，∵，∴（2）解：如图，连接CF，设，则∵∴∵∴∴∴．∵∴，即易证（SAS），∴∵，∴，∴，∴，解得∴∴的度数为108°．17．（1）证明：连接OD．∵AC＝CD∴∠A＝∠ADC．∵OB＝OD∴∠B＝∠BDO．∵∠ACB＝90°∴∠A+∠B＝90°．∴∠ADC+∠BDO＝90°．∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．又∵OD是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AC＝CD，∠A＝60°∴△ACD是等边三角形．∴∠ACD＝60°．∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO tan30°＝2．∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD∴∠ODB＝∠B＝30°．∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．∴的长18．（1）解：AP与⊙O的位置关系是相切，理由如下：连接平分垂直于弦，且是半径是的切线；（2）解：连接OB，如图所示：∵弦AB垂直平分OC∴∴∴∵OA=OC∴△OAC是等边三角形∴∴△OBD≌△CAD（ASA）∴。

部编数学九年级上册专题24.1圆【七大题型】(人教版)(解析版)含答案

部编数学九年级上册专题24.1圆【七大题型】(人教版)(解析版)含答案

专题24.1 圆【七大题型】【人教版】【题型1 圆的概念】 (1)【题型2 圆的有关概念】 (4)【题型3 确定圆的条件】 (6)【题型4 点与圆的位置关系】 (9)【题型5 圆中角度的计算】 (12)【题型6 圆中线段长度的计算】 (15)【题型7 圆相关概念的应用】 (18)定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．【题型1 圆的概念】【例1】（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（ ）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆有无数条对称轴C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．圆的对称中心是它的圆心【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得．【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆有无数条对称轴，正确；C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；D．圆的对称中心是它的圆心，正确；故选：C．【变式1-1】（2022•武昌区校级期末）由所有到已知点O 的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（ ）A ．4πB ．9πC ．5πD ．13π【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．【解答】解：由所有到已知点O 的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积，即π×32﹣π×22＝5π，故选：C ．【变式1-2】（2022•杭州模拟）现有两个圆，⊙O 1的半径等于篮球的半径，⊙O 2的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1米，则面积增加较多的圆是（ ）A ．⊙O 1B ．⊙O 2C ．两圆增加的面积是相同的D ．无法确定【分析】先由L ＝2πR 计算出两个圆半径的伸长量，然后再计算两个圆增加的面积，然后进行比较大小即可．【解答】解：设⊙O 1的半径等于R ，变大后的半径等于R ′；⊙O 2的半径等于r ，变大后的半径等于r ′，其中R ＞r ．由题意得，2πR+1＝2πR ′，2πr +1＝2πr ′，解得R ′＝R +12π，r ′＝r +12π；所以R ′﹣R =12π，r ′﹣r =12π，所以，两圆的半径伸长是相同的，且两圆的半径都伸长12π．∴⊙O 1的面积＝πR 2，变大后的面积=π(R +12π)2，面积增加了π(R +12π)2−πR 2＝R +14π，⊙O 2的面积＝πr 2，变大后的面积=π(r +12π)2，面积增加了π(r +12π)2−πr 2=r +14π，∵R ＞r ，∴R +14π＞r +14π，∴⊙O 1的面积增加的多．故选：A ．【变式1-3】（2022•浙江）如图，AB 是⊙O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB ＝a ，那么⊙O 的周长l ＝πa ．计算：（1）把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长l 2=12πa =12l ；（2）把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长l 3＝　13l ；（3）把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长l 4＝　14l ；（4）把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长l n ＝　1n l ．结论：把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的　1n ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．【分析】把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是l n ＝π（1n a ）=1n l ，即每个小圆周长是大圆周长的1n ；根据圆的面积公式求得每个小圆的面积和大圆的面积后比较．【解答】解：（2）13l ；（3）14l ；（4）1n l ；1n ；每个小圆面积＝π（12•1n a ）2=14•πa 2n 2，而大圆的面积＝π（12•a ）2=14πa 2即每个小圆的面积是大圆的面积的1．n2【题型2 圆的有关概念】【例2】（2022•远安县期末）下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据弦，直径，弧的定义一一判断即可．【解答】解：①弦是直线，错误，弦是线段．②圆的直径被该圆的圆心平分，正确．③过圆内一点P的直径仅有一条，错误，点P是圆心时，直径有无数条．④弧是圆的一部分，正确．故选：B．【变式2-1】（2022图木舒克月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（ ）A．1B．4C．10D．11【分析】根据直径是圆中最长的弦，判断即可．【解答】解：∵一个圆的半径为5，∴圆中最长的弦是10，∴弦长不可能为11，故选：D．【变式2-2】（2022•嘉鱼县期末）如右图中有　1　条直径，有　4　条弦，以点A为端点的优弧有　2　条，有劣弧　2　条．【分析】根据直径、弦、优弧及劣弧的概念解答即可得．【解答】解：图中直径只有AB这1条，弦有AC、AB、CD、BC这4条，以点A为端点的优弧有ACD、ADC 这2条，劣弧有AC、AD这2条，故答案为：1、4、2、2．【变式2-3】（2022仪征市期末）如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　4　个．【分析】解法一：过点P最长的弦是12，根据已知条件，△OAB的面积为18，可以求出AB＜12，根据三角形面积可得OC＝OP的长有两个整数：5，6，且OP＝6是P在A或B点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4个．解法二：根据面积可知，OA上的高为6，也就是说OA与OB互相垂直，然后算出OC长度即可．【解答】解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，设OC＝x，AC＝y，∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，∴AB≤12，∵△OAB的面积为18，+y2=362y⋅x=18，则y=18x，∴x2+(18x)2=36，解得x＝∴OC＝4，∴4＜OP≤6，∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．解法二：设△AOB中OA边上的高为h，则12×OAℎ=18，即12×6ℎ=18，∴h＝6，∵OB＝6，∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，∴AB＝OC＝同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．故答案为：4．【题型3 确定圆的条件】【例3】（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【变式3-1】（2022春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）　能　确定一个圆（填“能”或“不能”）．【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．故答案为：能．【变式3-2】（2022•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为　（2，1）　．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．【变式3-3】（2022•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，cm，解得：R=253cm．∴圆片的半径R为253【题型4 点与圆的位置关系】【例4】（2022秋•宜州区期末）如已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，CM是中线，以C长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．【解答】解：根据勾股定理，有AB=cm）；∵CA＝2cm，∴点A在⊙O内，∵BC＝4cm，∴点B在⊙C外；由中线定理得：CM=∴M点在⊙C上．【变式4-1】（2022春•龙湖区校级月考）⊙O的面积为25πcm2，⊙O所在的平面内有一点P，当PO　＝5cm　时，点P在⊙O上；当PO　＜5cm　时，点P在⊙O内；当PO　＞5cm　时，点P在⊙O外．【分析】根据圆的面积求出圆的半径，然后确定圆上点，圆内点以及圆外的到圆心的距离．【解答】解：因为圆的面积为25πcm2，所以圆的半径为5cm．当点P到圆心的距离等于5cm时，点P在⊙O上，此时OP＝5cm．当点P到圆心的距离小于5cm时，点P在⊙O内，此时OP＜5cm．当点P到圆心的距离大于5cm时，点P在⊙O外，此时OP＞5cm．故答案分别是：PO＝5cm，PO＜5cm，PO＞5cm．【变式4-2】（2022•广东模拟）如图，已知⊙A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P（m，n）是⊙A 上的一个动点，则m2+n2的最大值为　36　．【分析】由于圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），利用勾股定理可计算出OA＝5，OP=这样把m2+n2理解为点P与原点的距离的平方，利用图形可得到当点P运动到射线OA上时，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，然后求出此时的PO长即可．【解答】解：作射线OA交⊙O于P′点，如图，∵圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），∴OA5，OP=∴m2+n2是点P点圆点的距离的平方，∴当点P运动到P′处，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，此时OP＝OA+AP′＝5+1＝6，则m2+n2＝36．故答案为：36．【变式4-3】（2022秋•金牛区期末）如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO 的中点为C，则线段AC的最小值为　2　．【分析】先确定AC最小值时点B的位置：过B作BD∥AC交x轴于D，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，根据勾股定理和三角形中位线定理可得AC的长．【解答】解：过B作BD∥AC交x轴于D，∵C是OB的中点，∴OA＝AD，BD，∴AC=12∴当BD取最小值时，AC最小，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，∵A（3，0），∴D（6，0），∵M（3，4），∴DM==5，∴BD＝5﹣1＝4，BD＝2，即线段AC的最小值为2；∴AC=12故答案为：2．【题型5 圆中角度的计算】【例5】（2022•江宁区校级期中）如图，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．【分析】设∠B＝x，根据等腰三角形的性质，由BD＝OD得∠DOB＝∠B＝x，再根据三角形外角性质得∠ADO＝2x，则∠A＝∠ADO＝2x，然后根据三角形外角性质得2x+x＝114°，解得x＝38°，最后利用三角形内角和定理计算∠AOD的度数．【解答】解：设∠B＝x，∵BD＝OD，∴∠DOB＝∠B＝x，∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2x，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2x，∵∠AOC＝∠A+∠B，∴2x+x＝114°，解得x＝38°，∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝180°﹣4x＝180°﹣4×38°＝28°．【变式5-1】（2022•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度数．【分析】求∠AOC的度数，可以转化为求∠C与∠E的问题．【解答】解：连接OD，∵AB＝2DE＝2OD，∴OD＝DE，又∵∠E＝25°，∴∠DOE＝∠E＝25°，∴∠ODC＝50°，同理∠C＝∠ODC＝50°∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝75°．【变式5-2】（2022•金牛区期末）如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD＝84°，则∠BOC＝　48°　．【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D＝∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．【解答】解：∵OD＝OC，∴∠D＝∠A，∵∠AOD＝84°，（180°﹣84°）＝48°，∴∠A=12又∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠A＝48°．故答案为：48°．【变式5-3】（2022•大丰市月考）如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O 上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP＝QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB 上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．【解答】解：①根据题意，画出图（1），在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP，在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO，又∵∠AOC＝30°，∴∠QPO＝∠OCP+∠AOC＝∠OCP+30°，在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC＝180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP＝180°，整理得，3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°．②当P在线段OA的延长线上（如图2）∵OC＝OQ，∴∠OQP＝（180°﹣∠QOC）×1①，2∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝（180°﹣∠OQP）×1②，2在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ＝180°③，把①②代入③得∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°∴∠OCP＝100°；③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC＝（180°﹣∠COQ）×1①，2∵OQ＝PQ，∴∠P＝（180°﹣∠OQP）×1②，2∵∠AOC＝30°，∴∠COQ+∠POQ＝150°③，∵∠P＝∠POQ，2∠P＝∠OCP＝∠OQC④，①②③④联立得∠P＝10°，∴∠OCP＝180°﹣150°﹣10°＝20°．故答案为：40°、20°、100°．【题型6 圆中线段长度的计算】【例6】（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）A ．B ．8C ．6D ．5【分析】连结CD ，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．【解答】解：如图，连结CD ，∵CD 是直角三角形斜边上的中线，∴CD =12AB =12×10＝5．故选：D ．【变式6-1】（2022•海港区校级自主招生）如图，圆O 的周长为4π，B 是弦CD 上任意一点（与C ，D 不重合），过B 作OC 的平行线交OD 于点E ，则EO +EB ＝　2　．（用数字表示）【分析】根据圆的周长公式得到OD ＝2，根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵⊙O 的周长为4π，∴OD ＝2，∵OC ＝OD ，∴∠C ＝∠D ，∵BE ∥OC ，∴∠EBD ＝∠C ，∴∠EBD ＝∠D ，∴BE ＝DE ，∴EO +EB ＝OD ＝2，故答案为：2．【变式6-2】（2022•龙湖区校级开学）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，CD ⊥AB 于D ，AD ＜BD ，若CD ＝2cm ，AB ＝5cm ，求AD 、AC 的长．【分析】由直径AB ＝5cm ，可得半径OC ＝OA =12AB =52cm ，分别利用勾股定理计算AD 、AC 的长．【解答】解：连接OC ，∵AB ＝5cm ，∴OC ＝OA =12AB =52cm ，Rt △CDO 中，由勾股定理得：DO =32cm ，∴AD =52−32=1cm ，由勾股定理得：AC ==则AD 的长为1cm ，AC ．【变式6-3】（2022秋•邗江区期中）如图，半圆O 的直径AB ＝8，半径OC ⊥AB ，D 为弧AC 上一点，DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，垂足分别为E 、F ，求EF 的长．【分析】连接OD ，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF 是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论．【解答】解：连接OD ．∵OC ⊥AB DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，∴∠AOC ＝∠DEO ＝∠DFO ＝90°，∴四边形DEOF是矩形，∴EF＝OD．∵OD＝OA∴EF＝OA＝4．【题型7 圆相关概念的应用】【例7】（2022秋•南岗区校级期中）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案：方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）（1）如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π）（2）如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）（3）如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的1，他15做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了1，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取23）【分析】（l）根据圆的周长公式：c＝xd，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可．（2）首先根据圆的周长公式：c＝元d，求出直径是4米、和6米的圆的周长和，然后与图1进行比较．（3）求出乙的钱数，再用总钱数﹣乙是钱数，可得结论．【解答】解：（1）10÷2＝5（米），2π×5×2＝20π（米）．故答案为：20π米．=8（米），8÷2＝4（米），（2）10×2＝20（米），20×223=12（米），12÷2＝6（米），20×323方案B花坛周长：2π（4+6）＝20π（米），20π＝20π，方案B与A周长一样，用的材料一样．×2×（5﹣1）×20π×10＝320（元）．（3）乙的钱数=115甲的钱数＝20π×10﹣320＝280（元），答：修完花坛后，甲，乙分别得到320元和280元．【变式7-1】（2022•南岗区期末）一个压路机的前轮直径是1.7米，如果前轮每分钟转动6周，那么这台压路机10分钟前进（ ）米．A．51πB．102πC．153πD．204π【分析】首先根据圆的周长公式C＝πd，求出前轮的底面圆周长，然后用前轮的底面周长乘每分钟转的周数（6周），求出1分钟前进多少米，再乘工作时间10分钟即可．【解答】解：前轮的底面圆周长：π×1.7＝1.7π（米），1.7π×6×10＝102π（米）故选：B．【变式7-2】（2022•罗田县校级模拟）一个塑料文具胶带如图所示，带宽为1cm，内径为4cm，外径为7cm，已知30层胶带厚1.5mm，则这卷胶带长　51.81　m．（π≈3.14，结果保留4位有效数字）【分析】首先求出胶带的体积，用胶带的体积除以一米长的胶带的体积即可求得．【解答】解：4÷2＝2（cm），7÷2＝3.5（cm），胶带的体积是：π（3.52﹣22）•1＝8.25πcm3＝8.25π×10﹣6（m3），一米长的胶带的体积是：0.01×1×5×10﹣5＝5×10﹣7（m3），因而胶带长是：（8.25π×10﹣6）÷（5×10﹣7）≈51.81（m）．故答案为：51.81．【变式7-3】（2022•张店区期末）如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂蚁直到行走2010πcm后才停下来．则这只蚂蚁停在点　E　．【分析】首先求得蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序走一周的路线长，然后确定走2010πcm是走了多少周，即可确定．【解答】解：A开始ABCDEFCGA的顺序转一周的路径长是：8π+4π＝12πcm，蚂蚁直到行走2010πcm所转的周数是：2010π÷12π＝167…6π．即转167周以后又走了6πcm．从A到B得路长是：2π，再到C的路线长也是2π，从C到D，到E的路线长是2π，则从A行走6πcm 到E点．故答案是：E．。

