上海三角比的概念
上海高中数学教材目录表(2017.08.12)
上海市高中数学二期课改新教材目录表第一章集合和命题第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）一、集合三、对数1.1集合及其表示法1.2集合之间的关系 4.4 对数概念及其运算1.3集合的运算四、反函数二、四种命题的形式 4.5 反函数的概念1.4命题的形式及等价关系五、对数函数三、充分条件与必要条件 4.6 对数函数的图像与性质1.5充分条件，必要条件六、指数方程和对数方程1.6子集与推出关系 4.7 简单的指数方程第二章不等式 4.8 简单的对数方程2.1不等式的基本性质第五章三角比2.2一元二次不等式的解法一、任意角的三角比2.3其他不等式的解法 5.1 任意角及其度量2.4基本不等式及其应用 5.2 任意角的三角比第三章函数的基本性质二、三角恒等式3.1函数的概念 5.3 同角三角比的关系3.2函数关系的建立和诱导关系3.3函数的运算 5.4 两角和与差的余弦、3.4函数的基本性质正弦和正切第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） 5.5 二倍角与半角的正弦一、幂函数余弦和正切4.1幂函数的性质与图像三、解斜三角形二、指数函数4.2指数函数的性质与图像5.6 正弦定理、余弦定理4.3借助计算器观察函数递增的快慢和解斜三角形第六章三角函数一、三角函数的图像与性质6.1 正弦函数和余弦函数的图像和性质6.2 正切函数的图像和性质6.3 函数y=Asin(ώx+Φ)的图像和性质二、反三角函数与最简三角方程6.4 反三角函数6.5 最简三角方程第七章数列和数学归纳法第十一章坐标平面上的直线一、数列11.1 直线的方程7.1 数列11.2 直线的倾斜角和斜率7.2 等差数列11.3 两条直线的位置关系7.3 等比数列11.4 点到直线的距离二、数学归纳法第十二章圆锥曲线7.4 数学归纳法12.1 曲线和方程7.5 数学归纳法的应用12.2 圆的方程7.6 归纳---猜想---论证12.3 椭圆的标准方程三、数列的极限12.4 椭圆的性质7.7 数列的极限12.5 双曲线的标准方程7.8 无穷等比数列各项的和12.6 双曲线的性质第八章平面向量的坐标表示12.7 抛物线的标准方程8.1 向量的坐标表示及其运算12.8 抛物线的性质8.2 向量的数量积第十三章复数8.3 平面向量的分解定理13.1 复数的概念8.4 向量的应用13.2 复数的坐标表示第九章矩阵和行列式初步13.3 复数的加法与减法一、矩阵13.4 复数的乘法与除法9.1 矩阵的概念13.5 复数的平方根与立方根9.2 矩阵的运算13.6 实系数的一元二次方程二、行列式9.3 二阶行列式9.4 三阶行列式第十章算法初步10.1 算法的概念10.2 程序框图10.3 计算机语句和算法程序第十四章空间直线与平面第十七章概率论初步14.1 平面及其基本性质17.1 古典概率14.2 空间直线与直线的位置关系17.2 频率与概率14.3 空间直线与平面的位置关系第十八章基本统计方法14.4 空间平面与平面的位置关系18.1 总体和样本第十五章简单几何体18.2 抽样技术18.3 统计估计一、多面体18.4 实例分析15.1 多面体的概念18.5 概率统计实验15.2 多面体的直观图二、旋转体15.3 旋转体的概念三、几何体的表面积、体积和球面距离15.4 几何体的表面积15.5 几何体的体积15.6 球面距离第十六章排列组合与二项式定理16.1 计数原理Ⅰ----乘法原理16.2 排列16.3 计数原理Ⅱ-----加法原理16.4 组合16.5 二项式定理。
(word完整版)上海市中考初三数学知识点总结,推荐文档
上海市中考初三数学知识点王港中学各位亲爱的初三同学看过来，初三知识点早知道，老师整理了五个大类，二十八个知识点，整个初三的知识点如下所示：一、相似三角形（7个考点）考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：（1）理解相似形的概念；（2）掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小.考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算.注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用.考点3：相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义. 考点4：相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理（包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理）和性质，并能较好地应用.考点5：三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用.考点6：向量的有关概念考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算二、锐角三角比（2个考点）考点8：锐角三角比（锐角的正弦、余弦、正切、余切）的概念，30度、45度、60度角的三角比值.考点9：解直角三角形及其应用考核要求：（1）理解解直角三角形的意义；（2）会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形.三、二次函数（4个考点）考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：（1）通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念；（2）知道常值函数；（3）知道函数的表示方法，知道符号的意义.考点11：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：（1）掌握求函数解析式的方法；（2）在求函数解析式中熟练运用待定系数法.