二-等差等比数列性质练习题(含答案)以及基础知识点
数列专题 (优秀经典练习题及答案详解).
，已知 S n 求 an ，应分n 1 时a1
S1
；
n 2时， an = Sn Sn1
两步，最后考虑 a1 是否满足后面的an .
4.①在等差数列{an}中，已知 a1，d，m，n，则 d＝ann－ －a11＝ann－－mam(n>1，m≠n)， 从而有 an＝am＋(n－m)d. ②若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.
①等差数列 an a1 (n 1)d ②等比数列 an a1qn1
2.前n项和公式：
①等差数列：
Sn
n(a1an ) 2
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列： Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
3. an 与 Sn 的关系：
Sn
与
an
的关系：an
S1 Sn
(n Sn1
1) (n 1)
故选 A
7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 S9 ＝72，则 a2 ＋a4 ＋a9＝ ________. 7.解析：∵{an}是等差数列，由 S9＝72，得 S9＝9a5，a5＝8， ∴a2＋a4＋a9＝(a2＋a9)＋a4＝(a5＋a6)＋a4＝3a5＝24.
8.已知数列的通项公式 an＝－5n＋2，则其前 n 项和 Sn＝________.
A. 22018 1
B. 32018 6
C.
1 2
2018
7 2
D.
1 3
2018
10 3
6.解析 A：由题可知：当 n 1 时,3S1 2a1 31 ,所以 a1 3 ,
当 n 2 时,
① 3Sn 2an 3n
等比数列经典试题(含答案) 百度文库
一、等比数列选择题1．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1-B ．1C ．2或2-D ．22．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且639S S =，则42aa 的值为（ ）AB ．2C．D ．43．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12B ．18C ．24D ．324．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记{}n a 的前n 项积为nT，则下列选项错误的是（ ） A ．01q << B ．61a >C ．121T >D ．131T >6．12与12的等比中项是（ ）A ．－1B ．1C．2D．2±7．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2B ．4C ．8D ．168．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（ ）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-9．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．811．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏12．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．202013．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6D ．314．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31B ．32C ．63D ．6415．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6B ．7C ．8D ．916．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．817．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1118．已知等比数列的公比为2，其前n 项和为n S ，则33S a =（ ） A ．2B ．4C ．74D ．15819．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．53B ．32C ．43D ．11620．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()21234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ）A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为40024．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=，若112a =，()()*n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为12C ．数列{}n S 递增，最小值为12D ．数列{}n S 递减，最大值为125．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+26．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（ ） A ．34-B ．23-C ．43-D ．32-27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13n S n=C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列28．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（ ） A ．1023B ．341C ．1024D ．34229．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列 C ．5121S =D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥30．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++31．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1na n nb a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）A ．nB ．nqC ．()121n n n q nq nq q q ++---D ．()21121n n n q nq nq q q ++++---32．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）A ．数列{}1n a +是等差数列B ．数列{}1n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <33．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（ ） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列34．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等差数列D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等比数列；35．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为12a =，且53a a =，所以21q =，解得1q =±， 所以91012a a q ==±.故选：C. 2．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题得()4561238a a a a a a ++=++，进而得2q，故2424a q a ==. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为639S S =，所以639S S =， 所以6338S S S -=，即()4561238a a a a a a ++=++， 由于()3456123a a a q a a a ++=++，所以38q =，故2q ，所以2424a q a ==. 故选：D. 3．C 【分析】将已知条件整理为()()22121328a q q q -+=，可得()22183221q q a q +=-，进而可得()4427612249633221q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4q ，利用二次函数的性质即可求出最值. 