人教版数学九年级上册第24章《圆》 解答题专项测试

人教版数学九年级上册第24章《圆》 解答题专项测试

九年级上册第24章圆解答题专项测试（二）1．如图，AB是⊙O的一条弦，C、D是⊙O上的两个动点，且在AB弦的异侧，连接CD．（1）若AC＝BC，AB平分∠CBD，求证：AB＝CD；（2）若∠ADB＝60°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD的面积最大值．2．如图，已知AB＝AC，BD＝CD，点D在BC上，以A为圆心的圆恰好经过点D，求证：BC为⊙A的切线．3．如图，等边△ABC的边长为8，⊙O的半径为，点O从A点开始，在△ABC的边上沿A﹣B﹣C﹣A方向运动．（1）⊙O从A点出发至回到A点，与△ABC的边相切了次；（2）当⊙O与边AC相切时，求OA的长度．4．如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点．（1）求证：∠ADC＝∠AOB；（2）若AE＝2，BC＝6，求OA的长．5．如图，C是直径AB延长线上的一点，CD为⊙O的切线，若∠C＝20°，求∠A的度数．6．如图，在直角坐标系中，以点C（2，0）为圆心，以3为半径的圆分别交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点D（﹣，0）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求证：直线BD是⊙C的切线．7．如图，BD是⊙O的直径．弦AC垂直平分OD，垂足为E．（1）求∠DAC的度数；（2）若AC＝6，求BE的长．8．如图，BC为⊙O的直径，AC＝AB，OE⊥AC于E，OD⊥AB于D．求证：四边形ADOE 为正方形．9．如图，AB是⊙O的直径，半径OD与弦AC垂直，若∠A＝∠D，求∠1的度数．10．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．参考答案1．（1）证明：∵AC＝BC，∴＝，∵AB平分∠CBD，∴∠ABC＝∠ABD，∴＝，∴＝，∴AB＝CD；（2）解：连接OA、OB、OC，OC交AB于H，如图，∵＝，∴∠ADC＝∠BDC＝∠ADB＝30°，OC⊥AB，AH＝BH，∴∠BOC＝60°，∴OH＝OB＝，BH＝OH＝，∴AB＝2BH＝，∵四边形ACBD的面积＝S△ABC+S△ABD，∴当D点到AB的距离最大时，S△ABD的面积最大，四边形ACBD的面积最大，此时D 点为优弧AB的中点，即CD为⊙O的直径时，四边形ACBD的面积最大，∴四边形ACBD的面积最大值为•×2＝．2．证明：如图，连结AD，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，又∵AD是⊙A的半径，∴BC为⊙A的切线．3．解：（1）⊙O从A点出发至回到A点，依次与AB相切、BC相切、AC相切、AB相切、BC相切、AC相切，∴⊙O从A点出发至回到A点，与△ABC的边相切了6次，故答案为：6；（2）⊙O与边AC相切时，O分别在AB边与BC边上两种情况：如图所示：当O在AB边上，⊙O与边AC相切时，切点为D，连接OD，则OD⊥AC，∵∠OAD＝60°，∴∠AOD＝30°，∴AD＝OD＝1，OA＝2AD＝2；当O在BC边上，⊙O与边AC相切时，切点为E，连接OE，则OE⊥AC，∵∠OCE＝60°，∴∠COE＝30°，∴CE＝OE＝1，∴AE＝AC﹣CE＝8﹣1＝7，∴OA＝＝＝2；综上所述，当⊙O与边AC相切时，OA的长度为2或2．4．（1）证明：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠ADC＝∠AOB；（2）解：∵OA⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝×6＝3，设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OE＝r﹣2，在Rt△OBE中，32+（r﹣2）2＝r2，解得r＝，即OA的长为．5．解：连接OD，∵CD为⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠DOC＝90°﹣∠C＝70°，由圆周角定理得，∠A＝∠DOC＝35°．6．解：（1）∵点C（2，0），圆的半径为3，∴OC＝2，AC＝3，∴OA＝OC+CA＝5，∴A（5，0），连接CB，在Rt△OCB中，∵OB＝＝＝，∴B（0，）；（2）∵点D（﹣，0），∴OD＝．在Rt△DBO中，∵DB2＝BO2+DO2＝5+＝，又∵DC＝DO+OC＝，CB＝3，∴在△DBC中，DB2+CB2＝+9＝＝DC2，∴△DBC是直角三角形，∴BC⊥DB于点B．∵BC是⊙C半径，∴直线BD是⊙C的切线．7．解：（1）连接OA．∵AC垂直平分OD，∴AO＝AD，又OA＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠DAO＝60°．∵AC⊥OD，AO＝AD，∴∠DAC＝∠OAC＝×60°＝30°，（2）∵OD⊥AC，AC＝6，∴AE＝AC＝3，∵AC垂直平分OD，垂足为E，∴∠AEO＝90°，OE＝OD，∴OE＝OA，设OE＝x，则OA＝OB＝2x，在Rt△AEO中，AE2+EO2＝AO2，即：32+x2＝（2x）2，解得，x＝．∴BE＝OE+OB＝x+2x＝3x＝3．8．证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠A＝90°，∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴四边形ADOE为矩形，且AE＝AC，AD＝AB，又∵AB＝AC，∴AD＝AE，∴矩形ADOE为正方形．9．解：∵半径OD与弦AC垂直，∴＝，∴∠1＝∠ABD，∵半径OD与弦AC垂直，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∴∠1＝∠D，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠1＝∠ABD，∵∠A+∠ABC＝90°，∴3∠1＝90°，∴∠1＝30°．10．（1）证明：连接OC，∵直线l与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°，∵DA＝DC，OA＝OC，∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，∴∠DCA+∠ACO＝∠DAC+∠CAO，即∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥CD，∴直线DC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝2，∴CE＝OC＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB＝﹣＝2﹣．。

