等比数列2(新)
公比为2的等比数列
公比为2的等比数列数学中，等比数列是指一个数列中的每个数字都是前一个数字乘以一个常数的结果。
这个常数称为公比。
当公比为2时，我们称之为公比为2的等比数列。
公比为2的等比数列可以用以下公式表示：a1, a2, a3, …, an = a1, 2a1, 4a1, 8a1, …, 2^(n-1) * a1其中a1为首项，an为第n项。
公比为2的等比数列在数学中有着广泛的应用，特别是在金融、工程和科学领域。
下面我们将介绍一些关于公比为2的等比数列的应用。
1. 投资在金融领域，公比为2的等比数列可以用来计算复利。
复利是指利息在每个计息周期内都会被加入到本金中，从而产生更多的利息。
如果我们将本金投资于一个年利率为r的银行，那么n年后的本金可以用以下公式计算：P * (1 + r)^n其中P为本金，r为年利率，n为投资年限。
如果我们将本金投资于一个年利率为r的银行，并且每年将利息重新投资于该银行，那么n年后的本金可以用以下公式计算： P * (1 + r)^n其中P为本金，r为年利率，n为投资年限。
2. 工程在工程领域，公比为2的等比数列可以用来计算复合增长。
复合增长是指一个变量在每个周期内都会以固定的比率增长。
例如，一个城市的人口每年增长5%，那么10年后，该城市的人口将增长多少？假设该城市的人口为P0，增长率为r，那么10年后该城市的人口可以用以下公式计算：P10 = P0 * (1 + r)^10其中，r为年增长率。
3. 科学在科学领域，公比为2的等比数列可以用来描述物理量的变化。
例如，一个物理量每秒钟增加一倍，那么该物理量可以用以下公式表示：a1, a2, a3, …, an = a1, 2a1, 4a1, 8a1, …, 2^(n-1) * a1其中a1为初始值，an为第n秒钟的值。
公比为2的等比数列还可以用来描述生物学和生态学中的增长和衰退。
例如，一个生物种群每年增长一倍，那么该生物种群可以用以下公式表示：a1, a2, a3, …, an = a1, 2a1, 4a1, 8a1, …, 2^(n-1) * a1其中a1为初始种群数量，an为第n年的种群数量。
等比数列的性质及应用(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
息不少于按月结算的利息（精确到10−5 ）？
分析：
复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若
原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和.
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列 { } ，则 { } 是等比数列，
首项 1 = 104 (1 + 0.400%)，
价格为8 100元的计算机3年后的价格可降为(
A．300元
B．900元
C．2 400元
公比q=1+0.400% ，所以
12 = 104 (1 + 0.400%)12 ≈ 10 490.7
所以， 12个月后的利息为10 490.7 − 104 ≈ 491（元）
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列{ }，
则{ }也是一个等比数列，
首项 1 = 104 (1 + )，公比为1+r，于是
数列．
（ 2 ） 若 数 列 { } ， { } 均 为 等 比 数 列 ， c 为 不 等 于 0 的 常 数 ， 则 数 列
,
2
, ∙
, { }
也为等比数列.
【典例 3】在等差数列{an}中，公差 d≠0，a1，a2，a4 成等比数列，已知数列 a1，
a3，ak1，ak2，…，akn，…也成等比数列，求数列{kn}的通项公式．
2
【解析】由题意得a2
＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
得d(d－a1)＝0，又d≠0，所以a1＝d.
又a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，
a3 3d
所以该数列的公比q＝a ＝ d ＝3，
高中数学第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前N项和公式第1课时等比数列的前N项和课件新人教
规律方法 等比数列前n项和公式的关注点
(1)在利用等比数列的前n项和公式时,若其公比不确定,则应对公比分q=1
和q≠1两种情况进行讨论.
(2)当n的值较小时,求Sn可以直接利用Sn=a1+a1q+a1q2+…求解,这样与
1 (1- )
Sn= 1-
相比较,可以防止忘记分类讨论丢掉q=1时的特殊情况.