【详解】因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，所以432111164328a q a q a q a q +--=，()()2221232328a q q q q q ⎡⎤+-+=⎣⎦， 即()()22121328a q q q -+=，所以()22183221q q a q +=-，()()465424761111221248242496963323212121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=⨯==---，令210t q =>，则()222421211t t t q q -=-=--+， 所以211t q==，即1q =时2421q q -最大为1，此时242421q q -最小为24， 所以7696a a +的最小值为24， 故选：C 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 4．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 5．D 【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，可得67(1)(1)0a a --<，因此61a >，71a <，01q <<．进而判断出结论． 【详解】 解：等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，67(1)(1)0a a ∴--<，11a >，若61a <，则一定有71a <，不符合由题意得61a >，71a <，01q ∴<<，故A 、B 正确． 6712a a +>，671a a ∴>，6121231267()1T a a a a a a =⋯=>，故C 正确，131371T a =<，故D 错误，∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12．故选：D ． 6．D 【分析】利用等比中项定义得解. 【详解】2311()((2-==，的等比中项是 故选:D 7．C 【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2318a a q ==．8．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---， 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可. 9．D 【分析】利用已知条件求得1,a q ，由此求得1a q +. 【详解】依题意222111131912730a a q a q a a q q q ⎧⋅===⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩，所以14a q +=. 故选：D 10．C 【分析】利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】根据题意，等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=， 则有222288216a a a a ++=，即()22816a a +=， 又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=．11．C 【分析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ⨯-==-， 解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏. 故选：C 【点睛】思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 12．C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.13．D由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k . 【详解】k a 是1a 与2k a 的等比中项212k k a a a ∴=，()()2111121a k d a a k d ⎡⎤∴+-=+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()223423k d d k d ∴+=⨯+，3k ∴=.故选:D 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. 14．C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 15．B 【分析】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =， 5(12)312012n n S -∴=-，解得2125n ． 因为6264=，72128=∴该女子所需的天数至少为7天．故选：B 16．C 【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得378a =，所以72a =，因此231174a a a ==.故选：C. 17．B 【分析】根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =. 所以31a =，211a q ∴=，因为13q =，所以19a =. 因此()3131131a q S q-==-.故选：B 18．C 【分析】利用等比数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可得答案 【详解】解：因为等比数列的公比为2，所以31312311(12)7712244a S a a a a --===⋅， 故选：C 19．B 【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得22q q =+，解得2q，根据存在两项m a 、n a14a =14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出． 【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足：7652a a a =+，22q q ∴=+，解得2q，存在两项m a 、n a14a =，∴14a =，6m n ∴+=，m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，则14m n+的最小值为143242+=．故选：B ． 20．B 【分析】由12340a a a a +++≥可得出1q ≥-，进而得出1q >-，再由11a >得出0q <，即可根据q 的范围判断大小. 【详解】设等比数列的公比为q ， 则()()()2321234111+++1+1+0a a a a a q q qa q q +++==≥，可得1q ≥-，当1q =-时，12340a a a a +++=，()21230a a a ++≠，1q ∴>-，()21234123a a a a a a a +++=++，即()223211+++1++q q q a q q =，()231221+++11++q q q a q q ∴=>，整理得432++2+0q q q q <，显然0q <，()1,0q ∴∈-，()20,1q ∈，()213110a a a q ∴-=->，即13a a >，()()32241110a a a q q a q q ∴-=-=-<，即24a a <.故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的性质，解题的关键是通过已知条件判断出()1,0q ∈-，从而可判断大小.二、多选题 21．无 22．无23．AC 【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 【详解】由题可知，第一次着地时，1100S =；第二次着地时，221002003S =+⨯；第三次着地时，232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；……第n 次着地后，21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为40070010033+=； 综上所述，AC 正确 故选：AC 24．AC 【分析】计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可 【详解】 解：因为112a =，所以1(1)2f =， 所以221(2)(1)4a f f ===， 31(3)(1)(2)8a f f f ===，……所以1()2n n a n N +=∈，所以11(1)122111212n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112S a ==， 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题 25．ABC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确．由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 26．BD 【分析】先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中，再求等比数列的公比. 