人教版八年级数学上册乘法公式
八年级上册数学乘法公式
八年级上册数学乘法公式一、乘法公式的基本内容。
（一）平方差公式。
1. 公式内容。
- (a + b)(a - b)=a^2-b^2。
2. 公式的几何解释（以人教版教材为例）- 我们可以通过一个边长为a的大正方形，在其中一角去掉一个边长为b的小正方形来理解。
- 大正方形的面积是a^2，小正方形的面积是b^2。
- 剩下的图形可以看作是一个长为(a + b)，宽为(a - b)的长方形，其面积为(a +b)(a - b)，所以(a + b)(a - b)=a^2-b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(3x+2y)(3x - 2y)。
- 解：这里a = 3x，b=2y，根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，可得(3x+2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2=9x^2-4y^2。
- 例2：计算( - 5m+4n)( - 5m - 4n)。
- 解：a=-5m，b = 4n，则( - 5m+4n)( - 5m - 4n)=(-5m)^2-(4n)^2=25m^2-16n^2。
（二）完全平方公式。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2+2ab + b^2；(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
2. 公式的几何解释（人教版）- 对于(a + b)^2，可以看作边长为(a + b)的正方形的面积。
- 这个正方形的面积可以分成四部分：边长为a的正方形面积a^2，两个长为a宽为b的长方形面积2ab，边长为b的正方形面积b^2，所以(a + b)^2=a^2+2ab +b^2。
- 对于(a - b)^2，可以看作边长为a的正方形去掉两个长为a宽为b的长方形（这两个长方形有一个边长为b的公共部分）后再加上边长为b的正方形的面积，即(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(2x+3y)^2。
- 解：这里a = 2x，b = 3y，根据(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，可得(2x+3y)^2=(2x)^2+2×(2x)×(3y)+(3y)^2=4x^2+12xy + 9y^2。
八年级上册乘法公式知识点
八年级上册乘法公式知识点在八年级上册的数学学习中，乘法公式是重要的知识点之一。
在本文中，我们将详细介绍八年级上册乘法公式的相关知识点。
一、乘法的基本概念乘法是加法的一种推广，它是指将两个或多个数相乘的运算。
例如，2×3=6，其中2和3是乘数，6是积。
在乘法运算中，乘数的顺序是可以任意交换的，比如3×4和4×3的结果是相同的，都是12。
这叫做乘法的交换律。
另外，乘法还具有结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)。
例如，(2×3)×4=24，2×(3×4)=24，它们的结果相同。
二、分配律在乘法中，有一条重要的分配律，即乘法分配律。
它是指：当一个数用另一个数加减时，可以先将这个数分别乘以这两个数的和或差，然后再相加或相减。
即a×(b+c)=a×b+a×c，a×(b-c)=a×b-a×c。
例如，3×(4+5)=3×4+3×5=27，3×(6-2)=3×6-3×2=12。
三、乘方乘方是指一个数自乘若干次的运算，也叫做幂运算。
例如，2的3次方写作2³，表示2×2×2=8。
在这个例子中，2是底数，3是指数，8是幂。
乘方有以下几个概念：1. 底数：表示要乘的数。
2. 指数：表示乘方的次数。
3. 幂：表示乘方的结果。
值得一提的是，任何数的0次幂都等于1，例如2的0次方是1，3的0次方是1，0的0次方没有定义。
四、整式的乘法整式是由变量与常数相加、相减、相乘而成的代数式。
我们在学习整式乘法时需要掌握以下几个技巧：1. 乘法分配律：对于两个整式a和b以及常数c，有a×(b+c)=a×b+a×c。
2. 乘法结合律：对于三个整式a、b和c，有(a×b)×c=a×(b×c)。
人教版初中数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解《乘法公式》PPT课件
a²
a
2
( a b) a +2ab +b
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +b2 +2ab
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和的平方，等于它们 的平方和，加上它们的积的2倍。
• • • •
模仿练习： （a＋1）2＝ （3＋x）2＝ （2a＋3b）2＝
提问:（a－b）2等于什么？ 是否可以写成[a＋（-b）]2? 你能继续做下去吗？
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
公式变形为 （首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
首平方，尾平方，首尾两倍中间放
例1
运用完全平方公式计算：
(1)(x+2y)2;
2 (3)-2s+t) ;
(2)(2a-5)2;
2 (4)-3x-4y) .
