二-等差等比数列性质练习题(含答案)以及基础知识点

二-等差等比数列性质练习题(含答案)以及基础知识点
二-等差等比数列性质练习题(含答案)以及基础知识点

一、等差等比数列基础知识点

(一)知识归纳: 1.概念与公式:

①等差数列:1°.定义:若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列;

2°.通项公式:;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式:公式:.2

)

1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=

②等比数列:1°.定义若数列q a a a n

n n =+1

}{满足

(常数),则}{n a 称等比数列;2°.通项公式:;11k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式:),1(1)

1(111≠--=--=

q q

q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2.简单性质:

①首尾项性质:设数列,,,,,:}{321n n a a a a a

1°.若}{n a 是等差数列,则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列,则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质:

1°.设a ,A ,b 成等差数列,则A 称a 、b 的等差中项,且;2

b

a A +=

2°.设a ,G,b 成等比数列,则G 称a 、b 的等比中项,且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数,且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列,则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列,则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质:

1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列,∑∑∑=+=+=n k n n k n

n k k

k

k

a

a a 1

21

31

2,,则

组成公差为n 2d 的等差数列;

2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列,∑∑∑=+=+=n k n n k n

n k k

k

k

a

a a 1

21

31

2,,则

组成公差为q n 的等比数列.(注意:当q =-1,n 为

偶数时这个结论不成立)

⑤若}{n a 是等比数列,

则顺次n 项的乘积:n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2

n q 的等比数列. ⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,

1°.若n 为奇数,则,,:(2

1+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶

数项的和);

2°.若n 为偶数,则.2

nd

S S =-奇偶 (二)学习要点:

1.学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

2.解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明确,绝对不能用课外的需要证明的性质解题.

3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数成等差数列,可设三数为“a,a+m,a+2m (或

a-m,a,a+m )”②三数成等比数列,可设三数为“a,aq,aq 2(或

q

a

,a,aq )”③四数成等差数列,可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列,可设四数为“),,,,(,,,3

3

3

2

aq aq q a q

a aq aq aq a ±±或

”等等;类似的经验还很多,应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题:

(Ⅰ)已知

c

b a 1

,1,1成等差数列,求证: (1)c b

a b a c a c b +++,,成等差数列; (2)2

,2,2b

c b b a ---成等比数列.

[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决,

.

2,2,2,

)2(4)(2)2)(2)(2(;

,,.)(2)()(2)()1(),(222112222

22

2成等比数列成等差数列b

c b b a b

b c a b ac b c b a c b a b a c a c b b

c a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac b ac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=

+++=++++=?=+?=+

[评析]判断(或证明)一个数列成等差、等比数列主要方法有:根据“中项”性质、根据“定义”判断,. (Ⅱ)等比数列的项数n 为奇数,且所有奇数项的乘积为1024,所有偶数项的乘积为 2128,求项数n. [解析]设公比为242

1281024

,142531==-n n a a a a a a a q

)1(2

42

11=??-n q

a

.7,2

35

25,

2)2()1(,2)(2

)1(2212810242

352

52

35

2

1

12

353

211235321==∴

==??=-+??=?=-++n n q a n q

a a a a a n

n n n 得代入得将而

(Ⅲ)等差数列{a n }中,公差d ≠0,在此数列中依次取出部分项组成的数列:

,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列

求数列.}{项和的前n k n

[解析],,,,1712

51751a a a a a a ?=∴成等比数列

① ②

.

131

31

32}{,

132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111

111

115111121--=---?=-?=-+=-+=?=?=∴=+==

∴=∴≠=-?+?=+?---n n S n k k d k d d k a a d a a a d a a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列

[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题,熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题:

(Ⅰ)三数成等比数列,若将第三项减去32,则成等差数列;再将此等差数列的第二项减去4,又成等比数列,求原来的三数.

[解析]设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简单, 设等差数列的三项分别为a -d , a , a +d ,则有

.

9

338

,926,9250,10,2,9

26

10,388,0643231680

3232))(()4()32)((22

2

22或原三数为或得或∴===∴=+-??????+==-+??????+-=-=++-a d d d d d

a a d d d a d a a a d a d a

(Ⅱ)有四个正整数成等差数列,公差为10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数. [解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,

??

?=+=-????=+=-∴+<-+-?=?==+-?=+?∈=++++-+-∴*25

21251,,,

2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与

解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47,57,67,77

[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主

①②

①,②

要方法.