注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原.考点12：画二次函数的图像考核要求：(1)知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像；（2）理解二次函数的图像，体会数形结合思想；（3）会画二次函数的大致图像.考点13：二次函数的图像及其基本性质考核要求：（1）借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系；（2）会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质. 注意：（1）解题时要数形结合；（2）二次函数的平移要化成顶点式.四、圆的相关概念（6个考点）考点14：圆心角、弦、弦心距的概念考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断.考点15：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明.考点16：垂径定理及其推论垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一.考点17：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆的位置关系中，常需要分类讨论求解.考点18：正多边形的有关概念和基本性质考核要求：熟悉正多边形的有关概念（如半径、边心距、中心角、外角和），并能熟练地运用正多边形的基本性质进行推理和计算，在正多边形的计算中，常常利用正多边形的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形，将正多边形的计算问题转化为直角三角形的计算问题.考点19：画正三、四、六边形.考核要求：能用基本作图工具，正确作出正三、四、六边形.五、数据整理和概率统计（9个考点）考点20：确定事件和随机事件考核要求：（1）理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系；（2）能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件.考点21：事件发生的可能性大小，事件的概率考核要求：（1）知道各种事件发生的可能性大小不同，能判断一些随机事件发生的可能事件的大小并排出大小顺序；（2）知道概率的含义和表示符号，了解必然事件、不可能事件的概率和随机事件概率的取值范围；（3）理解随机事件发生的频率之间的区别和联系，会根据大数次试验所得频率估计事件的概率.注意：（1）在给可能性的大小排序前可先用“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等词语来表述事件发生的可能性的大小；（2）事件的概率是确定的常数，而概率是不确定的，可是近似值，与试验的次数的多少有关，只有当试验次数足够大时才能更精确.考点22：等可能试验中事件的概率问题及概率计算本考点的考核要求是（1）理解等可能试验的概念，会用等可能试验中事件概率计算公式来计算简单事件的概率；（2）会用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率，会用区域面积之比解决简单的概率问题；（3）形成对概率的初步认识，了解机会与风险、规则公平性与决策合理性等简单概率问题.在求解概率问题中要注意：（1）计算前要先确定是否为可能事件；（2）用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率过程中要将所有等可能情况考虑完整.考点23：数据整理与统计图表本考点考核要求是：（1）知道数据整理分析的意义，知道普查和抽样调查这两种收集数据的方法及其区别；（2）结合有关代数、几何的内容，掌握用折线图、扇形图、条形图等整理数据的方法，并能通过图表获取有关信息.考点24：统计的含义本考点的考核要求是：（1）知道统计的意义和一般研究过程；（2）认识个体、总体和样本的区别，了解样本估计总体的思想方法.考点25：平均数、加权平均数的概念和计算本考点的考核要是：（1）理解平均数、加权平均数的概念；（2）掌握平均数、加权平均数的计算公式.注意：在计算平均数、加权平均数时要防止数据漏抄、重抄、错抄等错误现象，提高运算准确率.考点26：中位数、众数、方差、标准差的概念和计算考核要求：（1）知道中位数、众数、方差、标准差的概念；（2）会求一组数据的中位数、众数、方差、标准差，并能用于解决简单的统计问题.注意：当一组数据中出现极值时，中位数比平均数更能反映这组数据的平均水平；（2）求中位数之前必须先将数据排序.考点27：频数、频率的意义，画频数分布直方图和频率分布直方图考核要求：（1）理解频数、频率的概念，掌握频数、频率和总量三者之间的关系式；（2）会画频数分布直方图和频率分布直方图，并能用于解决有关的实际问题.解题时要注意：频数、频率能反映每个对象出现的频繁程度，但也存在差别：在同一个问题中，频数反映的是对象出现频繁程度的绝对数据，所有频数之和是试验的总次数；频率反映的是对象频繁出现的相对数据，所有的频率之和是1.考点28：中位数、众数、方差、标准差、频数、频率的应用本考点的考核要是：（1）了解基本统计量（平均数、众数、中位数、方差、标准差、频数、频率）的意计算及其应用，并掌握其概念和计算方法；（2）正确理解样本数据的特征和数据的代表，能根据计算结果作出判断和预测；（3）能将多个图表结合起来，综合处理图表提供的数据，会利用各种统计量来进行推理和分析，研究解决有关的实际生活中问题，然后作出合理的解决.。
例析辅助角公式的推导、理解及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版(2020)必修第二册
【学生版】微专题：例析辅助角公式的推导、理解及其应用在现行的高中数学教材与高考试题中，大凡涉及“三角变换”、“研究三角函数性质”的试题，往往会化归为“将sin cos a b αα+)αϕ+的形式”问题，这就是与传统的“辅助角公式”相关；本文，欲结合教材与高考试题，就“辅助角公式”与教材的相关、公式的推导与理解以及公式的应用，举例加以说明。
