八年级上人教版乘法公式
八年级上册数学乘法公式
八年级上册数学乘法公式一、乘法公式的基本内容。
（一）平方差公式。
1. 公式内容。
- (a + b)(a - b)=a^2-b^2。
2. 公式的几何解释（以人教版教材为例）- 我们可以通过一个边长为a的大正方形，在其中一角去掉一个边长为b的小正方形来理解。
- 大正方形的面积是a^2，小正方形的面积是b^2。
- 剩下的图形可以看作是一个长为(a + b)，宽为(a - b)的长方形，其面积为(a +b)(a - b)，所以(a + b)(a - b)=a^2-b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(3x+2y)(3x - 2y)。
- 解：这里a = 3x，b=2y，根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，可得(3x+2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2=9x^2-4y^2。
- 例2：计算( - 5m+4n)( - 5m - 4n)。
- 解：a=-5m，b = 4n，则( - 5m+4n)( - 5m - 4n)=(-5m)^2-(4n)^2=25m^2-16n^2。
（二）完全平方公式。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2+2ab + b^2；(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
2. 公式的几何解释（人教版）- 对于(a + b)^2，可以看作边长为(a + b)的正方形的面积。
- 这个正方形的面积可以分成四部分：边长为a的正方形面积a^2，两个长为a宽为b的长方形面积2ab，边长为b的正方形面积b^2，所以(a + b)^2=a^2+2ab +b^2。
- 对于(a - b)^2，可以看作边长为a的正方形去掉两个长为a宽为b的长方形（这两个长方形有一个边长为b的公共部分）后再加上边长为b的正方形的面积，即(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(2x+3y)^2。
- 解：这里a = 2x，b = 3y，根据(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，可得(2x+3y)^2=(2x)^2+2×(2x)×(3y)+(3y)^2=4x^2+12xy + 9y^2。
人教版初中数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解《乘法公式》PPT课件
a²
a
2
( a b) a +2ab +b
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +b2 +2ab
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和的平方，等于它们 的平方和，加上它们的积的2倍。
• • • •
模仿练习： （a＋1）2＝ （3＋x）2＝ （2a＋3b）2＝
提问:（a－b）2等于什么？ 是否可以写成[a＋（-b）]2? 你能继续做下去吗？
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
公式变形为 （首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
首平方，尾平方，首尾两倍中间放
例1
运用完全平方公式计算：
(1)(x+2y)2;
2 (3)-2s+t) ;
(2)(2a-5)2;
2 (4)-3x-4y) .
例2、运用完全平方公式计算：
(1) (
2 4a
-
2 2 b )
(2)
2 2 (-2a +b)
(3)
2 (2a-3b) -2a(a-b)
1、比较下列各式之间的关系：
(1) (-a
2 -b)
2 与(a+b)
相等 相等 2
(2) (a - b)2 与 (b - a)2
（3）(-b
2 +a)
与(-a +b)
2、下面各式的计算是否正确？如果不正 确，应当怎样改正？
2 (a-b) = 2 a
-
2 2ab+b
(a-b)2= a2 - 2ab+b2的图形理解
完全平方差公式：
人教版八年级数学上册第14章2 乘法公式
知2－练
例 3 计算： (1)(x＋7y)2； (2)(－4a＋5b)2； (3)(－2m－n)2； (4)(2x＋3y)(－2x－3y).
解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方 公式进行计算.
(1)(x＋7y)2；
知2－练
解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2 ＝x2＋14xy＋49y2；
知2－练
解：原式＝4y2－4y＋1； 原式＝9a2＋12ab＋4b2； 原式＝x2－4xy＋4y2； 原式＝4x2y2＋4xy＋1.
2
例4
计算：(1)9992；(2)
30
1 3
.
知2－练
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再 利用完全平方公式展开计算即可.