【期末复习】人教版九年级数学上册《第24章圆》单元评估测试题(精品解析)

【期末复习】人教版九年级数学上册《第24章圆》单元评估测试题(精品解析)

期末专题复习：人教版九年级数学上册_第24章_ 圆 _单元评估测试题学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 如果两条弦相等，那么（）A.这两条弦所对的弧相等B.这两条弦所对的圆心角相等C.圆心到这两条弦的距离相等D.以上答案都不对⊙O6cm O l d⊙O l2. 设的半径是，点到直线的距离为，与直线有公共点，则（）A.d>6cmB.d=6cmC.0≤d<6cmD.0≤d≤6cm⊙O CD⊥AB∠AOC=50∘∠CDB3. 如图，的直径，，则大小为（）A.25∘B.30∘C.40∘D.50∘a r R r:R:a=()4. 已知正方形的边长为，其内切圆的半径为，外接圆的半径为，则A.1:1:2B.1:2:2C.1:2:1D.2:2:4100cm AB=80cm5. 在直径为的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如本题图所示，若油面宽，则油的最大深度为（）A.20cmB.30cmC.40cmD.60cm⊙O r=5cm l OM=4cm l P PM=3cm P()6. 的半径，圆心到直线的距离，在直线上有一点，且，则点⊙O⊙O⊙O⊙O⊙OA.在内B.在上C.在外D.可能在上或在内AB⊙O BC∠ABC=30∘O OD⊥BC BC D DC7. 如图，已知是的直径，是弦，，过圆心作交弧于点，连接，则∠DCB的度数为（）度．试卷第2页，总25页A.30B.45C.50D.608. 已知的半径为，为所在平面内某直线上一点，若，则直线与的公共点个数可能为⊙O R P ⊙O l OP =R l ⊙O （ ）A.0B.1C.2D.或12 9. 如图，的直径，若，则劣弧的长为（ ）⊙O AB =6∠BAC =50∘AC A.2πB.8π3C.3π4D.4π310. 如图，圆锥的侧面展开图的面积是底面积的倍，则该圆锥的底面半径与母线的比为（ ）3A.1:9 B.9:1 C.1:3 D.3:1二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）11. 一个点到一个圆的最短距离为，最长距离为，则这个圆的半径为________．4cm 8cm 12. 已知的直径为，如果圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系________⊙O 4l 4l ⊙O 13. 如图，在半径为的扇形中，，点是弧上的一个动点，，，垂足分别2AOB ∠AOB =90∘C AB OD ⊥BC OE ⊥AC 为、．设，则的取值范围是________．D E BD =mm 14. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的横截面半径是，其中水面宽，则截面上有水部分的面积是22m 4m ________㎡（结果保留）π15. 圆弧的半径为，弧所对的圆心角为，则该弧的长度为________．360∘ 16. 某圆柱形的零件，其高为，底面半径为，为防锈需要涂油漆的面积为________．5cm 2cm cm 217. 圆周上有个点，任两点间连一条线段，则这些线段在圆内的交点最多有________个．6 18. 如图，半圆的圆心为，直径的长为，为半圆上一点，，的长是________．O AB 12C ∠CAB =30∘^AC19. 如图，，点在射线上，，以为圆心，为半径的与射线有两个不同的公∠MON =45∘P ON OP =4P r ⊙P OM 共点，则的取值范围是________．r20. 如图，、、是上的三点，，则________度．A B C ⊙O ∠AOB =100∘∠ACB =三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计60分 ， ）21.(6分) 如图，有一座石拱桥的桥拱是以为圆心，为半径的一段圆弧．O OA（1）请你确定弧的中点；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）AB （2）如果已知石拱桥的桥拱的跨度（即弧所对的弦长）为米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为米，求桥248拱所在圆的半径．试卷第4页，总25页22. （6分） 如图，在以为直径的半圆上取一点，使的面积最大，那么点在的什么位置？AB C △ABC C ^AB23. （8分） 如图，是的一条弦，线段、交弦于点、，且．求证：．AB ⊙O OC OD AB C D AC =BD OC =OD24.(8分) 如图所示，中，，以为直径的半圆交于点，交于点，，．△ABC BC =4BC AB D AC E BD =2CE =22 （1）求的度数；∠ABC （2）求的度数．∠A⊙O AB=12CD⊙O CD⊥AB P BP:AP=1:5CD25. （8分）如图，的直径，是的弦，，垂足为，且．求的长．16cm4cm26. （8分）如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面宽，最深地方的高度是，求这个圆形切面的半径．OA OB OC⊙O∠AOB=2∠BOC27.(8分) 如图，、、都是的半径，（1）求证：∠ACB=2∠BACAC∠OAB∠AOC（2）若平分，求的度数．O DE=12cm△ABC28.(8分) 如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，∠ACB=90∘∠ABC=30∘BC=12cm O1cm/s D E ，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终BC t(s)t=0(s)O△ABC OC=8cm在直线上，设运动时间为，当时，半圆在的左侧，．t=0(s)A O t=8(s)A O（1）当时，点在半圆________，当时，点在半圆________；t△ABC AC O（2）当为何值时，的边与半圆相切？t△ABC ABO（3）当为何值时，的边与半圆相切？试卷第6页，总25页参考答案与试题解析期末专题复习：人教版九年级数学上册_第24章_ 圆 _单元评估测试题一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】根据圆心角、弧、弦之间的关系（在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的弧相等，所对的圆心角相等，圆心到两条弦的距离相等）判断即可．【解答】解：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的弧相等，所对的圆心角相等，圆心到两条弦的距离（弦心距）相等，A B C即选项、、都不对．D故选．2.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【解析】利用直线与圆的位置关系判断方法，相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，进而得出答案．【解答】⊙O6cm O l d⊙O l解：∵的半径是，点到直线的距离为，与直线有公共点，l⊙O∴直线与相切或相交，0≤d≤6cm∴．试卷第8页，总25页故选：．D 3.【答案】A【考点】圆周角定理垂径定理【解析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解．【解答】解：由垂径定理，得：；^AC=^BC ∴；∠CDB =12∠AOC =25∘故选：．A 4.【答案】B【考点】正多边形和圆【解析】经过圆心作正方形一边的垂线，垂足是．连接，则在直角中，．是边心距，O AB OC C OA △OAC ∠O =45∘OC r 即半径．根据三角函数即可求解．OA R 【解答】解：作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．在中心的直角三角形的角为，360∘÷4÷2=45∘∴内切圆的半径为，a 2外接圆的半径为，2a 2∴．r:R:a =1:2:2故选．B5.【答案】A【考点】垂径定理的应用【解析】首先过点作于，交于，连接，根据垂径定理即可求得的长，又由的直径为，O OD ⊥AB D ⊙O E OA AD ⊙O 100cm 求得的长，然后根据勾股定理，即可求得的长，继而求得油的最大深度．OA OD 【解答】解：过点作于，交于，连接，O OD ⊥AB D ⊙O E OA ∴，AD =12AB =12×80=40cm ∵的直径为，⊙O 100cm ∴，OA =OE =50cm 在中，，Rt △AOD OD =OA 2‒AD 2=30cm ∴．DE =OE ‒OD =50‒30=20(cm)∴油的最大深度为．20cm 故选．A6.【答案】B【考点】点与圆的位置关系【解析】试卷第10页，总25页由条件计算出的长度与半径比较大小即可．OP 【解答】解：由题意可知为直角三角形，且，，△OPM PM =3OM =4由勾股定理可求得，OP =5=r 故点在上，P ⊙O 故选．B 7.【答案】A【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】根据已知条件“过圆心作交弧于点、，”、及直角三角形的两个锐角互余求得O OD ⊥BC BC D ∠ABC =30∘OBE ；然后根据同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，求得的度数．∠BOE =60∘BD ∠DCB ∠DOB ∠DCB 【解答】解：∵，，OD ⊥BC ∠ABC =30∘∴在直角三角形中，OBE （直角三角形的两个锐角互余）；∠BOE =60∘又∵（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠DCB =12∠DOB∴；∠DCB =30∘故选．A 8.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据圆心到直线的距离是，则直线和圆相交或相切，据此可以得到公共点的个数．R 【解答】解：∵的半径为，为所在平面内某直线上一点，若，⊙O R P ⊙O l OP =R ∴直线与圆相切或相交，故公共点的个数为或．12故选．D 9.【答案】D【考点】圆周角定理弧长的计算【解析】先连接，依据，，即可得到，进而得出劣弧的长为．CO ∠BAC =50∘AO =CO =3∠AOC =80∘AC 80×π×3180=43π【解答】如图，连接，CO ∵，，∠BAC =50∘AO =CO =3∴，∠ACO =50∘∴，∠AOC =80∘∴劣弧的长为，AC 80×π×3180=43π10.【答案】C【考点】圆锥的计算【解析】设出底面半径，然后表示出底面面积，根据侧面积是底面积的倍，然后表示出母线长，求出二者的比即可．3【解答】试卷第12页，总25页解：设圆锥的底面半径为，r ∴圆锥的底面积为，底面周长为，πr 22πr ∵圆锥的侧面展开图的面积是底面积的倍，3∴圆锥的侧面积为，3πr 2设圆锥的母线长为，R ∴其侧面积为：∴，12lR =12×2πr ×R =3πr 2,R =3r ∴圆锥的底面半径与母线的比为，1:3故选．C 二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）11.【答案】或6cm 2cm【考点】点与圆的位置关系【解析】答题时要考虑该点在圆外和圆内两种情况，然后作答．【解答】解：本题没有明确告知点的位置，应分点在圆内与圆外两种情况，当点在内时，此时，，，因此半径为；P ⊙O PA =4cm PB =8cm AB =12cm 6cm 当点在外时，如图此时，，直线过圆心，直径，因此半径P ⊙O PA =4cm PB =8cm PB O AB =PA =8‒4=4cm 为．