高一对数与对数函数练习题及答案

高一对数与对数函数练

习题及答案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

《对数与对数函数》测试 12.21

一、选择题：

1．已知3a ＋5b = A ，且a 1＋b

1

= 2，则A 的值是( )．

(A)．15 (B)．15 (C)．±15 (D)．225

2．已知a ＞0，且10x = lg(10x)＋lg a

1

，则x 的值是( )．

(A)．－1 (B)．0 (C)．1 (D)．2

3．若x 1，x 2是方程lg 2x ＋(lg3＋lg2)＋lg3·lg2 = 0的两根，则x 1x 2的值

是( )．

(A)．lg3·lg2 (B)．lg6 (C)．6 (D)．6

1

4．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，那么a 的取值范围是( )．

(A)．(0，1) (B)．(0，21) (C)．(2

1

，1) (D)．(1，＋∞)

5． 已知x =

31

log 12

1

＋

31

log 15

1

，则x 的值属于区间( )．

(A)．(－2，－1) (B)．(1，2) (C)．(－3，－2) (D)．(2，3) 6．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lg

b

a )2

的值是( )．

(A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 7．设a ，b ，c ∈R ，且3a = 4b = 6c ，则( )．

(A)．c 1=a 1＋b 1 (B)．c 2=a 2＋b 1

(C)．c 1=a 2＋b 2 (D)．c 2=a 1＋b

2

8．已知函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围

是( )．

(A)．0≤a ≤1 (B)．0＜a ≤1 (C)．a ≥1 (D)．a ＞

1

9．已知lg2≈0.3010，且a = 27×811×510的位数是M ，则M 为( )． (A)．20 (B)．19 (C)．21 (D)．22 10．若log 7[ log 3( log 2x)] = 0，则x 2

1-为( )．

(A)．

3

21 (B)．

3

31 (C)．2

1

(D)．

4

2 11．若0＜a ＜1，函数y = log a [1－(

2

1)x

]在定义域上是( )． (A)．增函数且y ＞0 (B)．增函数且y ＜0 (C)．减函数且y ＞0 (D)．减函数且y ＜0 12．已知不等式log a (1－2

1

+x )＞0的解集是(－∞，－2)，则a 的取值范围是( )．

(A)．0＜a ＜

21 (B)．2

1

＜a ＜1 (C)．0＜a ＜1 (D)．a ＞1 二、填空题

13．若lg2 = a ，lg3 = b ，则lg 54=_____________．

14．已知a = log 7.00.8，b = log 1.10.9，c = 1.19.0，则a ，b ，c 的大小关系是_______________．

15．log

1

2-(3＋22) = ____________．

16．设函数)(x f = 2x (x ≤0)的反函数为y =)(1

x f -，则函数y

=)12(1

--x f

的定义域为________．

三、解答题

17．已知lgx = a ，lgy = b ，lgz = c ，且有a ＋b ＋c = 0，求x c

b 11+·y

a

c 11+·x

b

a 11+的值．

18．要使方程x 2＋px ＋q = 0的两根a 、b 满足lg(a ＋b) = lga ＋lgb ，试确定p 和q 应满足的关系．

19．设a ，b 为正数，且a 2－2ab －9b 2= 0， 求lg(a 2＋ab －6b 2)－lg(a 2＋4ab ＋15b 2)的值．

20．已知log 2[ log 2

1( log 2x)] = log 3[ log 3

1( log 3y)] =

log 5[ log 5

1( log 5z)] = 0，试比较x 、y 、z 的大小．

21．已知a ＞1，)(x f = log a (a －a x )． ⑴ 求)(x f 的定义域、值域；

⑵判断函数)(x f 的单调性 ，并证明； ⑶解不等式：)2(21

--x f ＞)(x f ．

22．已知)(x f = log 2

1[a x 2＋2(ab)x －b x 2＋1]，其中a ＞0，b ＞0，

求使)(x f ＜0的x 的取值范围．

参考答案：

一、选择题：

1．(B)．2．(B)． 3．(D)．4．(C)．5．(D)．6．(C)．7．(B)．8．(A)

． 9．(A)．10．(D)．11．(C)．12．(D)． 提示：

1．∵3a ＋5b = A ，∴a = log 3A ，b = log 5A ，∴

a 1＋b

1

= log A 3＋log A 5 = log A 15 = 2， ∴A =15，故选(B)． 2．10x = lg(10x)＋lg

a 1= lg(10x ·a

1

) = lg10 = 1，所以 x = 0，故选(B)．

3．由lg x 1＋lg x 2=－(lg3＋lg2)，即lg x 1x 2= lg

6

1

，所以x 1x 2=

6

1

，故选(D)． 4．∵当a ≠1时，a 2＋1＞2a ，所以0＜a ＜1，又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，即a ＞

