高数二重积分习题解答,DOC
大学高数第四章5节_二重积分
b Axdx
b
[
2(x)
f x, ydy]dx
a
a 1(x)
D
注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算;
注意： 驻点 不一定是极值点 极值点不一定都是驻点 (不一定可导)
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
6
又
f
' x
(x0
,
y0
)
0
,
令 fxx(x0, y0 ) A ，
f yy(x0, y0) C ，
f
' y
( x0 ,
a
a
二重积分： f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D
61
定积分性质：
若M max f (x),m min f (x)，
x[ a ,b ]
x[ a ,b ]
则m(b a)
b
f (x)dx M (b a).
a
性质６
设M 、m 分别是 f ( x, y) 在闭区域 D 上的 最大值和最小值， 为 D 的面积，则
y 2(x)
D
y 1( x)
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
a
b
［X－型］ X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区
域边界的交点不多于两个； b、 1(x) 2 (x). c、平 行于y轴的直线穿过区域时，穿入、穿出曲线是唯一的。
66
（2）Y-型域： c y d, 1( y) x 2(y).
y0 )
0，
fxy(x0, y0) B ，
高等数学二重积分
2、二 重 积 分 的 几 何 意 义 是 f ( x, y)d 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.
先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，
用狡计去害友人的人，自己将陷于危险埋伏之中。 D
因当为无漫 事长时的，旅应途该中像，有实事在那_难样_以谨_完慎_全，_避当_免有_崎事_岖时_和，_坎应_坷像_。无_事_时_那_样_镇_静_。________________.
在直角坐标系下用平 y 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，
则面积元素为 d dxdy
o
故二重积分可写为
D
x
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
D
D
D
D
性质５ 若在D上 f ( x, y) g( x, y),
则有 f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
特殊地 f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D
性质６ 设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的
最大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M
1
(0 b a).
解 区域 D 的面积 ab , 在D上 0 x2 y2 a2, 1 e0 ex2 y2 ea2 ,
由性质 6 知 e d ( x2 y2 ) ea2 ,
D
ab e d ( x2 y2 ) abea2 .
D
例 2 估计I
d
的值，
D x2 y2 2 xy 16
二重积分计算习题
o
x
2
习题解答 习 题8-2 P289 4题(4)-----作业题
2
2 x x2
(3) dx
f ( x, y)dy
1
2 x
解 积分区域为 D : 1 x 2,2 x y 2x x2
或2
y
0 y1 x 1
1
y2
如图所示
y
故
2
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
1
2 x
1
1 1 y2
dy
f ( x, y)dx.
0 2 y
(1,1) D
2x
习题解答 习题8-2 P289 4题(5)
e
ln x
(4) 1 dx0 f ( x, y)dy
解 积分区域为 D : 1 x e,0 y ln x.
如右图所示：
y2
]
11dx
1 (2x2
1
2)dx 3
[2 3
x3
2 3
x]
1 1
8 3
习题解答 习题8-2 P288 1题(4)
(2) x cos( x y)d ,其中D是顶点分别为(0,0),( ,0)
D
和( , )的三角形闭区域.
y
解 积分区域下图所示
x cos( x y)d
y
y(
x
2
y2
x)dx
2
o
x
2 x3 [ 03
y2x
x2 ]
2
y y
dy
2 19 (
高数 【下】二重积分------习题课 南邮内部资料
y=y(x)
1 2π 3 = ∫ a (1 − cos t )3 ⋅ a(1 − cos t )dt 3 0 32 4 π 8 t a4 2π 4 8 t = ∫ 2 sin dt = a ∫0 sin udu(u = ) 3 2 3 0 2
20
∫ 1 π = ∫ 3
0
0 2 a
∫
0
y3 ( x)dx
1 1 y2 − 2
y2 − 2
应先积x
I = ∫ dy∫ 2 e
0 y
dx
O
y2 1 − 2 0 )e
2 0
1
y2 − 2
dy = ∫ e
− y 2 1 0
2
dy + ∫ y ⋅ de
y 2
2
1
=∫ e
0
1 −
y 2
2
0
dy + ye
−∫ e
0
1 −
dy = ye
在D2外部f(x,y)>0 外部 >
I3<I1<I2（也可用“≤”）。
12
2 例 设f (x, y)是有界闭域D : x + y ≤ a 上的 , 连续函数 则求极限lim 1 2 ∫∫ f (x, y)dxdy 。 a→0 π a D 解 利用积分中值定理 1 1 f ( x, y)dxdy = 2 ⋅ f (ξ ,η)σ 2 ∫∫ πa πa D 1 = 2 ⋅ f (ξ ,η)πa2 = f (ξ ,η) ((ξ ,η) ∈ D) πa 1 ∴lim 2 ∫∫ f ( x, y)dxdy= lim f (ξ ,η) = f (0,0) a→0 a→0 π a D
25
x y ∴∫∫ ( 2 + 2 )dσ a b D
高数基础-二重积分
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二重积分(习题)