2cm 故答案为：或6cm 2cm12.【答案】相离【考点】直线与圆的位置关系先求出半径，再根据半径和圆心到直线的距离之间的关系来判断位置关系．【解答】⊙O4解：∵的直径为，2∴半径为，l4>2∵圆心到直线的距离为，l⊙O∴直线与的位置关系为相离．13.【答案】0<m<2，【考点】垂径定理【解析】AB OD BC OE AC D E BC AC ED ABC 连接，由垂直于，垂直于，利用垂径定理得到、分别为、的中点，即为三角形的OA=OB=2∠AOB=90∘AB DE中位线，由，且，利用勾股定理求出的长，即可求出的长．【解答】AB解：连接，OD⊥BC∵，D BC∴、为的中点，BC=2BD=2m∴，OA=OB=2∠AOB=90∘∵，，AB=OA2+OB2=22∴根据勾股定理得：，C AB∵点是弧上的一个动点，0<BC<AB∴，0<2m>22即，0<m<2∴，0<m<2故答案为：．14.试卷第14页，总25页2π‒4【考点】垂径定理的应用扇形面积的计算【解析】过作垂直于，利用垂径定理得到为的中点，在直角三角形中，由水面高度与半径求出的长，O OC AB C AB AOC OC 进而求得，然后根据得出截面上有水部分的面积．∠AOB =90∘S =S 扇形‒S △AOB 【解答】解：过作，交于点，可得出，O OC ⊥AB AB C AC =BC =12AB =2m 在中，根据勾股定理得：，Rt △AOC OC =OA 2‒AC 2=(22)2‒22=2(m)∵tan∠OAC =OC OA =22∴，∠OAC =45∘∴，∠AOB =90∘∴；S =S 扇形‒S △AOB =90π×(22)2360‒12×4×2=2π‒4故答案为：．2π‒415.【答案】π【考点】弧长的计算【解析】利用弧长公式即可直接求解．【解答】解：弧长是：．60π×3180=π故答案是：．π16.【答案】28π【考点】圆柱的计算【解析】圆柱的表面积侧面积+两个底面积底面周长高半径．==×+2π2【解答】解：圆柱的底面积，侧面积应该是，因此需要涂油漆的面积=2×2×π=4π2×2×π×5=20π．=20π+4π×2=28πcm 217.【答案】15【考点】圆的认识【解析】要求最多的交点数，本题等价于将个点个分组共有多少组，进而得出答案．64【解答】解：每个圆周上点就可以有一个内部交点，所以当这些交点不重合的时候，圆内交点最多，4所以，本题等价于将个点个分组共有多少组，64显然应该是：．6×5×4×34×3×2×1=15故答案为：．1518.【答案】4π试卷第16页，总25页【考点】弧长的计算【解析】如图，连接，利用圆周角定理和邻补角的定义求得的度数，然后利用弧长公式进行解答即可．OC ∠AOC 【解答】解：如图，连接，OC ∵，∠CAB =30∘∴，∠BOC =2∠CAB =60∘∴．∠AOC =120∘又直径的长为，AB 12∴半径，OA =6∴的长是：．^AC 120×π×6180=4π故答案是：．4π19.【答案】22<R <4【考点】直线与圆的位置关系【解析】搞清与射线相交时，与射线有两个公共点，相交时，只要保证点在圆内部即可，则此题易⊙P OM ⊙P OM O 解．【解答】解：如图，当与射线相切时，与射线只有一个公共点．⊙P OM ⊙P OM 则，PA ⊥OM ∵，，∠MON =45∘OP =4cm ∴，PA =22cm ∴当的半径，与射线有两个公共点．⊙P 22<R <4⊙P OM 故答案为：．22<R <420.【答案】50【考点】圆周角定理【解析】根据圆周角定理即可直接求解．【解答】解：．∠ACB =12∠AOB =12×100∘=50∘故答案是：．50三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计60分 ）21.【答案】桥拱所在圆的半径为．13cm 【考点】垂径定理的应用【解析】（1）根据垂径定理可以作弦的垂直平分线，和弧的交点即是弧的中点；AB （2）设圆的半径为，在中由勾股定理列出方程求出即可．O r Rt △ADO r 【解答】解：（1）如图：点即为所求E试卷第18页，总25页（2）过圆作于，在直角三角形中，，，O OE ⊥AB D AOD AB =24m DE =8m ∴，AD =12AB =12(cm)设，AO =rcm ∴，OD =r ‒8(cm)∴r 2=122+(r ‒8)2解得：．r =13cm 答：桥拱所在圆的半径为．13cm 22.【答案】解：若的面积最大，则点到直径的距离最大，△ABC C AB 所以点在的中点位置．C ^AB 【考点】圆的认识【解析】根据三角形面积公式得到点到直径的距离最大时，的面积最大，于是可得点在的中点位置．C AB △ABC C ^AB 【解答】解：若的面积最大，则点到直径的距离最大，△ABC C AB 所以点在的中点位置．C ^AB 23.【答案】证明：过点作于点，O OE ⊥AB E ∵，OE ⊥AB ∴．AE =BE ∵，AC =BD ∴，即，AE ‒AC =BE ‒BD CE =DE 在与中，△OAE △ODE∵，{OE =OE ∠OEC =∠OED CE =DE ∴，△OAE≅△ODE(SAS)∴．OC =OD 【考点】垂径定理【解析】过点作于点，由垂径定理可知，再根据可知，根据定理可得出O OE ⊥AB E AE =BE AC =BD CE =DE SAS ，故可得出结论．△OAE≅△ODE 【解答】证明：过点作于点，O OE ⊥AB E ∵，OE ⊥AB ∴．AE =BE ∵，AC =BD ∴，即，AE ‒AC =BE ‒BD CE =DE 在与中，△OAE △ODE ∵，{OE =OE ∠OEC =∠OED CE =DE ∴，△OAE≅△ODE(SAS)∴．OC =OD 24.【答案】解：（1）连接，CD ∵为半圆的直径，BC ∴，又，，∠BDC =90∘BC =4BD =2∴，∠BCD =30∘∴；∠ABC =60∘试卷第20页，总25页（2）连接，BE ∵，又，，∠BDC =90∘BC =4CE =22∴，∠BCE =45∘∴．∠A =180∘‒∠ABC ‒∠A =75∘【考点】圆周角定理【解析】（1）连接，根据圆周角定理和直角三角形的性质得到，根据直角三角形两锐角互余计算即可；CD ∠BCD =30∘（2）连接，求出，根据三角形内角和定理得到答案．BE ∠BCE =45∘【解答】解：（1）连接，CD ∵为半圆的直径，BC ∴，又，，∠BDC =90∘BC =4BD =2∴，∠BCD =30∘∴；∠ABC =60∘（2）连接，BE ∵，又，，∠BDC =90∘BC =4CE =22∴，∠BCE =45∘∴．∠A =180∘‒∠ABC ‒∠A =75∘25.【答案】解：连接，OC∵的直径，⊙O AB =12∴，OB =12AB =6∴，OC =6∵，BP:AP =1:5∴，BP =16AB =16×12=2∴，OP =OB ‒BP =6‒2=4∵，CD ⊥AB ∴，CD =2PC 在中，Rt △OPC ∵，，OC =6OP =4∴，PC =OC 2‒OP 2=62‒42=25∴．CD =2PC =45【考点】垂径定理【解析】连接，求出、，根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案．OC OC OP CP CD =2CP 【解答】解：连接，OC∵的直径，⊙O AB =12∴，OB =12AB =6∴，OC =6∵，BP:AP =1:5∴，BP =1AB =1×12=2试卷第22页，总25页∴，OP =OB ‒BP =6‒2=4∵，CD ⊥AB ∴，CD =2PC 在中，Rt △OPC ∵，，OC =6OP =4∴，PC =OC 2‒OP 2=62‒42=25∴．CD =2PC =4526.【答案】这个圆形切面的半径是．10cm 【考点】垂径定理的应用【解析】设圆形切面的半径为，过点作于点，交于点，由垂径定理可求出的长，再根据最深地方r O OD ⊥AB D ⊙O E BD 的高度是得出的长，根据勾股定理即可求出的长．4cm OD OB 【解答】解：设圆形切面的半径，过点作于点，交于点，O OD ⊥AB D ⊙O E 则，AD =BD =12AB =12×16=8cm ∵最深地方的高度是，4cm ∴，OD =r =4在中，Rt △OBD ，即，OB 2=BD 2+OD 2r 2=82+(r ‒4)2解得．r =10(cm)27.【答案】（1）证明：在中，⊙O ∵，，∠AOB =2∠ACB ∠BOC =2∠BAC∠AOB=2∠BOC∵．∠ACB=2∠BAC∴．∠BAC=x∘（2）解：设．AC∠OAB∵平分，∠OAB=2∠BAC=2x∘∴，∠AOB=2∠ACB∠ACB=2∠BAC∵，，∠AOB=2∠ACB=4∠BAC=4x∘∴，△OAB在中，∠AOB+∠OAB+∠OBA=180∘，4x+2x+2x=180∴，x=22.5解得：，∠AOC=6x∘=135∘∴．【考点】圆周角定理圆心角、弧、弦的关系【解析】∠BOC=2∠BAC∠AOB=2∠ACB∠AOB=2∠BOC∠ACB=2∠BAC （1）根据圆周角定理可得，，再根据条件可得；∠BAC=x∘∠OAB=2∠BAC=2x∘∠AOB=2∠ACB=4∠BAC=4x∘（2）设，则，再表示出，再根据三角形内角180∘4x+2x+2x=180x和为可得方程，再解即可得的值，进而可得答案．【解答】⊙O（1）证明：在中，∠AOB=2∠ACB∠BOC=2∠BAC∵，，∠AOB=2∠BOC∵．∠ACB=2∠BAC∴．∠BAC=x∘（2）解：设．AC∠OAB∵平分，∠OAB=2∠BAC=2x∘∴，∠AOB=2∠ACB∠ACB=2∠BAC∵，，∠AOB=2∠ACB=4∠BAC=4x∘∴，△OAB在中，∠AOB+∠OAB+∠OBA=180∘，4x+2x+2x=180∴，x=22.5解得：，∠AOC=6x∘=135∘∴．试卷第24页，总25页28.【答案】外,外【考点】直线与圆的位置关系点与圆的位置关系【解析】（1）根据线段的长度可知当时，点在半圆外，介绍可知，所以当时点在半圆外；AC t =0(s)A AC >6t =8A （2）的边与半圆相切有个位置，当点与点重合时，与半圆所在的圆相切，所求运动时间为△ABC AC O 2E C AC O ；当点与点重合时，与半圆所在的圆相切，所求运动时间为；t =2D C AC O t =14（3）过点作，交于点，当半圆与的边相切时，圆心到的距离等于，且圆心C CF ⊥AB AB F O △ABC AB O AB 6cm 又在直线上，即当点运动到点时，半圆与的边相切，此时点运动了，所求运动时间为O BC O C O △ABC AB O 8cm ．t =8【解答】解：（1）当时，点在半圆外．t =0(s)A O ∵，AC >6∴当时，点在半圆外．t =8A O （2）①如图，当点与点重合时，，，与半圆所在的圆相切，1E C AC ⊥OE OC =OE =6cm AC O 此时点运动了，O 2cm 所求运动时间为；t =21=2(s)②如图，当点与点重合时，，，与半圆所在的圆相切，2D C AC ⊥OD OC =OD =6cm AC O 此时点运动了，所求运动时间为O 14cm t =141=14(s)（3）③如图，过点作，交于点；3C CF ⊥AB AB F∵，，∠ABC =30∘BC =12cm ∴；FO =6cm 当半圆与的边相切时，O △ABC AB 又圆心到的距离等于，O AB 6cm 且圆心又在直线上，O BC ∴与重合，O C 即当点运动到点时，半圆与的边相切；O C O △ABC AB 此时点运动了，所求运动时间为．O 8cm t =81=8(s)④当点运动到点的右侧，且时，过点作直线，垂足为．O B OB =12cm O OQ ⊥AB Q 在中，，则，Rt △QOB ∠OBQ =30∘OQ =6cm 即与半圆所在的圆相切．此时点运动了．OQ O O 32cm 所求运动时间为：t =32÷1=32s答：当等于或时，与半圆所在的圆相切．t 2s 14s AC O 当等于或时，与半圆所在的圆相切．t 8s 32s AB O。