21，综合得2

1

＜a ＜1，所以选(C)．

5．x = log 3

1

21＋log 3151= log 31(21×51) = log 3

1101

= log 310，∵9＜10

＜27，∴ 2＜log 310＜3，故选(D)．

6．由已知lga ＋lgb = 2，lga ·lgb =

21，又(lg b

a

)2= (lga －lgb)2= (lga ＋lgb)2－4lga ·lgb = 2，故选(C)．

7．设3a = 4b = 6c = k ，则a = log 3k ，b= log 4k ，c = log 6k ，

从而c 1= log k 6 = log k 3＋21log k 4 =a 1＋b 21，故c 2=a 2＋b

1

，所以选

(B)．

8．由函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则函数u(x) = ax 2＋2x

＋1应取遍所有正实数，

当a = 0时，u(x) = 2x ＋1在x ＞－

2

1

时能取遍所有正实数； 当a ≠0时，必有???≥-=?.44,

0a ＞a ?0＜a ≤1．

所以0≤a ≤1，故选(A)．

9．∵lga = lg(27×811×510) = 7lg2＋11lg8＋10lg5 = 7 lg2＋11×

3lg2＋10(lg10－lg2) = 30lg2＋10≈19.03，∴a = 1003.19，即a 有20位，也就是M = 20，故选(A)．

10．由于log 3( log 2x) = 1，则log 2x = 3，所以x = 8，因此 x

2

1-=

8

2

1-=

8

1=

2

21=

4

2

，故选(D)． 11．根据u(x) = (21)x 为减函数，而(21)x ＞0，即1－(2

1

)x ＜1，所以y = log a [1－(

2

1)x

]在定义域上是减函数且y ＞0，故选(C)． 12．由－∞＜x ＜－2知，1－

2

1

+x ＞1，所以a ＞1，故选(D)．

二、填空题

13．

21a ＋2

3

b 14．b ＜a ＜

c ． 15．－2． 16．2

1

＜x ≤1

提示： 13．lg 54=

21lg(2×33) =21( lg2＋3lg3) =21a ＋2

3

b ． 14．0＜a = log 7.00.8＜log 7.00.7 = 1，b = log 1.10.9＜0，

c = 1.19.0＞1.10= 1，故b ＜a ＜c ．

15．∵3＋22= (2＋1)2，而(2－1)(2＋1) = 1，即2＋1= (2－1)1-， ∴log 12-(3＋22) =log

1

2-(2－1)2-=－2．

16．)(1

x f

-= log 2x (0＜x ≤1＝，y =)12(1

--x f

的定义域为0＜2x －1≤

1，即2

1

＜x ≤1为所求函数的定义域．

二、解答题

17．由lgx = a ，lgy = b ，lgz = c ，得x = 10a ，y = 10b ，z = 10c ，所以

x c

b 11+·y a

c 11+·x b

a 11+=10

)()()(

c

a c

b b a b

c a c a b +++++=10111---=

103-=

1000

1

． 18．由已知得，???=-=+.

,

q ab p b a

又lg(a ＋b) = lga ＋lgb ，即a ＋b = ab ， 再注意到a ＞0，b ＞0，可得－p = q ＞0， 所以p 和q 满足的关系式为p ＋q = 0且q ＞0．

19．由a 2－2ab －9b 2= 0，得(b a )2－2(b

a

)－9 = 0， 令

b

a

= x ＞0，∴x 2－2x －9 = 0，解得x =1＋10，(舍去负根)，且x 2= 2x ＋9，

∴lg(a 2

＋ab －6b 2

)－lg(a 2

＋4ab ＋15b 2

) = lg 2

22

21546b ab a b ab a ++-+=

lg 15

46

22++-+x x x x = lg 154)92(6)92(+++-++x x x x

= lg

)4(6)1(3++x x = lg )4(21++x x = lg )

4101(21101++++= lg 1010=－21

．

20．由log 2[ log 2

1( log 2x)] = 0得，log 2

1( log 2x)= 1，log 2x

=2

1

，即x = 221

； 由log 3[ log 31( log 3y)] = 0得，log 3

1( log 3y) = 1，log 3y =31

，即y

=33

1

；

由log 5[ log 51( log 5z)] = 0得，log 5

1( log 5z) = 1，log 5z =51

，即z

= 55

1．

∵y =33

1= 36

2= 96

1，∴x = 22

1= 26

3= 86

1，∴y ＞x ， 又∵x = 22

1= 210

5= 3210

1，z = 55

1= 510

2= 2510

1，∴x ＞z ． 故y ＞x ＞z ．

21．为使函数有意义，需满足a －a x ＞0，即a x ＜a ，当注意到a ＞1时，所求函数的定义域为(－∞，1)，

又log a (a －a x )＜log a a = 1，故所求函数的值域为(－∞，1)．

⑵设x 1＜x 2＜1，则a －a 1

x ＞a －a

2

x ，所以)x (1f －)x (2f = log a (a －

a

1

x )－log a (a －a

2

x )＞0，即)x (1f ＞)x (2f ．

所以函数)(x f 为减函数． ⑶易求得)(x f 的反函数为)(1

x f -= log a (a －a x

) (x ＜1)，

由)2(21

--x f ＞)(x f ，得log a (a －a

)

2(2-x )＞log a (a －a x )，

∴a

)

2(2-x ＜a x ，即x 2－2＜x ，解此不等式，得－1＜x ＜2，

再注意到函数)(x f 的定义域时，故原不等式的解为－1＜x ＜1． 22．要使)(x f ＜0，因为对数函数y = log 2

1x 是减函数，须使a x 2＋

2(ab)x －b x 2＋1＞1，即

a x 2＋2(ab)x －

b x 2＞0，即a x 2＋2(ab)x ＋b x 2＞2b x 2，∴(a x ＋b x )2＞2b x 2，

又a ＞0，b ＞0，∴a x ＋b x ＞2b x ，即a x ＞(2－1)b x ，∴(b

a )x

＞2－1．

当a ＞b ＞0时，x ＞log b

a (2－1)；当a =

b ＞0时，x ∈R ；

当b ＞a ＞0时，x ＜log b

a (2－1)．

综上所述，使)(x f ＜0的x 的取值范围是： 当a ＞b ＞0时，x ＞log b

a (2－

1)；当a = b ＞0时，x ∈R ；当b ＞a ＞0时，x ＜log b

a (2－1)．