【详解】 4n n b a =+ 4n n a b ∴=-数列{}n b 有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中又数列{}n a 是公比为q 的等比数列，∴在集合{54-，24-，18，36，81}中，数列{}n a 的连续四项只能是：24-，36，54-，81或81，54-，36，24-.∴363242q ==--或243236q -==-. 故选：BD 27．ABD由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求得n S ，利用n S 求出n a ，并确定3n S 的表达式，判断D ． 【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确； 公差为3，又11113S a ==，所以133(1)3n n n S =+-=，13n S n=．B 正确；2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，∴{}3n S 是等比数列，D 正确．故选：ABD ． 【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．28．AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±， 当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 29．ACD 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ⋅=⋅⇒=⇒=，因此选项A 正确；因为131(31)132n n n S -==--，所以131+2+2(3+3)132nn n S -==-， 因为+1+111(3+3)+222=1+1+21+3(3+3)2n nn n n S S -=≠常数， 所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确； 因为551(31)=1212S =-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=⋅=>，因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++⋅=，所以选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 30．AD 【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列． 31．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项∴2428a a a =,即()()()211137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,故1n a =或n a n =,所以n b q =或nn b n q =⋅,设{}n b 的前n 项和为n S ,①当n b q =时,n S nq =；②当nn b n q =⋅时,23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）,2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2）,（1）-（2）得：()()2311111n nn n n q q q S q q q q n qn q q++--=+++-⨯=-⨯-+⋅⋅,所以121122(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---,故选：BD 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 32．BCD 【分析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得n a ，1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，则12nn a +=，即21n n a =-，又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 33．BC 【分析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0， 故a 2＞0，a 3＞0． 根据根与系数的关系，可知a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根． 解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4． 故必有公比q ＞0， ∴a 12a q=＞0． ∵等比数列{a n }是递增数列，∴q ＞1． ∴a 2＝4，a 3＝8满足题意． ∴q ＝2，a 12a q==2．故选项A 不正确． a n ＝a 1•q n ﹣1＝2n ． ∵S n ()21212n -==-2n +1﹣2．∴S n +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．∴数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确． S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确． ∵lga n ＝lg 2n ＝n ．∴数列{lga n }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确． 故选：BC 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 34．ABD 【分析】根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案. 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，即为12n a a a ++⋯+，12n n a a ++⋯+，213n n a a ++⋯+，⋯，即为22322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，故C 正确；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列.故D 不正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 35．AB 【分析】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得111ni i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确;1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451ni i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误.故选:AB.【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.。
等比数列练习题(有答案) 百度文库
1．已知等比数列 中， 是其前 项和，且 ，则 （）
A． B．
C． D．
2．在等比数列 中， ， ，则 （）
A． B． C． D．
3．已知正项等比数பைடு நூலகம் 满足 ， ，又 为数列 的前 项和，则 （）
A． 或 B．
C． D．
4．若1， ，4成等比数列，则 （）
A．1B． C．2D．
5．已知 是正项等比数列且 ， ， 成等差数列，则 （）
A．31B．32C．63D．64
19．已知等比数列 的 项和 ，则 （）
A． B． C． D．
20．已知等比数列{an}中a1010＝2，若数列{bn}满足b1＝ ，且an＝ ，则b2020＝（）
A．22017B．22018C．22019D．22020
二、多选题21．题目文件丢失！
22．题目文件丢失！
23．已知等差数列 ，其前n项的和为 ，则下列结论正确的是（）
A．数列| 为等差数列B．数列 为等比数列
C．若 ，则 D．若 ，则
24．若数列 的前 项和是 ，且 ，数列 满足 ，则下列选项正确的为（）
A．数列 是等差数列B．
C．数列 的前 项和为 D．数列 的前 项和为 ，则
25．已知数列 的前 项和为 ，且 ， （ ， 为非零常数），则下列结论正确的是（）
A．3B．12C．24D．48
11．已知数列 是等比数列， 为其前 项和，若 ，则 （）
A．50B．60C．70D．80
12．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有 ， ， ．据此，可得正项等比数列 中， （）
经典等差数列性质练习题(含答案)讲解学习
