年全国1卷高考数学(含答案)
绝密★启用前
２010年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)
本试卷分第I 卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第I 卷１至2页，第Ⅱ卷3至４页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷
注意事项：
?1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填
写清楚，并帖好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目.
２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用
橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．
. 3．第Ｉ卷共10小题，每小题３分,共３0分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符
合题目要求．
参考公式:
如果事件A 、Ｂ互斥,那么 球的表面积公式
P (Ａ+Ｂ)=Ｐ（A )+P (Ｂ) 2
4R S π=
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中Ｒ表示球的半径
P (A ·B )=P (A )·P (Ｂ) 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 334R V π=球 ｎ次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
k n k k n n P P C k P --=)1()(
一、选择题
(1)复数=-+i
i 3223 ?（A)i ?（B)i - (C)i 1312-?(D)i 1312+
(2）记k =?-)80cos(，那么=?100tan ??
(A ）k k 2
1- （Ｂ)－k k 21-?(C)21k k -?(D ）-21k
k - (３）若变量y x ,满足约束条件??
???≤--≥+≤.02,
0,
1y x y x y 则y x z 2-=的最大值为 （Ａ）4?(Ｂ)3 (C)2?(D)1
（4)已知各项均为正数的等比数列}{n a 中,634987321,10,5a a a a a a a a a 则===
（A)25?（B)7 （C ）6 （D ）24
(５)533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是
?（Ａ)-４ (B)-2?(C)2?(D)４
（６)某校开设A 类选修课３门,Ｂ类选择题4门，一位同学从中共选３门,若要求两类课程
中各至少选一门，则不同的选法共有
?(A)30种?(Ｂ)35种 （C)42种?(Ｄ)48种
（7）正方体ＡB ＣD —Ａ1B 1C 1D 1中，BB 1与平面AC Ｄ1所成角的余弦值为
(A)32 （B)33?(C ）3
2 (D ）36 （８)设21
35
,2ln ,2log -===c b a ，则 ?（Ａ）c b a << （B)a c b <
(９)已知F １、F 2为双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点，点P 在C 上，?=∠6021PF F ，则Ｐ
到x 轴的距离为
(A)23?(B)26 (Ｃ)3 （D ）6
（10)已知函数)()(,0.|lg |)(b f a f b a x x f =<<=且若，则b a 2+的取值范围是
(A ）),22(+∞?（B ）[)+∞,22 （C)),3(+∞?(D ）[)+∞,3
(11）已知圆O 的半径为1，P Ａ、ＰB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点,那么?的最
小值为
（A)24+-?(B)23+- (C)224+- （D)223+-
(12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若ＡC=C Ｄ=2，则四面体ＡB ＣD 的
体积的最大值为
（Ａ)332 （B ）334 (Ｃ)32?（D ）3
38 绝密★启用前
２01０年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ)
第Ⅱ卷
注意事项:
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.５毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
。 3．第Ⅱ卷共10小题,共90分。
二、填空题：本大题共4小题,每小题５分,共２0分。把答案填在题中横线上。
(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
) (１3）不等式1122≤-+x x 的解集是 。
（14)已知a 为第三象限的角，532cos -
=a ，则=+)24tan(a π 。 (１5)直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点,则a 的取值范围是 。
(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ,且
2=，则C 的离心率为 。