v1.0可编写可改正第九章二重积分习题 9-11、设I1( x2y 2 ) 3 d,D1此中D1{( x, y) | 1 x1, 2y2} ;又 I 2( x2y2 )3 d ,D2此中 D 2{( x, y) | 0 x1,0y2} ,试利用二重积分的几何意义说明I1与 I2之间的关系 .解：因为二重积分I1表示的立体对于坐标面x 0 及y0对称 , 且I1位于第一卦限部分与 I 2一致,所以 I 14I 2.2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域 D 关于 y 轴对称, f (x, y) 为 x的奇函数 , 即f (x, y) f (x, y)时,有 f (x, y)d0 ;D(2)当积分区域 D 关于 y 轴对称, f (x, y) 为 x的偶函数 , 即f ( x, y) f ( x, y) 时,有 f ( x, y)d2 f (x, y)d, 其中D1为D在D D1v1.0 可编写可改正x0 的部分.并由此计算以下积分的值,此中D {(,) |x2y2 2 }. x y R(I)4d; (II)y222;(III)y3 cosx2 d. xy R x y dD 1 x2yD D解：令 I f ( x, y)d,I1 f ( x, y)d, 此中D1为D在x0 的部分,D D1(1)因为 D 对于 y 轴对称, f (x, y) 为 x 的奇函数,那么I表示的立体对于坐标面于是x 0 对称,且在 x 0 的部分的体积为I1,在x0 的部分的体积为I1, I 0 ;(2)因为 D 对于 y 轴对称, f (x, y)为x的偶函数,那么 I 表示的立体对于坐标面 x 0 对称,且在 x 0 的部分的体积为I1,在x0 的部分的体积也为I1,于是 I2I1.(I)因为D{( x, y) | x2y2R2 } 对于y轴对称,且 f ( x, y)xy 4为 x 的奇函数 ,于是xy4 d0 ;D(II)由于 D {( x, y) | x2y 2R2 } 关于x 轴对称 ,且f ( x, y) y R2x2y 2为 y 的奇函数,于是y R 2x2y 2 d0 ;D(III)由于D{( x, y) | x2y2R2 } 关于x轴对称, 且f ( x, y)y3 cosx y3 cosxd0 .x2y2为 y 的奇函数,于是2y21D 1 x3、依据二重积分的性质, 比较以下积分的大小:(1) I1( x y)2 d与I2( x y)3 d, 此中D是由x轴、y轴与直线D Dx y 1所围成;解：因为在 D内 , 0 x y 1 ,有 0 ( x y)3( x y) 2, 所以I 2( x y) 3 d( x y) 2 d I 1.D D(2) I1ln( x y)d与I2[ln( x y)] 2 d,D D此中 D {( x, y) | 3 x 5,0 y1} .解：因为在 D 内,e 3 x y 6 ,有 ln( x y) 1, ln( x y) [ln( x y)] 2,所以I 1ln( x y)d[ln( x y)] 2 d I 2.D D4、利用二重积分的性质预计以下二重积分的值：(1) I xy(x y1)d,D此中 D{( x, y) | 0x1,0 y2} ；解：因为 D 的面积为 2 ,且在 D内 , 0 xy( x y 1) 8 ,那么0 0 2xy( x y 1)d8 2 16 .D(2) I( x2 4 y29)d,D此中 D{( x, y) | x2y24} ；解：因为 D 的面积为 4 ,且在 D 内,9 x2 4 y 29 13 3 y225 ,那么369 4( x2 4 y29)d25 4 100 .D(3) I d,cos2x cos2D 100y此中 D{( x, y) | | x || y | 10} ；解：因为 D 的面积为200 ,且在 D 内,111 102 100 cos2 x cos2y , 那么100100＝ 200d200 2 .51102D 100cos2 x cos2 y100习题 9-21、计算以下二重积分：(1)( x2y2 )d, 此中D是矩形地区 :| x | 1,| y | 1 ；D解：y2 )d dx ( x 2y 2 )dy 2 (x 21)dx8 .(x2111D11133(2)xye x2y2d, 此中D{( x, y) | a x b, c y d} ；D解：22b d x 2y2 1 d2c2b x2dx .(x y )d dx( xye)dy(e e)xeDa c2a1b2e a2 d 2e c 2(e)(e) .4(3)(3x 2 y)d, 此中D是由两坐标轴及直线x y2所围成的闭地区；D解：(3x2y)d dx(3x2y)dy(42x2x2)dx20.2 2 x2D0003(4)xcos(x y)d ,此中 D 是极点分别为( 0,0),(,0) 和 ( ,) 的三角形D闭地区 .xcos(x y)d xxcos(x y)dy x(sin2x sinx)dx 3 .解：dxD00022、画出积分地区 , 并计算以下二重积分：(1)x yd, 此中D是由两条抛物线y x , y x2所围成的闭地区；D1x2 17 6解：44x yddxx2x ydy3 0 (xx )dx 55 .D(2)y d, 此中 D 是由直线 yx, y 2 x 及 x 1, x 2 所围成的闭地区；Dx解：y d2 dx2 xDx1xy32xdx9xdy.214(3)(2x y) d , 此中 D 是由 yx, y1及 y 2 所围成的闭地区；Dx12 )dy解：(2xy)ddy 1 (2x y)dx(2y 2 119 .2 y 2D1y1y6(4)e x y d , 此中 D 是由 | x | | y |1 所确立的闭地区 .Ddxx 1 1dx x 1解：e x y de x y dy0 e x y dyD1x 1x 1e 1)dx(e e2 x 1)dx e 3e 1e 1 .0 (e 2x 1112 2e 2 2eea:=0..1;b:=x-1..-x+1;f:=exp(x+y);int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a);simplify(");3、假如二重积分f2 ( y)的乘D {( x, y) | a 即f ( x, y)dD证明：f (x, y) dDb df ( x, y)d的被积函数 f ( x, y) 是两个函数f1 (x) 及D积,即 f ( x, y) f1 (x) f 2 ( y),积分区域x b, c y d} ,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,b df1 ( x)dx f 2 ( y)dy.a cb d b ddx f ( x, y)dx dx f1 ( x) f 2 ( y)dya c a cb df1 (x)f2 ( y)dy dx f1 (x)dx f 2 ( y) dy .a c a c4、化二重积分I f ( x, y)d 为二次积分(分别列出对两个变量先后序次D不一样的两个二次积分), 此中积分地区D是：(1) 由曲线y ln x 、直线x 2及 x 轴所围成的闭地区；图形 >plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..,color=1);2ln x ln 22解： Idx f ( x, y) dy dye yf ( x, y) dx .100(2) 由y轴及右半圆xa2y 2所围成的闭地区；图形 >plot([(1-x^2)^(1/2), -1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1, color=1);a a2x22 f ( x, y)dy a a 2 y2解： Idxa 2xdy f (x, y)dx .0a0(3) 由抛物线y x2与直线 2x y 3所围成的闭地区.