杂,对计算能力要求较高,应加强训练.要注意通过训练,掌握在错位相减过程
中的几个关键环节,避免出错.
(3)使用错位相减法求和时得到的结论,可以将n=1,2代入验证是否正确,如本
2+3
2+3 1
2×2+3 5 1 3
= = + ,
得到 3- 2 = 2,当 n=2 时,S2=32
4 2 4
2
2
例中当n=1时, 代入 3-
2.方法归纳:公式法、分组求和法、错位相减求和法.
3.常见误区:等比数列前n项和公式中项数的判断易出错.
学以致用·随堂检测全达标
1
1
1.在等比数列{an}中,a1=8,q=2,an=2,则
A.8
B.15
Sn=(
)
31
C. 2
D.31
答案 C
解析 由等比数列的前 n 项和公式可得
1 -
(1)求数列{an}的通项公式;
1
11
(2)已知数列{bn}满足 b1=-2,b2=- 4
数列{bn}的前n项和Sn.
,设cn=an+bn,若数列{cn}为等比数列,求
解 (1)数列{an}满足a1=1,且an+1-an=2,所以数列{an}是等差数列,且首项为1,
高二 等比数列第二课时
枣庄三中2012---2013学年度上学期高二年级数学学科教学案§2.4等比数列授课类型：新授课（第2课时）●教材分析在日常生活中，人们经常遇到的像存款利息、购房贷款等实际计算问题，都需要用有关数列的知识来解决。
数列的知识也是我们将来学习高等数学的基础。
等差中项和等比中项可以贯通于代数、几何、三角几部分知识之间,构造出许多综合题,值得我们注意，对于本节等比中项的学习易与等差中项混淆。
●教学目标知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点：等比中项的理解与应用●教学难点：灵活应用等比中项,等比数列性质解决一些相关问题●教学拓展点：等比数列性质，等比数列的判定方法：定义法和等比中项法 ●教学易混点：等比中项与等差中项 ●教具准备：多媒体课件和三角板课堂模式 ：学案导学●教学过程 Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(≠⋅⋅=-q a qa a m mn m n 3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 Ⅱ.讲授新课问：等差数列的等差中项及其性质是？生：（1）,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 （2） 在等差数列中，若m n p q +=+，则，q p n m a a a a +=+即m n p q +=+ ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ，b 同号）如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2=ab ,则Gba G =，即a ，G ,b 成等比数列。
等比数列的前n项和公式(第2课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
列，{ }是公比为的等比数列，我们可以用错位相减法求{ }的前项和.
错位相减法求和的注意点：
宋老师数学精品工作室
1.在写“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准
确写出“ − ”的表达式.
2.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于
n
420
1.05
n
n 420.
4
4
1 1.05
2
当n 5时,S5 63.5.
∴从今年起5年内,通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后
每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出
100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数
2
∴所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式
处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，
通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，
请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今
室
Sn (a1 b1 ) (a2 b2 ) (an bn ) (a1 a2 an ) (b1 b2 bn )
3 2 27
20 1.05 (1 1.05n ) n(7.5 1.5n 6)
1
1
1
1
1
{
}
= [
−
]
( + 1)( + 2)
等比数列的概念(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
由此可得
……
= 1 −1 ≥ 2 .
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当n=1时上式也成立.
首项为1 ，公比为q 的等比数列{ }的通项公式为
= 1 −1
过关测试
1.判断正误
1 1 1
B．a，a2，a3，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0,0,0，…
2,
2
)
解析：A、C、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C、D 中项可为 0，不符
合定义．
答案：B
3．2＋ 3和 2－ 3的等比中项是
A．1 B．－1
(
C．±1 D．2
答案：C
4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．
（2）当 1 > 0, 0 < < 1或 1 < 0, > 1 时，等比数列{ }为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列{ }为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列{ }为摆动数列.
典型例题
【典例1】 若等比数列{ }的第4项和第6项分别为48和12，求{ }的第5项.
