复数模的几何意义的应用

复数模几何意义的应用

教学目标：

1、 会求复数的模，并知道Z 和21Z Z -的几何意义。

2、 使学生初步掌握一些简单的复数方程所表示的轨迹。

3、 能利用复数模的几何意义，解决简单复数模求范围的问题。

4、 在利用复数模的几何意义解题过程中，学会把问题进行转化，

并同时渗透数形结合的数学思想方法。

教学重点：简单复数模的几何意义的应用

教学难点：复数方程所表示的几何意义。

教学过程：

一、 复习提问：

1、 已知Z =a+bi,（R b a ∈.），（1）求Z 的值。（2）Z 的几何

意义？

2、 已知1Z =a+bi,2Z =c+di （a,b,c,d ∈R)，求（1）21Z Z -的

值。（2）21Z Z -的几何意义？

二、 新课学习

例：（一）求满足下列条件的复数Z 对应的点的轨迹。

1、Z =1

答：复数z 对应的点Z 轨迹以原点O 为圆心，以1为半径的圆周。

2、i Z Z 432+-=-

答：复数z 对应的点Z 轨迹是以（2，0），（3，-4）为端点的

中垂线。

3、122<--i Z

答：复数z 对应的点Z 轨迹是以（2，2）为圆心，1为半径的圆面（不包括边界）。

4、422=-++Z Z

答：复数z 对应的点Z 轨迹是以（2，0），（-2，0）为端点的线段的中点。

5、622=-++Z Z

答：复数z 对应的点Z 轨迹是以（-2，0），（2，0）为焦点，长轴长为6的椭圆。

6、122=--+Z Z

答：复数z 对应的点Z 轨迹以（-2。0），（2，0）焦点，实轴长1的双曲线的右支。

归纳：

1、圆的复数方程：)0(||0>=-r r Z Z

2、椭圆的复数方程：a Z Z Z Z 221=-+-（a>0）

(1)若a Z Z 2||21>-，轨迹不存在。

(2)若a Z Z 2||21=-，轨迹表示线段。

(3)若a Z Z 2||21<-，轨迹表示椭圆。

3、双曲线的复数方程：)0(221>±=---a a Z Z Z Z

(1)若a Z Z 2||21>-,轨迹表示双曲线。

(2)若a Z Z 2||21=-，轨迹表示两条射线。

(3)若a Z Z 2||21<-，轨迹不存在。

4、线段的复数方程：)(2121Z Z Z Z Z Z ≠-=- （二）复数模的几何意义的应用 例、已知12=-Z

（1）求Z 的取值范围。

解：12=-Z 在复平面上点Z 轨迹表示以（2，0）为圆心，1为半径的圆上（如图），而|z|表示点Z 到原点的距离。，所以|z|的取值范围是[0,4]

（2）求i Z +-1的最大值。

解：i Z +-1表示点Z 到时P （1，-1）的距离，先求点A （2，0）到点P （1，-1）的距离即|PA|=22(21)(01)2-++=

所以，i Z +-1的最大值是21+

（3）若复数1Z 满足i Z i Z 511-=-，求1Z Z -的最小值。

解：由题知点1Z 在（0，1），（0，5）的中垂线上即在直线3y =上，由图知：1Z Z -最小值是1

三、课堂小结：通过这节课的学习，我们知道复数与我们刚学的解析几何关系非常密切，复数的各种几何意义是沟通数与形的一座桥梁，在学习过程中，要充分利用复数的几何意义，运用数形结合的思想方法，同时也要学会寻找各章节知识点之间的联系。

四、课后作业：

1、已知,1||=Z 求|1|i Z +-的最大值和最小值。（要求用代数Z 和几何意义两种方法解题）

2、已知3|2

-Z

Z，求|3

|i

+

Z-的最大值和最小值。

|

|1

|=

+

3、已知：}

+

Z

Z

M∈

Z

-

C

i

≤

+

-

=，

N

∈

-

-

=

=

Z

||

{

Z

2

||

|,

4

,2

},

|

i

Z

Z

i

2

||

{C 且N

=，求集合P中元素Z的模的最小值。

P⋂

M