图形 > plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1);1y3 y 9解： I dy f ( x, y)dx dy2 f ( x, y)dx .0y1y5、更换以下二次积分的积分次序：1 (1)dy解： I1 (2)dy1yf ( x, y)dx ；y1x0 dx x2 f ( x, y)dy .ee yf ( x, y) dx ；e ln x解： I dx f (x, y) dy .101 1 y 2(3)dy f ( x, y)dx ；0 2 y解： I2 dx2 x x 21 f (x, y) dy .2 x1x 2f ( x, y)dy2 2 x (4)dx dxf ( x, y) dy ；11 2 y 解： Idyf (x, y) dx .ysin x(5)0 dxsin x2f ( x, y)dy ；图形>plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]],x=0..Pi,color=1);dyf ( x, y)dx1 arcsin y解： I2 arcsin y dyf ( x, y)dx .1arcsin y2a 2 ax22 x (6)dx 2 ax x 2f ( x, y) dy1dx 0f ( x, y) dy .图形> plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]],x=0..2,color=1);a aa 2y 2a2 a解： I0 dy y 2f (x, y) dxdya2 2f ( x, y) dx2aa y2a 2aady y 2 f ( x, y)dx .2 a6、设平面薄片所占的闭地区D 由直线 x y2, y x 和 x 轴所围成 , 它的面密度(x, y)x 2 y 2 , 求该改薄片的质量 .图形 > plot([2-x,x], x=0..2,y=0..1,color=1);解： m( x, y)d1dy2 x y 2 )dx0 y(x 2D184 y4 y 28 y 34(3) dy.337、求由平面 x 0, y0, z 1, x y 1 及 z 1 x y 所围成的立体的体积 .图形 > with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x):display({A,B,F,G,H},grid=[25,20], axes= BOXED , scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR);解： V[(1 x1dx 1 x y) dy 1121y) 1] d(x(1x) dx.D002038、为修筑高速公路, 要在一山坡中辟出一条长500m ,宽20m的通道 , 据丈量 ,以出发点一侧为原点, 往另一侧方向为x 轴(0x20), 往公路延长方向为y 轴( 0y 500 ),且山坡高度为z10 sin y sin x ,试计算所需50020挖掉的土方量.图形 > plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);解： V zd 20500(10 sin y sin x)dy70028(m3 ) . 0dxD0500209、画出积分地区 , 把积分I f ( x, y)d表示为极坐标形式的二次积分, 其D中积分地区 D 是：(1)D {(,) |x2y2a2,x0}(a0)；x y图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)], x=0..1,color=1);解： I2daf ( r cos, r sin)rdr . 02(2)D {(,) |x2y22} x y y；图形 > plot([1+(1-x^2)^(1/2),1-(1-x^2)^(1/2)],x=-1..1,color=1);解： x2y 2 2 y r 22r sin r 2 sin, 于是I d 2 sin f ( r cos, r sin)rdr .(3)D{( , ) | a 2x 2 y 2b 2 }, 此中 0 ab ；x y图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);解： I2 bf ( r cos , r sin)rdr .da(4)D{( , ) | 0x 1,0y x 2 }.x y图形 > plot([x^2,[[1,0],[1,1]]], x=0..1,color=1);解： yx 2r sinr 2 cos 2r sectan ,x 1 r cos 1r sec , 于是I4 dsec f ( r cos , r sin )rdr .sec tan10、化以下二次积分为极坐标形式的二次积分：11(1)dx f ( x, y)dy ；图形 > plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1);解： x 1 r cos 1 r sec y 1r sin1rcsc,, 于是Isec f (r cos , r sin )rdr2dcsc 4 df (r cos , r sin ) rdr .41 1 x 2x2y 2)dy ；(2) dx1 x f ( 0图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1);解： y1 xr sin1 r cos r1 , 于是sincosI1f (r )rdr .2 d 1cossin11、把以下积分为极坐标形式, 并计算积分值：2a 2 ax x 2( x 2y2)dy ；(1)dx图形 > plot((2*x-x^2)^(1/2), x=0..2,color=1);解： y 2ax x 2r sin 2ar cosr 2 cos 2r 2a cos ,于是 I2d2a cosr 3 dr 4a 4 2 cos 4 3 a 4.413x1dy ；(2)dxx 2y 2x图形 > plot([3^(1/2)*x,x], x=0..1,color=1);解： x1r cos 1r sec , 于是I3 dsec 3sec dln23 .0 dr44123 adx3 xx2y 2dya a 2x 2x2y2dy .(3)233 dxa2图形 > plot([3^(1/2)*x/3, (1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..,color=1);解： x1 r cos 1 r sec , 于是v1.0 可编写可改正a2dra 3a 3.I 6 d6 dr3 01812、利用极坐标计算以下各题：(1)R 2x 2y 2 d , 此中 D 为圆域 x 2y 2 Rx ( R 0 ) ；D图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： x 2y 2 Rxr 2Rr cos r R cos , 于是Id Rcos R2 r2 rdr1 3(42 0 R) .233(2)ln(1 x2y 2) d , 此中 D 为圆 x2y21及坐标轴所围成的在第一D象限内的闭地区；图形 > plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);解： I2d1r2) rdr (2 ln 2 1) .ln(1 40 0(3)arctan yd, 其 中 D 为 圆 周 x 2y 2 1 , x 2y 24 及 直 线Dxy 0, y x 所围成的在第一象限内的闭地区.