等差数列基础习题选（附有详细解答）一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣12．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．264．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一25．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．48．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．119．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．1910．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．111．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．A．﹣1 B．1C．3D．714．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．916．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24 17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或718．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．17619．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0C．1D．220．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．921．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4D．522．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12 B．10 C．8D．423．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．9524．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．10025．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．4A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=_________．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=_________．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为_________．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣1考点：等差数列．专题：计算题．分析：本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案．解答：解：等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列考点：等差数列．专题：计算题．分析：直接根据数列{a n}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．解答：解：因为a n=2n+5，所以a1=2×1+5=7；a n+1﹣a n=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．26考点：等差数列．专题：综合题．分析：根据a1=13，a3=12，利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．解答：解：由题意得a3=a1+2d=12，把a1=13代入求得d=﹣，则a n=13﹣（n﹣1）=﹣n+=2，解得n=23故选A点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一2考点：等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，∴a2=2∵a4=8，∴8=2+2d∴d=3，故选C．点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算．5．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．考点：等差数列．专题：计算题．分析：由于a，b的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．解答：解：1与5的等差中项为：=3，故选B．点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a，b的等差中项为：是解题的关键，属基础题．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：等差数列．专题：计算题．分析：设等差数列{a n}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公差为整数进而求出数列的公差．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，所以a6=23+5d，a7=23+6d，又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=﹣4．故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．7．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值．解答：解：∵为等差数列，，，∴∴b n=b3+（n﹣3）×2=2n﹣8∵∴b8=a8﹣a1∵数列的首项为3∴2×8﹣8=a8﹣3，∴a8=11．故选D点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题．9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．19考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n}，则a1=11∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，∴{a n}的公差d=3×4=12，∴a n=11+12（n﹣1）=12n﹣1．又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴a n=12n﹣1≤302，即n≤25.5．又∵n∈N*，∴两个数列有25个相同的项．故选A解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a n}与{b n}，则a n=3n+2，b n=4n﹣1．设{a n}中的第n项与{b n}中的第m项相同，即3n+2=4m﹣1，∴n=m﹣1．又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r﹣1．根据题意得1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得≤r≤∵r∈N*从而有25个相同的项故选A点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．1考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据递推公式求出公差为2，再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值．解答：解：∵a n=a n﹣1+2（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2），∴等差数列{a n}的公差是2，由S3=3a1+=9解得，a1=1．故选D．点评：本题考查了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5考点：等差数列的性质．分析：用通项公式来寻求a1+a8与a4+a5的关系．解答：解：∵a1+a8﹣（a4+a5）=2a1+7d﹣（2a1+7d）=0∴a1+a8=a4+a5∴故选B点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1C．3D．7考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前n项的和．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=4，a6=12；∴公差d=；∴a n=a2+（n﹣2）×2=2n；∴；∴的前n项和，=两式相减得=∴故选B点评：求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9故选D点评：本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差中项的性质求得a3的值，进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值，代入等差数列的求和公式中求得答案．解答：解：a1+a3+a5=3a3=15，∴a3=5∴a1+a6=a3+a4=12∴s6=×6=36故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由，知a1+a11=0．由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．