例2、运用完全平方公式计算：
(1) (
2 4a
-
2 2 b )
(2)
2 2 (-2a +b)
(3)
2 (2a-3b) -2a(a-b)
1、比较下列各式之间的关系：
(1) (-a
2 -b)
2 与(a+b)
相等 相等 2
(2) (a - b)2 与 (b - a)2
（3）(-b
2 +a)
与(-a +b)
2、下面各式的计算是否正确？如果不正 确，应当怎样改正？
2 (a-b) = 2 a
-
2 2ab+b
(a-b)2= a2 - 2ab+b2的图形理解
完全平方差公式：
最新人教版初中八年级上册数学【第十四章 14.2乘法公式 运用乘法公式计算】教学课件
谢谢
(1) (2x + y + z) (2x – y – z) 解：原式 =[ 2x + ( y + z ) ] [ 2x – ( y + z ) ]
= (2x)2– (y + z)2 =4x2 –(y2+2yz+z2) =4x2 – y2–2yz–z2 =4x2 – y2–z2–2yz.
当堂练习
(2) (a + 2b – 1) 2 解：原式=[a + (2b – 1) ]2
ab
4.(x－2y－3)(x+2y－3). 解：原式=[(x－3)－2y] [(x－3)+2y].
例题讲解
例2 . 运用乘法公式计算:
(a + b +c ) 2.
解：原式 = [ (a+b) +c ]2
温馨提示：将(a+b)看作一个整体， 解题中渗透整体的思想.
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
2.判断下列计算过程是否正确，若错误请把正 确答案修改在下面.
( 3a +2b－c ) 2 解：原式 = [ (3a + 2b )－c ]2 应该运用完全平方公式
= ( 3a + 2b )2 －c2 这是平方差 = 9a2 +12ab + 4b2－c2. 判断：错误.
易错点：混淆两个乘法公式而出错．
2.(2y－3)2= 4y2－12y + 9 .
温馨提示：将(2y – 3)看作一个整 体，解题中渗透整体的思想.
思考
一、去括号法则是什么？
14.2 乘法公式 课件 人教版数学八年级上册
(－3y－4x)(3y－4x)＝(－4x－3y)(－4x＋3y) ＝(－4x)2－(3y)2＝16x2－9y2.
知1－练
感悟新知
知1－练
1－1. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是( B ) A. (a－1)(1－a) B. (－a＋2)(－a－2) C. (a＋2)(2＋a) D. (a－b)(－a＋b)
知2－练
(1)1022；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋4＝10 404；
(2)99.82；
原式＝(100－0.2)2＝10 000－40＋0.04＝9 960.04；
2
(3)
60
1 60
.
原式＝60＋6102＝3
600＋2＋3
6100＝3
6023
1 600.
感悟新知
知识点 3 添括号
为2 023.
2 022×2 024－2 0232＝(2 023－1)×(2 023＋1)－2 0232
＝2 0232－12－2 0232＝－1.
感悟新知
2－1. 运用平方差公式进行简便计算：
知1－练
(1)9.8×10.2；
解：原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝；
(2)(－4a＋5b)2；
知2－练
括号不能漏掉.
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2 ＝(5b)2－2·(5b)·(4a)＋(4a)2 ＝25b2－40ab＋16a2；
不 能 漏 掉 “ 2ab” 项 且 符 号 与完全平方中的符号一致.