图形>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1);v1.0 可编写可改正解： I2rdr3 4d3 2 .4 d12 06413、选择适合的坐标计算以下各题：(1)x 2, 此中 D 是直线 x2, yx 及曲线 xy1所围成的闭地区；y 2dD图形 > plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1);解： I2 xx 2 2 (x 3x) dx91dx 12 dy1.xy4(2)sin x 2y 2 d, 此中 D 是圆环形地区2x 2y 242 ；D图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);解： I2 d2r sin rdr62 .(3)(x 2y 2 )d , 此中 D 是由直线 yx, yx a, ya, y 3a ( a 0 )D所围成的闭地区；图形>plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1);3 ay (x2y 2)dx3aa 2y a 314a 4.解： I)dx adya (2ay2y a3v1.0 可编写可改正(4)|1 x 2y 2 | d , 此中 D 为圆域 x 2 y 24 .D图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);2 d1 2 21)rdr9 5 .解： I(1 r 2)rdrd( r 212214 、计算以xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭地区为底, 而以曲面z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积 .图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： x 2y 2axr 2ar cosra cos , 于是( x2y 2)da cos 3dra 4cos 43 a 4. Vdd2r2D2423215、某水池呈圆形 , 半径为 5 米 , 以中心为坐标原点 , 距中心距离为 r 处的水深5米 , 试求该水池的蓄水量 . 为1 r 2图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： V255rdr 5 (ln 2ln 13)16.29 ( 米 3).d21 r16、议论并计算以下广义二重积分：d, 此中 D{( x, y) | xy 1, x 1} ；(1)Dx p y q1q 1 11p q 01解： Idx 1dy1 dx.py q 1 q 1 x pq1xx(1 q)(q p)v1.0可编写可改正即当 p q 1 时,广义二重积分收敛, 且I1.1)( p( q q)(2)d, 此中D{(,) |x2y21}；(x2y2 ) p x yD21 2 p 1 1解： I d dr.01r2 p 1p1即当 p1时 , 广义二重积分收敛, 且Ip. 1。
数学分析21.2直角坐标系下二重积分的计算(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 2直角坐标系下二重积分的计算定理21.8：设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积,且对每个x ∈[a,b], 积分⎰dc dy y x f ),(存在，则累次积分⎰⎰dc ba dy y x f dx ),(也存在，且⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰dc b ady y x f dx ),(.证：令F(x)=⎰dc dy y x f ),(, 分别对区间[a,b]与[c,d]作分割： a=x 0<x 1<…<x r =b, c=y 0<y 1<…<y s =d, 按这些分点作两组直线x=x i (i=1,2,…,r-1), y=y j (j=1,2,…,s-1), 它们把矩形D 分为rs 个小矩形, 记△ij 为小矩形[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ] (i=1,2,…,r; j=1,2,…,s)； 设f(x,y)在△ij 上的上确界和下确界分别为M ij 和m ij .在区间[x i-1,x i ] 中任取一点ξi , 于是有m ij △y j ≤⎰-jj y y i dy y f 1),(ξ≤M ij △y j ,其中△y j =y j -y j-1. ∴j sj ij y m ∆∑=1≤F(ξi )=⎰dc i dy y f ),(ξ≤j sj ij y M ∆∑=1,∑∑==∆∆r i i j sj ijx y m11≤∑=∆r i i i x F 1)(ξ≤∑∑==∆∆r i i j sj ij x y M 11, 其中△x i =x i -x i-1.记△ij 的对角线长度为d ij 及T =ji ,max d ij , 由于二重积分存在，由定理21.4，当T →0时，∑∆∆ki i j ij x y m ,和∑∆∆ki i j ij x y M ,有相同的极限，且极限值等于⎰⎰Dd y x f σ),(，∴∑=→∆ri i i T x F 1)(lim ξ=⎰⎰Dd y x f σ),(. 又当T →0时，必有i ri x ∆≤≤1max →0, 由定积分定义得∑=→∆ri i i T x F 1)(limξ=⎰b adx x F )(=⎰⎰d cb ady y x f dx ),(，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰dcb a dy y x f dx ),(.定理21.9：设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积,且对每个y ∈[c,d],积分⎰badxyxf),(存在，则累次积分⎰⎰b adcdxyxfdy),(也存在，且⎰⎰Ddyxfσ),(=⎰⎰b adcdxyxfdy),(.注：特别地，当f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上连续时，有⎰⎰Ddyxfσ),(=⎰⎰d cbadyyxfdx),(=⎰⎰b adcdxyxfdy),(.例1：计算⎰⎰Ddxdyxyy)sin(, 其中D=[0,π]×[0,1].解：⎰⎰Ddxdyxyy)sin(=⎰⎰π01)sin(dxxyydy=⎰-1)]cos(1[dyyπ=1.注：对一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行.