(1)9992；
知2－练
解：9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)＝(a－b)2－c2
连用公式 (a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4
特别解读
知1－讲
公式的特征：
1. 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完
全相同，另一项互为相反数.
2. 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去
＝1 000 000－2 000＋1＝998 001；
2
(2)
30
1 3
.
2
2
2
30
1 3
＝
30＋
1 3
＝302＋2×30×13＋
1 3
＝900＋20＋
19＝920 19.
4-1. 运用完全平方公式进行简便计算：
【精品讲义】人教版 八年级上册数学 乘法公式与因数分解 知识点讲解+练习题
讲 义(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4 1、计算下列各式：(1)[(x ＋y)3]4 ； (2) (a 4n )n －1 ；(3) (－a 3)2＋(－a 2)3－(－a 2)·(－a)4 ；(4) x 3·x 2·x 4＋(－x 4)2＋4(－x 2)4例. 计算：()()53532222x y x y +-(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例. 计算：()()()()111124-+++a a a a例. 计算：()()57857822a b c a b c +---+例.（1）已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
(2) 已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
(3) 已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
(4) 已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
例：计算19992-2000×1998 例.已知13x x-=，求441x x +的值。
人教版八年级数学上册《乘法公式》
二、探求新知
通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？
整式的乘除与因式分解
乘法公式
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式 相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x－1)； (3) (3－x)(3+x) ；
大家谈收获
(a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积等于 这两个数的平方差。
平方差公式中字母 a、b可代表一个数、一 个单项式或多项式。
拓展探究
再谢 谢见!！
人教版 ·数学 ·八年级(上)
乘法公式
—完全平方公式
一、情景引入
请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每 当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他 们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个 孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这 些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起 去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这 些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果 总数哪个多？多多少？为什么？
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式优秀教学案例示例
（一）知识与技能
1.学生能够掌握完全平方公式、平方差公式的概念及推导过程。
2.学生能够运用乘法公式解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.学生了解乘法公式的应用范围，熟练运用公式进行计算和证明。
（二）过程与方法
1.引导学生通过观察、分析、归纳、推理等方法发现乘法公式的规律。
2.培养学生运用数学符号表示乘法公式，提高符号表达能力。
4.课堂练习：设计具有梯度的练习题，巩固乘法公式的运用。
5.总结提升：引导学生总结乘法公式的运用规律，提高解题能力。
6.课后作业：布置适量作业，巩固所学知识，提高应用能力。
五、教学评价
1.学生对乘法公式的掌握程度，包括公式记忆、理解与应用。
2.学生在解决问题时的创新能力，能否灵活运用乘法公式。
3.学生合作交流的能力，以及在团队协作中发挥的作用。
2.学生尝试解答：让学生独立思考，尝试运用已学知识解决问题。
3.教师引导：总结学生解答过程中存在的问题，引出本节课要学习的内容——乘法公式。
（二）讲授新知
1.介绍完全平方公式、平方差公式的概念及推导过程。
2.举例说明：通过具体例题，展示乘法公式的应用。
3.公式总结：引导学生总结乘法公式的特点，明确其适用范围。
3.学生合作交流的能力，以及在团队协作中发挥的作用。
五、教学反思
本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。同时，关注学生的个体差异，针对不同学生制定合适的辅导措施，确保每一位学生都能在数学学习中取得进步。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设生活情境：以商场打折促销为背景，引导学生关注乘法公式在实际问题中的应用。如：某商品原价为200元，现进行8折优惠，求优惠后的价格。
人教版八年级上册1.乘法公式课件
15. 已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，试 判断△ABC的形状.