感悟新知
(3)(－2m－n)2；
知2－练
解：(－2m－n)2 ＝(2m＋n)2
感悟新知
知3－讲
特别解读 1. 添括号只是一个变形，不改变式子的值. 2. 添括号时，如果括号前面是负号，括号里的各项都要改
【精品讲义】人教版 八年级上册数学 乘法公式与因数分解 知识点讲解+练习题
讲 义(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4 1、计算下列各式：(1)[(x ＋y)3]4 ； (2) (a 4n )n －1 ；(3) (－a 3)2＋(－a 2)3－(－a 2)·(－a)4 ；(4) x 3·x 2·x 4＋(－x 4)2＋4(－x 2)4例. 计算：()()53532222x y x y +-(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例. 计算：()()()()111124-+++a a a a例. 计算：()()57857822a b c a b c +---+例.（1）已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
(2) 已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
(3) 已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
(4) 已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
例：计算19992-2000×1998 例.已知13x x-=，求441x x +的值。
人教版八年级数学上册《乘法公式》
二、探求新知
通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？
整式的乘除与因式分解
乘法公式
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式 相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x－1)； (3) (3－x)(3+x) ；
大家谈收获
(a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积等于 这两个数的平方差。
平方差公式中字母 a、b可代表一个数、一 个单项式或多项式。
拓展探究
再谢 谢见!！
人教版 ·数学 ·八年级(上)
乘法公式
—完全平方公式
一、情景引入
请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每 当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他 们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个 孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这 些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起 去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这 些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果 总数哪个多？多多少？为什么？
人教版八年级数学上册教学设计14.2 乘法公式
人教版八年级数学上册教学设计14.2 乘法公式一. 教材分析人教版八年级数学上册的教学内容涉及平面几何、立体几何、代数、概率等多个方面，其中第14章“整式乘法”是基础也是重点。
本节课的内容“乘法公式”是整式乘法中的一个重要部分，主要包括平方差公式和完全平方公式的探究和应用。
平方差公式和完全平方公式在解决实际问题中有着广泛的应用，是学生必须掌握的基础知识。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了有理数的乘法、幂的运算等基础知识，对整式的乘法有了一定的了解。
但平方差公式和完全平方公式的推导和应用还需要通过实例和练习来加深理解。
此外，学生可能对公式的记忆和应用存在困难，需要通过反复练习和实际问题来提高应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握平方差公式和完全平方公式的推导过程和应用方法。
2.过程与方法：通过探究、合作、交流的方式，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式和完全平方公式的推导和应用。
2.难点：对平方差公式和完全平方公式的理解和灵活应用。
五. 教学方法采用探究式教学法、合作学习法和案例教学法。
通过引导学生自主探究、合作交流，以实际问题为载体，让学生在实践中理解和掌握平方差公式和完全平方公式。
六. 教学准备1.准备相关的基础知识和例题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题和测试题，以检验学生的学习效果。
七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：已知正方形的面积是20，求这个正方形的边长。
让学生思考如何解决这个问题，从而引出平方公式。
呈现（10分钟）1.平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)2.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²通过讲解和示例，让学生理解平方差公式和完全平方公式的推导过程和应用方法。