称平面点集D={(x,y)|y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b}为x型区域(如图1)称平面点集D={(x,y)|x1(y)≤x≤x2(y),c≤y≤d}为y型区域(如图2)如图3，区域D可分解成三个区域，I, III为x型区域，II为y型区域.定理21.10：若f(x,y)在x型区域D上连续，y1(x), y2(x)在[a,b]上连续，则⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x f dx .即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分.证：∵y 1(x), y 2(x)在[a,b]上连续，∴存在R=[a,b]×[c,d]⊃D(如上图1)， 记定义在R 上的函数F(x,y)=⎩⎨⎧∉∈D y x ，Dy x ，y x f ),(0),(),(, 则F 在R 上可积，且⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰Rd y x F σ),(=⎰⎰dcbadyy x F dx ),(=⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x F dx =⎰⎰)()(21),(x y x y ba dy y x f dx .注：同理可证f(x,y)在y 型区域D 上连续，x 1(y), x 2(y)在[c,d]上连续， 则⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰)()(21),(y x y x dc dx y x f dy .例2：设D 是直线x=0,y=1及y=x 围成的区域(如图)， 试计算：I=⎰⎰-Dy d e x σ22的值.解：∵D={(x,y)|0≤x ≤y,0≤y ≤1}， ∴I=⎰⎰-Dy d ex σ22=⎰⎰-yy dx e x dy 02102=⎰-103231dy e y y =e3161-.注：若取D={(x,y)|x ≤y ≤1,0≤x ≤1}，则I=⎰⎰-12102x y dy e x dx =⎰⎰-11022x y dy e dx x ，∵2y e -的原函数无法用初等函数形式表示，∴无法直接求积.例3：计算二重积分⎰⎰Dd σ, 其中D 为由直线y=2x, x=2y 及x+y=3所围的三角形区域(如图).解：(如图)D 1={(x,y)|2x ≤y ≤2x,0≤x ≤1}， D 2={(x,y)|2x ≤y ≤3-x,1≤x ≤2}， ∴⎰⎰1D d σ=⎰⎰xx dy dx 2210=⎰1023xdx =43; ⎰⎰2D d σ=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-21233xdx =493-. ⎰⎰Dd σ=⎰⎰1D d σ+⎰⎰2D d σ=23.例4：求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V. 解：设圆柱底面半径为a, 两个圆柱底面方程为 x 2+y 2=a 2与x 2+z 2=a 2.第一封限部分的立体是曲顶柱体， 以z=22x a -为曲顶，以四分之一圆域D={(x,y)|0≤y ≤22x a -,0≤x ≤a}为底. ∴V=8⎰⎰-Dd x a σ22=8⎰⎰--220220x a ady x a dx =8⎰-adx x a 022=3316a .习题1、设f(x,y)在区域D 上连续，试将二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(化为不同顺序的累次积分：(1)D 是由不等式y ≤x, y ≥a,x ≤b(0<a<b)所确定的区域； (2)D 是由不等式x 2+y 2≤1, x+y ≥1所确定的区域； (3)D 是由不等式y ≤x, y ≥0,x 2+y 2≤1所确定的区域；(4)D={(x,y)||x|+|y|≤1}.解：如图，(1)⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰xa ba dy y x f dx ),(=⎰⎰by b a dx y x f dy ),(.(2)⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰--21110),(x xdy y x f dx =⎰⎰--2111),(y ydx y x f dy .(3)⎰⎰D d y x f σ),(=⎰⎰xdy y x f dx 0220),(+⎰⎰-210122),(x dy y x f dx =⎰⎰-21220),(y ydx y x f dy .(4)⎰⎰Dd y x f σ),(=4⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(=4⎰⎰-ydx y x f dy 1010),(.2、在下列积分中改变累次积分的顺序： (1)⎰⎰x x dy y x f dx 220),(；(2)⎰⎰----221111),(x x dy y x f dx ；(3)⎰⎰-axx ax ady y x f dx 22202),(；(4)⎰⎰2010),(x dy y x f dx +⎰⎰-)3(3131),(x dy y x f dx.解：如图，(1)⎰⎰xx dy y x f dx 220),(=⎰⎰y y dx y x f dy 220),(+⎰⎰2242),(y dx y x f dy .(2)⎰⎰----221111),(x x dy y x f dx =⎰⎰----221101),(y y dx y x f dy +⎰⎰---yydx y x f dy 1110),(.(3)⎰⎰-axx ax a dyy x f dx 22202),(=⎰⎰--22220),(y a a ayadx y x f dy +⎰⎰-+ay a a adx y x f dy 2022),(+⎰⎰aay a adx y x f dy 2222),(.(4)⎰⎰2010),(x dy y x f dx +⎰⎰-)3(3131),(x dy y x f dx =⎰⎰-y ydx y x f dy 2310),(.3、计算下列二重积分：(1)⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由抛物线y 2=2px 与直线x=2p(p>0)所围成的区域；(2)⎰⎰+Dd y x σ)(22，其中D={(x,y)|0≤x ≤1, x ≤y ≤x 2}；(3)⎰⎰-Dxa d 2σ(a>0)，其中D 为图中阴影部分；(4)⎰⎰Dd x σ，其中D={(x,y)|x 2+y 2≤x}.(5)⎰⎰Dd xy σ||，其中D=为圆域x 2+y 2≤a 2.解：(1)方法一：⎰⎰Dd xy σ2=⎰⎰-pxpx p dy y xdx 22220=⎰2025324pdx x p p =215p .