一、“辅助角公式”与教材的相关在现行的高中数学教材中，“辅助角公式”通常是以：掌握与理解两角和、差的正弦、余弦公式并进行三角变换的“例题”形式出现；有些教材边上会注解：可以作为公式使用；现行上海高级中学教材 高一第二学期课本（试用本），第69页，则以“例题”形式出现： 例14 把下列各式化为sin()(0)A A αϕ+>的形式： （1）略；（2）略；（3）sin cos a b αα+（a 、b 都不为0）二、“辅助角公式”的推导与理解提及“辅助角公式”的推导，其本质是：以两角和、差的正弦、余弦公式为目标，结合了三角比的定义、有界性与同角三角比中的平方关系，整合了“已知三角比求角”。
现咱们不妨来体验一下： 方法1、 【分析】 【解析】 【说明】 方法2、 【分析】 【解析】 【说明】综上，“辅助角公式”就是将代数式“sin cos a b αα+”变换为“一个角的一个三角比”，即：（1）sin cos )a b αααϕ+=+；（2）sin cos )a b αααϕ+-；其中，辅助角ϕ的确定，结合以上推导，然后，整合“已知角ϕ的正弦、余弦三角比，求角ϕ”的问题，解之；当然，为了应试与借助以后的“反三角函数”，亦可等价解之；如：条件“cos ϕϕ==”等价为“由a 、b 的正负确定角ϕ终边上点(,)P a b 的象限，由tan ba ϕ=确定角ϕ的具体值”；同理，请同学们自己体验条件“cos ,sin ϕϕ==的等价。
三、“辅助角公式”的应用经历了以上对于“辅助角公式”的推导与理解，我们不难发现，在求含三角比的代数式的取值范围、最值；研究与探究实三角函数的定义域、值域、最值、周期性、单调性与图像的对称性时；“辅助角公式”往往会整合同角三角比关系式、三角比的和、差、倍角、半角公式等，先进行三角变换，为进一步研究做好准备；也可以这样说，学生在应试三角题时，出现“错误”或“失误”，就是“辅助角公式”没化好。
初中数学“锐角三角比”的常见应用及教学策略浅析
初中数学“锐角三角比”的常见应用及教学策略浅析作者：徐金来源：《数学学习与研究》2019年第09期【摘要】近几年上海中考数学试卷中动态几何问题出现比重越来越大，并且在动态几何问题中出现一种新题型，即在图形的变换过程中，探究图形中某些不变因素，它把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起.笔者通过对上海2007—2016年共10年中考数学试卷统计发现，锐角三角比在应用题、等腰三角形、二次函数、圆中出现的次数分别为5次、5次、10次、6次，并通过分析中考题中锐角三角比在上述四方面的应用，与读者一同探索未来上海中考出题的动向和策略.【关键词】锐角三角比;等腰三角形;二次函数;圆;动态几何学一、初中数学“锐角三角比”的意义和要求锐角三角比是初中数学课程内容“图形与几何”部分的一个重要的内容.它对初中课程中的直角三角形、相似三角形、解直角三角形以及高中课程中三角函数有着承上启下的作用.锐角三角比则是直角三角形中的边角关系的研究.对于三角形中的边角关系，学生并不是初次接触，七年级时学生学习了“三角形中大边对大角”这样的边角关系的定性表达，而锐角三角比就是在特殊的三角形（直角三角形）中对于边角关系的定量研究.在相似三角形中，主要是横向研究两个三角形对应边的比的不变性.在锐角三角比中，主要从定量方面研究在形状确定的前提下，一个直角三角形中任意两边的比的不变性.这样的研究线索更加清晰地体现了角度和边之间的相互变化关系，引入锐角三角比后，能够清晰体现出直角三角形中的边和角之间的相互依赖关系，有了这种关系，就能解决生活实际中的许多问题，如测量物体的高、测量两点的距离、有关斜坡的计算、工程设计中的计算，等等.《义务教育数学课程标准（2016年版）》（以下简称《课标》）中指出：1.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.2.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值.3.由已知三角函数值求它的对应锐角.4.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.由《课标》可见，初中数学中对锐角三角比的应用还是比较简单的，只要求对特殊三角比熟记，会利用锐角三角函数解直角三角形或者是特殊的等腰三角形和四边形.而在高中数学中对三角函数的学习将会拓展很多，从锐角发展到任意角，从简单的三角函数的定义拓展到两个角之间的和、差、积、商的三角函数的一系列公式，从直角三角形中锐角三角比的定义拓展到一般三角形中的正弦定理、余弦定理，从初中的简单三角比运算拓展到圆锥方程、空间向量的计算及在其他一些复杂题中的求解或证明或在综合问题上的运用.可以说锐角三角比是相似三角形的一种应用的延伸，学生如果能够熟练掌握锐角三角比，对拓展思路和解题速度是个很大的提高，也是对即将进入高中学习三角函数的铺垫，重要性不言而喻.二、初中数学“锐角三角比”的四种常见应用（一）十年上海中考“锐角三角比”的考点分析从统计表中可以发现，上海2007—2016年中考中，锐角三角比主要出现在等腰三角形、函数、圆、生活中的应用等题型中，其中四种题型中出现的次数分别为5次、10次、6次、5次，并且总分呈递增趋势，2016年达到峰值.下文，笔者就从这四方面通过例题浅谈利用锐角三角比解题过程中在思路和计算方面的一些巧用.（二）锐角三角比在上海中考中的四种常见类型1.圆中的锐角三角比此题是以圆为背景，综合考查相似三角形、锐角三角比、两圆的位置关系、方程思想、函数思想、转化思想等数学知识与数学思想，综合性较强.比较以上两种方法，方法一學生比较容易想到，但是计算量比较大，在中考特殊的环境中，增加计算错误的风险，耗时耗力.而方法二通过观察特殊的三角比，得到第三边的比，迅速解一元一次方程，快速简洁，甚是很妙的方法.初三数学一线教师，应多从题型中发现联系，多讲解此种题型，让学生切身体会两种方法的优劣，这样往往可以起到事半功倍的效果.2.