圆锥曲线经典总结

锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

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圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距

离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段

F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不

可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则

轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆

的是 A ．421=+PF PF B ．6

21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦

点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点)0,22(Q 及抛物线4

2

x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的

标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时122

22=+b

y a x （0a b >>）?{

cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22

22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆

的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

如（1）已知方程1232

2=-++k

y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22

22b

x a y -＝1（0,0a b >>）。方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。

如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14

922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______

（2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点

)10,4(-P ，则C 的方程为_______

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向

上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程1212

2=-+-m

y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__ （2）双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的

位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的

两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解

抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线

中，c 最大，222c a b =+。

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四

个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2

a x c

=±； ⑤离心率：c e a

=，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆1522=+m

y x 的离心率510=e ，则m 的值是__ （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的

最小值为__

（2）双曲线（以22221x y a b

-=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），

两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，

称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c

=±； ⑤离心

率：c e a

=，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a

=±。 如（1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______

（2）双曲线221ax by -=:a b =

（3）设双曲线122

22=-b

y a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________

（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点

(,0)2

p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a

=，抛物线?1e =。

如设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________

5、点00(,)P x y 和椭圆122

22=+b

y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b

y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200221x y a b

+< 6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双

曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有

一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与

抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，

直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但

不是必要条件。

如（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是

_______（答：（2）直线y ―kx ―1=0与椭圆22

15x y m

+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______

（3）过双曲线12

12

2=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条

（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线

与抛物线相切；

（3）相离：0?

与抛物线相离。

特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：

相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；

如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线

2

2

22b y a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支

相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条

与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上

但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不

存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两

条切线和一条平行于对称轴的直线。

如（1）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有____2__

（2）过点(0,2)与双曲线116

92

2=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______；

（3）过双曲线12

2

2=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有___2_条

（4）过抛物线x y 42=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分

别是p 、q ，则=+q

p 11_______ （5）求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离

（6）直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点。①当a 为何值时，A 、B 分别

在双曲线的两支上？②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？

7、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第

二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r ed =，其中d 表示P 到与F 所对应的准线

的距离。

如（1）已知椭圆116

2522=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____

（2）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的

焦点的距离等于____；

（3）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____

（4）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离

为______

（5）椭圆13

42

2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______

8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用

第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距

离分别为12,r r ，焦点12F PF ?的面积为S ，则在椭圆12222=+b y a x 中， ①θ＝)12arccos(2

12

-r r b ，

且当12r r =即P 为短轴端点时，θ最大为θm ax ＝222arccos a c b -；②20tan ||2

S b c y θ==，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；对于双曲线22

221x y a b

-=的焦点三角形有：①???? ?

?-=21221arccos r r b θ；②2cot sin 21221θθb r r S ==。 如（1）短轴长为5，离心率3

2=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为_______12_

（2）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=?F F PF ，

|PF 1

|=6，则该双曲线的方程为 =-22y x 4 （3）椭圆22194

x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当PF 2→ ·PF 1→ <0时，点P 的横坐标的取值范围是

（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝2

6，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝_4a=28_________

（5）已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ，

31221=?F PF S ．求该双曲线的标准方程

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆

和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设

AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ；（4）

若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准

线于C 点，则A ，O ，C 三点共线。

10、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B

的横坐标，则AB

＝12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝

21211y y k

-+

，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB

12y -。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦

点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

如（1）过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，

那么|AB|等于_______

（2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，

则ΔABC 重心的横坐标为_______

11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆122

22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；在双曲线22

221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

202y a x b ；在抛物线

22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

p y 如（1）如果椭圆22

1369

x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （2）已知直线y=－x+1与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______

（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13

42

2=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称.13

13213132 m - 特别提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！

12．你了解下列结论吗？

（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02222=-b

y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b

y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222=-b

y a x 为参数，λ≠0）。 如与双曲线116

92

2=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,3(-的双曲线方程为_______ （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mx ny +=；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2

2b a

，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2

b c

，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则

①12||AB x x p =++；②2

21212,4

p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p

13．动点轨迹方程：

（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

（2）求轨迹方程的常用方法：

①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；

如已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程． ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

如(1)由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动

点P 的轨迹方程为 3

422=+y x （2）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_____x y 162=__

(3) 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为 ()12422

=-+y x 左支 ④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；

如动点P 是抛物线122+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分?→?PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__162+=x y ________

⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 如（1）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹。

（2）若点),(11y x P 在圆122=+y x 上运动，则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是

_122+=x y ___

（3）过抛物线y x 42=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹

方程是______12

12+=x y __ 注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ；

（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+PM ,等于已知P 是MN 的中点;

（4）给出()

+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.

（6） 给出λ

λ++=1OP ，等于已知P 是的定比分点，λ为定比，即PB AP λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角,

（8）

给出MP =?? ?+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;

（11）在ABC ?中，给出222OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（14）在ABC ?中，给出+=()||||

AB AC AB AC λ+)(+∈R λ等于已知通过ABC ?的内心；

（15）在ABC ?中，给出,0=?+?+?OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ?的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（16） 在ABC ?中，给出()

12

AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线;