人教版数学九年级上册第二十四章《圆》知识点及练习题（附答案）

人教版数学九年级上册第二十四章《圆》知识点及练习题（附答案）

⼈教版数学九年级上册第⼆⼗四章《圆》知识点及练习题（附答案）《圆》章节知识点复习和练习附参考答案⼀、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离⼤于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离⼩于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。

⼆、点与圆的位置关系1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内；2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上；3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ? d r > ? ⽆交点；2、直线与圆相切 ? d r = ? 有⼀个交点；3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）? ⽆交点 ? d R r >+；外切（图2）? 有⼀个交点 ? d R r =+；相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+；内切（图4）? 有⼀个交点 ? d R r =-；内含（图5）? ⽆交点 ? d R r <-；A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆⼼，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的⼀条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另⼀条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径②AB CD ⊥③CE DE = ④弧BC =弧BD ⑤弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

人教版九年级上册数学《第24章圆》练习题(含答案) .docx

24・1.1 圖01 基础题知识点1圆的有关概念1. 下列条件中，能确定唯一一个圆的是(C)A. 以点O 为圆心B. 以2 cm 长为半径C. 以点O 为圆心，5 cm 长为半径D. 经过点A2. 下列命题中正确的有(A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦：③直径是最长的弦：④弧是半圆，半圆是弧.A ・1个B ・2个 C. 3个 D ・4个3. 过圆上一点可以作出圆的最长眩的条数为(A)A ・1条B ・2条 C. 3条 D.无数条的半径K 为5・知识点2圆中的半径相等6. 如图，MN 为0O 的弦,ZN = 52%则ZMON 的度数为(C)A. 38°D. 104°4. 如图，在＜30中，弦有AC, AB.直径是优弧rj ABC, CAB,劣弧有员阮 5.如图，在0O 中，点B 在OO±, 四边形AOCB 是矩形，对角线AC 的氏为5,则OOB. 52°C. 76°7. （朔州月考）如图，在AABC 中，ZACB = 90°, ZA=40°,以C 为圆心，CB 为半径的圆 交 AB T 点 D,连接 CD,则ZACD = (A)A. 10°C. 20°=40°. = ZC.求证：CE=BF.证明：TOB, OC 是。

O 的半径,・・・OB=OC.又・・・ZB=ZC, ZBOE=ZCOF, /. AEOB^AFOC(ASA).・・・OE=OF.・・・OE+OC=OF+OB,即 CE=BF.10. 如图，CE 是。

O 的直径，AD 的延长线与CE 的延长线交于点B,若BD = OD, ZAOC = 114。

，求ZAOD 的度数.B. 15° D. 25°8.如图，AB 为00的直径，点C,9.如图，AB, AC 为。

O 的弦,分别交弦AB, AC 于点E, F, ZB则 ZAOD解：设ZB = x.VBD=OD,:、ZDOB = ZB=x.・•・ ZADO= ZDOB+ ZB = 2x.VOA = OD,/. ZA= ZAD0=2x.VZAOC=ZA+ZB,・・・2x+x=114。

新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷

新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷并且可以用于解决一些圆的问题。

在圆O中，圆心角∠XXX和∠AEB相等，则弦AB和DE相等，弦BC和BD相等，弦AC和AD相等，且弦心距相等。

七、切线与切点1、切线定义：过圆上一点的直线称为圆的切线；2、切点定义：圆上与切线相切的点称为切点；3、定理：切线垂直于半径，切点在切线上，且切点到圆心的距离等于半径长。

在圆O中，点A在圆上，线段AB是圆O上的一条切线，点B是切点，且AB垂直于半径OA，AB上的点与圆心O的距离等于半径OA的长度。

参考答案：一、圆的概念集合形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

圆的外部是到定点的距离大于定长的点的集合，圆的内部是到定点的距离小于定长的点的集合。

轨迹形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹，以定点为圆心，定长为半径的圆。

垂直平分线是到线段两端距离相等的点的轨迹，角的平分线是到角两边距离相等的点的轨迹，到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线，到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系点在圆内的距离小于半径，点在圆上的距离等于半径，点在圆外的距离大于半径。