函数中的锐角三角比本题是2008年上海中考题，该题是以平面直角坐标系、二次函数为平台，考查了坐标几何、锐角三角比、代数方程、数形结合法、分类讨论等知识.解题的巧妙之处在于利用点C的坐标点迅速求出角C的锐角三角比，利用比例式迅速求出两种情况下点D的坐标，思路简洁，过程明晰.如果学生选用一次方程和图中的二次方程联立求解，计算烦琐，很容易算错.笔者发现上海近10年中考中，函数题主要是二次函数试题出现了10次，基本上可以作为固定试题，学生在解这类题是比较容易想到代数方法，在这点上任课教师就应多探索多总结规律，帮助学生多用几何方法，尤其是三角比去解题.笔者相信，只要典型例题重点分析，学生会热爱这种方法，同时对学生解答最后一道压轴题起到映射作用.3.中考应用题中的锐角三角比某地下车库出口处“两段式栏杆”如图4所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点.当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图5所示，其示意图如图6所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）.（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.）本题是上海2013年中考题，从实际生活中来源的一道很好的中考题，该题虽然综合性不强，但学生对“实际问题”心存恐惧，加之通过实际问题迅速转为数学问题，迅速作出相应的辅助线，构造直角三角形，合理利用相应三角比时学生还是存在一定困难，或是由于代错数据，导致出现一些错误.要想顺利、巧妙解决这类题型，教师首先要了解学生，根据学生的实际情况引导他们逐步分析，积累经验.这一过程教师不可操之过急，一定要留给学生独立思考的时间，看清楚，想明白了，就可以正确解题.在上课时，根据学生的情况，教师多抽查学生是否熟悉四种锐角三角比公式，只要多练习该种题型还是比较容易解答出来的.4.等腰三角形中的锐角三角比通过统计发现近10中考中解等腰三角形题出现了6次，并且在平时的一模和二模考中也经常出现，是要求学生必须掌握的一种题型.这是上海闸北区2016年一模题，考查学生图形变换，分类讨论的能力，有一定难度，该题图形背景是结合梯形、三角形出的一种题，考查了图形变换、相似三角形、代数方程、分类讨论思想、转化思想，一道很好的综合题，对学生要求较高.此题就是巧妙运用锐角三角比计算，迅速得到答案.在中考中，利用相似三角形、图形运动、三角比问题是越来越常见.这也是近几年上海中考压轴题的一种趋势，关键是掌握等腰三角形三种情况，巧妙利用等腰三角形底角或顶角三角比解题.解决这类问题时，教师一定要专题专讲，多思考出题为何要出这种题，由果索因，多从题型深层次出发，切忌题海战术，应总结规律，强化学生，多想想还有其他方法吗，拓展学生的思路，这样多加训练，学生定会收益良多.以上是笔者通过四道模考和中考题，对上海中考数学中出现的锐角三角比问题的探讨.同时，笔者从教学实践中认识到，对于简单综合题，大多数学生来讲往往训练有素，教师平时的讲解也比较详尽，因此学生在解题时比较得心应手.而对于复杂综合题，学生乃至教师感到最为棘手：一方面学生由于自身解题能力有限，从而在解题时往往捉襟见肘，同时许多学生对复杂综合题还存在着畏难情绪.就教师本身而言，因自身教学方法的匮乏而感觉学生在学习过程中不得要领，最终也只能以“题海”战术来强化学生“理解”，希望所谓“熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟”的效果出现.正因为如此，所以师生共战“题海”现象在复习阶段特别明显.尽管教师以一些“经典”的，有层次、有坡度、大题量的练习方式增强了综合题的覆盖面并对学生解答综合题有一定的强化与促进作用，但学生在这种“地毯式”的轰炸下，常常疲于奔命，头昏脑涨，处于一知半解的状态，只会机械模仿.只有“举一”之功，而无“反三”之力.因此，难以提高学生的应变能力.所以，笔者认为与时俱进地对现有教学知识点归纳总结与大胆突破是提高教学效率、解决教学瓶颈的最有效方法.而优化并整合学生已经熟练掌握的简单综合题解题技巧，另辟蹊径地归纳和提升简单综合题的解法，比如在解答函数题时多用锐角三角比解题，不但能使学生经历和体验数学知识的创造和发展的过程，更可以有效地提高学生解复杂综合题的能力.这也是笔者写这篇文章的动力和初衷.（二）上海数学中考“锐角三角比”的特点分析三、初中数学“锐角三角比”教学策略浅析（一）重视基础知识的理解、基本技能的训练、基本方法的掌握的教学虽然，近两年的数学中考一直在变，试题的新颖性、灵活性越来越强，但是近几年来中考命题事实已明确告诉我们：基础知识、基本技能、基本方法始终是中考数学试题考查的重点.（二）重视对数学思想的理解及运用的教学数学能力是学好数学的根本，主要表现为数学的思想方法.初中数学中最常见的思想方法有：分类、化归、数形结合、猜想与归纳等.其中，数形结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想等几乎是历年中考试卷（包括外省市中考试题）考查的重点，必须引起足够的重视.1.分类讨论思想：当面临的问题不宜用统一方法处理时，就得把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把结论汇总，得出问题的答案.这种解决问题的方法就是分类讨论的思维方法.2.“化归”是转化和归结的简称.我们在处理和解决数学问题时，总的指导思想是把未知问题转化为能够解决的问题，这就是化归思想.3.数形结合思想：本题考查用数形结合的思想，第3小问中，利用BC∥PD，得到tan∠OPC=tan∠OBC=23，利用几何方法迅速得到t的值，华罗庚老先生也说：数无形时少直觉，形少数时难入微.在数学解题中由数思形，以形促数可以开辟多角度、多层次的解题思维途径.从题目本身看，是“数”和“形”两个方面，从学生能力角度看，则是要考查学生的运算能力和空间想象能力，而其中的锐角三角比往往起到“柳暗花明又一村”的效果.近几年上海市中考，对数学思想方法的考查常常会出现几种思想方法的综合运用，上两题其实也不是单纯地考一种数学思想方法，而考查几种思想方法的综合运用，其中最典型的题型是压轴题.