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初中数学试卷灿若寒星整理制作乘法公式典题探究例1. 运用平方差公式计算：（1）()()22-+y y （2）()()2323-+x x ； （3）()()2332-+a a （4）()()m m +-+22 例2. 用完全平方公式计算：（1）()22+x ；（2）()245y x -；（3）2199（用简便运算）例3. 运用乘法公式计算：()()3232+--+y x y x ；例4. 运用乘法公式计算：()2c b a ++演练方阵A 档（巩固专练）一、填空题1．直接写出结果：(1)(x ＋2)(x －2)＝_______； (2)(2x ＋5y)(2x －5y)＝______；(3)(x －ab)(x ＋ab)＝_______； (4)(12＋b 2)(b 2－12)＝______． 2．直接写出结果：(1)(x ＋5)2＝_______；(2)(3m ＋2n)2＝_______； (3)(x －3y)2＝_______；(4)2)32(b a -＝_______；(5)(－x ＋y)2＝______；(6)(－x －y)2＝______． 3．先观察、再计算：(1)(x ＋y)(x －y)＝______； (2)(y ＋x)(x －y)＝______； (3)(y －x)(y ＋x)＝______； (4)(x ＋y)(－y ＋x)＝______； (5)(x －y)(－x －y)＝______； (6)(－x －y)(－x ＋y)＝______．4．若9x 2＋4y 2＝(3x ＋2y)2＋M ，则M ＝______． 二、选择题1．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( )．①(－2ab ＋5x)(5x ＋2ab) ②(ax －y)(－ax －y) ③(－ab －c)(ab －c) ④(m ＋n)(－m －n) (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个2．若x ＋y ＝6，x －y ＝5，则x 2－y 2等于( )． (A)11 (B)15 (C)30 (D)60 3．下列计算正确的是( )．(A)(5－m)(5＋m)＝m 2－25 (B)(1－3m)(1＋3m)＝1－3m 2(C)(－4－3n)(－4＋3n)＝－9n 2＋16 (D)(2ab －n)(2ab ＋n)＝4ab 2－n 24．下列多项式不是完全平方式的是( )． (A)x 2－4x －4(B)m m ++241(C)9a 2＋6ab ＋b 2(D)4t 2＋12t ＋95．下列等式能够成立的是( )．(A)(a －b)2＝(－a －b)2(B)(x －y)2＝x 2－y 2(C)(m －n)2＝(n －m)2(D)(x －y)(x ＋y)＝(－x －y)(x －y) 6．下列等式不能恒成立的是( )．(A)(3x －y)2＝9x 2－6xy ＋y 2(B)(a ＋b －c)2＝(c －a －b)2(C)22241)21(n mn m n m +-=- (D)(x －y)(x ＋y)(x 2－y 2)＝x 4－y 4三、计算题 1．).23)(23(22ba b a -+2．(x n －2)(x n＋2)．3．).3243)(4332(m n n m +-+ 4．⋅+-323.232xy y x 5．).24)(24(yx y x --- 6．(－m 2n ＋2)(－m 2n －2)． 7．.)3243(2y x +8．(3mn －5ab)2． 9．(5a 2－b 4)2．10．(－3x 2＋5y)2．11．(－4x 3－7y 2)2． 12．(y －3)2－2(y ＋2)(y －2)．四、解答题1．应用公式计算：(1)103×97；(2)1.02×0.98；(3)⋅⨯76971102．当x ＝1，y ＝2时，求(2x －y)(2x ＋y)－(x ＋2y)(2y －x)的值．3．用适当方法计算：(1)2)2140(； (2)2992．4．若a ＋b ＝17，ab ＝60，求(a －b)2和a 2＋b 2的值．B 档（提升精练）一、填空题 1．)23)(23(aa ++-＝_______． 2．(－3x －5y )(－3x ＋5y )＝______．3．在括号中填上适当的整式：(1)(x ＋5)(______)＝x 2－25； (2)(m －n )(______)＝n 2－m 2；(3)(－1－3x )(______)＝1－9x 2； (4)(a ＋2b )(______)＝4b 2－a 2． 4．(1)x 2－10x ＋______＝( －5)2：(2)x 2＋______＋16＝(______－4)2；(3)x 2－x ＋______＝(x －______)2；(4)4x 2＋______＋9＝(______＋3)2．5．多项式x 2－8x ＋k 是一个完全平方式，则k ＝______．6．若x 2＋2ax ＋16是一个完全平方式，则a ＝______． 二、选择题1．下列各式中能使用平方差公式的是( )．(A)(x 2－y 2)(y 2＋x 2)(B))5121)(5121(3232n m n m +--(C)(－2x －3y )(2x ＋3y ) (D)(4x －3y )(－3y ＋4x ) 2．下面计算(－7＋a ＋b )(－7－a －b )正确的是( )．(A)原式＝(－7＋a ＋b )[－7－(a ＋b )]＝－72－(a ＋b )2(B)原式＝(－7＋a ＋b )[－7－(a ＋b )]＝72＋(a ＋b )2(C)原式＝[－(7－a －b )][－(7＋a ＋b )]＝72－(a ＋b )2(D)原式＝[－(7＋a )＋b ][－(7＋a )－b ]＝(7＋a )2－b 23．(a ＋3)(a 2＋9)(a －3)的计算结果是( )．(A)a 4＋81 (B)－a 4－81 (C)a 4－81 (D)81－a 44．