三、直线与圆的位置关系直线与圆相离的距离大于半径，直线与圆相切的距离等于半径，直线与圆相交的距离小于半径。

四、圆与圆的位置关系圆与圆外离的距离大于两圆半径之和，圆与圆外切的距离等于两圆半径之和，圆与圆相交的距离在两圆半径之差和之和之间，圆与圆内切的距离等于两圆半径之差，圆与圆内含的距离小于两圆半径之差。

五、垂径定理垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1包括平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。

六、圆心角定理圆心角定理是指同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

人教版 九年级数学 上册 第24章 圆 综合训练(含答案)

人教版九年级数学上册第24章圆综合训练一、选择题1. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是()A.AB，AC边上的中线的交点B.AB，AC边上的垂直平分线的交点C.AB，AC边上的高所在直线的交点D.∠BAC与∠ABC的角平分线的交点2. 2019·赤峰如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为()A．30°B．40°C．50°D．60°3. 如图0，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CD＝2 3，则图中阴影部分的面积为()A．4π B．2πC．π D.2π34. 2019·梧州如图，在半径为13的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是()A．2 6 B．2 10 C．2 11 D．4 35. 2019·滨州如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点．若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为()A．60°B．50°C．40°D．20°6. 小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知该扇形的半径是5 cm，弧长是6π cm，那么这个圆锥的高是()A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定8. 改编如图①所示物体由两个圆锥组成，在从正面看到的形状图中(如图②)，∠A＝90°，∠ABC＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为()A．2 B. 3 C.32 D. 29. 下列用尺规等分圆周的作法正确的有()①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；④按②的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆．A．4个B．3个C．2个D．1个10. 如图，⊙C的半径为1，圆心的坐标为(3，4)，P(m，n)是⊙C内或⊙C上的一个动点，则m2＋n2的最小值是()A．9 B．16 C．25 D．36二、填空题11. 如图1，已知△ABC的外心为O，BC＝10，∠BAC＝60°，分别以AB，AC 为腰向三角形外作等腰直角三角形ABD与ACE，连接BE，CD交于点P，则OP长的最小值是________．12. (2019•娄底)如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则__________．13. 已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是r 1，r 2，且r 1和r 2是方程x 2－ax ＋14＝0的两个根．若⊙O 1与⊙O 2是等圆，则a 2021的值为________．14. 如图，已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．15. 如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在BC ︵上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝________°.16. 如图，半圆的圆心O 与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l 的解析式为y ＝x ＋t .若直线l 与半圆只有一个公共点，则t 的取值范围是________．17. 2019·兴化期中已知等边三角形ABC 的边长为2，D 为BC 的中点，连接AD .点O 在线段AD 上运动(不与端点A ，D 重合)，以点O 为圆心，33为半径作圆，当⊙O 与△ABC 的边有且只有两个公共点时，DO 的取值范围为________．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，点O 在AB 上，OB ＝2，以OB长为半径的⊙O 与AC 相切于点D ，交BC 于点F ，OE ⊥BC 于点E ，则弦BF 的长为________.三、解答题19. 如图，AB 是⊙O的直径，C 为BD ︵的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF. (1)求证：△BFG ≌△CDG ； (2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．20. 如图，以△ABC 的边BC 为直径作⊙O ，点A 在⊙O 上，点D 在线段BC 的延长线上，AD ＝AB ，∠D ＝30°， (1)求证：直线AD 是⊙O 的切线；(2)若直径BC ＝4，求图中阴影部分的面积．21. 2018·牡丹江如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC 于点D .求证：AB ＝2AD .22. 已知：如图4所示，∠PAC ＝30°，在射线AC 上顺次截取AD ＝3 cm ，DB ＝10 cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E ，F 两点，求圆心O 到AP 的距离及EF 的长.23. 如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线AO 与⊙O 交于点E 和点D ，OB 与⊙O 交于点F ，连接DF ，DC.已知OA ＝OB ，CA ＝CB. (1)求证：直线AB 是⊙O 的切线； (2)求证：∠CDF ＝∠EDC ；(3)若DE ＝10，DF ＝8，求CD 的长．人教版 九年级数学 上册 第24章 圆 综合训练-答案一、选择题1. 【答案】B[解析]本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选B.2. 【答案】D3. 【答案】D[解析] 如图，连接OD.∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝3，∠CEO＝∠DEO＝90°.又∵OE＝OE，∴△COE≌△DOE，故S△COE＝S△DOE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积．∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∴∠OCD＝30°，∴OE＝12OC.在Rt△COE中，CE＝3，由勾股定理可得OC＝2，∴OD＝2.∵△COE≌△DOE，∴∠DOE＝∠COE＝60°，∴S扇形OBD＝60π·22360＝23π，即阴影部分的面积为2π3.故选D.4. 【答案】C5. 【答案】B[解析] 如图，连接AD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB ＝90°.∵∠A 和∠BCD 都是BD ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠BCD ＝40°，∴∠ABD ＝90°－40°＝50°.故选B.6. 【答案】A[解析] 设圆锥的底面圆的半径是r cm ，则2πr ＝6π，解得r ＝3，则圆锥的高是52－32＝4(cm)．7.【答案】A 【解析】如解图，在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，由勾股定理得AB ＝5.过C 作CD ⊥AB 于D ，则S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，解得CD ＝2.4<2.5，∴直线AB 与⊙C 相交．解图8. 【答案】D[解析] ∵∠A ＝90°，∠ABC ＝105°，∴∠ABD ＝45°，∠CBD ＝60°，∴△ABD 是等腰直角三角形，△CBD 是等边三角形．设AB 的长为R ，则BD 的长为2R.∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR ，∴l ＝2R ，∴下面圆锥的侧面积为12·2R ·2R ＝ 2.故选D.9. 【答案】A10. 【答案】B[解析] 如图，连接OC 交⊙C 于点P ′.∵圆心C 的坐标为(3，4)，点P 的坐标为(m ，n )， ∴OC ＝5，OP ＝m2＋n2，∴m 2＋n 2是点P 到原点的距离的平方，∴当点P 运动到线段OC 上，即点P ′处时，点P 离原点最近，即m 2＋n 2取得最小值，此时OP ＝OC －PC ＝5－1＝4，即m 2＋n 2＝16.二、填空题11. 【答案】5－533 [解析] ∵∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠DAC ＝∠BAE .在△DAC 和△BAE 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAE ，AC ＝AE ，∴△DAC ≌△BAE (SAS)， ∴∠ADC ＝∠ABE ，从而∠PDB ＋∠PBD ＝90°， 即∠DPB ＝90°，从而∠BPC ＝90°， ∴点P 在以BC 为直径的圆上．如图，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，连接OB ，OC . ∵△ABC 的外心为O ，∠BAC ＝60°， ∴∠BOC ＝120°.又∵BC ＝10， ∴OH ＝53 3，∴OP 长的最小值是5－53 3.12. 【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴，∵，∴．故答案为：1．13. 【答案】1[解析] ∵⊙O 1与⊙O 2是等圆，∴r 1＝r 2.∵r 1和r 2是方程x 2－ax ＋14＝0的两个根，∴r 1r 2＝14，r 1＋r 2＝a ，∴r 1＝r 2＝12，从而a ＝1，∴a 2021＝12021＝1.14. 【答案】8[解析] 由题意可得A ，P ，B ，C 在同一个圆上，所以当BP 为圆的直径时，BP 最大，此时∠P AB ＝90°.过点C 作CD ⊥AB 于点D ，可求得AB ＝4 3，进而可求得BP 的最大值为8.15. 【答案】15[解析] ∵OC ⊥OB ，∴∠COB ＝90°.又∵OC ＝OB ，∴△COB 是等腰直角三角形， ∴∠OBC ＝45°.∵OA ＝AB ，OA ＝OB ，∴OA ＝AB ＝OB ， ∴△AOB 是等边三角形，∴∠OBA ＝60°， ∴∠ABC ＝∠OBA －∠OBC ＝15°.16. 【答案】t ＝2或－1≤t ＜1 [解析] 若直线与半圆只有一个公共点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C 或从直线过点A 开始到直线过点B 结束(不包括直线过点A )．直线y ＝x ＋t 与x 轴所形成的锐角是45°.当点O 到直线l 的距离OC ＝1时，直线l 与半圆O 相切，设直线l 与y 轴交于点D ，则OD ＝2，即t ＝ 2.当直线过点A 时，把A (－1，0)代入直线l 的解析式，得t ＝y －x ＝1. 当直线过点B 时，把B (1，0)代入直线l 的解析式，得t ＝y －x ＝－1. 即当t ＝2或－1≤t ＜1时，直线和半圆只有一个公共点． 故答案为t ＝2或－1≤t ＜1.17. 【答案】0<DO <33或2 33<DO <3 [解析] ∵等边三角形ABC 的边长为2，D为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD ＝1，AD ＝ 3. 分四种情况讨论：(1)如图①所示，当0<DO<33时，⊙O与△ABC的BC边有且只有两个公共点，(2)如图②所示，当DO＝33时，⊙O与△ABC的边有三个公共点；(3)如图③所示，当⊙O经过△ABC的顶点A时，⊙O与△ABC的边有三个公共点，则当33<DO≤2 33时，⊙O与△ABC的边有四个或三个公共点．(4)如图④所示，当2 33<DO<3时，⊙O与△ABC的边有两个公共点．综上，当0<DO<33或2 33<DO<3时，⊙O与△ABC的边只有两个公共点．故答案为0<DO<33或2 33<DO< 3.18. 【答案】2 [解析] 如图，连接OD.∵OE ⊥BF 于点E ，∴BE ＝12BF.∵AC 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AC ，∴∠ODC ＝∠C ＝∠OEC ＝90°， ∴四边形ODCE 是矩形，∴EC ＝OD ＝OB ＝2.又∵BC ＝3，∴BE ＝BC －EC ＝3－2＝1，∴BF ＝2BE ＝2.三、解答题19. 【答案】解：(1)证明：∵C 为BD ︵的中点，∴CD ︵＝BC ︵.∵AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ，∴BC ︵＝BF ︵，∴CD ︵＝BF ︵，∴CD ＝BF.在△BFG 和△CDG 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠CDG ，∠FGB ＝∠DGC ，BF ＝CD ，∴△BFG ≌△CDG(AAS)．(2)解法一：如图①，连接OF.设⊙O 的半径为r.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.在Rt △ADB 中，BD2＝AB2－AD2，即BD2＝(2r)2－22.在Rt △OEF 中，OF2＝OE2＋EF2，即EF2＝r2－(r －2)2.由(1)知CD ︵＝BC ︵＝BF ︵，∴BD ︵＝CF ︵，∴BD ＝CF ，∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2，即(2r)2－22＝4[r2－(r －2)2]，解得r ＝1(不合题意，舍去)或r ＝3，∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12，∴BF ＝2 3.解法二：如图②，连接OC ，交BD 于点H.∵C 是BD ︵的中点，∴OC ⊥BD ，∴DH ＝BH.∵OA ＝OB ，∴OH ＝12AD ＝1.∵∠COE ＝∠BOH ，∠OEC ＝∠OHB ＝90°，OC ＝OB ，∴△COE ≌△BOH(AAS)，∴OE＝OH＝1，∴OC＝OB＝OE＋BE＝3.∵CF⊥AB，∴CE＝EF＝OC2－OE2＝32－12＝2 2，∴BF＝BE2＋EF2＝22＋（2 2）2＝2 3.20. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OA.∵AD＝AB，∠D＝30°，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠DAB＝120°.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠DAC＝30°，∴∠BCA＝60°.∵AO＝CO，∴△ACO是等边三角形，∴∠CAO＝60°，∴∠DAO＝∠CAO＋∠DAC＝90°，即AD⊥AO.又∵AO是⊙O的半径，∴直线AD是⊙O的切线．(2)由(1)知Rt△ADO中，AO＝2，∠D＝30°，∴OD＝2AO＝4，∴AD＝2 3，∴SRt△ADO＝12×2 3×2＝2 3.∵△ACO 是等边三角形，∴∠AOD ＝60°，∴S 扇形OAC ＝60π×22360＝2π3，∴S 阴影＝SRt △ADO －S 扇形OAC ＝2 3－2π3.21. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E ，∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD .∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵，∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD .22. 【答案】解： 如图，过点O 作OG ⊥AP 于点G ，连接OF.∵DB ＝10 cm ，∴OD ＝OF ＝5 cm ，∴AO ＝AD ＋OD ＝3＋5＝8(cm)．∵∠PAC ＝30°，∴OG ＝12AO ＝12×8＝4(cm)．∵OG ⊥EF ，∴EG ＝GF ＝12EF.∵GF ＝OF2－OG2＝52－42＝3(cm)，∴EF ＝2GF ＝6 cm ，∴圆心O 到AP 的距离为4 cm ，EF 的长为6 cm.23. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB.又∵点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC.∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDF＝∠EDC.(3)如图，过点O作ON⊥DF于点N，延长DF交AB于点M. ∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4.在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴ON＝OD2－DN2＝3.由(2)知OC∥DF，∴∠OCM＋∠CMN＝180°.由(1)知∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°＝∠OCM＝∠MNO，∴四边形OCMN是矩形，∴CM＝ON＝3，MN＝OC＝5.在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN＋MN＝9，∴CD＝DM2＋CM2＝92＋32＝310.。

