八年级数学上册 12.3 乘法公式 1《两数和乘以这两数的差》教案2 (新版)华东师大版
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 1 两数和乘以这两数的差学案 华东师大版
12.3 乘法公式1 两数和乘以这两数的差课前知识管理1、两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差：(a+b)(a-b)=a 2-b 2所以，我们把这个公式叫作平方差公式.平方差公式可以形象记忆为：(□+△)(□—△)=□2—△2.几何背景：如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a 2－b 2.若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S Ⅰ+S Ⅲ＝S Ⅰ+S Ⅳ＝（a+b ）（a －b ），从而验证了平方差公式（a+b ）（a －b ）＝a 2－b 2.2、平方差公式的特征：（1）公式左边的两个因式都是二项式，必须是相同的两数的和与差.或者说两个二项式必须有一项完全相同，另一项只有符号不同.（2）公式中的a 与b 可以是数，也可以换成一个代数式.名师导学互动典例精析：知识点1：直接应用平方差公式例1、计算：)421)(214(22x x +-． 【解题思路】此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项24x ，另外一项－21与21互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可直接套用平方差公式． 【解】)421)(214(22x x +-=4116)21()4(4222-=-x x ． 【方法归纳】将两个括号内的相同项24x 看作□，符号相反的项－21与21看作△，就可以直接运用平方差公式.对应练习：计算(y —2x)(—2x —y).知识点2：连用平方差公式化简例2、化简：()()()()()224488x y x y x y x y x y -++++.【解题思路】本题的前两项能利用平方差公式得到()22x y-，它与第三项()22x y +又能构成平方差公式，依次类推，较轻松地得到结果.【解】原式=()()()()22224488x yx y x y x y -+++=()()()444488x y x y x y -++ =()()88881616.x y x y x y -+=-【方法归纳】连用平方差公式使运算量大大减小，实现简算目的.对应练习：计算：))()()()((884422b a b a b a b a b a ++++- 知识点3：分组后运用平方差公式例3、计算: (2a+3)(3a+5)(2a-3)(3a-5).【解题思路】若直接运算,则计算比较繁琐,如果运用乘法的交换律将第一、三结合，第二、四结合分组，就可以利用乘法公式计算.【解】(2a+3)(3a+5)(2a －3)(2a －5)=[(2a+3)(2a －3)][(3a+5)(3a －5)]=(4a 2-9)(9a 2－25)=36a 4－181a 2+225.【方法归纳】根据算式中各因式的特征，恰当分组后利用乘法公式可以简化计算，减少运算量.对应练习：计算：(x+2)(x 2+4)(x —2).知识点4：添项后运用平方差公式例4．计算；1)12)(12)(12)(12(842+++++． 【解题思路】本题若添上一个因式“２－１”后，则可以连续四次运用平方差公式计算．【解】原式＝=+++++-1)12)(12)(12)(12)(12(8421)12)(12)(12)(12(8422++++- ＝1)12)(12)(12(844+++-＝16168821121)12)(12(=+-=++-．【方法归纳】本题的解题关键是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．对应练习：某同学在计算)14)(14(32++时，把3写成14-后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：2551161)4()14)(14()14)(14)(14()14)(14(32222222=-=-=+-=++-=++. 请借鉴该同学的经验，计算：1584221)211)(211)(211)(211(+++++. 知识点5：逆用平方差公式例5．计算：22)43()32(a b b a --+【解题思路】若直接运用完全平方公式展开再相减，运算量大，若把式中的“32b a +”与“a b 43-”分别视为平方差公式中的a 、b ，逆用平方差公式，则运算简便． 解：22)43()32(a b b a --+ab a a b a a b b a a b b a 4126322433243322+-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 【方法归纳】本题正向思考解题较为麻烦，若抓住题目的特征，逆用公式解题，往往显得简单．对应练习：计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011411311211. 知识点6：变形后运用平方差公式例6.计算293.【解题思路】注意到93接近整百数100，二者相差7，若使用数字93、7巧构平方差公式便可实现简算.【解】()()864949860077937939322=+=+-+=. 【方法归纳】公式()()22b a b a b a -=-+可以变形为()()22b b a b a a +-+=. 对应练习：计算：298知识点7：拆项变形后使用例7、计算(x-y+1)(x+y-5).