二、等差等比数列练习题

一、 选择题

1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 ( )

(A )为常数数列 (B )为非零的常数数列 (C )存在且唯一 (D )不存在 2.、在等差数列

{}n a 中,41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列,则{}n a 的通项公式为 ( )

(A )13+=n a n

(B )3+=n a n (C )13+=n a n 或4=n a (D )3+=n a n 或4=n a

3、已知c b a ,,成等比数列,且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项,则

y

c

x a +的值为 ( ) (A )

2

1

(B )2- (C )2 (D ) 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列,x 是a ,b 的等比中项,

y 是b ,c 的等比中项,那么2x ,2b ,2y 三个数( )

(A )成等差数列不成等比数列 (B )成等比数列不成等差数列

(C )既成等差数列又成等比数列 (D )既不成等差数列,又不成等比数列 5、已知数列

{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 ( )

(A )22-=n a n

(B )28-=n a n (C )12-=n n a (D )n n a n -=2

6、已知))((4)(2z y y x x z

--=-,则 ( )

(A )z y x ,,成等差数列 (B )z y x ,,成等比数列 (C )

z y x 1,1,1成等差数列 (D )z

y x 1

,1,1成等比数列 7、数列

{}n a 的前n 项和1-=n n a S ,则关于数列{}n a 的下列说法中,正确的个数有 ( )

①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列,也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列

(A )4 (B )3 (C )2 (D )1

8、数列1

?,16

1

7,815,413,21,前n 项和为 ( ) (A )1212+-n n (B )212112+-+n n (C )1212+--n n n (D )212

112

+--+n n n

9、若两个等差数列

{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ,且满足

5

524-+=

n n B A n n ,则

13

5135b b a a ++的值为 ( )

(A )

9

7 (B )

7

8

(C )

2019 (D )8

7

10、已知数列

{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n

,则数列{}n a 的前10项和为 ( )

(A )56 (B )58 (C )62 (D )60

11、已知数列

{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3,9,27,…3n , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数

列的前n 项和为 ( )

(A )2)133(+n n (B )53+n

(C )23103-+n n (D )2

31031-++n n

12、下列命题中是真命题的是 ( )

A .数列

{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n

+=(0≠p )

B .已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n

++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

C .数列

{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n

ab a

D .如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n

+=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a

二、填空题

13、各项都是正数的等比数列

{}n a ,公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列,则公比q =

14、已知等差数列

{}n a ,公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列,则

18

6217

51a a a a a a ++++=

15、已知数列

{}n a 满足n n

a S 4

1

1+=,则n a =

16、在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列

{}n a 是公差d 不为零的等差数列,数列{}n

b a 是公比为q 的等比数列,46,10,132

1===b b b ,求公比q 及n b 。

等差等比数列基础练习题

针对练习A1:等差数列 一、填空题 1. 等差数列8,5,2,…的第20项为___________. 2. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 3. 在等差数列中已知13 d =-,a 7=8,则a 1=_______________ 4. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 5. 等差数列-10,-6,-2,2,…前___项的和是54 6. 正整数前n 个数的和是___________ 7. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -=,则n a =___________ 8. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n -50,则当n=___时,S n 的值最小,S n 的最小值是_______。 二、选择题 1. 一架飞机起飞时,第一秒滑跑 2.3米,以后每秒比前一秒多滑跑4.6米,离地的前一秒滑跑66.7米, 则滑跑的时间一共是( ) A. 15秒 B.16秒 C.17秒 D.18秒 2. 在等差数列{}n a 中31140a a +=,则45678910a a a a a a a -+++-+的值为( c ) A.84 B.72 C.60 D.48 3. 在等差数列{}n a 中,前15项的和1590S = ,8a 为(A ) A.6 B.3 C.12 D.4 4. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20下昂的和等于( ) A.160 B.180 C.200 D.220 5. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=,则28a a +的值等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300 6. 若lg2,lg(21),lg(23)x x -+成等差数列,则x 的值等于( ) A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或32 7. 设n S 是数列{}n a 的前n 项的和,且2n S n =,则{}n a 是( ) A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8. 数列3,7,13,21,31,…的通项公式是( ) A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ D.不存在

2016届高考数学经典例题集锦:数列(含答案)

数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . (2)证明:由已知1 13 --=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= , 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公差为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式,可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=. (2)把k k a b -看作一个函数,利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解:(1)已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N )① 2n ≥时,212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N )②