解答：解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选C．点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．18．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．A．﹣1 B．0C．1D．2考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由等差数列得性质可得：5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4，再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0解答：解：由等差数列得性质可得：a1+a9=a3+a7=2a5，又a1+a3+a5+a7+a9=10，故5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4．再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0故选B点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．20．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．解答：解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣9，∴a n=2n﹣9．∵4＜a k＜7，∴4＜2k﹣9＜7，∴＜k＜8，又∵k∈N+，∴k=7，故选B．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．21．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4D．5考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：把数列的前n项的和S n看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到S n取得最小值时n的值．解答：解：因为S n=2n2﹣17n=2﹣，又n为正整数，所以当n=4时，S n取得最小值．故选C点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题．A．12 B．10 C．8D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，先求出a1，d，再由等差数列的前n项和公式求S4．解答：解：∵等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，∴a1=2﹣4=﹣2，a2=4﹣4=0，d=0﹣（﹣2）=2，∴S4=4a1+=4×（﹣2）+4×3=4．故选D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和．23．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．95考点：等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和．解答：解：a3=a1+2d=4①，a8=a1+7d=19②，②﹣①得5d=15，解得d=3，把d=3代入①求得a1=﹣2，所以S10=10×（﹣2）+×3=115故选C．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．24．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．100考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据条件并利用等差数列的定义和性质可得a1+a10=5，代入前10项和S10 =运算求得结果．解答：解：等差数列{a n}中，a3+a8=5，∴a1+a10=5，∴前10项和S10 ==25，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前n项和公式的应用，求得a1+a10=5，是解题的关键，属于基础题．25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由S1，S2，S4成等比数列，根据等比数列的性质得到S22=S1S4，然后利用等差数列的前n项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0，即可求出公差与首项的关系并解出公差d，然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d的关系式代入即可求出比值．解答：解：由S1，S2，S4成等比数列，∴（2a1+d）2=a1（4a1+6d）．∵d≠0，∴d=2a1．∴===3．故选C点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．26．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项考点：等差数列的前n项和；二次函数的性质．专题：转化思想．分析：方法一：由a n，令n=1求出数列的首项，利用a n﹣a n﹣1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，得到前n项的和与n成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当n=﹣时，前n项的和有最大值，即可得到正确答案；方法二：令a n大于等于0，列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案．解答：解：方法一：由a n=﹣2n+21，得到首项a1=﹣2+21=19，a n﹣1=﹣2（n﹣1）+21=﹣2n+23，则a n﹣a n﹣1=（﹣2n+21）﹣（﹣2n+23）=﹣2，（n＞1，n∈N+），所以此数列是首项为19，公差为﹣2的等差数列，则S n=19n+•（﹣2）=﹣n2+20n，为开口向下的抛物线，当n=﹣=10时，S n最大．所以数列{a n}从首项到第10项和最大．方法二：令a n=﹣2n+21≥0，解得n≤，因为n取正整数，所以n的最大值为10，所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，则数列{a n}从首项到第10项的和最大．故选A点评：此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n 的值；也可以直接令a n≥0，求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解．二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．解答：解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a1=3，∴=，∴数列的通项是∴故答案为：点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=101．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，依次令n=1，2，3，…，总结规律得到f（n）=n+1，由此能够求出f（100）．解答：解：∵f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，∴f（2）=f（1）+1=2+1=3，f（3）=f（2）+1=3+1=4，f（4）=f（3）+1=4+1=5，…∴f（n）=n+1，∴f（100）=100+1=101．故答案为：101．点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为58．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先求出等差数列的前两项，可得通项公式为a n=7﹣2n，从而得到n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|= 2n﹣7．分别求出前3项的和、第4项到第10项的和，相加即得所求．解答：解：由于等差数列{an}的前n项的和，故a1=s1=5，∴a2=s2﹣s1=8﹣5=3，故公差d=﹣2，故a n=5+（n﹣1）（﹣2）=7﹣2n．当n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|=2n﹣7．故前10项之和为a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=+=9+49=58，故答案为58．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式及其应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）将已知条件a3a6=55，a2+a7=16，利用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项与公差，进一步求出数列{a n}的通项公式（2）将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列{b n}的通项，利用等比数列的前n项和公式求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解（1）解：设等差数列{a n} 的公差为d，则依题设d＞0由a2+a7=16．