【解题思路】观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式.然后利用平分差公式计算.解：(x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=[(x-2)-(y-3)][(x-2)+(y-3)]=(x-2)2-(y-3)2=x 2-4x+4-y 2+6y-9=x 2-y 2-4x +6y-5.【方法归纳】拆项的关键在于将两个因式中的相同项、相反项正确分析出来，并恰当分组，使之符合平方差公式的结构特征.对应练习：()()3232-++-b a b a易错警示例8、计算：(2x +3)(2y -3).错解：(2x +3)(2y -3)=4xy -9.错解分析：(2x +3)(2y -3)中的两个因式不符合“两个数的和与这两个数的差的积”，因此不能用平方差公式做，只能按多项式乘以多项式的法则进行运算．正解：(2x +3)(2y -3)=4xy -6x +6y -9.例9、(2x +9)(2x -9).错解：(2x +9)(2x -9)=4x 2-9.错解分析：(2x +9)(2x -9)应等于2x 与9的平方差，即(2x )2-92，错解中没有把第二项9平方，当第二项是完全平方数时，很容易犯这样的错误．正解：(2x +9)(2x -9)=(2x )2-92=4x 2-81.例10、(a 3-8)(a 3+8).错解：(a 3-8)(a 3+8)=a 9-64.错解分析：(a 3-8)(a 3+8)中(a 3)2=a 6，而(a 3)2≠a 9.正解：(a 3-8)(a 3+8)=(a 3)2-82=a 6-64.例11、(-2a -7)(2a -7)．错解：(-2a -7)(2a -7)＝4a 2-49.错解分析：(-2a -7)(2a -7)符合平方差公式的特征，但到底是哪个数的平方减去哪个数的平方呢？错解中认为就是前面一个数的平方减去后面一个数的平方，但(-2a -7)(2a -7)≠(-2a )2-72，应该是两式中符号相同的数的平方减去符号相反的那个数的平方，即： (-2a -7)(2a -7)=(-7-2a )(-7+2a ) =(-7)2-(2a )2或(-2a -7)(2a -7)=－(2a +7)(2a -7) =－[(2a )2-72]．正解： (-2a -7)(2a -7) = (-7-2a )(-7+2a ) =(-7)2-(2a )2=49-4a 2．课堂练习评测知识点1：平方差公式1、在边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >（如图1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是 （用字母表示）．2、已知2a b +=，则224a b b -+的值是 3、下列计算中，错误的有（ ）①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个知识点2：平方差公式的实际应用 4、一个长方形的面积是(x 2－9)平方米，其长为(x ＋3)米，用含有x 的整式表示它的宽为___________米.知识点3：平方差公式的运用5、计算：2221123443m n n m ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;6、计算：(3x-2y)(9x 2+4y 2)(-2y-3x)7、平方差公式的常见变形(1)位置变化:(a+b)(-b+a)=________;(2)符号变化:(-a-b)(a-b)=_______.(3)系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=_______.(4)指数变化:(a 2+b 3)(a 2-b 3)=_____.(5)项数变化:(a+2b-c)(a-2b-c)=_________________;(6)连用公式:(a+b)(a-b)(a 2+b 2)= __________________.课后作业练习基础训练一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______.4、=---))((22x a x a _______.5、=++-))()((22b a b a b a _______.6、=-+-))((y x y x _______.7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______.8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ）A )22)(2(b a b a +--;B )2)(2(a b b a +-;C )2)(2(b a b a +--;D )2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ）A )56)(56(x y x y --+- ;B )56)(65(x y y x +-;C )56)(56(x y x y ++- ;D )65)(65(y x y x +--.11、为了应用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),下列变形正确的是( )A.[x-(2y+1)]2B.[x-(2y-1)][x+(2y-1)]C.[(x-2y)+1][(x-2y)-1]D.[x+(2y+1)]2三、解答题12、计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.13、先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .提高训练14、解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .15、已知代数式(-4x+3y)(-3y-4x)与多项式M 的差是(2x+3y)(8x-9y),求多项式M.16、一个长方形菜地,长为(2a+3)cm,宽为(2a-3)cm, 那么这块菜地的面积是多少?17、一个长方体的游泳池的长为(4a 2+9b 2)米,宽为(2a+3b)米,高为(2a-3b)米,那么这个游泳池的容积是多少?12.3.1对应练习答案：1.解：原式=[(—2x)+y][(—2x)—y]=(—2x)2—y 2=4x 2—y2.2.解：原式＝))()(())()()((88444488442222b a b a b a b a b a b a b a ++-=+++-＝16168888))((b a b a b a -=+-．3.解：原式=(x+2)(x —2)(x 2+4)=(x 2—4)(x 2+4)=x 4—16.4.答案：25.解：原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+10111011411411311311211211 1091011434532342123⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯=2011=. 6.解：()()96044960022982989822=+=+-+=.7.答案：96422-+-b b a . 课堂作业练习参考答案：1、答案：()()22a b a b a b +-=- 2、答案：43、答案：D4、答案：（3x -）5、解:原式=22224211134916m n m n ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6、解:原式=[(3x-2y)(-3x-2y)](9x 2+4y 2) =(4y 2-9x 2)(9x 2+4y 2)=16y 4-81x 47、(1)a 2-b 2 (2)b 2-a 2 (3)4a 2-9b 2 (4)a 4-b 6 (5)(a-c)2-4b 2=a 2-2ac+c 2-4b 2(6)a 4-b 4课后作业练习参考答案：1～8：24y -；224y x -；229141b a -；24a x -；44b a -；22x y -；0；91,91. 9、D ；10、A ；11、D12、23n ；13、化简结果为24x x -，求值结果为12；14、5.2=x15、解:由题意得: M=(-4x+3y)(-3y-4x)-(2x+3y)(8x-9y) =(-4x)2-(3y)2-(16x 2-18xy+24xy-27y 2) =16x 2-9y 2-16x 2-6xy+27y 2=18y 2-6xy.16、解:这块菜地的面积为: (2a+3)(2a-3)=(2a)2-9=4a 2-9(cm 2)17、解:游泳池的容积是:(4a 2+9b 2)(2a+3b)(2a-3b) =[(2a)2-(3b)2](4a 2+9b 2)=(4a 2-9b 2)(4a 2+9b 2) =(4a 2)2-(9b 2)2=16a 4-81b 4(米3) 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
12.3.1 两数和乘以这两数的差说课稿 2022—2023学年华东师大版数学八年级上册
12.3.1 两数和乘以这两数的差说课稿介绍本说课稿是针对华东师大版数学八年级上册的第12章第3节第1小节《两数和乘以这两数的差》编写的。
本节主要介绍了如何通过设未知数，列方程，解方程等方法解决相关问题，提高学生的综合运用能力和解决实际问题的能力。
教学目标1.理解并掌握两数和乘以这两数的差的概念；2.学会列设未知数、列方程、解方程等方法，解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点1.掌握两数和乘以这两数的差的计算方法；2.学会运用代数方法解决实际问题。
教学难点学生如何将实际问题转化为代数问题，并进行求解。
教学准备1.教师准备活动题目和示例题目；2.学生准备笔记本和铅笔。
教学过程导入1.讲师通过与学生的互动，引发学生对于两数和乘以这两数的差的思考；2.通过举例子和询问，引导学生发现问题的规律和解题方法。
引入新知1.导入示例问题：小明买了一部手机，花了600元。
如果这部手机的价格是x 元，那么x与600的和乘以x与600的差等于多少？2.通过讨论，引导学生将问题转化为代数问题，设未知数并列方程。
讲解与演示1.确定未知数为x，根据题目要求可列出方程为：(x+600)(x-600)；2.通过展开式展开，得到方程：x^2 - 600^2；3.解方程，求得结果。
学生练习1.学生尝试解答其他类似问题，练习运用所学知识；2.讲师在解答过程中指导学生，纠正错误。
拓展1.引导学生思考一道实际问题：甲、乙两数之和是64，两数之差是4，求甲、乙两数；2.学生根据所学知识，设未知数并列方程，解方程求解问题。
归纳总结1.引导学生回顾本节课所学内容，总结解决问题的方法；2.强调学生需要注意设未知数、列方程和解方程的步骤和技巧。
课堂小结1.总结本节课的重点和难点；2.对学生解答问题的表现进行肯定和指导。
课后作业1.布置练习题，要求学生主要运用代数方法解决；2.鼓励学生积极思考，独立解答问题。
教学反思本节课通过问题导入和实例演示的方式引发学生对于两数和乘以这两数的差的思考，并进行了相关知识的讲解。
八年级数学上册 第十二章 整式的乘除 12.3 两数和乘以这两数的差课件 (新版)华东师大版
归纳结论 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. 两数和与两数差 的积，等于它们的平方差.