等差等比数列的证明例举

等差等比数列的证明 在数列的解答题中,有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列,既考察了学生证明数列的能力,同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识: 1、如何判断一个数列是等差(或等比)数列 (1)定义法(递推公式):1n n a a d +-=(等差), 1 n n a q a +=(等比) (2)通项公式:n a kn m =+(等差),()0n n a k q q =?≠(等比) (3)前n 项和:2n S An Bn =+(等差),n n S k q k =-(等比) (4)等差(等比)中项:数列从第二项开始,每一项均为前后两项的等差(等比)中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列: (1)通常利用定义法,寻找到公差(公比) (2)也可利用等差等比中项来进行证明,即n N * ?∈,均有: 122n n n a a a ++=+(等差) 2 12n n n a a a ++=?(等比) 二、典型例题: 例1:已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+. 求证:数列11n a ?? -? ??? 为等比数列 思路一:构造法,按照所给的形式对已知递推公式进行构造,观察发现所证的数列存在 1 n a 这样的倒数,所以考虑递推公式两边同取倒数:113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 1121 33n n a a +=+ ,在考虑构造“1-”:112111111333n n n a a a +?? -=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列

等差等比数列综合习题

等差、等比数列综合习题 一、选择题 1、数列16 14,813,412 ,211…前n 项的和为( ) A 、2212n n n ++ B 、12122+-+n n n C 、n n n 2122-+ D 、12 12)1(+--n n n 2、三个不同实数c b a ,,成等差数列,b c a ,,又成等比数列,则=b a ( ) A 、47 B 、4 C 、-4 D 、2 3、在等差数列}{n a 中,已知30201561=+++a a a a ,则数列的前20项和S 20=( ) A 、100 B 、120 C 、140 D 、150 4、已知数列}{n a 的601-=a ,31-=-n n a a ,那么++||||21a a …||30a +=( ) A 、-495 B 、765 C 、1080 D 、3105 5、某企业的生产总值月平均增长率为p%,则年平均增长率为( ) A 、12p% B 、12%)1(p + C 、1%)1(11 -+p D 、1%)1(12-+p 6、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,已知331S 与441S 的等比中项为3531,51S S 与44 1S 的等差中项为1,求通项n a 。 7、设有数列,,21a a …n a …又若23121,,a a a a a --…1--n n a a 是首项为1,公比为 31的等比数列。 (1)求n a (2)求++21a a …n a + 8、在等比数列}{n a 中,已知27 21154321= ++++a a a a a ,482111111154321=++++a a a a a ,求3a 。

二-等差等比数列性质练习题(含答案)以及基础知识点

一、等差等比数列基础知识点 (一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列; 2°.通项公式:;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式:公式:.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列:1°.定义若数列q a a a n n n =+1 }{满足 (常数),则}{n a 称等比数列;2°.通项公式:;11k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式:),1(1) 1(111≠--=--= q q q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2.简单性质: ①首尾项性质:设数列,,,,,:}{321n n a a a a a 1°.若}{n a 是等差数列,则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列,则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质: 1°.设a ,A ,b 成等差数列,则A 称a 、b 的等差中项,且;2 b a A += 2°.设a ,G,b 成等比数列,则G 称a 、b 的等比中项,且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数,且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列,则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列,则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质: 1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列,∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 21 31 2,,则 组成公差为n 2d 的等差数列;

高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案

等差等比数列综合应用 【典型例题】 [例1] 一个等比数列共有三项,如果把第二项加上4所得三个数成等差数列,如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列,求原来的三个数。 解:等差数列为d a a d a +-,, ∴ ?????=++--=+?-2 2 )32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-) 2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2 23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入(1) 16)24(3 1 82+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 9 26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9 50 [例2] 等差数列}{n a 中,3931-=a ,76832-=+a a ,}{n b 是等比数列,)1,0(∈q ,21=b ,}{n b 所有项和为20,求: (1)求n n b a , (2)解不等式 2211601 b m a a m m -≤++++Λ 解:(1)∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 10 9 =q ∴ 1 )10 9( 2-?=n n b 不等式10 921601) (21 21??-≤++?+m a a m m m

