矩阵特征值和特征向量的几何意义
2013-2014学年高二下学期数学(理)活动单学案：第10课时——特征值与特征向量
【学习目标】掌握矩阵特征值与特征向量的定义；能从几何变换的角度说明特征向量的意义；会求二阶矩阵的特征值与特征向量；利用矩阵A 的特征值、特征向量给出nA α简单表示【学习重点】求二阶矩阵的特征值与特征向量【活动过程】活动一、情景引入。
考察点（1，0），（0，1）对应的向量10,,01⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦有 101110002⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 1000111022⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦发现变换后，向量10⎡⎤⎢⎥⎣⎦没有改变，向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦方向没有改变，而长度变为原来的一半，因此，向量10,01⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦变换后与各自的原象共线；活动二、构建数学。
1、特征值：2、特征向量： ；3、特征向量的几何意义 ：活动三、数学运用。
1、求出矩阵1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的特征值和特征向量2、 已知121,,217M β⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦试计算50M β7、若矩阵A 有特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01i 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10j ，且它们所对应的特征值分别为1,221-==λλ。
（1）求矩阵A 及其逆矩阵1-A ；（2）求逆矩阵1-A 的特征值及特征向量； （3）对任意向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α，求α100A 及α1-A 。
【课后作业】1、设⎢⎣⎡=21A ⎥⎦⎤12，矩阵A 的特征值为（ ）A 、3和1B 、3和—1C 、—3和1D 、—3和—1 2、设⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2321M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤-2123，矩阵M 的特征向量可以是（ ） A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡13 B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13 C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡31 D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡313、（1）求矩阵⎢⎣⎡=68M ⎥⎦⎤--35的特征值与特征向量；（2）向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=87α，求αα1004,M M 。
4、已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣ a b ⎤⎥⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向是是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A ； （2）若向量74β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A β的值.5、已知矩阵⎢⎣⎡=53M ⎥⎦⎤26有属于特征值81=λ的特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=561α，及属于特征值32-=λ的特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=112α。
矩阵和行列式的几何意义及其应用
矩阵和行列式的几何意义及其应用矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念，它们不仅在数学理论中具有重要意义，而且在各个领域的实际应用中也有着广泛的应用。
本文将对矩阵和行列式的几何意义及其应用进行详细介绍。
一、矩阵的几何意义1. 矩阵的基本概念矩阵是由若干行和若干列组成的数组，通常用大写字母表示。
一个3×3的矩阵可以表示为：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中a11、a12、a13等是矩阵元素，3×3表示矩阵有3行3列。
矩阵中的元素可以是实数、复数、函数等。
矩阵可以表示线性变换，这种线性变换可以用来描述几何问题。
对于一个二维平面上的点(x, y)，可以用一个2×2的矩阵A进行线性变换，得到新的点(x', y')：[x'] [a11 a12] [x][y'] = [a21 a22] * [y]这个矩阵A实际上描述了一个二维变换，它可以将原来的点(x, y)变换成新的点(x', y')。
这种矩阵向量的几何意义在计算机图形学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
3. 矩阵的特征值和特征向量对于一个n阶方阵A，如果存在数λ和非零向量v，使得Av = λv，那么λ称为A 的特征值，v称为A的特征向量。
特征值和特征向量可以描述矩阵的特性，它们在几何上有着重要的意义。
特征向量v描述了矩阵A的特定方向，而特征值λ描述了在这个特定方向上的伸缩比例。
特征值和特征向量的概念在物理学、工程学、统计学等领域中都有着重要的应用，例如在求解振动问题、稳定性分析等方面起着重要作用。
行列式是一个非常重要的概念，它可以用来描述线性变换的伸缩比例和方向。
对于一个n阶方阵A，其行列式的值记作|A|，它用来描述线性变换对空间体积的伸缩情况。
2. 行列式的几何意义行列式的值为正表示线性变换不改变空间的方向和体积，值为负表示线性变换改变了空间的方向，但没有改变体积，值为零表示线性变换将空间压缩成了低维空间。