得2a1+7d=16①由a3•a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55 ②由①得2a1=16﹣7d 将其代入②得（16﹣3d）（16+3d）=220．即256﹣9d2=220∴d2=4，又d＞0，∴d=2，代入①得a1=1∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1所以a n=2n﹣1（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c n，a n+1=c1+c2+…+c n﹣1两式相减得a n+1﹣a n=c n+1，由（1）得a1=1，a n+1﹣a n=2∴c n+1=2，c n=2（n≥2），即当n≥2时，b n=2n+1又当n=1时，b1=2a1=2∴b n=＜BR＞于是S n=b1+b2+b3…+b n=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6，即S n=2n+2﹣6点评：求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项，利用通项的特点，然后选择合适的求和的方法．。
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（ ） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
人教版高中数学选择性必修第二册 等比数列的概念(第2课时)分层作业(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的概念(第2课时)分层作业(解析版)(60分钟110分)基础对点练基础考点分组训练知识点1等比数列的性质1．(5分)公比不为1的等比数列{a n}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2a m＝4，则m的值为() A．8B．9C．10D．112．(5分)已知等比数列{a n}的公比q为正数，且a3a9＝2a25，a2＝1，则a1＝()A．12B．22C．2D．23．(5分)在等比数列{a n}中，若a7＝－2，则该数列的前13项的乘积等于()A．－213B．213C．26D．－26知识点2等比数列的实际应用4．(5分)一张报纸的厚度为a，面积为b，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为()A．8a，18b B．64a，164bC．128a，1128b D．256a，1256b5．(5分)某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a？()A．6B．7C．8D．9知识点3等比数列的综合应用6．(5分)已知等差数列{a n}的首项a1和公差d均不为零，且a2，a4，a8成等比数列，则a1＋a5＋a9 a2＋a3＝()A．6B．5C．4D．37．(5分)已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则数列{a n}前6项的和为()A．－20B．－18C．－16D．－14(a5＋a7＋8．(5分)已知数列{a n}满足log3a n＋1＝log3a n＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log13a9)的值为()A．－5B．－15C．5D．159．(5分)已知数列{a n}是公比为2的等比数列，满足a6＝a2a10.设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b9＝2a7，则S17＝()A．34B．39C．51D．68能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)在等比数列{a n}中，a1＝1，公比q≠±1.若a m＝a1a2a3a4a5，则m等于()A．9B．10C．11D．1211．(5分)已知等比数列{a n}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于() A．33B．84C．72D．18912．(5分)(多选)在正项等比数列{a n}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，a n－1a n a n＋1＝324，则()A．q2＝3B．a32＝4C．a4a6＝23D．n＝1413.(5分)已知数列{a n}是等比数列，且a3＋a5＝18，a9＋a11＝144，则a6＋a8＝________.14.(5分)公差不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.15.(10分)设公比不为1的等比数列{a n}满足a1a2a3＝－1，a4，a3成等差数8，且a2列，求a1.16.(10分)已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，求这四个数．17.(10分)已知数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列．(1)求证：当0<q<1时，{a n}是递减数列．(2)若对任意k∈N*，都有a k，a k＋2，a k＋1成等差数列，求q的值．18.(10分)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n＋1＝4a n＋2，且b n＝a n＋1－2a n.(1)求证：数列{b n}是等比数列．(2)求数列{a n}的通项公式．人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的概念(第2课时)分层作业(解析版)(60分钟110分)基础对点练基础考点分组训练知识点1等比数列的性质1．(5分)公比不为1的等比数列{a n}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2a m＝4，则m的值为() A．8B．9C．10D．11B解析：∵公比不为1的等比数列{a n}满足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4.∵a2·a m＝4，∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.故选B.2．(5分)已知等比数列{a n}的公比q为正数，且a3a9＝2a25，a2＝1，则a1＝()A．12B．22C．2D．2 B解析：∵a3a9＝a26，∴a6＝2a5，∴q＝2.∵a2＝a1q＝1，∴a1＝2 2 .3．(5分)在等比数列{a n}中，若a7＝－2，则该数列的前13项的乘积等于()A．－213B．213C．26D．－26A解析：a1·a2·…·a13＝(a7)13＝(－2)13＝－213.知识点2等比数列的实际应用4．(5分)一张报纸的厚度为a，面积为b，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为()A．8a，18b B．64a，164bC．128a，1128b D．256a，1256bC解析：对折后，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和12，∴对折7次后的厚度为27·a＝128a，面积为·b＝b128.5．(5分)某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a？()A．6B．7C ．8D ．9C解析：由题意知每年的产值构成以1.1a 为首项，公比为1.1的等比数列，则a n ＝a ·1.1n .∴a ·1.1n >2a .∵1.17<2,1.18>2，∴n ＝8.知识点3等比数列的综合应用6．(5分)已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 均不为零，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝()A ．6B ．5C ．4D ．3D解析：∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2＝a 1d .又d ≠0，a 1≠0，∴d ＝a 1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1≠0，∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝a 1＋5a 1＋9a 12a 1＋3a 1＝3.故选D ．7．(5分)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则数列{a n }前6项的和为()A ．－20B ．－18C ．－16D ．－14B解析：∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1·a 4.