)1(1816)399123936(2 1 +??-≤-+-? m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m 032122≤+-m m 0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m [例3] }{n a 等差,}{n b 等比,011>=b a ,022>=b a ,21a a ≠,求证:)3(≥ ),1(+∞∈q 01>-q 01>-n q ∴ 0*> ∴ N n ∈ 3≥n 时,n n a b > [例4] (1)求n T ;(2)n n T T T S +++=Λ21,求n S 。 解:???=-=????=+++-=+++221 04811598 7654d a a a a a a a a Λ n T 中共12-n 个数,依次成等差数列 11~-n T T 共有数1222112-=+++--n n Λ项 ∴ n T 的第一个为2)12(211 21?-+-=--n n a ∴ 2)12()2(2 1 )232(2 111 ?-?+-?=---n n n n n T 122112222232-----+?-=n n n n 2222323+-?-?=n n

高中数学-等比数列练习题(含答案)

等比数列练习(含答案) 一、选择题 1.(广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =22 5a ,2a =1,则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数,所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列,那么( ) A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n Λ则 (A )15 (B )12 (C )-12 D )-15 答案:A 4.设{n a }为等差数列,公差d = -2,n S 为其前n 项和.若1011S S =,则1a =( ) A.18 B.20 C.22 D.24 答案:B 解析: 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S Θ 5.(四川)已知等比数列()n a 中21a =,则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞U 答案 D 6.(福建)设{a n }是公比为正数的等比数列,若n 1=7,a 5=16,则数列{a n }前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.(重庆)在等比数列{a n }中,a 2=8,a 5=64,,则公比q 为( ) A .2 B .3 C .4 D .8 答案 A 8.若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ,则公比为 A .2 B .4 C .8 D .16 答案:B 9.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n +1 =3S n (n ≥1),则a 6= (A )3 × 44 (B )3 × 44+1 (C )44 (D )44+1 答案:A 解析:由a n +1 =3S n ,得a n =3S n -1(n ≥ 2),相减得a n +1-a n =3(S n -S n -1)= 3a n ,则a n +1=4a n (n ≥ 2),a 1=1,a 2=3,则a 6= a 2·44=3×44,选A . 10.(湖南) 在等比数列{}n a (n ∈N*)中,若11a =,41 8 a =,则该数列的前10项和为( ) A .4122- B .2122- C .10122- D .111 22 - 答案 B 11.(湖北)若互不相等的实数 成等差数列, 成等比数列,且 310a b c ++=,则a = A .4 B .2 C .-2 D .-4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a =b -d ,c =b +d ,由310a b c ++=可得b =2,所以a =2-d ,c =2+d ,又,,c a b 成等比数列可得d =6,所以a =-4,选D 12.(浙江)已知{}n a 是等比数列,4 1 252= =a a ,,则13221++++n n a a a a a a Λ=( ) A.16(n --41) B.6(n --21) ,,a b c ,,c a b

(完整版)高二等差、等比数列基础练习题及答案

等差、等比数列基础练习题及答案 一、选择题 1.数列{a n}满足a1=a2=1,,若数列{a n}的前n项和为S n,则S2013的值为() A. 2013 B. 671 C. -671 D. 2.已知数列{a n}满足递推关系:a n+1=,a1=,则a2017=() A. B. C. D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2n-1(n∈N+),则a2017的值为() A. 2 B. 3 C. 2017 D. 3033 4.已知正项数列{a n}满足,若a1=1,则a10=() A. 27 B. 28 C. 26 D. 29 5.若数列{a n}满足:a1=2,a n+1=,则a7等于() A. 2 B. C. -1 D. 2018 6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a6=a3+6,则S7=() A. 49 B. 42 C. 35 D. 28 7.等差数列{a n}中,若a1,a2013为方程x2-10x+16=0两根,则 a2+a1007+a2012=() A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 8.已知数列{a n}的前n项和,若它的第k项满足2<a k<5,则k=() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

9.在等差数列{a n}中,首项a1=0,公差d≠0,若a k=a1+a2+a3+…+a10,则k=() A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 10.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,则2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则S11=() A. 66 B. 55 C. 44 D. 33 二、填空题 1.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n,则该数列的通项公式 a n=______. 2.正项数列{a n}中,满足a1=1,a2=,=(n∈N*),那么 a n=______. 3.若数列{a n}满足a1=-2,且对于任意的m,n∈N*,都有a m+n=a m+a n,则a3=______;数列{a n}前10项的和S10=______. 4.数列{a n}中,已知a1=1,若,则a n=______,若,则a n=______. 5.已知数列{a n}满足a1=-1,a n+1=a n+,n∈N*,则通项公式a n= ______ . 6.数列{a n}满足a1=5,-=5(n∈N+),则a n= ______ . 7.等差数列{a n}中,a1+a4+a7=33,a3+a6+a9=21,则数列{a n}前9项的和S9等于______.