此题起点不高，但要求较全面.是一道数与形、代数计算与几何证明、相似三角形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理與函数、圆和三角比相结合的综合性试题.同时，考查了初中数学中最重要的数学思想：数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想.本题融入了动态几何的变和不变，对给定的图形（或其一部分）施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系.其特点是：注重考查学生的猜想、探索能力;解题灵活多变，能够考查学生分析问题和解决问题的能力，有一定难度，但上手还是容易的.本题有三问，相当于三个台阶，这种恰当的铺垫给了考生较宽的入口，有利于考生正常水平的发挥.而通过层层设问，拾级而上，逐步深入，能够使一部分优秀学生数学水平得到体现.因此，在今后的数学教育教学中，化归思想、方程与函数思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想的教学要重视要加强，而不是削弱.（三）在冲刺阶段教师更要重视学生情意因素的影响学生的学习需要全部心理活动的积极参与，而其中更需要情感、意志、求知欲、动机等情意因素的参加.这些情意因素构成个体从事学习的动力系统，驱动学生进行积极的学习活动.在上述的情意因素中，动机在情意系统中居于核心地位，它是个体学习动力的主要来源，又是把各种动力因素联系在一起的纽带，直接影响学生的学习行为.中考模拟考一结束，学生正处于学习疲劳阶段，而又马上要投入最后的冲刺阶段，因此教师要注重教学艺术，能调动学生最广泛的情意因素，使学生形成最强大的学习动力，直击中考.同时，初三教师在授课过程中，关注学生已有的经验和兴趣爱好、个性特长等发展特点.创设适合学生的问题情境，帮助学生在学习过程中体验、感悟、建构并丰富学习经验，实现知识传承、能力发展、积极情感形成的统一.教师不要搞题海战术，力争做到：做一题，通一类，会一片.总之，教学有法，但无定法，复习也如此，不管采取何法，必须以培养学生的分析能力、思维能力、自学能力为目的，同时在复习中要注意规范训练，严格按照中考要求答题，按标准格式答题，纠正答题过程中的不良习惯，对于试卷的错误要认真分析，找出错误的原因和解决的办法，只要方法得当，循序渐进就能提高复习质量，达到事半功倍的效果.【参考文献】[1]陈秀禄.浅析中学数学中的分类讨论思想方法[J].科学咨询（教育科研），2009（4）：66.[2]杜先云，任秋道.分类讨论法与穷举法[J].绵阳师范学院学报，2017（2）：35.[3]陈月兰.中日三角比内容比较——以上海教育出版社和数研出版社出版的教科书为例[J].数学教育学报，2013（3）：57-62.[4]梁宗巨.数学历史典故[M].台湾：九章出版社，1995.[5]史宁中，马云鹏，刘晓枚.义务教育数学课程标准修订过程与主要内容[J].课程·教材·教法，2012（3）：50-56.[6]杨静.浅谈提高数学课堂教学有效性的途径[J].中国科教创新导刊，2010（6）：74.。
沪教版九年级数学思维导图
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载沪教版九年级数学思维导图地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第二十四章相似三角形（上册）思维导图1、中考分值15分左右，中考常见题型为填空题，综合题。
【考纲要求】（1）掌握比例的性质，了解黄金分割的意义。
（2）理解两条线段的比和比例线段的概念。
（3）掌握平行线分线段成比例定理；掌握三角形一边的平行线的判定方法。
（4）理解相似三角形的概念，掌握判定两个三角形相似的基本方法（5）掌握两个相似三角形的周长比、面积比以及对应的角平分线比、对应的中线比、对应的高的比的性质。
（6）会用相似三角形的判定和性质解决简单的几何问题和实际问题。
（7）知道三角形的中心及其性质。
2、重点和难点重点是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质难点是运用平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质解决有关的问题。
3、相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化，学好相似三角形的知识，为今后进一步学习三角函数及与固有关的比例线段等知识打下良好的基础。
相似三角形是初中数学中的重点也是难点，中考24题（压轴）中常结合函数四边形等知识点考察。
建议课时6次。
第二十五章锐角三角比（上册）思维导图1、中考分值12~16分，常考题型填空题和综合题（21或22题）【考纲要求】（1）理解锐角三角比的概念。
（2）会求特殊锐角（30°、45°、60°）的三角比的值。
（3）会用计算器求锐角的三角比的值；能根据锐角三角比的值，利用计算器求锐角的大小。
（4）会解直角三角形。
（5）理解仰角、俯角、坡度、坡角等概念，并能解决有关的实际问题。
上海中考数学试卷分析
C.相交
D.内含
第二部分 【概况】
填空题（12×4 分=48 分）
中考填空题共 12 题，从 2008 年课改后，为 7~18 题，期中 7~17 为基础题，18 为较难 题目。 【知识点分布】
填空题知识点
圆 四边形
三角形
相交线平行线 平面向量 概率统计 函数 代数方程 不等式 代数运算
【高频知识点】
2、旋转 （2015 上海）已知在△ABC 中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°．将△ABC 绕点 A 旋转，使点 B 落在原△ABC 的点 C 处， 此时点 C 落在点 D 处．延长线段 AD，交原 △ABC 的边 BC 的延长线 于点 E，那么线段 DE 的长等于___________．