三、解答题:本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (１7）（本小题满分10分）（注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
）
已知ABC ?内角A,B 及其对边a ,b 满足B b A a b a cot cot +=+，求内角C 。
（１８）(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用;若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的主审,则予以录用,否则不予录用。高稿件能通过各初审专家评审的概率均为０.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.３。各专家独立评审。
(Ⅰ）求设到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(Ⅱ）记Ｘ表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望。
(19)（本小题满分1２分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
) 如图,四棱锥S —A ＢＣＤ中,⊥SD 底面ＡＢCD ，AB//DC,1,==⊥AD AB DC AD ，
DC=SD=2,E 为棱SB 上的一点,平面EDC ⊥平面ＳB Ｃ。
(Ⅰ）证明：ＳE=２ＥB ；
（Ⅱ）求二面角A —DE —C 的大小。
（20）（本小题满分1２分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
）
已知函数.1ln )1()(+-+=x x x x f
(Ⅰ）若1)(2++≤'ax x x f x ，求a 的取值范围;
(Ⅱ）证明:.0)()1(≥-x f x
（2１）(本小题满分１２分）(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
) ?已知抛物线x y C 4:2=的焦点为Ｆ,过点Ｋ（－1，0)的直线l 与Ｃ相交于A 、B 两点，点A
关于x 轴的对称点为D 。
(Ⅰ）证明：点F 在直线ＢD 上;
(Ⅱ)设98=
?,求BDK ?的内切圆M 的方程。
（２2)（本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 已知数列}{n a 中,.1,111n
n a c a a -==+ （Ⅰ）设2
1,25-==n n a b c ,求数列}{n b 的通项公式; （Ⅱ)求使不等式31<<+n n a a 成立的c 的取值范围。
参考答案
一、选择题
（１)A （２）B (3)Ｂ (4）A （5）C （6）A
（7）Ｄ (8)C (9）B （１0）C （11）D （１2)Ｂ
二、填空题
(1３）}20|{≤≤x x ］
（14）7
1-
（１5）)45,1( (１6)3
3
三、解答题:
（17）解:
?由B b A a b a cot cot +=+及正弦定理得
?,cos cos sin sin B A B A +=+
B B A A sin cos cos sin -=-，
?从而4
cos sin 4sin cos 4sin cos 4cos sin ππππB b A A -=- ?)4
sin()4sin(B A -=-ππ 又π<+
?故B A -=-4
4ππ, 2
π=+B A 所以.2π=C (1８)解:（Ⅰ)记A 表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审;
Ｂ表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审;
C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
?D 表示事件：稿件被录用。
?则C B A D ?+=
?3.0)(,5.05.05.02)(,25.05.05.0)(==??==?=C P B P A P
)()(C B A P D P ?+=
?)()(C B P A P ?+=
)()()(C P B P A P +=
3.05.025.0?+= .40.0=
（Ⅱ))4.0,4(~B X ，其分布列为：
1296.0)4.01()0(4=-==X P ,
?3456.0)4.01(4.0)1(314=-??==C X P ，
?3456.0)4.01(4.0)2(2224=-??==C X P ，
?1536.0)4.01(4.0)3(334=-??==C X P ，
.0256.04.0)4(4===X P
期望6.14.04=?=EX
(１9)解法一：
（Ⅰ）连结BD,取DC 的中点G ，连结BG ,
?由此知DG=G Ｃ=ＢＧ=1，即DBC ?为直角三角形，
故BD BC ⊥
又⊥SD 平面A ＢCD ，故BC ⊥ＳD,
?所以，ＢC ⊥平面BDS,BC ⊥ＤE 。
作ＢＫ⊥ＥC,K 为垂足，因平面EDC ⊥平面SB Ｃ,
?故B Ｋ⊥平面ＥDC ，ＢＫ⊥DE 。D Ｅ与平面S ＢＣ内的两条相交直线ＢＫ、BC 都垂直。 DE ⊥平面SBC ，DE ⊥ＥC ，D Ｅ⊥SB …………４分 ?622=+=
DB SD SB 3
2=?=SB DB SD DE ?3623622=-==-=
EB SB ，SE DE DB EB 所以SE=2ＥＢ。
(Ⅱ）由,2,1,522EB SE AB AD SD SA ===+=