等比数列知识点总结与典型例题+答案

等比数列知识点总结与典型例题 2、通项公式: 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1)当 q 1 时,S n na i n ⑵当q 1时,5罟 5、等比数列的判定方法: 等比数列 等比中项:a n 2 a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0) {a n }为等比数列 通项公式:a n A B n A B 0 {a n }为等比数列 1、等比数列的定义: a n 1 a n 2,且n N * , q 称为公比 n 1 a n ag a i B n a i 0,A B 0,首项:a 1;公比:q 推广:a n a m q a n a m a n m — \ a m 3、等比中项: (1)如果a, A, b 成等比数 那么A 叫做a 与b 的等差中项,即: A 2 ab 或 A ab 注意:同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个( (2)数列a n 是等比数列 2 a n a n 1 a q q A'B n A' ( A, B,A',B'为常数) (1) 用定义:对任意的 都有a n 1 qa n 或旦口 q (q 为常数,a n 0) {a n }为 a n

6、等比数列的证明方法: 依据定义:若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ {a“}为等比数列a n 1 7、等比数列的性质: (2) 对任何m,n N*,在等比数列{a n}中,有a. a m q n m。 (3) 若m n s t(m,n,s,t N*),则a. a m a s a t。特别的,当m n 2k 时,得 2 a n a m a k注:3] a n a2 a n 1 a3a n 2 等差和等比数列比较: 经典例题透析 类型一:等比数列的通项公式

证明或判断等差(等比)数列的常用方法

证明或判断等差(等比)数列的常用方法 湖北省 王卫华 玉芳 翻看近几年的高考题,有关证明、判断数列是等差(等比)数列的题型比比皆是,如何处理这些题目呢且听笔者一一道来. 一、利用等差(等比)数列的定义 在数列 {} n a 中,若 1n n a a d --=(d 为常数)或 1 n n a q a -=(q 为常数),则数列{}n a 为等差(等比)数列.这是证明数列{}n a 为等差(等比)数更最主要的方法.如: 例1.(2005北京卷)设数列{}n a 的首项114a a =≠,且11 214 n n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数 , 记211 1234 n n b a n -=-=,,,,…. (Ⅰ)求23a a ,;(Ⅱ)判断数列{}n b 是否为等比数列,并证明你的结论. 解:(Ⅰ)213211111 44228a a a a a a =+=+==+,; (Ⅱ)43113428a a a =+=+,所以54113 2416 a a a ==+, 所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=- =-=-=-=-=- ? ????? ,,, 猜想:{}n b 是公比为 1 2 的等比数列. 证明如下:因为121221111111()424242 n n n n n b a a a b n *++-??=-=-=-=∈ ???N , 所以{}n b 是首项为14a - ,公比为1 2 的等比数列. 评析:此题并不知道数列{}n b 的通项,先写出几项然后猜测出结论,再用定义证明,这是常规做法。

等差等比数列基础练习题一

等差数列练习题 一、选择题 1、等差数列-6,-1,4,9,……中的第20项为() A、89 B、 -101 C、101 D、-89 2.等差数列{a n}中,a15=33, a45=153,则217是这个数列的() A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中 3、在-9与3之间插入n个数,使这n+2个数组成和为-21的等差数列,则n为() A、4 B、5 C、 6 D、不存在 4、等差数列{a n}中,a1+a7=42, a10-a3=21,则前10项的S10等于() A、 720 B、257 C、255 D、不确定 5、等差数列中连续四项为a,x,b,2x,那么 a :b 等于() A、 B、 C、或 1 D、 6、已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n,而a1,a3,a5,a7,……组成一新数 列{C n},其通项公式为() A、 C n=4n-3 B、 C n=8n-1 C、C n=4n-5 D、C n=8n-9 7、一个项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30 若此数列的最后一项比第-10项为10,则这个数列共有() A、 6项 B、8项 C、10项 D、12项 8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列,其中a1=25, b1=75,且a100+b100=100,则数列{a n+b n}的前100项和为() A、 0 B、 100 C、10000 D、505000