第三部分 解答题(4×10 分+2×12 分+1×14 分=78 分) 【概况】 解答题一共 7 题，为 19~25 题，期中 19~23 为基础题目，难度不大。24、25 为稍难题 目，对知识的综合性要求较高。 第 19 题（1×10 分=10 分） 此题为解答题中第一题，属于基础题范畴，考点单一，综合性不强，主要考察代数计算 知识点的基本计算能力。 【知识点分布】
19题各知识点出现频次分布
代数计算
实数计算
【考纲链接】
一、实数 （1）理解开方及方根的意义，知道无理数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应关系。 （2）理解实数概念，掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算规则，会正确进行实 数的性质。 二、二次根式 （1）理解二次根式的概念，会根据二次根式中被开方数应满足的条件，判断或确定所含字 母的取值范围。 （2）掌握二次根式的性质，会利用性质化简二次根式 （3）理解最简二次根式、同类二次根式、分母有理化的意义，会将二次根式化为最简二次 根式，会判别二次根式，会进行分母有理化。
数学：53《同角三角比关系与诱导公式》教案(2)(沪教高一)
5.3（2）同角三角比的关系与诱导公式上海市杨浦高级中学 江海涛一、教案目标设计1．掌握诱导公式的推导方法和记忆方法；2．会运用这些公式求解任意角的三角比的值，会由三角比的值，求特殊角，并会化简单的三角比的关系式；3．通过公式的探求与应用培养思维的严密性. 三、教案重点及难点 重点：诱导公式难点：诱导公式的灵活应用 四、教案流程设计五、教案过程设计一、 复习引入 1．公式一：ααπsin )2sin(=+k ααπcos )2cos(=+k ααπtan )2tan(=+k复习公式一引入运用化归思想由公式三导出公式 四根据三角比的定义 和单位圆公式二、三例题分析，运用诱导公式求值、化简及给值求角课堂练习课堂小结， 布置作业ααπcot )2cot(=+k （其中α∈k ）用角度可写成：ααsin )360sin(=+︒⋅kααcos )360cos(=+︒⋅k ααtan )360tan(=+︒⋅kααcot )360cot(=+⋅ k （其中Z ∈k ）2 ．讨论公式一的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式一的形式，然后得出结果.这组公式可以统一概括为)Z )(()2(∈=+k f f απαk 的形式，上述一组公式叫做任意角三角比的第一组诱导公式，其特征是：等号两边是同名三角比，且符号都为正.说明]运用公式时，注意“弧度”与“角度”两种度量制不要混用，如写成︒=+︒80sin )280sin(πk ，3cos)3603cos(ππ=︒⋅+k 是不对的．二、学习新课 1．公式推导公式二：αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-）它说明角-α与角α的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若角α的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为P ´(x ，-y)（如图1）．由正弦、余弦三角比的定义，即可得sin α=y ， cos α=x, sin(-α)=-y, cos(-α)=x,所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α 由三角比的商数关系，得：ααααααtan cos sin )cos()sin()tan(-=-=--=-即 ααtan tan(-=-）类似可得ααcot )cot(-=-αα- xyP(x,y)P ’(x ，-y)OM这组公式叫任意角三角比的第二组诱导公式 练习：求3π-的正弦、余弦、正切和余切的值.[说明]公式二也可以由特殊到一般，既从特殊三角比的计算，猜测出公式，再证明.公式三：用角度可表示如下：ααπ-sin sin(=+）αα-sin 180sin(=+︒） ααπ-cos cos(=+）αα-cos 180cos(=+︒） ααπtan tan(=+）ααtan 180tan(=+︒）ααπcot )cot(=+ααsin )180cot(=+它刻画了角180º+α与角α的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角α终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角α的正弦值（或余弦值）是一对相反数．这是因为若设α的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则角α终边的反向延长线，即180º+α角的终边与单位圆的交点必为P ´(-x ，-y)（如图2）．由正弦、余弦三角比的定义，即可得sin α=y ，cos α=x, sin(180º+α)=-y,cos(180º+α)=-x,所以 :sin(180º+α)=-sin α，cos(180º+α)=-cos α．[说明]公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦、余弦比的定义．根据点P 的坐标准确地确定点P ´的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．直观的对称形象为我们准确写出P ´的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性.练习：求下列三角比的值： （1）210cos ；(2)45sinπ分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180º+α或（π+α），α为锐角即可．解：（1）cos210º=cos(180º+30º)=－cos30º=－23； （2）sin 45π=sin(4ππ+)=－sin 4π=－22.