矩阵相似的几何意义
矩阵相似的几何意义
矩阵是线性代数中的重要概念，它在多个领域有广泛应用。
当两个矩阵具有相同的特征值和特征向量时，可以说它们是相似的。
那么，矩阵相似有什么几何意义呢？下面我们来详细探讨。
相似矩阵的定义
设A和B是n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，那么称A与B相似。
相似矩阵满足以下性质：
•相似矩阵具有相同的特征值。
•相似矩阵对应的特征向量具有一一对应的关系。
•相似矩阵具有相同的行列式和迹。
相似矩阵的几何意义
在几何学中，矩阵相似有着重要的几何意义。
具体来说，矩阵相似可以表示以下几个几何变换：
1.平移：如果两个矩阵A与B相似，那么它们表示的线性变换具有相同的
平移部分。
这意味着它们将向量按照相同的方向和距离进行平移。
2.旋转：如果两个矩阵A与B相似，那么它们表示的线性变换具有相同的
旋转部分。
这意味着它们将向量按照相同的角度进行旋转。
3.伸缩：如果两个矩阵A与B相似，那么它们表示的线性变换具有相同的
伸缩部分。
这意味着它们将向量按照相同的比例进行伸缩。
结论
矩阵相似在几何学中有着重要的意义，它能够描述线性变换的平移、旋转和伸缩等几何特征。
研究矩阵相似可以帮助我们更好地理解线性代数和几何学的关系，并应用到实际问题中。
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。
我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。
这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。
2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。
对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。
特征值可以是实数或复数。
3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。
4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。
如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。
5. 特征向量相互之间线性无关。
三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。
特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。
2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。
可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。
四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。
在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。
2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。
例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。
3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。
通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。
特征值与特征向量 课件
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵在数学和物理学中扮演着重要的角色，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
1. 特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值是指存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ是一个标量，v称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的求解是一个重要的矩阵问题。
2. 求解特征值与特征向量的方法求解特征值与特征向量的方法主要有两种：代数方法和几何方法。
代数方法：通过求解矩阵A的特征方程来确定特征值λ，然后通过解线性方程组(A-λI)v=0来求解特征向量v。
其中I为单位矩阵。
几何方法：考虑矩阵A作用下的线性变换，特征向量表示在该变换下仅仅被拉伸而不改变方向的向量，特征值则表示该变换在相应方向上的拉伸倍数。
3. 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有以下性质：- 矩阵A的特征值的个数等于其维数。
- A的所有特征值的和等于其主对角线元素之和，即Tr(A)。
- A的所有特征值的乘积等于其行列式，即det(A)。
- 如果A是一个对称矩阵，则其特征向量构成一组正交基。
- 如果A是一个正定矩阵，则所有特征值大于零。
4. 特征值与特征向量在实际问题中的应用特征值与特征向量在许多实际问题中具有广泛的应用，包括但不限于以下几个领域：- 物理学：矩阵的特征值与特征向量在量子力学、振动理论、电路分析等领域中有重要应用。
- 数据分析：特征值与特征向量可用于降维、聚类以及图像处理等方面的数据分析。
- 工程科学：特征值与特征向量在结构动力学、控制系统等工程问题中有着广泛的应用。
总结：矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们不仅具有丰富的数学性质，而且在实际问题中有广泛的应用。
通过求解特征值与特征向量，我们可以深入理解矩阵所代表的线性变换的特性，并应用于解决各种实际问题。
了解并掌握特征值与特征向量的求解方法与应用将为我们在数学和科学领域的研究与应用提供有力的工具和思路。
矩阵的特征值与特征向量毕业论文
矩阵的特征值与特征向量摘摘 要要本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些基本性质及定理，通过分析基本性质和定理来得出它们的基本求解方法，并延伸到一些特殊求解法。
