电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤曹伟)第3章习题解答

第3章习题解答 3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度： (1)2,,xyzAxBxC； (2),,xyzAxyz； (3)2,,sinzABz； (4)2,,sincosrAr。 解：已知空间的电位分布，由Err和20/可以分别计算出电场强度和体电荷密度。 (1) 2xEeAxBrrr 0202A (2) xyzEAeyzexzexyrrrrr 020 (3) (2sin)coszEeABzeAeBrrrr

20004sinsin3sinBzBzAAA





(4) 2sincoscoscossinrEeAreAreArrrrrr

200

cos2coscos6sincossinsinAAA



3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为0S的面电荷。试求球心处的电位。 解：上顶面在球心产生的电位为 22001111100()()22SSdRdRd

下顶面在球心产生的电位为 22002222200()()22SSdRdRd

侧面在球心产生的电位为 0030014π4πSSS

S

RR







式中212124π2π()2π()2π()SRRRdRRdRdd。因此球心总电位为 01230SR

3.6有02和05的两种介质分别分布在0z和0z的半无限大空间。已知0z时，201050xyzEeeerrrr

V/m。试求0z时的Dr。

解：由电场切向分量连续的边界条件可得

1t2tEE 000520510xyzDD

代入电场法向方向分量满足的边界条件可得

1n2nDD 050zzD 于是有

0001005050xyzzDeeerrrr

3.9 如题3.9图所示，有一厚度为2d的无限大平面层，其中充满了密度为0

π

cosxxd的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层

之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。 解：由对称性可知0yz，即222222222ddxyzx。设各区域中的电位和电场强度分别为1，2，3和1E，2E，3E。由电位所满足的微分方程

201

2

dπcosdx

xd







222d0dx 232d0dx

解得 01

1

dπsindπdx

Cxd



22ddCx 33ddCx

201112

πcosπdxCxDd



222CxD 333CxD

由于理想介质分界面没有面电荷，所以边界条件为 dx时 12 120ddddxx

dx时 13 310ddddxx

又根据对称性可知，在0x的平面上，电场强度是为零的，即0x时，1d0dx。最后再选择零电位参考点使得0x时，100。联立解得 0321CCC 2012πdD 202322πdDD。

只要利用ddxEexrrr就可以得到 dx时， 20322πd 33d0dxEexrr

dxd时 2200122πcosππdxdd 011dπsindπxxdxEeexdrrr

dx时， 20222πd 22d0dxEexrr

 选择不同的零电位参考点，得到的电位不同，但电场强度仍是相同的。  根据对称性只需求出0x的解，即1

和23。

3.10 位于0x和xd处的两个无限大导电平面间充满了01xd的体电荷。若将0x处的导电平板接地，而将xd处的导电平板加上电压0U。试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。 解：由于无限大导体极板之间电荷分布是只与x有关，忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x有关，且满足一维泊松方程 2020

d(1)dxxd



其通解为 3200

12

00

()62xxxCxCd

由(0)0  02C 而由0()dU  000132ddUC 因此板间电位分布为 320000

000

2()623Udxxxxdd



板间电场强度为

20000

000

2()23xUdEexxdd



rrr

从该式可以求出电场强度为零的位置为 20000022

0000000

000

0

24()23224 1()23UdddUdbbacxddaddd



由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为 )32(2100000ddUdddx

3.11 如题3.11图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质1和2。当两极板之间外加电压0U时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。 解：对于图a：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x有关，均满足一维拉普拉斯方程。且由介质分界面的边界条件可知，两种介质中的电位分布是相同的，其通解为 CxD 根据已知条件00x和02xdU，解得0D和

02UCd

，即平板电容器中的电位分布为

02Uxd



根据Err，可以得到平板电容器中的电场分布为 0d

d2xxUEeexd



rrrr

对0x平板上nxeerr，面电荷密度分别为 01

nn02 2 2S

UySdeDeEUySd







rrrr上

下 总电量为 00

12120222UUSQSSUddd



电容器的电容为 1202QSCUd

 对于图b：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x有关，均满足一维拉普拉斯方程。两种介质中的电位分布的通解可以分别设为

111CxD 和 222CxD

根据已知条件100x和202xdU，以及分界面处的边界条件12xdxd和12xdxdxx可以解得 20112Uxd 和 2020

12

UxdUd





根据Err，可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为 0121112ddxxUEeexdrrrr 和 021

2212ddxx

UEeexd



rrrr

对0x平板上nxeerr，面电荷密度为 012

nn112 Sx

UeDeEed



rrrrr

总电量为 1201222SSQSUd 电容器的电容为 120122QSCUd 3.12 已知在半径为a的无限长圆柱形体内均匀分布着电荷密度为0的体电荷。圆柱体内外的介电常数分别为和0。若取圆柱体的表面为零电位的参考面，试利用直接积分法求出圆柱体内外的电位和电场强度。 解：取定圆柱坐标系，使z轴与圆柱体的中心轴线相重合，由电位和电场的对称性可知与和z无关。圆柱体内外的电位1和2分别满足

01d1ddd 和 02

0

d1d

dd









它们的通解可以分别表示式为 20

111ln4CD

和 222lnCD

由轴线上的电位应为有限值可得10C。而由圆柱体的表面电位为零可得 20

104aD

和 22ln0CaD

即 2014Da 和 22lnDCa 于是有 22014a 和 22lnCa

代入圆柱体表面电位的法向导数的边界条件120rararr得到0202aCa，即20202aC。最后得到圆柱体内外的电位分别为 220

14

a 和 2020ln2aa

而圆柱体内外的电场强度分别为 01

11

0

dd2Eee

rrrr

和 202220dd2aEeerrrr