3.应用平方差公式的注意应注意些什么？ （1）注意平方差公式的适用范围 （2）字母a、b可以是数，也可以是整式 （3）注意计算过程中的符号和括号
1 y)(x+
2
1 2
y)，
②(3a-bc)(-bc-3a)，
③(3-x+y)(3+x+y)，
④(100+1)(100-1). A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
3.下列式中，运算正确的是( C )
①(22a)2=4a2；
②(-
1 3
x+1)(1+
1 3
x)=1-
1 9
x2；
③(m-1)2(1-m)3=(m-1)5；
④2a×4b×8=2a+2b+3.
A.①② B.②③ C( D ) A.只能是数 B.只能是单项式 C.只能是多项式 D.数、单项式、多项式都可以
5.计算(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1). 解：原式=(a2-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)
12.3.1 两数和乘以这两数的差
新课导入
整式乘法中多项式与多项式相乘: 1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每 一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相 加.符号表示：(m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba. 2.两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？
华师版八上数学 两数和乘以这两数的差
= (2a)2 - 32
= 4a2 - 9.
(3) ( - 2x2 - y)( - 2x2 + y)；
解：原式 = ( - 2x2 )2 - y2 = 4x4 - y2.
(4) ( - 5 + 6x)( - 6x - 5). 解：原式 = ( - 5 + 6x)( - 5 - 6x)
改正方法①：原式 = - [(3a + 2)(3a - 2)]
= - (9a2 - 4)
= - 9a2 + 4.
改正方法②：原式 = ( - 2 - 3a)( - 2 + 3a)
= ( - 2)2 - (3a)2
= 4 - 9a2.
2. 利用平方差公式计算： (1) (a + 3b)(a - 3b)； 解：原式 = a2 - (3b)2
= 3x2 - 5x - 10.
3.计算： 20212 - 2020×2022. 解： 20212 - 2020×2022
= 20212 - (2021 - 1)(2021 + 1)
= 20212 - (20212 - 12 ) = 20212 - 20212 + 12 = 1.
4.利用平方差公式计算: （1）(a - 2)(a + 2)(a2 + 4) 解：原式 = (a2 - 4)(a2 + 4)
典例精析 例1 填一填：
(a - b)(a + b) (1 + x)(1 - x) ( - 3 + a)( - 3 - a) (1 + a)( - 1 + a) (0.3x - 1)(1 + 0.3x)
华东师大版八年级上册 12.3 两数和乘以这两数的差 课件(共22张PPT)
(第２、３两题的答案只有两项)
4、满足什么条件的多项式相乘会出现这种 情况？（请和你的同伴交流一下）
5、你能用一句话归纳出上述发现的规律吗？ 应该用什么合适的式子表示？
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
两个数的这和两个数的差这两数的平方差
简记： （
＋
）（
－
＝２
２
）
－
注意：〖“
”表示一个单项式或者多项式 〗
运用两数和乘两数差的公式计算：(3x+2)(3x-2) 分析:
⑴ (3x+2)(3x-2) =(3x)2 -22 =9x2-4
( a+b)(a-b) = a2 - b2
用公式（a+b）(a-b)=a2-b2关键是识别两数
完全相同项
1 4
(2
)²
⑵、(－ x＋2)(－ x－2)
= (－x)²－2² = x²－4
⑶、(－ 2x＋y)( 2x＋y) ⑷、(y－ x)(－ x －y)
= y²－(2x)² = y²－4x²
= (－x)²－y² = x²－y²
知识应用 比一比，看谁算得又简便又快：
计算： 1996×2004
方法一：直接计算；1996×2004 = 3999984
方法二：构造公式计算； 1996×2004 = (2000－4) ×(2000 ＋ 4) = (2000)²－ 4² = 4000000 － 16 = 3999984
通过本节课,你有什么收获?
作业
１、基础题：课本：P33 习题13.3 第1题
２、补充题：计算 ( X +2Y)(2Y￣X)
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式第1课时两数和乘以这两数的差课件新版华东师大版
2019/5/29
最新中小学教学课件
16
谢谢欣赏！
2019/5/29
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17
探究新知
(x ＋ 3)(x － 3) (a＋2b)(a－2b) (4m＋n)(4m－n) (5＋4y)(5－4y) (a ＋ b)(a－b)
x2－9 a2－4b2 16m2－n2 25－16y2 a2－b2
探究新知
（a+b)(a-b) a （y+3)(y-3) y (a+3b)(a-3b) a (1-5b)(1+5b) 1 (-x+2)(-x-2) －x
（2）等式右边是这两 个数(字母)的平方差.