接下来还介绍了一类特殊矩阵——实对称矩阵的特征值与特征向量，这让读者对矩阵的特征值与特征向量有更进一步的理解。
最后给出了矩阵的特征值与特征向量在实际中的应用例子。
这让我们明白研究它们不仅仅因为它们是学术知识，更是为了将它们应用到实际中去，解决实际问题，决实际问题，让我们的社会得到更快的发展。
让我们的社会得到更快的发展。
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通过阅读这篇文章，通过阅读这篇文章，通过阅读这篇文章，可以使读者在以后可以使读者在以后的学习中对矩阵的求解更容易掌握。
的学习中对矩阵的求解更容易掌握。
关键词： 矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式Matrix eigenvalue and eigenvectorZhong Y ueyuan(Science and information science department 2009 level of mathematics and applied mathematics at Shaoyang University in Hunan.)AbstractThis paper introduces the value and some basic properties and theorems of eigenvectors of the matrix characteristic, through the analysis of the basic properties and theorems to derive basic solving method for them, and extendsto some special method. Then it introduces the characteristics of a class of special matrix -- the real symmetric matrix value and the characteristic vector,the reader of matrices have further understanding and feature vector. Finallygives the matrix eigenvalue and eigenvector of the application in the actualexample.Let us understand this study them not only because they are theacademic knowledge, but also to apply them to practice, to solve practicalproblems, to make our society develop quickly. By reading this article,readers can learn in the future to solve the matrix is easier to grasp.Key word : Matrix, eigenvalue, eigenvector, orthogonal, linear correlation, linear independence, characteristic polynomial录目 录中文摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)引言 (1)1 矩阵的特征值与特征向量 (1)1.1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论 (1)1.2 求解矩阵的特征值与特征向量方法 (4)2 实对称矩阵的特征值与特征向量 (7)2.1 实对称矩阵的性质、定理及对角化 (7)2.2 求实对称矩阵的特征值与特征向量 (9)3 矩阵的特征值与特征向量的举例应用 (10)3.1 用特征值理论求解Fibonacci数列通项 (11)3.2 在研究经济发展与环境污染中的应用 (12)4 结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)引言矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具。
矩阵的特征值与特征向量分析及应用-毕业论文
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)矩阵的特征值与特征向量分析及应用毕业论文摘要特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础.本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还研究矩阵的特征值和特征向量的求解方法.再列举了特征值和特征向量相关的性质.最后给出了阵的特征值与特征向量在生活中的运用，并应用于实例.关键词：矩阵特征值特征向量1AbstractEigenvalues and eigenvectors are important concepts of advanced algebrawhich laid the foundation for the diagonal matrix learning. This paper, on the basis of the definition of eigenvalues and eigenvectors, study the relationship of them. This also study the solution method of eigenvalues and eigenvectors. And then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors. Finally, use the matrixeigenvalues and eigenvectors in ordinary live, and application in real examples. Keywords: matrix ; eigenvalue ; eigenvector目录引言第一章、本征值和本征向量的关系1.1 本征值与本征向量的定义1.2 求解本征值与本征向量的方法探索第二章、矩阵的特征多项式和特征根2.1 矩阵的特征多项式和特征根的定义2.2 求解特征根和特征向量的方法2.3 线性变换的特征根与特征向量的求法第三章、特征值和特征向量在生活中的应用3.1 经济发展与环境污染的增长模型3.2 莱斯利（Leslie）种群模型四、结论引言矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具.。
矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用
矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用矩阵作为数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个科学领域中。
在矩阵的运算中，特征值和特征向量是其中的一个重要概念。
本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的性质以及它们的应用。
一、矩阵的特征值和特征向量的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个实数λ和一个n维非零向量x使得Ax = λx，则称λ为矩阵A的一个特征值，x为矩阵A的对应于特征值λ的一个特征向量。
特征向量可以是任意量值，但是特征向量的长度必须是1。
特征值和特征向量的性质特征值和特征向量都有一些重要的性质，其中一些性质如下：1.特征值的和等于矩阵A的迹假设A的特征值为λ1，λ2，……，λn，则有：λ1+λ2+…+λn=tr(A)其中tr(A)表示矩阵A的迹，即矩阵A的主对角线上元素的总和。
2.特征值的积等于矩阵A的行列式假设A的特征值为λ1，λ2，……，λn，则有：λ1λ2…λn=det(A)其中det(A)表示矩阵A的行列式。
3.对于对称矩阵，所有特征向量都是正交的如果一个矩阵A是对称矩阵，那么所有特征向量都是正交的，即对于不同的特征向量x和y，都有xTy=0。
4.如果一个矩阵是正定矩阵，那么所有特征值都是正的如果一个矩阵A是正定矩阵，那么所有特征值都是正的。
反之，如果一个矩阵A的特征值都是正的，那么矩阵A不一定是正定矩阵。
特征向量的应用特征向量在各个领域中都有非常广泛的应用，其中一些应用如下：1.图像处理特征向量在图像处理中有着非常重要的应用。
通过对一个图像的像素矩阵进行特征向量分解，我们可以得到该图像的主要特征，包括图像的边缘，轮廓等。
2.信号处理特征向量在信号处理中也有重要应用。
通过分析信号的特征向量，我们可以得到信号的主要频率分量，进行频率分析，识别峰值等。
3.机器学习特征向量在机器学习中也非常重要。
在特征提取中，我们可以通过对样本数据进行主成分分析，得到样本的主要特征向量，然后再利用这些特征向量进行分类。
高考数学冲刺矩阵的特征多项式与特征方程
高考数学冲刺矩阵的特征多项式与特征方程高考数学冲刺：矩阵的特征多项式与特征方程在高考数学的复习冲刺阶段，矩阵的特征多项式与特征方程是一个重要且具有一定难度的知识点。
掌握好这部分内容，对于提高数学成绩、增强解题能力有着至关重要的作用。
首先，让我们来明确一下什么是矩阵的特征多项式和特征方程。
对于一个 n 阶矩阵 A，如果存在一个数λ和一个非零向量 X，使得AX ＝λX 成立，那么λ就称为矩阵 A 的特征值，而 X 则称为矩阵 A对应于特征值λ的特征向量。
为了求出矩阵 A 的特征值，我们引入特征多项式和特征方程的概念。
矩阵 A 的特征多项式是f(λ) ＝det(λI A)，其中 I 是 n 阶单位矩阵，det表示行列式。
而特征方程则是f(λ) ＝ 0。
接下来，我们通过一个具体的例子来看看如何求解特征多项式和特征方程。
假设我们有一个 2 阶矩阵 A ＝，那么它的特征多项式为：f(λ) ＝det(λI A) ＝＝，展开可得：f(λ) ＝λ² （a ＋d)λ ＋（ad bc)特征方程为λ² （a ＋d)λ ＋（ad bc) ＝ 0然后，我们可以使用求根公式来求解特征值λ。
求解特征多项式和特征方程的过程中，有几个重要的点需要注意。
一是要准确计算行列式，特别是在高阶矩阵的情况下，要遵循行列式的计算规则，避免出现错误。
二是在求解特征方程的根时，要考虑到可能存在复数根的情况。
对于复数根，也不要感到畏惧，只要按照复数的运算规则进行处理即可。
三是要理解特征值和特征向量的几何意义。
特征值反映了矩阵在特定方向上的缩放比例，而特征向量则指示了这个缩放的方向。
掌握了矩阵的特征多项式和特征方程的基本概念和求解方法后，让我们来看看它们在高考中的常见题型和解题技巧。
题型一：给定矩阵，求解特征值和特征向量这是最常见的题型，我们按照前面提到的方法，先求出特征多项式和特征方程，然后求解特征值，再代入 AX ＝λX 中求出特征向量。
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矩阵特征值和特征向量的几何意义（---by小马哥整理）
从定义来理解特征向量的话，就是经过一个矩阵变换后，空间沿着特征向量的方向上相当于只发生了
缩放，比如我们考虑下面的矩阵：
A=1.50.50.51.0
求这个变换的特征向量和特征值，分别是：0.850.530.530.85U(列向量) 特征值为：1=1.81，2=0.69
注意，这里U是正交矩阵，根据正交矩阵的性质，我们有1TUU。
用一个形象的例子来说明一下几何意义，我们考虑下面笑脸图案：
图1.1
为方便演示笑脸图案在[0,0]和[1,1]围起来的单位正方形里，同时也用两个箭头标出来了特征向量的方向。经
过矩阵A=1.50.50.51.0的变换，也就是用这个图案中的每个点的坐标和这个矩阵做乘法，得到下面图案：
图1.1
可以看到就是沿着两个正交的，特征向量的方向进行了缩放。
根据特征向量的定义，我们知道1UAU，也即，TUAU，那么：TAUU
假设我们把笑脸图案也看作某一个矩阵C，那么，矩阵A*C，即把矩阵A作用于C，可以理解为：
T
UUC
我们从这个式子就可以看出来，A矩阵是从旋转和沿轴缩放的角度来作用于C，分成三步：
第一步，把特征向量所指的方向分别转到横轴和纵轴，这一步相当于用U的转置，也就是TU进行了变换
图1.2
第二步，然后把特征值作为缩放倍数，构造一个缩放矩阵1.810.69，矩阵分别沿着横轴和纵轴进行缩
放：
图1.3
第三步，很自然地，接下来只要把这个图案转回去，也就是直接乘U就可以了
图1.4
所以，从旋转和缩放的角度，一个矩阵变换就是，旋转-->沿坐标轴缩放-->转回来，的三步操作。
多提一句，这里给的是个(半)正定矩阵的例子，对于不镇定的矩阵，也是能分解为，旋转-->沿坐标轴缩
放-->旋转，的三步的，只不过最后一步和第一步的两个旋转不是转回去的关系了，表达如下：
T
TUV
这个就是SVD分解，就不详细说了。另外，这个例子是二维的，高维类似，但是形象理解需要脑补。