方法二：⎰⎰Dd xy σ2=⎰⎰-2222p py pp xdx dy y =⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p p dy p y p y 242281=215p . (2)⎰⎰+Dd y x σ)(22=⎰⎰+xxdy y x dx 22210)(=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10232537dx x x =105128. (3)⎰⎰-Dxa d 2σ=⎰⎰----22)(002a x a a axa dy dx =⎰----ax a a x a a 0222)(=233822a ⎪⎭⎫⎝⎛-.(4)⎰⎰Dd x σ=⎰⎰---2210x x x x dy x dx =2⎰-11dx x x =158.(5)方法一：⎰⎰Dd xy σ||=⎰⎰adr r d 032cos sin 4θθθπ=⎰204cos sin πθθθd a=24a .方法二：⎰⎰Dd xy σ||=⎰⎰-22004x a aydy xdx =⎰-adx x a 0222)(=24a.4、求由坐标平面及x=2, y=3, x+y+z=4所围的角柱体的体积. 解：如图，V=⎰⎰--Dd y x σ)4(=⎰⎰--2020)4(dx y x dy +⎰⎰---ydx y x dy 4032)4(=⎰-20)26(dy y +⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---32222)4(816dy y y y=12-4+16-20-67+319=-591.5、设f(x)在[a,b]上连续，证明不等式2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x f ≤(b-a)⎰b a dx x f )(2， 其中等号仅在f(x)为常量函数时成立.证：2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x f =⎰⎰⋅b a b a dy y f dx x f )()(=⎰⎰D dxdy y f x f )()(≤⎰⎰+Ddxdy y f x f )]()([2122=⎰⎰⋅b a b a dx x f dy )(2=(b-a)⎰b a dx x f )(2.其中D={(x,y)|a ≤x ≤b, a ≤y ≤b}.若等号成立，则对任何(x,y)∈D ，有f 2(x)+f 2(y)=2f(x)f(y)，即 [f(x)-f(y)]2=0，∴f(x)=f(y)，即f(x)为常数函数.6、设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为l x 和l y ，D 的面积为S D ，(α,β)为D 内任一点，证明：(1)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤l x l y S D ; (2)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤41l x 2l y 2.证：设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为[a,b]和[c,d]，则 l x =b-a, l y =d-c ，且|x-α|≤l x , |y-β|≤l y.(1)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤⎰⎰--D d y x σβα||||≤l x l y ⎰⎰Dd σ≤l x l y S D .(2)⎰⎰--Dd y x σβα))((≤⎰⎰-⋅-dc ba dy y dx x ||||βα.令x l a x -=t (0≤t ≤1), 记ρ=xl l(α-a) (0≤ρ≤1). |x-α|=|x-a+a-α|=|l x t-l x ρ|=l x |t-ρ|.⎰-b adx x ||α=l x ⎰-badx t ||ρ=l x2⎰-1||dtt ρ=l x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎰⎰ρρρρ1)()(dt t dt t= l x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)1(21ρρ.∵0≤ρ≤1, ∴ρ(1-ρ)≥0，∴⎰-ba dx x ||α≤21l x 2. 同理可证，⎰-dc dy y ||β≤21l y 2. ∴⎰⎰--Dd y x σβα))((≤41l x 2l y 2.7、设D=[0,1]×[0,1]，f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧+中非有理点为当中有理点为当D y x ，D y x ，q q yx ),(0),(11， 其中q x 表示有理数x 化成既约分数后的分母.证明：f(x,y)在D 上的二重积分存在而两个累次积分不存在.证：∀ε>0, 只有有限个点使f(x,y)>2ε, ∴存在分割T ，使得S(T)-s(T)<ε, ∴二重积分存在且等于0.当y 取无理数时，f(x,y)≡0，∴⎰10),(dx y x f =0; 而当y 取有理数时，在x 为无理数处f(x,y)=0, 在x 为有理数处f(x,y)=y x q q 11+, 故函数f 在任何区间上振幅总大于yq 1, 即函数f(x,y)在x ∈[0,1]上关于x 的积分不存在.∴不存在先x 后y 的累次积分. 同理可证先y 后x 的累次积分不存在.8、设D=[0,1]×[0,1]，f(x,y)=⎩⎨⎧=中其他点时为当时且中有理点为当D y x ，q q ，D y x ，y x ),(0),(1，其中q x 表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明：f(x,y)在D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在.证：在正方形的任何部分内， f 的振幅等于1，∴二重积分不存在. 对固定的y ，若y 为无理数，则f 恒为0，若y 为有理数，则 函数仅有有限个异于0的值，因此⎰10),(dx y x f =0, ∴累次积分存在且⎰⎰110),(dx y x f dy =0，同理可证累次积分⎰⎰110),(dy y x f dx =0.。
二重积分(习题)
ploｔ(［ln(x),0,[［２,0］,［2,lｎ(2)]］］,x=0、、２,ｙ＝0、。0、８,coloｒ=１);
解:、
(2)由轴及右半圆所围成得闭区域;
图形>
plot(［(1－x^2)^(1/2),－1＊(1－x^2)^(1/2)],x=0。、1,ｃｏloｒ=1);
解:、
(3)由抛物线与直线所围成得闭区域.
解:,于就是
.
１1、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值:
(1);
图形>ｐloｔ((2*ｘ-x^2)^(1/2), x＝0。。2,color=1);
解:,
于就是、
(2);
图形>plot([3^(１／2)*x,x］, x＝0、、1,coｌor=1);
解:,于就是
.
(3)、
图形＞plot(［３^(１/2)＊x/3,(1－x^2)＾(１/２)],x=0。、1,y=0、、0。5,color＝１);
并由此计算下列积分得值,其中.
(Ｉ); (ＩI); (III).