16. 利用乘法公式进行简便运算： ①20042； ②999.82； ③(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
9. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A．(−2b−5)(2b−5) B．(b2+2x2)(2x2−b2) C．(−1− 4a)(1− 4a) D．(−m2n+2)(m2n−2)
10. 若x2-y2=100， x+y= -25，则x-y的值是（ ） A.5 B. 4 C. -4 D. 以上都不对
观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么 规律？
平方差公式
(a+b)(a－ b)=a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b)
证明
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼
5. 用简便方法计算： 503×497=_______；1.02×0.98=______
6. 计算： （1）(3a-2b)(9a+6b) （2）(2y-1)(4y2+1)(2y+1)
7. 已知a2-b2=8，a+b=4，求a、b的值
8. 下列计算正确的是（ ） A．( 2a+b)( 2a−b) = 2a2−b2 B．(0.3x+0.2)(0.3x−0.2) = 0.9x2−0.4 C．(a2+3b3)(3b3−a2) = a4−9b6 D．( 3a−bc)(−bc− 3a) = − 9a2+b 2c2
八年级数学人教版上册14.2.乘法公式平方差公式优秀教学案例
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握平方差公式，我将在课堂上创设与学生生活息息相关的问题情境。例如，可以设计这样一个问题：小明和小华进行跳远比赛，小明的起跳点距离比小华多1米，他们的跳远成绩分别为a米和b米，你能用数学公式表示出两人成绩差的两倍吗？通过这样的问题，让学生感受到数学知识在实际生活中的应用，激发他们学习的兴趣。
2.平方差公式的结构特点：教师引导学生总结平方差公式的结构特点，即“相同项的平方减去相反项的平方”。
3.应用平方差公式进行因式分解：教师通过例题，演示如何运用平方差公式进行因式分解，并强调注意事项。
（三）学生小组讨论
1.教师给出讨论题目：请同学们运用平方差公式，尝试解决以下问题：（1）x^2 - 9；（2）16 - y^2；（3）a^2 - 4b^2。
2.学生尝试解答，教师引导：我们可以通过列出算式来表示这个问题，即2(a - b)。接下来，我们看看如何运用平方差公式来简化这个算式。
（二）讲授新知
1.平方差公式的推导：教师引导学生观察以下算式：
(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2
通过观察，学生发现：两个二项式相乘，其中一项相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方。
（四）反思与评价
1.课堂小结：在课堂结束前，我会引导学生进行课堂小结，总结平方差公式的知识点、推导过程和应用技巧，巩固所学内容。
2.学生自评：鼓励学生对自己的学习过程进行评价，反思自己在学习平方差公式过程中的优点和不足，为今后的学习制定合理的目标。
3.同伴互评：组织学生进行同伴互评，让他们在互相评价中学习他人的优点，发现自身的不足，提高自我认知能力。
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前面是“－”号，括到括号的各项都要改变符号
1.下列变形正确的有（ ）个。
① a+b-c+a=(b+c)
②a-b+c=a-(b+c) ③a+b+c=a-(-b-c) ④a-b-c=a-(b+c)
2、运用乘法公式计算。
（ ）（
思维拓展：
1、已知
求
的值。
2、已知
，求
的值。
3、已知 a+b=6,ab=-7 求下列各式的值。
知识点一：平方差公式
（
）
湖北省随州市随县新街镇洪霞
乘法公式
知识点二：完全平方公式 (2)
(4)
任何时候，行为习惯和心理品质都是大树的根，而学习成绩只是树叶、花果。只有根深，才能叶茂，才有果实。
湖北省随州市随县新街镇洪霞
知识点三：添括号（去括号）法则
添括号时，如果括号前面是“ +”号，括到括号的各项都不改变符号，如果括号
4、设求和源自的值任何时候，行为习惯和心理品质都是大树的根，而学习成绩只是树叶、花果。只有根深，才能叶茂，才有果实。
5、计算 6、计算
湖北省随州市随县新街镇洪霞
（
）
7、观察下面的规律：
（）
（
）
（）
（
）
（）
（
）
…… 写出第 n 行的式子，并证明你的结论。
任何时候，行为习惯和心理品质都是大树的根，而学习成绩只是树叶、花果。只有根深，才能叶茂，才有果实。