公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
注：必须符合平方差 公式特征的代数式才能
用平方差公式
观察图形，再用等式表示图中图形面 积的运算：
a
几
何
abb
解
(a-b)(a+b)
释
=
a2 － b2
(a+b)(a－b)
a2
b2
例1 计算
(x+3)(x-3)= x2 32 x2 9 (2a+3b)(2a-3b)= (2a)2 (3b)2 4a2 9b2
自己集中注意力。 第四，回答问题。 上课时积极回答问题是吸收知识的有效途径。课堂上回答问题要主动大胆。回答时要先想一想“老师提的是什么问题?”，“它和学过的内容有什么
联系？”，并先在头脑中理一理思路，想好回答时，先答什么，后答什么。老师对你的回答做出点评和讲解，指出大家都应该注意的问题和标准答案时 你一定要仔细听讲，从中发现哪些是应当记住和掌握的。
知识回顾
数学华东师大版八年级上册12.3.1两数和乘以这两数的差
§12.3.1两数和乘以这两数的差【教学目标】知识与技能：通过创设问题情景，让学生主动参与，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维；引导学生发现乘法公式与整式的乘法之间的关系，会推导并掌握两数和乘以它们的差公式，向学生渗透数学中相互转化的思想；通过乘法公式的几何背景图，让学生通过用式子表示图形面积的运算加深对公式的理解，了解两数和乘以它们的差公式的几何背景，体会数形结合的数学思想方法。
过程与方法：经历探究两数和乘以及两数的差的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式乘法的辩证思想，掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特征，并能运用公式进行简单的计算。
情感与态度：形成自主探究、合作交流的意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感和符号感。
【教学重点】对两数和乘以它们的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算。
【教学难点】理解两数和乘以它们的差公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含义，代数推理能力的培养。
【教学准备】多媒体课件【教学过程】一、情境屋，请君入内问题：王军同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王军就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”王军同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。
”你知道王军同学用的是一个什么样的公式吗?（设计意图：通过创设问题情景，让学生主动参与，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维。
让学生明白看似单调、僵死的数学它就来源于身边的生活，从而拉近数学教学与生活的距离，诱导学生养成学数学、用数学的好习惯。
）二、探究园，任你驰骋1.自学指导自学教材30页至32页。
和你的小组合作探讨完成下列内容。
（时间8分钟）1、通过30页的做一做，你能得出平方差公式吗？能否用语言叙述？等式左边的两个多项式有什么特点？等式右边的多项式有什么规律？公式中的a,b可以表示什么？2、通过31页的试一试，你和同学们能懂其意并写出吗？3、例1中的计算题能用多项式乘以多项式的法则计算吗？你用了这个法则了吗？为什么？4 、你和你的同伴会做例2和例3吗？S:学生根据教师交给的问题，分组讨论，尝试探究，并由小组长做好记录。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差课件(新版)华东师大版
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1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x － ； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的 边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生 变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝ －1
7
6
5
4
3
2
； .
n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32
华东师大版八年级数学上册12.3.1两数和乘以这两数的差公开课优质教案(1)
难点：正确理解两数和乘以它们的差的公式意义。
课前
预习
【导学提纲】根据下面的要求，用5分钟时间自学教材P29-30，请在不明白的地方作上符号，或把问题写下来。
1、多项式与多项式相乘的法则是：
用式子表示： =
★2、两数和与它们的差的积，等于这两数的
用式子表示： =
（2）找出公式中的第一个数，第二个数，两数和乘以这两数差；
（3）公式中的 、 可代表数字、字母，也可以是一个代数式。
知识
拓展
计算：
★(3)
★（4）
课后
反思
两数和乘以这两数的差（平方差公式）
课题
12.3.1两数和乘以这两数的差（平方差公式）
课型
新课
教师复备
教学
目标
1、从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以它们的差这一乘法公式，明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法的辩证思想；
2、掌握两数和乘以它们的差的公式的结构Biblioteka 并能正确地运用。教学重点、难点
【问题2】计算：(1) ；
巩固
运用
1、下列各题中不能运用平方差公式进行计算的是（）
（A） （B）
（C） （D）
2、计算： ； ；
（）= ； =。
3、计算：
4、(1)已知： ，则 的值为；
(2)先化简，再求值： ，其中
小结
反馈
1、平方差公式：两数和与它们的差的积，等于
用式子表示：
公式逆用：
2、注意：（1）抓住本节公式结构特征，判断哪些算式符合公式特征，哪些不符合公式特征；
自主
练习
【预习检测】相信你，一定能行！
八年级数学上册12.3.1两数和乘以这两数的差课件(新版)华东师大版
能力跃升 第三阶
思维拓展
◆要点导航 ◆典例全解 ◆反馈演练 第一阶
基础夯实 第二阶
能力跃升 第三阶
思维拓展
◆要点导航 ◆典例全解 ◆反馈演练 第一阶
基础夯实 第二阶
能力跃升 第三阶
思维拓展
◆要点导航 ◆典例全解 ◆反馈演练 第一阶
基础夯实 第二阶
能力跃升 第三阶
基础夯实 第二阶
能力跃升 第三阶
思维拓展
◆要点导航 ◆典例全解 ◆反能力跃升 第三阶
思维拓展
◆要点导航 ◆典例全解 ◆反馈演练 第一阶
基础夯实 第二阶
能力跃升 第三阶
思维拓展
◆要点导航 ◆典例全解 ◆反馈演练 第一阶
基础夯实 第二阶
能力跃升 第三阶
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◆要点导航 ◆典例全解 ◆反馈演练 第一阶
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两数和乘以这两数的差
课 题 华东师大版 初二数学上册12.3.1两数和乘以这两数的差
教学目标 1.经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能
力、归纳能力；
2.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算；
3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.