分析：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方
法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有
一定的技巧性，能简化运算．
已知数列{an}是等比数列，公比q<1，且a2＝2，a1＋a2＋a3＝7.
(1)求{an}的通项公式．
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
数列①~⑥的公比依次是
2.5.2 等比数列的前n项和(2)
an 3 2(an1 3) (n 2) 即
an 3 2 (n 2)
an1 3
∴数列{an-3}是公比为2的等比数列.
an 3 (a1 3)2n1 (3 3)2n1 3 2n an 3(2n 1).
Q an 3(2n 1) 3 2n 3 ,
Sn a1 a2 a3 L an
,
求：（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（II）a2 a4 a6 L a2n 的值.
解：
（I）由a1=1，an1
1 3
Sn
,
得
a2
1 3
S1
1 3 a1
1 3
,
a3
1 3
S2
1 3 (a1
a2 )
4 9
,
11
16
a4 3 S3 3 (a1 a2 a3 ) 27 ,
（II）a2 a4 a6 L a2n 的值.
解：（II）由（I）可知 a2 , a4 ,L
, a2n
是首项为
1 3
，
公比为( 4)2 , 项数为n的等比数列，
3
a2
a4
a6
L
a2n
1
1
( 4)2n 3
3 1 (4)2
3 [( 4 )2n 1]. 73
3
例5 设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*
即
n 1 2. Sn
故 { Sn } 是以2为公比的等比数列. n
n
例3 数列{an}的前n项和记为Sn，已知
a1
1, an1
n
n
2
Sn(n
1,2,3
).
（1）数列
{ Sn n
等比数列的概念(第二课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
现出任意性.
知识梳理
知识梳理
判定与证明等比数列的方法
a
*且n≥2，q为不为0的常数)；
q
1.定义法： n ＝____(n∈N
an－1
*且n≥2)；
an－1an＋1
2.等比中项法：a2n＝________(n∈N
a1qn－1 a1·qn ＝A·qn(A≠0).
3.通项公式法：an＝_______＝
q
即
（
2 n 2),
则当n 2时，
2,
an 1 1
bn 1 an 1 1
an 1 1
an 1 1
∴ 数列{ + 1}是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）知等比数列{ + 1}的首项为2，公比为2，
∴ + 1＝2 × 2−1 ＝2，∴ ＝2 − 1.
n
是否一定是等比数列？ 如果数列{an }是各项均为正的等比数 列，
那么数列{log b an }是否一定是等差数列？
b an1
a n1 -a n
d
b
b
b an
➯
性质1：数列{an}是等差数列
⇔数列{b a n }是等比数列.
an1
logb a n1 logb an logb
logb q
1
又 S2＝3(a2－1)，
1
1
即 a1＋a2＝3(a2－1)，得 a2＝4.
典例分析
(2)求证：数列{an}是等比数列.
当n≥2时，
1
1
an＝Sn－Sn－1＝3(an－1)－3(an－1－1)，
1
1
等比数列的概念课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
或
d＝0， q＝1，
(舍去)．
例题解析
(2)由(1)知 an＝1＋(n－1)·5＝5n－4， bn＝b1qn－1＝6n－1.
假设存在常数 a，b，使得对任意 n∈N*，都有 an＝logabn＋b 成立，则 5n－4＝loga6n－1＋b，
即 5n－4＝nloga6＋b－loga6.
比较系数，得
loga6＝5， b－loga6＝－4，
选择性必修二第四章
4.3等比数列
4.3.1 等比数列的概念
知识梳理
一、等比数列的概念
(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第___2_____项起，每一 项与它的前一项的__比______等于_同__一__个___常数，那么这个数列叫做 等比数列，这个常数叫做等比数列的 __公__比____，公比通常用字母 ___q_____(q≠0)表示．
又∵b1＝2，∴{bn}是首项为 2，公比为 3 的等比数列．
例题解析
例 7．已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝3an＋2，则 a2 018＝( B ) A．32 018＋1 B．32 018－1 C．32 018－2 D．32 018＋2
∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)．∵a1＋1＝3，∴数列{an＋1}是首项，公比均为 3 的等比数列， ∴an＋1＝3n，即 an＝3n－1，∴a2 018＝32 018－1.故选 B
知识梳理
四、等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*) (2)若 p＋q＝s＋t(p、q、s、t∈N*)，则 ap·aq＝__a_s_·_a_t __.