2022学年人教版九年级数学上册第24章《圆》期末复习练附答案

2022学年九年级数学上册第24章《圆》期末复习练一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连接BC 交⊙O 于点D ，连接AD ，若∠ABC＝45°，则下列结论正确的是()A ．AD ＝12BCB ．AD ＝12ACC ．AC ＞ABD ．AD ＞DC2．如图，⊙O 与正方形ABCD 的两边AB ，AD 相切，且DE 与⊙O 相切于点E.若⊙O 的半径为5，且AB ＝11，则DE 的长度为()A ．5B ．6 C.30 D.1123．如图，从一张腰长为60cm ，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为()A ．10cmB ．15cmC ．103cmD ．202cm4．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A ＝25°，则∠D 等于（）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°5．如图，圆心为C 、直径为MN 的半圆上有不同的两点A 、B ，在CN 上有一点P ，∠CBP ＝∠CAP ＝10°，若的度数是40°，则的度数是（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°6．如图，已知AB 、AD 是⊙O 的弦，∠BOD=50°，则∠BAD 的度数是（）A．50°B．40°C．25°D．35°7．如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若∠ADC=70°，则∠CAB=（）A．10°B．20°C．30°D．40°8．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒B点P位于点C的位置，……，则第2017秒点P所在位置的坐标为（）A．（，）B．（）C．（0，﹣1）D．（）9．如图所示，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在一个半径为2的圆上，顶点C，D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，AB扫过部分的面积是（）A．B．C．D．10．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）A ．﹣2B ．﹣2C ．﹣8D ．﹣7二、填空题(每题3分，共24分)11．已知⊙O 的半径为10cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB=16cm ，CD=12cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是cm ．12．如图，在圆O 中，AB 为直径，AD 为弦，过点B 的切线与AD 的延长线交于点C ，AD=DC ，则∠C=度．13.如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝110°，半径OA ＝18，将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在AB ︵上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则AD ︵的长为________．14.一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为________．15.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8.若以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是______________．16.如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22.若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________．(结果保留π)17．如图，半圆的半径OC=2，线段BC 与CD 是半圆的两条弦，BC=CD ，延长CD 交直径BA 的延长线于点E ，若AE=2，则弦BD 的长为．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D 是边BC 上的一动点，连接AD ，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为．三.解答题(共46分,19题6分，20---24题8分)19．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是上一点，CD=CE．（1）求证：=；（2）若∠AOB=120°，CD=，求半径OA的长．20．在半径为10dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．①若油面宽AB=12dm，求油的最大深度．②在①的条件下，若油面宽变为CD=16dm，求油的最大深度上升了多少dm？21．如图是一个圆环，外圆半径R＝20cm，内圆半径r＝10cm，求这个圆环的面积．22．如图估计三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论．23．如图，点A，B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D.(1)AC与CD相等吗？为什么？(2)若AC＝2，AO＝5，求OD的长度．24．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，且∠BOD＝60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为AD︵的中点，连接DE，EB.(1)求证：四边形BCDE是平行四边形；(2)已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r.参考答案一、选择题(每题3分，共30分)题号12345678910答案A B D C D C B A C A二、填空题(每题3分，共24分)11．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF﹣OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．12．【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据切线的性质得∠ABC=90°，然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰直角三角形，从而得到∠C的度数．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵BC为切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵AD=CD，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠C=45°．故答案为45．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．13.【答案】5π[解析]连接OD.由折叠的性质知OB ＝DB.又∵OB ＝OD ，∴OD ＝OB ＝DB ，∴△OBD 是等边三角形，∴∠BOD ＝60°，∴∠AOD ＝50°，∴AD ︵的长＝50π·18180＝5π.14.【答案】12π15.【答案】R ＝4.8或6<R ≤8[解析]当⊙C 与AB 相切时，如图①，过点C 作CD ⊥AB 于点D .根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10.根据三角形的面积公式，得12AB ·CD ＝12·BC ，解得CD ＝4.8，所以R ＝4.8；当⊙C 与AB 相交时，如图②，此时R 大于AC 的长，而小于或等于BC 的长，即6<R ≤8.16.【答案】82π[解析]过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，∴AB ＝2AC ＝4，∴CD ＝2.以CD 为半径的圆的周长是4π.故Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周所得几何体的表面积是2×12×4π×22＝82π.17．【解答】解：如图，连接OD ，AD ，∵BC=DC ，BO=DO ，∴∠BDC=∠DBC ，∠BDO=∠DBO ，∴∠CDO=∠CBO ，又∵OC=OB=OD ，∴∠BCO=∠DCO ，即OC 平分∠BCD ，又∵BC=DC ，∴BD ⊥CO ，又∵AB 是直径，∴AD ⊥BD ，∴AD ∥CO ，又∵AE=AO=2，∴AD=CO=1，∴Rt △ABD 中，BD===．故答案为：．28．【解答】解：∵CE⊥AD，∴∠AEC=90°，∴点E在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，以AC为直径作⊙O，当O、E、B共线时，BE的长最小，Rt△OCB中，OC=OE=6，BC=5，∴OB==，∴BE=OB﹣OE=﹣6，则BE的最小值为：﹣6，故答案为：﹣6．三.解答题(共46分,19题6分，20---24题8分)19．（1）解：连结OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，∵AD⊥OB，∴AH＝DH＝4，在Rt△OHA中，OH＝r﹣2，OA＝r，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，即⊙O的半径为5；（2）证明：连结CF，如图，∵AD⊥OB，∴弧AB＝弧DB，∵∠EAB＝∠EBA，∴弧BD＝弧AF，∴弧AB＝弧AF，∴OA⊥BG，∴BG＝FG，∴∠OAH＝∠OBG，在△OAH和△OBG中，，∴△OAH≌△OBG（AAS），∴AH＝BG，∴BF＝2AH．20．证明：连结OD，如图，∵BA＝BC，∴∠A＝∠C，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠ODA＝∠C，∴OD∥BC，∵DF⊥BC，∴DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．21．解：大圆面积为：202πcm2小圆面积为：102πcm2400π﹣100π＝300πcm2∴答案为300πcm 2．22．解：①在较大的弧上取点A 、B ，连接AB ，使线段AB 同时过三条弧，再作AB 的垂直平分线CD ；②连接DE ，作DE 的垂直平分线交CD 与点O ″，则此点即为所在圆的圆心；③连接GF ，作GF 的垂直平分线交CD 与点O ′，则O ′即为中间的弧所在圆的圆心；④连接BC ，作BC 的垂直平分线交CD 与点O ，则O 即为较大的弧所在圆的圆心．根据图形可知：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小．23.(1)AC ＝CD.理由：∵AC 切⊙O 于A ，∴∠CAD ＋∠OAB ＝90°，∵OC ⊥OB ，∴∠ODB ＋∠B ＝90°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠B ，又∠CDA ＝∠ODB ，∴∠CAD ＝∠CDA ，∴AC ＝CD (2)在Rt △OAC 中，OC 2＝AC 2＋AO 2＝4＋5＝9，∴OC ＝3，又CD ＝AC ＝2，∴OD ＝OC －CD ＝124.解：(1)连接OE ，∵CD 是⊙O 的切线，∠BOD ＝60°，∴OD ⊥CD ，∠C ＝30°，∠DEB ＝12∠DOB ＝30°，∵∠AOD ＝180°－∠BOD ＝120°，E 是AD ︵的中点，∴∠EBA ＝12∠AOE ＝30°，∴∠EBA ＝∠DEB ，∠EBA ＝∠C ，∴EB ∥CD ，ED ∥BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形(2)由(1)知OD ⊥EB ，设OD 与EB 交于点H ，∴BH ＝HE ，可证△OHB ≌△DHE ，∴阴影部分面积与扇形OBD 面积相等，∴60πr 2360＝6π，得r ＝6。