SA AB ⊥ ?知1)3
2()31(22=+=AB SA AE , ?又AD=1。
?故AED ?为等腰三角形，
?取E Ｄ中点F,连接AF ，则AF ⊥DE ， 3
622=-=DF AD AF ?所以,AFG ∠是二面角A —D Ｅ—Ｃ的平面角。
?连结A Ｇ,3
6,222=-==DF DG FG AG 2
12cos 222=??-+=∠FG AF AG FG AF AFG ?所以,二面角A —DE —C 的大小为1２０°。
解法二:以D 为坐标原点 ，射线D Ａ为x 轴正半轴,
?建立如图所示的直角坐标系.xyz D -
设)0,0,1(A ,则)2,0,0(),0,2,0(),0,1,1(S C B
(Ⅰ）)0,1,1(),2,1,0(-=-=
设平面SBC 的法向量为),,(c b a n =
?由BC n SC n ⊥⊥,得0,0=?=?BC n SC n
故0,022=+-=-b a c b
?令)1,1,1(,1.1,1====n c b a 则
又设)0(>=λλ,则 ?)1211(
λλλλλ+?+?+E
)0,2,0(),1211(=+?+?+=DC DE λλλλλ 设平面CDE 的法向量),,(z y x m =
?则m m ⊥⊥,，得 ?0,0=?=?m m
?故
02,01211==+++++y z y x λλλλλ 令),0,2(,2λ-==m x 则
?由平面DEC ⊥平面ＳBC 得2,02,0,==-=?⊥λλn m n m
故SE=2ＥB 。
(Ⅱ)由（Ⅰ)知)3
2
,32,32(E ，
?取ＤE 中点E,则)31,31,32(),31,31,31(--=F 故0=?DE FA ,由此得.DE FA ⊥ 又)32,34,32(--=，故0=?,
由此得DE EC ⊥， 向量与EC 的夹角等于二面角Ａ—DE —C 的平面角。
?于是21||||,cos -=?> (２0）解： (Ⅰ）,1ln 1ln 1)(x x x x x x f +=-++= ' ()1xf x xlnx '=+ 题设1)(2 ++≤'ax x x f x 等价于.ln a x x ≤- ?令.11)(,ln )(-= '-=x x g x x x g 则 ?当10< ?当1≥x 时,0)(≤'x g ， ?)(1x g x 是=的最大值点,.1)1()(-=≤g x g 综上，a 的取值范围是).,1[+∞- (Ⅱ）由（Ⅰ)知,.1)1()(-=≤g x g 即.01ln ≤+-x x ?当10< 当1≥x 时; )1ln (ln )(+-+=x x x x x f ?)11(ln ln -+ +=x x x x ?)111(ln ln +--=x x x x .0≥ ?所以.0)()1(≥-x f x （21)解： ?设),(),,(),,(112211y x D y x B y x A -,l 的方程为).0(1≠-=m my x (Ⅰ）将代入1-=my x x y 42=并整理得 0442=+-my y ?从而.4,42121==+y y m y y ?直线ＢＤ的方程为 )(21 2122x x x x y y y y -?-+=- 即)4(422122y x y y y y -?-=- ?令0=y ,得14 21==y y x 所以点F(1,0)在直线B Ｄ上。 (Ⅱ)由①知， ?24)1()1(22121-=-+-=+m my my x x .1)1)(1(2121=--=my my x x ?因为),1(),,1(2211y x FB y x FA -=-= 2212121214841)()1)(1(m x x x x y y x x -=+++-=+--=? 故98482=-m 解得.34±=m 所以l 的方程为 .0343,0343=+-=++y x y x 又由①知73444)4(212±=?-±=-m y y 故直线BD 的斜率 7 3412±=-y y ?因而直线ＢD 的方程为 0373,0373=--=-+y x y x ?因为K Ｆ为BKD ∠的平分线,故可设圆心)11)(0,(<<-t t M ,t t M 到)0,(及BD 的距离分别为 .4|1|3,5|1|3-+t t 由4|1|35|1|3-=+t t ?9,91==t t 或(舍去)， 故圆M 的半径.325|1|3=+=t r 所以圆Ｍ的方程为.94)91(22=+-y x （22）解： （Ⅰ）n n n n a a a a 22212521-=--= -+, ?2242221 1+-=-=-+n n n n a a a a , ?即.241+=+n n b b )32(4321+=++n n b b ， 又121,1111-=-= =a b a 故 ?所以)32(+n b 是首项为31-，公比为4的等比数列, 143 132-?-=+n n b .3 2341-=-n n b （Ⅱ).2,1,11221>>-==c a a c a a 得由 用数学归纳法证明:当2>c 时，.1+ 112+++=->-=k k k k a a c a c a ?故由(i ）,(ii ）知当2>c 时，1+ ?当2>c 时，令2 42-+=c c α, 由c a a a a n n n n =+<++111得.α 102≤ 10>c 时,αα<≤>n a 1,3且,于是 ?)(3 1 )(1 1n n n n a a a a -≤-=-+αααα， ).1(31 1-≤-+ααn n a 当31 log 3-->ααn 时， .3,311>-<-++n n a a αα ?因此310 >c 不符合要求。 ?所以c 的取值范围是].310 ,2(