学生情况分析 学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常
会确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习平方差公式的困难在于对公
式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解．因此，教学中引导
学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深
学生对公式的理解．
教学重难点 利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，分析公式的结构特征，灵
活运用平方差公式进行计算．
教学过程 （包含教师活动、学生活动、设计意图、技术应用等） （一）创设情境，引出课题
问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（m+2）（m-2）=
（2）（2x+1）（2x-1）=
【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧
知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识
规律，引出乘法公式----平方差公式．
（二）探索新知，尝试发现
问题２：依照以上两道题的计算回答下列问题：
①式子的左边具有什么共同特征？
②它们的结果有什么特征？
③能不能用字母表示你的发现？
2
师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式
子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并
猜想出：．
【设计意图】根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法
则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加
自然、合理．
（三）数形结合，几何说理
问题3：活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽
为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图
形的面积关系．
【设计意图】通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形
面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数
形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多
角度、多方面来思考问题．对于任意的a、b，由学生运用多项式乘法计
算：，验证了其公式的正确
性．
（四）总结归纳，发现新知
问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
3
【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织
与表达能力．
（五）剖析公式，发现本质
在平方差公式中，其结构特征为：
①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相
反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即；
②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明
确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式．
【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公
式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析
a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应
手，起到事半功倍的效果．
（六）巩固运用，内化新知
问题5：判断下列算式能否运用平方差公式计算：
（1）（2x+3a）（2x–3b）； （2）
；
（3）（－m+n）（m－n）； （4）
；
（5）．
【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的
本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．巩固平方差公式，进一
步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理
解．
问题6：计算：
（1）（2x +3）（3x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）．
4
【设计意图】对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公
式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备
的条件．
（七）拓展深化，发展思维
问题7：计算：
（1）98×（－102）； （2）．
【设计意图】把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体
现了转化的思想和数式通性；另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综
合，注意不能用公式的仍按多项式乘法法则进行．
问题8：小明家有一块“L”形的自留地，现在要分成两块形状、面积
相同的部分，种上两种不同的蔬菜，请你来帮小明设计，并算出这块自留
地的面积．
【设计意图】运用平方差公式解决实际问题，体现了数学来源于生
活，服务于生活，学生感受到学习了有用的数学，设计此题与平方差公式
的几何意义相吻合，加深学生对平方差公式的理解．
（八）小试牛刀，挑战自我
1．在下列括号中填上合适的多项式：
2．看谁算得快：
【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式，由
5
结果追溯算式中的相同项和相反项，关键在于理解公式结构特征，同时锻
炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫．第2个填空题有两种
填法，属开放设计．目的是加强学生对公式结构特征的理解，同时也锻炼
学生的发散思维．
（九）总结概括，自我评价
问题10：这节课你有哪些收获？还有什么困惑？
【设计意图】从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课
的知识有一个系统全面的认识．
（十）课后作业
A组题：
一、选择题：
1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：
2．计算： ；
3．计算：；
三、计算：
4. 5．； 6．53×47.
B组题
1．，则A的末位数是_______．
2．计算：（1）；
6
（2）；
（3）．
3.已知：两个正方形的周长之和等于32cm，它们的面积之差为
48cm2，求这两个正方形的边长.
【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展
性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数
学上得到不同的发展．
7
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