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【期末专项复习】第24章：圆 压轴题专项训练 1．如图,Rt△ABC中,∠ABC＝90°,以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由; （2）若BE＝4,DE＝8，求AC的长．

2．如图，AB是⊙O的直径，AC平分∠DAB交⊙O于点C,过点C的直线垂直于AD交AB的延长线于点P，弦CE交AB于点F,连接BE． （1）求证:PD是⊙O的切线; （2）若PC＝PF，试证明CE平分∠ACB．

3．如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°,∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以A为直径的⊙O上． （1)求证:BC是⊙O的切线； （2）若DC＝4,AC＝6,求圆心O到AD的距离．

4．在直角三角形ABC中,∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D,作AD的中垂线交AB于O,以O为圆心,OA为半径画圆，则BC与⊙O的位置关系为 证明你的猜想．

5．如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B,点C在⊙O上，分别连接BC,AC，且AC的延长线交BM于点D,CF为⊙O的切线交BM于点F． （1）求证：CF＝DF； （2）连接OF，若AB＝10，BC＝6，求线段OF的长．

6．如图，△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,OD⊥AB，与AC交于点E,∠D＝2∠A． (1)求证：CD是⊙O的切线； （2)求证:DE＝DC； （3）若OD＝5，CD＝3，求AC的长．

7．如图，直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0），点A(,0）与点B（0，﹣1），点D在劣弧OA上,连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO． （1)请直接写出⊙M的直径,并求证BD平分∠ABO; （2）在线段BD的延长线上寻找一点E，使得直线AE恰好与⊙M相切，求此时点E的坐标． 8．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O,交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E． （1）求证:AD＝CD． (2）求证：DE为⊙O的切线． （3)若∠C＝60°,DE＝,求⊙O半径的长．

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F． (1)若⊙O的半径为3，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积； （2）求证:DF是⊙O的切线; (3)求证：∠EDF＝∠DAC．

10．已知:△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径,作EG⊥AB于H，交BC于F,延长GE交直线MC于D,且∠MCA＝∠B，求证:

（1)MC是⊙O的切线； (2）△DCF是等腰三角形． 11．如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F,且EG＝FG,连接CE． (1）求证：EG是⊙O的切线； （2）延长AB交GE的延长线于点M,若AH＝3,CH＝4,求EM的值．

12．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB,垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD,垂足为G，BG交DE于点H，DC,FB的

延长线交于点P，且PC＝PB． （1）求证：BG∥CD； （2）设△ABC外接圆的圆心为O,若AB＝DH,∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．

13．已知:AB为⊙O的直径,AB＝AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2)连接BE交圆于F，连AF并延长ED于G，若GE＝2，AF＝3，求∠EAF的度数． 14．如图，AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F． （1）求证:CE＝EF； （2）连接AF并延长,交⊙O于点G．填空: ①当∠D的度数为 时，四边形ECFG为菱形； ②当∠D的度数为 时,四边形ECOG为正方形．

15．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O,交AC于点D,半径OE∥BD,连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F,若∠DEB＝∠DBC．

（1）求证:BC是⊙O的切线; （2）若BF＝BC＝2,求图中阴影部分的面积． 16．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． (1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC,垂足为M，⊙O的半径为4,求AE的长．

17．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）求证： DE是⊙O的切线; （2）若AB＝2，BC＝,求DE的长．

18．如图，在△ABC中,AB＝AC，AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆,交AO于点F．

(1)求证:AC是⊙O的切线； （2)若点F是OA的中点，OE＝3,求图中阴影部分的面积； （3)在(2）的条件下,点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长． 参考答案 1．(1）证明：连接OC．

∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD， ∴△OCB≌△OCD， ∴∠ODC＝∠OBC＝90°, ∴OD⊥DC， ∴DC是⊙O的切线． （2）解：设⊙O的半径为r． 在Rt△OBE中,∵OE2＝EB2+OB2, ∴（8﹣r）2＝r2+42, ∴r＝3, ∵tan∠E＝＝， ∴＝， ∴CD＝BC＝6， 在Rt△ABC中，AC＝＝＝6． 2．证明:(1)连接OC，如图， ∵AC平分∠DAB, ∴∠1＝∠2, ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴OC∥AD， ∵AD⊥CD, ∴OC⊥CD， ∴PD是⊙O的切线; (2)∵OC⊥PC, ∴∠PCB+∠BCO＝90°, ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°,即∠3+∠BCO， ∴∠3＝∠PCB, 而∠1＝∠3, ∴∠1＝∠PCB, ∵PC＝PF, ∴∠PCF＝∠PFC， 而∠PCF＝∠PCB+∠BCF，∠PFC＝∠1+∠ACF， ∴∠BCF＝∠ACF， 即CE平分∠ACB．

3．（1）证明:连接OD, ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA, ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD, ∴OD∥AC， 又∵∠C＝90°， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC是⊙O的切线． （2）过O作OF⊥AD于F， 由勾股定理得：AD＝＝2， ∴DF＝AD＝， ∵∠OFD＝∠C＝90°，∠ODA＝∠CAD, ∴△ACD∽△DFO, ∴， ∴， ∴FO＝， 即圆心O到AD的距离是．

4．解:BC与⊙O相切． 理由如下： 连接OD,如图, ∵AD平分∠CAB， ∴∠1＝∠2， ∵AD的中垂线交AB于O, ∴OA＝OD， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴OD∥AC， ∵AC⊥BC， ∴OD⊥BC， ∴OD为⊙O的切线． 故答案为相切．

5．（1）证明：连接OC，如图， ∵CF为切线, ∴OC⊥CF, ∴∠1+∠3＝90°， ∵BM⊥AB, ∴∠2+∠4＝90°， ∵OC＝OB, ∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠3+∠5＝90°，∠4+∠BDC＝90°, ∴∠BDC＝∠5， ∴CF＝DF； （2)解:在Rt△ABC中，AC＝＝8， ∵∠BAC＝∠DAB, ∴△ABC∽△ABD， ∴＝，即＝， ∴AD＝， ∵∠3＝∠4， ∴FC＝FB， 而FC＝FD, ∴FD＝FB， 而BO＝AO， ∴OF为△ABD的中位线， ∴OF＝AD＝．

6．(1)证明：连接OC，如图， ∵OA＝OC, ∴∠ACO＝∠A, ∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A， 又∵∠D＝2∠A， ∴∠D＝∠COB． 又∵OD⊥AB， ∴∠COB+∠COD＝90°． ∴∠D+∠COD＝90°． 即∠DCO＝90°， ∴OC⊥DC，又点C在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线； (2）证明：∵∠DCO＝90°， ∴∠DCE+∠ACO＝90°． 又∵OD⊥AB， ∴∠AEO+∠A＝90°, 又∵∠A＝∠ACO,∠DEC＝∠AEO， ∴∠DEC＝∠DCE, ∴DE＝DC； （3)解：∵∠DCO＝90°,OD＝5,DC＝3, ∴OC＝4, ∴AB＝2OC＝8， 又DE＝DC＝3， ∴OE＝OD﹣DE＝2， ∵∠A＝∠A，∠AOE＝∠ACB＝90°， ∴△AOE∽△ACB, ∴＝，即＝＝＝, ∴BC＝AC, 在△ABC中,∵AC2+BC2＝AB2, ∴AC2+AC2＝82， ∴AC＝．

7．解:∵点A(,0)与点B(0，﹣1), ∴OA＝，OB＝1， ∴AB＝＝2， ∵AB是⊙M的直径， ∴⊙M的直径为2， ∵∠COD＝∠CBO，∠COD＝∠CBA， ∴∠CBO＝∠CBA， 即BD平分∠ABO； （2)如图,过点A作AE⊥AB于E，交BD的延长线于点E，过E作EF⊥OA于F，即AE是切线, ∵在Rt△ACB中,tan∠OAB＝＝＝， ∴∠OAB＝30°,

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