柯西施瓦兹不等式的应用
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柯西施瓦兹不等式的应用
(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)的几种证明方法
思路一从代数式角度来考虑，由柯西不等式联想到完全平方公式，利用配方法可证。证明因为
(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=( a2c2+2abcd+b2d2)+( a2d2-2abcd+b2c2)=
(ac+bd)2+(ad-bc)2
而(ad-bc)2≥0。所以(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)。
思路二从不等式的角度考虑，由柯西不等式的特点，可以联想借助均值不等式来证。
证法1要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)成立，只要证a2c2+2abcd+b2d2≤
a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，即证2 abcd ≤a2d2+b2c2。
由均值不等式可得2abcd≤a2d2+b2c2，因为2abcd≤2abcd,所以
2abcd≤a2d2+b2c2，于是柯西不等式得证。
证法2要证ac+bd≤○1
=B，○2则○1即ac+bd≤AB，○3
当A=0或B=0时，命题显然成立。
如果A≠0且B≠0，则由均值不等式可得
2ac AB ≤
2
2
a
A
+
2
2
c
B
，
2bd
AB
≤
2
2
b
A
+
2
2
d
B
。
两式相加，得
2
AB
（ac+bd）≤
22
2
a b
A
+
+
22
2
c d
B
++
, ○4
由○2，○4两式得ac bd
AB
+
≤1，即ac bd
+≤AB，因为
ac b d
+≤a c+b d，所以ac b d
+≤AB，因此不等式○3成立，于是柯西不等式得证。
思路三从函数与方程的角度考虑，由柯西不等式的特点联想到一元二次方程的判别式，构造二次函数可证。
证明当a，b全为零时，命题显然成立，如果a，b不全为零，考察二次函数f(x)=( a2+b2)x2-2(ac+bd)x+( c2+d2)=(ax-c)2+(bx-d)2,因为对于任意实数x
均有f(x) ≥0。所以f(x)=0的判别式
22222
[2()]4()()0
ac bd a b c d
∆=-+-++≤，故
22222
()()()
ac bd a b c d
+≤++。
思路四从向量的角度，由ac bd
+联想到向量内积，运用向量的内积易证。
证明 设(,)a a b =，(,)b c d =，则cos ,a b a b a b ∙≤<>，且
cos ,1a b <>≤，所以a b a b ∙≤
，即ac bd +≤。
因此22222()()()ac bd a b c d +≤++。
思路五 从复数的角度考虑，由柯西不等式可以联想借助复数的乘法与模的
知识来证。 证明 设12,(,,,)z a bi z d ci a b c d R =+=+∈，则
12()()z z a bi d ci =++=()()ad bc ac bd i -++.
因为1212z z z z =，所以()()ad bc ac bd i a bi d ci -++=++
，即
=222222()()()()ad bc ac bd a b c d -++=++。
思路六
从三角函数的角度考虑，观察柯西不等式的变形
1≤，
不难联想到两脚和与差的正余弦公式。 证明
20=
0≠，
要证柯西不等式成立，只要证ac bd +≤
，即证
1≤， ○
1
sin α=
cos α=
cos β=
，
sin β=。
则○
1式左边=sin cos cos sin sin()1αβαβαβ+=+≤。 因此不等式○
1成立，从而柯西不等式获证。 思路七 从解析几何的角度考虑，
的结构与点到直线的距
离公式类似，于是运用解析法可证。
证明 当a ，b 全为零时，命题显然成立。设a ，b 不全为零。建立平
面直角坐标系如右图所示。设点P 的坐标为P （c ，d ），则点P
到直线0ax by +=
的距离PM =
，
而OP =显
然有PM OP ≤
≤
ac bd +≤
，因此2()ac bd +≤。
二维柯西不等式在解析几何中的应用
由二维柯西不等式：设a b c d R ∈，则有22222()()()a b c d ac bd ++≥+。当且仅
当
a b
c d
=时，不等式取等号。可推证几个重要结论。 命题1 椭圆22
221x y a b
+=与直线0A x B y
C ++=有公共点的充要条件是2222
2A a B b C +≥
。
证明 由柯西不等式得
222
22222
22()()()()x y x y Ax By Aa Bb A a B b a b a b
+=∙+∙≤++。若
00(,)x y 是已知椭圆和直线的公共点，则满足22
00221x y a b
+=、
000Ax By C ++=，则上述不等式左边为2C ，右边为2222A a B b +，充分性得证。
若(,)x y 是直线上任意一点，则上述不等式左边为2C ，不等式可变形为
222222222x y C a b A a B b +≥+。因为22222
A a
B b
C +≥，所以2
2222
C A a B b +1≤。
必存在00(,)x y ，使得22
00221x y a b
+=，即椭圆与直线有公共点，必要
性得证。
命题2 双曲线22
221x y a b
-=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是