公式四：把第三组公式中的α换成α-，得第四组诱导公式：MP(x,y)yM’α + 180αx P’(-x ，-y)Oααπsin sin(=-）ααsin 180sin(=-︒） ααπ-cos cos(=-）αα-cos 180cos(=-︒） ααπtan tan(-=-）ααtan 180tan(-=-︒）ααπcot )cot(-=-ααcot )180cot(-=-[说明]这组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出，体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想.公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的.四组诱导公式可概括为：k ·360º+α（k ∈Z ），-α，180º±α，360º-α的三角比值，等于α的同名三角比的值，前面加上一个把α看成锐角时原三角比的符号.[说明]这里的“同名三角比值”是指等号两边的三角比名称相同；“把α看成锐角”是指α原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个……符号”是指α的同名三角比值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角α视为锐角情况下的原三角比的符号.应注意讲清这句话中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角α看成锐角．建议通过实例分析说明.练习：求下列各式的值：（1）sin(－34π)；(2)cos(－60º)－sin(－210º) 分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．解：（1）sin(－34π)=－sin(3ππ+)=sin 3π=23； （2）原式=cos60º+sin(180º+30º)=cos60º－sin30º=21－21=0 2．例题分析例1：利用诱导公式，求下列各三角比： （1）326sinπ； （2）)413tan(π-例2化简：)3cot()sin()tan()cot()2cos(απαππααπαπ----+-例3根据条件，求角x ：（1） 已知)2,0[,21sin π∈=x x ； （2）已知),[,33tan ππ-∈=x x . [说明]由三角比求特殊角的问题，是个“反”问题，对学生是个难点问题，教师可先缩小范围，如考虑在[0，2π]上，求角，再考虑[0,2)π等. 三、巩固练习 P49 练习 5.3(2) 四、课堂小结通过本节课的教案，我们获得了诱导公式.值得注意的是公式右端符号的确定.在运用诱导公式进行三角比的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想.通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性.五、作业布置习题5.3 A 组:1。
锐角的三角比的意义
25.1（2）锐角的三角比的意义上海市青云中学 黄正一、教学内容分析使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实；逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力. 二、教学目标设计1、知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值都不变；2、了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系，正切与正弦、余弦的关系.三、教学重点及难点理解余弦、正切的概念；熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.四、教学用具准备教具、学具、多媒体设备（宋体四号） 五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入1.观察(1)在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB .(2) Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比.2.思考通过上面的计算，你能得到什么结论？引入新课巩固练习回家作业新课讲授课堂小结B ’B CC ’[说明] 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21.3．讨论由上面的观察，我们可以得到什么结论？二、学习新课1．概念辨析如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠DC`A =90o ，∠A=α，那么BABC与AB C B '''有什么关系?结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比是一个固定值. 如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c.在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦.记作sinA.板书：sinA ＝ca=∠∠的斜边的对边A A ；在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余弦.记作cosA.板书：cosA ＝cb=∠∠的斜边的邻边A A ；2．例题分析例题 1（1）如图, 在中，,,,求sinB ，cosB 的值.解：在中 22BC AB AC -=∵AB=6， BC=3 ∴AC=36-=3 sinB=2163==AB AC =22； cosB=222163===AB BC . （2）在Rt △ABC 中, ∠C=90°,BC=6,sinA=53,求cosA 和tanB 的值. 解:, .又, .例题2. 在直角坐标平面中有一点P （3，4）.求OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切、正弦、和余弦的值.123 1 2 34 XY PQ解：过点P 向x 轴引垂线，垂足为点Q ，则 ∠OPQ=900.