解:令,,其中为在得部分,
(1)由于关于轴对称,为得奇函数,那么表示得立体关于坐标面对称,且在得部分得体积为,在得部分得体积为,于就是;
(2)由于关于轴对称,为得偶函数,那么表示得立体关于坐标面对称,且在得部分得体积为,在得部分得体积也为,于就是。
(1),
其中;
解:由于得面积为,且在内,,那么
。
(2),
其中;
解:由于得面积为,且在内,
,那么
.
(３),
其中;
解:由于得面积为,且在内,
,那么
.
习题９-2
1、计算下列二重积分:
(１),其中就是矩形区域:;
二重积分练习题Word版
二重积分自测题 （一）选择题1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域， 记：⎰⎰σ+=Dd y x I )ln(1，⎰⎰σ+=Dd y x I)(ln 22，则（ ）A ．21I I <B ．21I I >C ．122I I =D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分⎰⎰=σDyd （ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 3．设积分区域D 由2x y =和2+=x y 围成，则=σ⎰⎰Dd y x f ),(（ ）A ．⎰⎰-+2122),(x xdy y x f dx B ．⎰⎰-212),(dy y x f dxC ．⎰⎰-+1222),(x xdy y x f dx D ．⎰⎰+122),(x xdy y x f dx4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分⎰⎰=42),(xxdy y x f dx （ ）A ．⎰⎰40412),(yy dx y x f dy B ．⎰⎰-40412),(y ydx y x f dyC ．⎰⎰441),(ydx y x f dy D ．⎰⎰4212),(y y dx y x f dy5．累次积分⎰⎰=-222xy dy e dx （ ）A ．)1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(312--e 6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若⎰⎰σ+=D d y x I 2211，⎰⎰σ+=Dd y x I )(222， ⎰⎰σ+=Dd y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（ ）A ．321I I I <<B ．231I I I <<C ．132I I I <<D ．123I I I <<7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则=⎰⎰Dxyxydxdy xe sin cos （ ） A ．0 B ．e C ．2 D ．2-e8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且⎰⎰=11)()(xdx x xf dx x f ，则⎰⎰=Ddxdy x f )(（ ）A ．2B ．0C ．21D ．1 9．若⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=+011010101)()(21),(),(),(xxy x y x dx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx ，则（ ）A ．1)(1-=y y x ，0)(2=y xB ．1)(1-=y y x ，y y x -=1)(2C ．y y x -=1)(1，1)(2-=y y xD ．0)(1=y x ，1)(2-=y y x（二）填空题1．设D 是由直线x y =,x y 21=,2=y 所围成的区域，则⎰⎰=Ddxdy ． 2．已知D 是由b x a ≤≤，10≤≤y 所围成的区域，且⎰⎰=Ddxdy x yf 1)(，则⎰=badx x f )( ．3．若D 是由1=+y x 和两坐标轴围成的区域，且⎰⎰⎰ϕ=Ddx x dxdy x f 1)()(，那么=ϕ)(x ．4．交换积分次序：⎰⎰-+=2122),(y ydx y x f dy ．5．设D 由1422≤+y x 确定，则=⎰⎰Ddxdy ． 6．交换积分次序：⎰⎰π=0sin 0),(xdy y x f dx ．7．交换积分次序：dy y x f dx xx ⎰⎰2),(10= ．8. 交换积分次序⎰⎰yy dx y x f dy 222),(= .（三）计算题1．选择适当的坐标系和积分次序求下列二重积分 （1）⎰⎰Dydxdy x cos 2， 其中D 由21≤≤x ，20π≤≤y 确定， （2）⎰⎰+Ddxdy y x )(， 其中D 由x y x 222≤+确定， （3）⎰⎰+Ddxdy y x 22，其中D 是圆环形闭区域：4122≤+≤y x（4）⎰⎰Dxydxdy ，其中D 是由抛物线2y x =及y=x 所围成的闭区域.2．计算下列积分（1）⎰⎰ππ606cos ydx xxdy ， （2）⎰⎰313ln 1ydx xy dy ，友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
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仅供个人学习参考 第9章重积分及其应用 1．用二重积分表示下列立体的体积： (1)上半球体：2222{(,,)|;0}xyzxyzRz；
(2)由抛物面222zxy，柱面x2+y2=1及xOy平面所围成的空间立体 解答：(1)222222dd,{(,)|}DVRxyxyDxyxyR； (2)2222(2)dd,{(,)|1}DVxyxyDxyxy 所属章节：第九章第一节 难度：一级 2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：
(1)222dDaxy，其中D为222xya；
(2)22()dDbxy，其中D为222,0xyaba
解答：(1)22232dπ3Daxya； (2)22232()dππ3Dbxyaba 所属章节：第九章第一节 难度：一级
3．一带电薄板位于xOy平面上，占有闭区域D，薄板上电荷分布的面密度为(,)xy，且(,)xy
在D上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q． 解答：(,)dDQxy
所属章节：第九章第一节 难度：一级 4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x轴铅直向下，y轴位于水平面上，并设薄板占有xOy平面上的闭区域D，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力
解答：dDpgx