∴(a 1＋4)2＝a 1·(a 1＋6)．∴a 1＝－8.∴S 6＝6×(－8)＋6×5×22＝－18.8．(5分)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值为()A ．－5B ．－15C ．5D ．15A解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，∴log 3a n ＋1a n ＝1，∴a n ＋1a n＝3，∴{a n }是等比数列，公比为3.∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[(a 2＋a 4＋a 6)·q 3]＝log 13(9×27)＝－5.9．(5分)已知数列{a n }是公比为2的等比数列，满足a 6＝a 2a 10.设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 9＝2a 7，则S 17＝()A ．34B ．39C ．51D ．68D解析：∵a 6＝a 2a 10＝a 26，∴a 6＝1.∴a 7＝2a 6＝2.∴b 9＝4.∴S 17＝17(b 1＋b 17)2＝17b 9＝17×4＝68.能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ≠±1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于()A ．9B ．10C ．11D ．12C解析：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝q 10＝a 11，∴m ＝11.11．(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于()A ．33B ．84C ．72D ．189B解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 1＋a 3＝4a 2，即12＋3q 2＝4×3q ，解得q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝3×(22＋23＋24)＝84.12．(5分)(多选)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则()A ．q 2＝3B ．a 32＝4C ．a 4a 6＝23D ．n ＝14B D解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，a 32＝4，a 35＝12，AC 不正确．又a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.故选BD ．13.(5分)已知数列{a n }是等比数列，且a 3＋a 5＝18，a 9＋a 11＝144，则a 6＋a 8＝________.±362解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 9＋a 11a 3＋a 5＝q 6＝14418＝8，∴q 3＝±2 2.∴a 6＋a 8＝(a 3＋a 5)·q 3＝18×(±22)＝±36 2.14.(5分)公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.16解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.15.(10分)设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，且a 2，a 4，a 3成等差数列，求a 1.解：设{a n }的公比为q (q ≠1)，∵a 1a 2a 3＝a 32＝－18，∴a 2＝－12.∵a 2，a 4，a 3成等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 3.∴2q 2＝－12＋q ，解得q ＝－12或q ＝1(舍)．∴a 1＝a2q＝1.16.(10分)已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，求这四个数．解：设四个数依次为a ，aq ，aq 2，aq 3，4q 6＝1，(1＋q )＝－32，＝－18，＝－4＝8，＝－14.故所求四个数依次为－18，12，－2,8或8，－2，12，－18.17.(10分)已知数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．(1)求证：当0<q <1时，{a n }是递减数列．(2)若对任意k ∈N *，都有a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列，求q 的值．(1)证明：∵a n ＝q n －1，∴a n ＋1－a n ＝q n －q n －1＝q n －1(q －1)．当0<q <1时有q n －1>0，q －1<0，∴a n ＋1－a n <0，∴{a n }为递减数列．(2)解：∵a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列，∴2a k ＋2＝a k ＋a k ＋1.∴2q k ＋1－(q k －1＋q k )＝0，即q k －1·(2q 2－q －1)＝0.∵q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.18.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2，且b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }是等比数列．(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由S n ＋1＝4a n ＋2，S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减，得S n ＋2－S n ＋1＝4(a n ＋1－a n )，即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2.当n ＝1时，由S 2＝4a 1＋2得a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3，∴{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知等比数列{b n }中，首项b 1＝3，公比q ＝2，∴a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，则a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，是首项为12，公差为34的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14，∴a n ＝(3n －1)·2n －2.。
等差、等比数列的性质及经典练习题
等比数列的性质
1.等比数列 中， 为方程 的两根，则 的值为（）
2.已知 是首项为1的等比数列， 是 的前n项和，且 ，则数列 的前5项和为
（A） 或5（B） 或5（C） （D）
3.已知数列 成等差数列, 成等比数列，则
A、 B、— C、 或— D、
15.在等差数列 中, ,则使它的前n项和 取最大值的自然数 ___
16..等差数列 , 的前n项和分别为Sn、Tn,若 = ,则 =_____ .
17.在等比数列 中, ,则 的值等于______________.
18.设 为公比大于1的等比数列，若 是方程 的两根，则
___________.
19.某等比数列中,前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为_________.
A.60 B.85 C. D.75
3.设函数f(x)满足f(n+1)= (n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为( )
A.95B.97C.105D.192
4.若 是等差数列，首项 ，则使前n项和 成立的最大自然数n是( )
A．4021 B．4022C．4023D．4024
5.在等差数列 中，若 ,则n的值为( )
4.等比数列 中， 为方程 的两根，则 的值为（）
5.等比数列 的各项均为正数，且 ＝18，则 ＝( )
A．12 B．10 C．8 D．2＋
6. 是公差不为0的等差 的前 项和，且 成等比数列，则 等于（）
A. 4 B. 6 C.8 D.10
7.公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 是 与 的等比中项， 则 等于
A.RB.(0, C.［4,+ D.(-∞,0］∪［4,+∞)
【专题训练】数列(等差、等比) 知识点总结及题型归纳