知识梳理
注意 (1)在已知等比数列{an}中任一项 am 及公比 q 的前提下，可以利用 an＝amqn－
等比数列的前n项和(二)
等比数列的前n 项和(二) 教学目标：综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n 项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力.教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式.教学难点：灵活使用有关知识解决问题。
教学过程：Ⅰ.复习回顾（提问）前面我们学习了哪些有关等比数列的知识?（1）定义式：a na n －1＝q (q ≠0，n ≥2)（2）通项公式：a n ＝a 1qn －1(a 1,q ≠0)（3）性质；若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q , （4）前n 项和公式：S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)S n ＝na 1，(q ＝1)（5）a n 与Sn 的关系a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a 1＝S 1(n ＝1)Ⅱ.讲授新课我们结合例题来看一下如何灵活应用它们.例1．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.分析一：从后三个数入手. 解法一：设所求的四个数为 （x －d ）2x，x －d ，x ，x＋d ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2x ＋（x ＋d ）＝21（x －d ）＋x ＝18 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12d ＝6 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝274 d ＝92274∴所求四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析二：从前三数入手.解法二：设前三个数为 xq，x ，xq ，则第四个数为2xq－x .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧x q＋2xq －x ＝21x ＋xq ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6q ＝2 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝454 q ＝35故所求的四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手. 解法三：设欲求的四数为x ，y ，18－y ，2－x ，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x （18－y ）2（18－y ）＝y ＋（21－x ） ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝754 y ＝454∴所求四数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94例2．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列.分析：由题意可得S 3＋S 6＝2S 9，要证a 2，a 8，a 5成等差数列，只要证a 2＋a 5＝2a 8即可.证明：∵S 3，S 9，S 6成等差数列，∴S 3＋S 6＝2S 9 若q ＝1，则S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，由等比数列中，a 1≠0得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，∴q ≠1，∴S 3＝a 1（1－q 3）1－q ，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ，S 9＝a 1（1－q 9）1－q且a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2a 1（1－q 9）1－q整理得q 3＋q 6＝2q 9，由q ≠0得1＋q 3＝2q 6又∵a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝a 1q (1＋q 3)，∴a 2＋a 5＝a 1q ·2q 6＝2a 1q 7＝2a 8∴a 2，a 8，a 5成等差数列.评述：要注意题中的隐含条件与公式的应用条件.例3．求和：（x ＋1y ）＋（x 2＋1y 2 ）＋…＋（x n＋1yn ） (其中x ≠0，x ≠1，y ≠1)分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.解：当x ≠0，x ≠1，y ≠1时，（x ＋1y ）＋（x 2＋1y 2 ）＋…＋（x n ＋1yn ）＝(x ＋x 2＋…＋x n)＋(1y ＋1y 2 ＋…＋1yn )＝x （1－x n ）1－x＋1y （1－1yn ）1－1y＝x －x n ＋11－x ＋y n －1y n ＋1－yn此方法为求和的重要方法之一：分组求和法.例4．求和：n ++++++++++21132112111解：设数列的通项为an ，则)111(2)1(2+-=+=n n n n a n ，12)111(2)]111()3121()211[(221+=+-=+-++-+-=+++=∴n n n n n a a a S n n 此方法为求和的重要方法之一：裂项求和法.Ⅲ.课堂练习课本P 58练习1，2，3Ⅳ.课时小结通过本节学习，应掌握等比数列的定义式、通项公式、性质以及前n 项求和公式的灵活应用.利用它们解决一些相关问题时，应注意其特点.Ⅴ.课后作业1. 课本P 58习题 3，4，52．求数列2x 2，3x 3，4x 4，…，nx n，…的前n 项和.。