相似知识点总结

相似

【知识脉络】

【基础知识】 Ⅰ. 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，．．．．．．．．．．．．．这两个多边形叫做相似多边形。 相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)。 Ⅱ. 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1）基本性质：

①bc ad d c b a =⇔=::；②2

::a b b c b a c =⇔=⋅．

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=。

（2）换比性质(交换比例的内项或外项)：()()

()a b

c d a c d c

b d b a

d b

c a ⎧=⎪⎪

⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩

，

交换内项，交换外项．

同时交换内外项 Ⅲ. 平行线分线段成比例定理 基础图形：

定理：如上图，三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．Ⅳ. 相似三角形

（1）概念：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。

注：

①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比

较容易找到相似三角形的对应角和对应边；

②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的；

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样；

④全等三角形是相似比为1的相似三角形。二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求

对应边成比例。

（2）判定：

根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）

①.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；

②.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；

③.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；

④.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；

直角三角形相似判定定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 注：

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则

AD 2

=BD ·DC ，AB 2

=BD ·BC ，AC 2

=CD ·BC 。

（3）性质：

相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

（4）相似三角形的几种基本图形：

1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）

2）如图：

其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共角型”、

“反A 共角共边型”、 “蝶型”）

3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）” “三垂直型”）

B

C

A

B C

D E 1

2A

A

B

B

C

C

D

D

E

E

124

1

2

B

(3)

B

(2)

D

4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

Ⅴ. 位似

（1）如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图 形叫做位似图形。这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比 注：

1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. 2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. 3） 位似图形的对应边互相平行或共线.

（2）位似图形的性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 注：位似图形具有相似图形的所有性质。 （3）画位似图形的一般步骤： （详看例子）

B

E

A

C

D

1

2