由点P 的坐标为（3，4）得OQ=3,QP=4. 在Rt ⊿OPQ 中，OP=.5432222=+=+PQ OQ ∴tan α=34=OQ PQ , sin α=54=OP PQ cos α=53=OP OQ .3.问题拓展1.从定义可以看出sin A 与cosA 有什么关系？sin B 与cos A 呢？满足这种关系的A ∠与B ∠又是什么关系呢？利用定义及勾股定理你还能发现sin A 与cos A 的关系吗？再试试看tan A 与sin A 和cos A 存在特殊关系吗？（1）若90A B ∠+∠=,那么sin A =cos B 或sin B =cos A ; （2）22sin cos 1A A +=; （3）sin tan cos AA A=. 三、巩固练习1.在中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（） A ．B ．C ．D ．2. 在中，∠C ＝90°，如果那么的值为（）A．B．C．D．3、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sin＝_____________.四、课堂小结1、使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系．2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系五、作业布置练习25.1（2）七、教学设计说明通过复习，用类比的方法让学生发现这样一个事实：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边（邻边）与斜边的比是一个固定值.在练习中带领学生主动发现总结规律，得出同一个锐角正弦与余弦之间的关系、正切与正弦、余弦的关系.在巩固练习中，加深对问题的理解.。
上海初中数学目录(沪教版)
4。2弧长
第二节 圆和扇形的面积
4。3圆的面积
4。4扇形的面积
六年级第二学期
第五章 有理数
第一节 有理数
5.1有理数的意义
5。2数轴
5。3绝对值
第二节 有理数的运算
5.4有理数的加法
5。5有理数的减法
5。6有理数的乘法
5.7有理数的除法
5.8有理数的乘方
5。9有理数的混合运算
5。10科学计算法
13.3同位角、内错角、同旁内角
第二节平行线
13.4平行线的判定
13.5平行线的性质
第十四章三角形
第一节三角形的有关概念与性质
14.1三角形的有关概念
14.2三角形的内角和
第二节全等三角形
14.3全等三角形的概念与性质
14.4全等三角形的判定
第三节等腰三角形
14.5等腰三角形的性质
14.6等腰三角形的判定
10三角与路径问题九年级第一学期第二十四章相似三角形第一节相似形241放缩与相似形第二节比例线段242比例线段243三角形一边的平行线第三节相似三角形244相似三角形的判定245相似三角形的性质第四节平面向量的线性运算246实数与向量相乘247平面向量的分解第二十五章锐角的三角比第一节锐角的三角比251锐角的三角比的意义252求锐角的三角比的值第二节解直角三角形253解直角三角形254解直角三角形的应用第二十六章二次函数第一节二次函数的概念261二次函数的概念第二节二次函数的图像262特殊二次函数的图像263二次函数的图像九年级第二学期第二十七章圆和正多边形第一节圆的基本性质271圆的确定272圆心角弧弦弦心距之间的关系第二节直线与圆圆与圆的位置关系274直线与圆的位置关系275圆与圆的位置关系第三节正多边形与圆276正多边形与圆第二十八章统计初步第一节统计的含义281数据的整理与表示282统计的意义第二节基本的统计量283表示一组数据平均水平的量284表示一组数据波动程度的量285表示一组数据分布的量286统计实习5
上海中考数学考试大纲
上海市初中数学学科教学基本要求第一单元数与运算一、数的整除1．内容要目数的整除性、奇数和偶数、因数和倍数、素数和合数，公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数、分解素因数；能被2和5整除的正整数的特征.2．基本要求（1）知道数的整除性、奇数和偶数、素数和合数、因数和倍数、公倍数和公因素等的意义;知道能被2、5整除的正整数的特征。
（2)会用短除法分解素因数；会求两个正整数的最大公因素和最小公倍数。
3．重点和难点重点是会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。
难点是求两个正整数的最小公倍数。
4．知识结构二、实数1．内容要目实数的概念，实数的运算。
近似计算以及科学记数法.2．基本要求（1)理解开方及方根的意义,知道无理数的概念，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
（2）理解实数概念,掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算的法制,会正确进行实数的运算。
(3）会用计算器进行实数的运算，初步掌握估算、近似计算的基本方法和科学记数法。
3．重点和难点重点是理解实数概念，会正确进行实数的运算。
难点是认识实数与数轴上的点的一一对应关系。
4．知识结构第二单元 方程与代数一、整式与分式 1．内容要目 代数式,整式的加减法,同底数幂的乘法和除法,幂的乘方，积的乘方. 单项式的乘法和除法，单项式与多项式的乘法,多项式除以单项式，多项式的乘法。
乘法公式：22222()();()2a b a b a b a b a ab b +-=-±=±+因式分解：提取公因式法,公式法，十字相乘法,分组分解法。
分式,分式的基本性质，约分，最简分式，通分，分式的乘除法，分式的加减法，整数的指数幂，整数指数幂的运算。
2．基本要求(1)理解用字母表示数的意义；理解代数式的有关概念。
（2）通过列代数式，掌握文字语言与数学式子的表述之间的转换，领悟字母“代"数的数学思想；会求代数式的值。
（3）掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则，掌握平方差公式、两数和（差）的平方公式。