学年高中数学数学归纳法与贝努利不等式数学归纳法应用举例导学案新人教B版选修

学年高中数学数学归纳法与贝努利不等式数学归纳法应用举例导学案新人教

B版选修

The following text is amended on 12 November 2020.

数学归纳法应用举例

1.进一步理解数学归纳法原理.

2.会用数学归纳法证明整除问题以及平面几何中的有关问题.

知识点1 用数学归纳法证明整除性问题

【例1】已知数列{a n}满足a1＝0，a2＝1，当n∈N*时，a n＋2＝a n＋1＋a n，求证：数列{a n}的第4m＋1项(m∈N*)能被3整除.

证明(1)当m＝1时，

a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)

＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.

即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除.

(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋

a4k＋2

3＋

＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.

显然，3a4k＋2能被3整除，又由假定知a4k＋1能被3整除.

∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除.

即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除.

由(1)和(2)知，对于n∈N*，数列{a n}中的第4m＋1项能被3整除.

●反思感悟：本题若从递推式入手，设法求出通项公式，会相当困难.这时，可转向用数学归纳法证明.

1.用数学归纳法证明：(x ＋1)n ＋1

＋(x ＋2)2n －1

(n ∈N *)能被x 2

＋3x ＋3整除.

证明 (1)当n ＝1时，(x ＋1)1＋1＋(x ＋2)

2－1

＝x 2

＋3x ＋3，

显然命题成立.

(2)假设n ＝k (k ≥1)时，命题成立， 即(x ＋1)

k ＋1

＋(x ＋2)

2k －1

能被x 2

＋3x ＋3整除，

则当n ＝k ＋1时，(x ＋1)k ＋2

＋(x ＋2)

2k ＋1

＝(x ＋1)

k ＋2

＋(x ＋1)(x ＋2)

2k －1

＋(x ＋2)

2k ＋1

－(x ＋

1)(x ＋2)

2k －1

＝(x ＋1)[(x ＋1)k ＋1

＋(x ＋2)

2k －1

]＋(x ＋2)

2k －1

(x 2

＋3x ＋3).

由假设可知上式可被x 2

＋3x ＋3整除，

即n ＝k ＋1时命题成立.由(1)(2)可知原命题成立. 知识点2 探索问题

【例2】 若不等式

1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24

对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论.

解 取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝26

24，

令2624>a 24a <26，而a ∈N *

，∴取a ＝25. 下面用数学归纳法证明： 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)n ＝1时，已证结论正确.

(2)假设n ＝k (k ∈N *

)时， 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524， 则当n ＝k ＋1时，有1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋1

3k ＋3

＋

1

3（k ＋1）＋1

＝⎝

⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1

>2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－23（k ＋1）. ∵

13k ＋2＋13k ＋4＝6（k ＋1）9k 2＋18k ＋8>2

3（k ＋1）， ∴

13k ＋2＋13k ＋4－23（k ＋1）

>0. ∴

1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13（k ＋1）＋1>25

24

.

即n ＝k ＋1时，结论也成立. 由(1)(2)可知，对一切n ∈N *

，都有

1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524

.故a 的最大值为25. ●反思感悟：探索性问题一般从考查特例入手，归纳出一般结论，然后用数学归纳法证明，体现了从特殊到一般的数学思想.

2.已知f (n )＝(2n ＋7)·3n

＋9，是否存在正整数m ，使得对任意n ∈N *

，都能使m 整除f (n )如果存在，求出m 最大的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 解 f (1)＝36，f (2)＝108，f (3)＝360 猜想：能整除f (n )的最大整数是36. 证明如下：

用数学归纳法.

(1)当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除.

(2)假设n＝k (k≥1)时，f(k)能被36整除，

即(2k＋7)·3k＋9能被36整除.

则当n＝k＋1时，

f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9

＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1).

由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，

而3k－1－1是偶数.

∴18(3k－1－1)能被36整除.

∴当n＝k＋1时，f(n)能被36整除.

由(1)(2)可知，对任意n∈N*，f(n)能被36整除.

知识点3 用数学归纳法证明几何问题

【例3】平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2－n＋2个部分.

证明(1)当n＝1时，n2－n＋2＝1－1＋2＝2，

而一圆把平面分成两部分，所以n＝1命题成立.

(2)设n＝k时，k个圆分平面为k2－k＋2个部分，

则n＝k＋1时，第k＋1个圆与前k个圆有2k个交点，

这2k个交点分第k＋1个圆为2k段，

每一段都将原来所在的平面一分为二，