二、填空题 9、在等差数列{a n}中,a n=m,a n+m=0,则a m= ______。 10、在等差数列{a n}中,a4+a7+a10+a13=20,则S16= ______ 。 11.在等差数列{a n}中,a1+a2+a3+a4=68,a6+a7+a8+a9+a10=30,则从a15到 a30的和是 ______ 。 12.已知等差数列 110, 116, 122,……,则大于450而不大于602的各 项之和为 ______ 。 三、解答题 13.已知等差数列{a n}的公差d=,前100项的和S100=145 求: a1+a3+a5+……+a99的值。 14.已知等差数列{a n}的首项为a,记 (1)求证:{b n}是等差数列 (2)已知{a n}的前13项的和与{b n}的前13的和之比为 3 :2,求{b n}的公差。

等差等比数列综合题

高二数学必修五数列单元综合练习题 一、选择题: 1.在等差数列{a n }中,若4612a a +=,n S 是数列{a n }的前n 项和,9S 则的值为 (A )48 (B)54 (C)60 (D)66 2.在等比数列{}n a 中,若0n a >且3764a a =,5a 的值为 (A )2 (B )4 (C )6 (D )8 3.设{}n a 是等差数列,1359a a a ++=,69a =,则这个数列的前6项和等于( ) A.12 B.24 C.36 D.48 4.在等差数列{}n a 中,若34567a +a +a +a +a =450,则28a +a =( ) 5.在等比数列{}n a 中,如果69a =6,a =9,那么3a 为( ) (A )4 (B)23 (C)9 16 (D)2 6.数列{}n a 中,123,6,a a ==且12n n n a a a ++=+,则2004a =( ) B.-3 C.-6 7.数列n {a }中,对任意自然数n ,n 12n a +a ++a =21???-,则22212n a +a ++a ???等于( ) A.()2n 2-1 B. ()2n 12-13 C.n 4-1 D. ()n 14-13 8.在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 5·a 6=9,则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= ( ) A .12 B .10 C .8 D .2+log 35 9.已知数列{a n }是等比数列,其前n 项和为S n =5n +k ,则常数k= ( ) A . 1 B .1 C .0 D .以上都不对 10.数列 的前n 项和为 ( ) A . B . C . D . 11.对于数列{a n },满足 ,则该数列前100项中的最大项和最小项分别是 ( ) A .a 1,a 50 B .a 1,a 44 C .a 45,a 44 D .a 45,a 50 12.已知一等差数列的前四项的和为124,后四项的和为156,又各项和为210,则此等差数列共有( ) A 、8项 B 、7项 C 、6项 D 、5项 二、填空题: }232{3--n n 22124---n n 22724--+n n 22236-+-n n 32128-+-n n 20052004--=n n a n

等差数列、等比数列基础题

等差、等比数列 一、选择题: 1.已知{}n a 为等差数列,且7a -24a =-1, 3a =0,则公差d = A.-2 B.-12 C.12 D.2 2、在等比数列{n a }中,44a =,则26a a ?等于( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 3、在等比数列{n a }中,333S a =,则其公比q 的值为( ) A. 12- B. 12 C. 1或12- D.1-或12 4.已知为等差数列,,则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 5、如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 6、设{}n a 是公比为正数的等比数列,若a 1=1,a 5=16,则数列{}n a 的前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3S =6,1a =4, 则公差d 等于 A .1 B 53 C.- 2 D 3 8、设等比数列{}n a 的公比q=2,前n 项和为n S ,则24a S 等于( ) A.2 B.4 C.215 D.2 17 9、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知3432S a =-,2332S a =-,则公比q =( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10、已知各项均为正数的等比数列{}n a ,123a a a =5,789a a a =10,则456a a a =( ) A. 52 B. 7 C. 6 D. 42 二、填空题: 11、已知{}n a 是等比数列,22=a ,434=-a a ,则此数列的公比=q _________; 12、设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项,则=k _________; 13、若数列{}n a 的前n 项和n S a n -=3,数列{}n a 为等比数列,则实数a 的值是_________;