下列式子不能成立的有( )个．①(x －y )2＝(y －x )2 ②(a －2b )2＝a 2－4b 2 ③(a －b )3＝(b －a )(a －b )2④(x ＋y )(x －y )＝(－x －y )(－x ＋y ) ⑤1－(1＋x )2＝－x 2－2x (A)1 (B)2 (C)3 (D)45．计算2)22(b a -的结果与下面计算结果一样的是( )． (A)2)(21b a - (B)ab b a -+2)(21(C)ab b a +-2)(41 (D)ab b a -+2)(41三、计算题1．).321)(213(2222a b b a +--- 2．(x ＋1)(x 2＋1)(x －1)(x 4＋1)．3．(m －2n )(2n ＋m )－(－3m －4n )(4n －3m )．4．(2a ＋1)2(2a －1)2． 5．(x －2y )2＋2(x ＋2y )(x －2y )＋(x ＋2y )2．6．(a ＋b ＋2c )(a ＋b －2c )． 7．(x ＋2y －z )(x －2y ＋z )．8．(a ＋b ＋c )2． 9．.)312(2+-y x四、解答题1．一长方形场地内要修建一个正方形花坛，预计花坛边长比场地的长少8米、宽少6米，且场地面积比花坛面积大104平方米，求长方形的长和宽．2．回答下列问题：(1)填空：-+=+222)1(1xx x x ______＝+-2)1(x x ______． (2)若51=+a a ，则221aa +的值是多少?(3)若a 2－3a ＋1＝0，则221aa +的值是多少?C 档（跨越导练）1．巧算：(1);21)211)(211)(211)(211(15842+++++(2)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)…(n23＋1)．2．已知：x ，y 为正整数，且4x 2－9y 2＝31，你能求出x ，y 的值吗?试一试．3．若x 2－2x ＋10＋y 2＋6y ＝0，求(2x －y )2的值．4．若a 4＋b 4＋a 2b 2＝5，ab ＝2，求a 2＋b 2的值．5．若△ABC 三边a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca ，试问△ABC 的三边有何关系?典题探究例1. 解：（1）()()4222222-=-=-+y y y y（2）()()()49232323222-=-=-+x x x x（3）()()()()()492323232332222-=-=-+=-+a a a a a a（4）()()()()422222222-=-=-+=+-+m m m m m m例2. 解：（1）()4422222222++=+⋅⋅+=+x x x x x（2）()()()222221640254452545y x x y y x x y x +-=+⋅⋅-=-（3）()3960114004000011200220012001992222=+-=+⨯⨯-=-=例3. 解：()()()[]()[]()()912491243232323232222222-+-=+--=--=---+=+--+y y x y y x y x y x y x y x y x 例4. 解：()()[]()()bcac ab c b a c bc ac b ab a c c b a b a c b a c b a 22222222222222222+++++=+++++=++++=++=++演练方阵A 档（巩固专练）一、 填空题1．(1)x 2－4；(2)4x 2－25y 2；(3)x 2－a 2b 2；(4)b 4－144．2．(1)x 2＋10x ＋25；(2)9m 2＋12mn ＋4n 2；(3)x 2－6xy ＋9y 2；(4)⋅+-934422b ab a (5)x 2－2xy ＋y 2；(6)x 2＋2xy ＋y 2．3．(1)x 2－y 2；(2)x 2－y 2；(3)y 2－x 2；(4)x 2－y 2；(5)y 2－x 2；(6)x 2－y 2． 4．－12xy ． 二、 选择题1．B 2．C 3．C 4．A 5．C 6．D 三、 计算题乘法公式参考答案1．⋅-4924b a 2．x 2n－4． 3．.1699422n m - 4．.233222y x - 5．⋅-16422x y6．m 4n 2－4 7．169x 2＋xy ＋94y 2． 8．9m 2n 2－30mnab ＋25a 2b 2． 9．25a 4－10a 2b 4＋b 8． 10．9x 4－30x 2y ＋25y 2． 11．16x 6＋56x 3y 2＋49y 4．12．－y 2－6y ＋17． 四、 解答题1．(1)9991；(2)0.9996；(3)⋅494899 2．－15． 3．(1)411640；(2)89401． 4．49；169． B 档（提升精练）一、 填空题1．.942-a 2．9x 2－25y 2． 3．(1)x －5．(2)－m －n ．(3)3x －1．(4)2b －a ．4．(1)25；x ；(2)－8x ；x ；(3)21;41 (4)12x ；2x ． 5．16． 6．±4．二、 选择题1．A 2．C 3．C 4．B 5．D 三、 计算题 1．44941a b - 2．x 8－1 3．－8m 2＋12n 2 4．16a 4－8a 2＋1 5．4x 2． 6．a 2＋2ab ＋b 2－4c 2 7．x 2－4y 2－z 2＋4yz 8．a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac 9．9134324422+-++-y x y xy x 四、 解答题1．长12米，宽10米． 2．(1)2；2；(2)23；(3)7．C 档（跨越导练）1．(1)2．(2)2132112-⨯+n 2．x ＝8；y ＝5 3．25 4．3 5．相等．。