基本量法求数列的通项公式11.复习 等差数列(1)定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常．数．，那么这个数列就叫等差数列, 1(2)n n a a d n --=≥d a a n n =1--d a a n n =2-1--（由定义，累加法推得通项公式）…… d a a =12-(2)通项公式1(1)n a a n d =+-(3)性质: 在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；(4)前项和公式d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=等比数列(1)定义 : 如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，1n a +：(0)n a q q =≠ (2)通项公式11-⋅=n n q a a(3)性质:在等比数列{}n a 中，q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若),,,(*∈N q p n m 其中(4)前项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a qq a q na S n nn例1（2015年全国卷I ） n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+，（1）求{}n a 的通项公式：变式1：（湖北省武汉部分重点中学2020届高三起点考试）已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9 （1）求数列{a n }的通项公式；变式2：已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；例2已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2n n S a n =-.（1） 证明数列{1n a +}是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式；变式1：（湖北省黄冈中学2019届高三数学模拟试题1）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，a 3＋a 5＝564.(1)求数列{a n }的通项公式；变式3：已知数列{}n a ，{}n b ，其中1,511-==b a ，且满足)3(2111---=n n n b a a ，)3(2111----=n n n b a b ，2*,≥∈n N n .（1）求证：数列{}n n b a -为等比数列，并求数列{a n }、{b n }的通项公式；例3 .已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式； 变式（浙江省名校联盟2020届高三第一次联考试题）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项．数列{}n b的通项公式nn b =Νn *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；数列（等差、等比）知识点清单一、数列的概念1.数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
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一、选择题
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）
（A）为常数数列（B）为非零的常数数列（C）存在且唯一（D）不存在
2.、在等差数列 中， ,且 , , 成等比数列，则 的通项公式为（）
（A） （B） （C） 或 （D） 或
3、已知 成等比数列，且 分别为 与 、 与 的等差中项，则 的值为（）
一、等差等比数列基础知识点
（一）知识归纳：
1．概念与公式：
①等差数列：1°.定义：若数列 称等差数列；
2°.通项公式：
3°.前n项和公式：公式：
②等比数列：1°.定义若数列 （常数），则 称等比数列；2°.通项公式： 3°.前n项和公式： 当q=1时
2．简单性质：
①首尾项性质：设数列
1°.若 是等差数列，则
2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或 ，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“ ”④四数成等比数列，可设四数为“ ”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.
19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。
20、已知 为等比数列， ，求 的通项式。
21、数列 的前 项和记为
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又 成等比数列，求
（A） （B） （C） （D）
6、已知 ，则（）
（A） 成等差数列（B） 成等比数列（C） 成等差数列（D） 成等比数列
7、数列 的前 项和 ，则关于数列 的下列说法中，正确的个数有（）
①一定是等比数列，但不可能是等差数列②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列
（A） （B） （C） （D）不确定
4、互不相等的三个正数 成等差数列， 是a,b的等比中项， 是b,c的等比中项，那么 ， ， 三个数（）
（A）成等差数列不成等比数列（B）成等比数列不成等差数列
（C）既成等差数列又成等比数列（D）既不成等差数列，又不成等比数列
5、已知数列 的前 项和为 , ,则此数列的通项公式为（）
[例1]解答下述问题：
（Ⅰ）已知 成等差数列，求证：
（1） 成等差数列；
（2） 成等比数列.
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，
[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.
（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为
2°.若 是公差为q的等比数列， 组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）
⑤若 是等比数列，
则顺次n项的乘积： 组成公比这 的等比数列.
⑥若 是公差为d的等差数列,
1°.若n为奇数，则 而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；
2°.若n为偶数，则
（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
，求项数n.
[解析]设公比为
（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
求数列
[解析]
[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.
[例3]解答下述问题：
（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
（A）4（B）3（C）2（D）1
8、数列1 ,前n项和为（）
（A） （B） （C） （D）
9、若两个等差数列 、 的前 项和分别为 、 ，且满足 ，则 的值为（）
（A） （B） （C） （D）
10、已知数列 的前 项和为 ,则数列 的前10项和为（）
（A）56（B）58（C）62（D）60
11、已知数列 的通项公式 为,从 中依次取出第3，9，27，…3n,…项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为（）
[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，
设等差数列的三项分别为a－d,a,a+d，则有
（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.
[解析]设此四数为 ,
解得 所求四数为47，57，67，77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.
14、已知等差数列 ，公差 , 成等比数列，则 =
15、已知数列 满足 ,则 =
16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为
二、解答题
17、已知数列 是公差 不为零的等差数列，数列 是公比为 的等比数列， ，求公比 及 。
18、已知等差数列 的公差与等比数列 的公比相等，且都等于 , ， , ,求 。
2°.若 是等比数列，则
②中项及性质：
1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且
2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且
③设p、q、r、s为正整数，且
1°.若 是等差数列，则
2°.若 是等比数列，则
④顺次n项和性质：
1°.若 是公差为d的等差数列， 组成公差为n2d的等差数列；
（A） （B） （C） （D）
12、下列命题中是真命题的是( )
A．数列 是等差数列的充要条件是 ( )
B．已知一个数列 的前 项和为 ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
C．数列 是等比数列的充要条件
D．如果一个数列 的前 项和 ,则此数列是等比数列的充要条件是
二、填空题
13、各项都是正数的等比数列 ，公比 ,成等差数列，则公比 =