新课标高考数学题型全归纳:等比数列与等差数列概念及性质对比典型例题

等比数列与等差数列概念及性质对比 1.数列的定义 顾名思义,数列就是数的序列,严格地说,按一定次序排列的一列数叫做数列. 数列的基本特征是:构成数列的这些数是有序的. 数列和数集虽然是两个不同的概念,但它们既有区别,又有联系.数列又是一类特殊的函数.2.等差数列的定义 顾名思义,等差数列就是“差相等”的数列.严格地说,从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列,叫做等差数列. 这个定义的要点有两个:一是“从第2项起”,二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”.这两个要点,刻画了等差数列的本质. 3.等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是:a n= a1+(n-1)d .① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程,又可将a n看作关于变量n的函数,这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具. 从发展的角度看,将通项公式①进行推广,可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质,并由此揭示等差数列公差的几何意义,同时也可揭示在等差数列中,当某两项的项数和等于另两项的项数和时,这四项之间的关系. 4.等差中项 A称作a与b的等差中项是指三数a,A,b成等差数列.其数学表示是: 2b a A + =,或2 A=a+b. 显然A是a和b的算术平均值. 2 A=a+b(或 2b a A + =)是判断三数a,A,b成等差数列 的一个依据,并且,2 A=a+b(或 2b a A + =)是a,A,b成等差数列的充要条件.由此得,等差数列中从第2项起,每一项(有穷等差数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 值得指出的是,虽然用2A=a+b(或 2b a A + =)可同时判定A是a与b的等差中项及A是b 与a的等差中项,但两者的意义是不一样的,因为等差数列a,A,b与等差数列b,A,a不是同一个数列. 5.等差数列前n项的和

等差等比数列练习题(含答案)

一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 ( ) (A )为常数数列 (B )为非零的常数数列 (C )存在且唯一 (D )不存在 2.、在等差数列 {}n a 中,41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列,则{}n a 的通项公式为 ( ) (A )13+=n a n (B )3+=n a n (C )13+=n a n 或4=n a (D )3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列,且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项,则 y c x a +的值为 ( ) (A ) 2 1 (B )2- (C )2 (D ) 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列,x 是a ,b 的等比中项, y 是b ,c 的等比中项,那么2x ,2b ,2y 三个数( ) (A )成等差数列不成等比数列 (B )成等比数列不成等差数列 (C )既成等差数列又成等比数列 (D )既不成等差数列,又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 ( ) (A )22-=n a n (B )28-=n a n (C )12-=n n a (D )n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-,则 ( ) (A )z y x ,,成等差数列 (B )z y x ,,成等比数列 (C ) z y x 1,1,1成等差数列 (D )z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ,则关于数列{}n a 的下列说法中,正确的个数有 ( ) ①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列,也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (A )4 (B )3 (C )2 (D )1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 ( ) (A )1212+-n n (B )212112+-+n n (C )1212+--n n n (D )212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ,且满足 5 524-+= n n B A n n ,则 13 5135b b a a ++的值为 ( ) (A ) 9 7 (B ) 7 8 (C ) 2019 (D )8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 ( ) (A )56 (B )58 (C )62 (D )60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3,9,27,…3n , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列 的前n 项和为 ( )

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等差、等比数列基础练习题及答案 一、选择题 1. 数列 { a n } 满足 a 1=a 2=1, ,若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n 2013 ) ,则 S 的值为( A. 2013 B. 671 C. -671 D. 2.已知数列 { a n } 满足递推关系: a n+1= , a 1= ,则 a 2017=( ) A. B. C. D. 3.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S n =2n-1(n ∈N +),则 a 2017 的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2017 D. 3033 4. 已知正项数列 { a n } 满足 ,若 a 1=1,则 a 10= ( ) A. 27 B. 28 C. 26 D. 29 5. 若数列 {a n } 满足: a 1=2 ,a n+1= ,则 a 7 等于( ) A. 2 B. C. -1 D. 2018 6. 已知等差数列 { a n n 6 3 7 ) } 的前 n 项和为 S ,若 2a =a +6,则 S =( A. 49 B. 42 C. 35 D. 28 7. 等差数列 { a n } 中,若 a 1,a 2013 为方程 x 2 -10x+16=0 两根,则 a 2+a 1007+a 2012=( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 8. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 ,若它的第 k 项满足 2<a k <5, 则 k=() A.2 B.3 C.4 D.5