所属章节：第九章第一节 难度：一级 5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小 (1)21()dDIxy与32()dDIxy，其中D是由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的区域；
(2)1ln(1)dDIxy与222ln(1)dDIxy，其中D是矩形区域：0≤x≤1，0≤y≤1； 仅供个人学习参考
(3)21sin()dDIxy与22()dDIxy，其中D是任一平面有界闭区域； (4)1edxyDI与22edxyDI，其中D是矩形区域：–1≤x≤0，0≤y≤1； 解答：(1)在区域D内部，1xy，所以I1>I2； (2)在区域D内部，22,xxyy，故22ln(1)ln(1)xyxy，所以I1>I2；？ (3)由于22sin()()xyxy，所以I1(4)在区域D内部，0xy，故2xyxyee，所以I1>I2 所属章节：第九章第一节 难度：一级 6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值
(1)d,{(,)|04,08}ln(4)DIDxyxyxy；
(2)2222π3πsin()d,(,)44DIxyDxyxy； (3)221d,{(,)|||||1}100coscosDIDxyxyxy； (4)22221ed,(,)4xyDIDxyxy 解答：(1)由于{(,)|04,08}Dxyxy的面积为32，在其中111ln16ln(4)ln4xy，而等号不恒成立，故816ln2ln2I； (2)由于22π3π(,)44Dxyxy的面积为212，在其中222sin()12xy，而等号不恒成立，
故222ππ42I； (3)由于{(,)|||||1}Dxyxy的面积为2，在其中22111102100100coscosxy，而等号不恒成立，故115150I； 注：原题有误？还是原参考答案有误？如将{(,)|||||1}Dxyxy改为{(,)|||||10}Dxyxy， 仅供个人学习参考
则区域面积为200，结论为100251I (4)由于221(,)4Dxyxy的面积为14，在其中12241sin()xye，而等号不恒成立，故14ππe
44I．
所属章节：第九章第一节 难度：二级
7．设f(x，y)是连续函数，试求极限：222201lim(,)dπrxyrfxyr
解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得
2222200011lim(,)lim(,)lim(,)(0,0)rrrxyrfxydfffrr
．
所属章节：第九章第一节 难度：二级 8．设f(x，y)在有界闭区域D上非负连续，证明： (1)若f(x，y)不恒为零，则(,)d0Dfxy；
(2)若(,)d0Dfxy，则f(x，y)≡0 解答：(1)若f(x，y)不恒为零，则存在00(,)xyD，00(,)0fxy，利用连续函数的保号性，存在00(,)xy
的一个邻域1DD，在其上恒有(,)0fxy，于是1(,)d0Dfxy，而1(,)d0DDfxy，所以
11(,)d(,)d(,)d0DDDDfxyfxyfxy；
(2)假若f(x，y)不恒为零，则由上题知(,)d0Dfxy，矛盾，故f(x，y)≡0． 所属章节：第九章第一节 难度：二级 9．计算下列二重积分：
(1)πsind,(,)12,02DxyDxyxy；
(2)22(e)d,(,)11,01xyDxyDxyxy； (3)2ed,(,)01,01xyDxyDxyxy；
(4)22πsin()d,(,)0,022DxyxyDxyxy； 仅供个人学习参考
(5)2222d,(,)2,2DxDxyxyxyx 解答：(1)2221013sindsin2Dxydxxydyxdx； (2)2211111222222101011(1)(e)d()(1)22xyxyxyxDexydxxyedydxedyeedxe； (3)221110001d)(1)122xyxyxDexyedxxyedyedx； (4)222222220001sin()dsin()(cos4)216Dxyxydxxyxydyxxxdx； (5)221212111112yyDxddyxdxydy． 所属章节：第九章第二节 难度：一级 10．画出下列各题中给出的区域D，并将二重积分(,)dDfxy化为两种次序不同的二次积分：
(1)D由曲线y=lnx，直线x=2及x轴所围成； (2)D由抛物线y=x2与直线2x+y=3所围成； (3)D由y=0及y=sinx(0≤x≤π)所围成； (4)D由曲线y=x3，y=x所围成； (5)D由直线y=0，y=1，y=x，y=x–2所围成 解答：本题图略，建议画出
(1)2lnln22100(,)(,)yxedxfxydydyfxydx；
(2)23132192301(,)(,)(,)yxyxyydxfxydydyfxydxdyfxydx； (3)sin1arcsin000arcsin(,)(,)xyydxfxydydyfxydx； (4)333301011010(,)(,)(,)(,)xxyyxxyydxfxydydxfxydydyfxydxdyfxydx； 注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D由曲线y=x3，y=x所围成”改为“D由曲线3,1,1yxyx所围成”，则答案为原参考答案
33111111d(,)dd(,)dy
xxfxyyyfxyx；
(5)12131120010220d(,)dd(,)dd(,)dd(,)dxyxyxfxyyxfxyyxfxyyyfxyx 所属章节：第九章第二节 难度：一级 11．计算下列二重积分： 仅供个人学习参考
(1)22dDxy，D由曲线x=2，y=x，xy=1所围成； (2)cos()ddDxxyxy，D由点(0，0)，(π，0)，(π，π)为顶点的三角形区域； (3)dDxy，D由抛物线yx和y=x2围成； (4)ddDxyxy，D由抛物线y2=x与直线y=x–2所围成；
(5)sindDxy，D由直线y=x，y=2和曲线x=y3所围成 解答：(1)22223122119()4xxDxxddxdyxxdxyy； (2)0003cos()cos()(sin2sin)2xDxxydxdydxxxydyxxxxdx； (3)2711440026()355xxDxyddxxydyxxdx； (4)22222411145(44)28yyDxydxdydyxydxyyyydx； (5)3222113cos1sin1sin4sin()sin()(cos1cos)2yyDxxddydxyyydyyy． 所属章节：第九章第二节 难度：二级 12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f(x，y)在积分区域上连续)：
(1)10d(,)dyyyfxyx；
(2)21220010d(,)dd(,)dxxxfxyyxfxyy； (3)2122d(,)dyyyfxyx； (4)222402d(,)dxxxxfxyy； (5)21101d(,)dxxxfxyy (6)1320d(,)dyyyfxyx 解答：本题图略，建议画出 (1)210(,)xxdxfxydy；