9.在等差数列 { a n} 中,首项 a1=0,公差 d≠0,若 a k=a1+a2+a3+ +a10,则 k=() A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 10.已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和,则 2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则 S11=() A. 66 B. 55 C. 44 D. 33 二、填空题 1.已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=n2+n,则该数列的通项公式 a n=______. 2.正项数列 { a n} 中,满足 a1=1,a2= , = (n∈N*),那么 a n=______. 3.若数列 {a n} 满足 a1=-2,且对于任意的 m,n∈N*,都有 a m+n=a m+a n,则 a3=______;数列 { a n} 前 10 项的和 S10=______. 4. 数列 { a n} 中,已知 a1=1,若,则 a n=______,若,则 a n =______. 5.已知数列{ a n 1 n+1 n *,则通项公式a n = } 满足 a =-1 ,a =a + ,n∈N ______ . 6. 数列 { a n} 满足 a1=5,- =5(n∈N+),则 a n= ______ . 7. 等差数列 { a n} 中, a1+a4+a7=33,a3+a6+a9=21,则数列 { a n} 前 9 项的和 S9等于 ______.

等差等比数列练习题及答案

等差 、 等比数列练习 一、选择题 1、等差数列{}n a 中,10120S =,那么110a a +=( ) A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2、已知等差数列{}n a ,219n a n =-,那么这个数列的前n 项和n s ( ) A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d =,8010042=+++a a a ,那么=100S A .80 B .120 C .135 D .160. 4、已知等差数列{}n a 中,6012952=+++a a a a ,那么=13S A .390 B .195 C .180 D .120 5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为( ) A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30,前2m 项的和为100,则它的前3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 7、在等差数列{}n a 中,62-=a ,68=a ,若数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( ) A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S = 8、一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,所有项和为390,则这个数列的项数为( ) A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前n 项之和3n 为,且前n 个偶数项的和为)34(2 +n n ,则前n 个奇数项的和为( ) A .)1(32+-n n B .)34(2-n n C .2 3n - D . 3 2 1n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边比为( ) A .6 B .8 C .10 D .12 二.填空题 1、等差数列{}n a 中,若638a a a =+,则9s = . 2、等差数列{}n a 中,若2 32n S n n =+,则公差d = . 3、在小于100的正整数中,被3除余2的数的和是

等差、等比数列证明(补差1)

1. 等差、等比数列证明 例 1:已知数列前n 项和n s n n 22 +=,求通项公式n a ,并说明这个数列是否为等差数列。 解:1=n 时,32111=+==s a ; 2≥n 时,()()[]121222 1-+--+=-=-n n n n s s a n n n 12+=n 因为1=n 时,31121=+?=a 所以12+=n a n 因为2≥n 时,21=--n n a a 为常数,所以{}n a 为等差数列。 例2: 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。 (1)设n n n a a b 21-=+,求证:数列{}n b 是等比数列; (2)设n n n a c 2=,求证:数列{}n c 是等差数列; 证明:(1)2≥n 时 11144-++-=-=n n n n n a a S S a , ()11222-+-=-∴n n n n a a a a , 12-=∴n n b b 又3232112121=+=-=-=a a S a a b {}n b ∴是首项为3,公比为2的等比数列。 (2),232,23111 -+-?=-∴?=n n n n n a a b (),432321 22122111111 1=??=-=-=-∴-++++++n n n n n n n n n n n a a a a c c 又21 21 1==a c , {}n c ∴是首项为21,公差为43 的等差数列。

例3:设数列{}n a 的前n 项的和() +∈++=N n n n S n ,422, ⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ; ⑵证明:数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。 解:⑴由n s 与n a 的关系 ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 得到 74121211=+?+==S a 5742222122=-+?+=-=S S a ()75743232233=+-+?+=-=S S a ⑵当2≥n 时, ()()()[] 12412142221+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n ∴()[](),2121121=+-++=-+n n a a n n 对于任意2≥n 都成立,从而数列 432,,a a a 是等差数列。 注:由于212-=-a a ,故21=-+n n a a 不对任意N n ∈成立,因此,数列{}n a 不是等差数列。 例4:设数列{}n a 的首项11=a ,前n 项和n s 满足关系()t s t ts n n 33231=+--,求证{}n a 为等比数列。 证明如下:3≥n 时: ()t s t ts n n 33231=+-- ()t s t ts n n 332321=+--- 两式相减得:()()()0323211=-+-----n n n n s s t s s t 即:()03231=+--n n a t ta 所以:t t a a n n 3321+=- (这只能说明从第二项开始,后一项与前一项的比为定值,所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明,以达到定义的完整性。) 又因为2=n 时: ()t s t ts 332312=+-

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