等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理

第一节：等差数列的公式和相关性质

1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：

1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差

推广公式：()n m a a n m d =+-

变形推广：m

n a a d m

n --= 3、等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，

那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

b

a A +=

或b a A +=2

（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列

)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a

4、等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a S +=

1(1)

2n n na d -=+ 211()2

2

d n a d n =+-2An Bn =+

（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项

()()()12121121212

n n n n a a S n a +++++=

=

+（项数为奇数的等差数列的各项

和等于项数乘以中间项）

5、等差数列的判定方法

（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．

（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列

)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a

（3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法

定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．

7、等差数列相关技巧：

（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、

d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中

的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项1(1)n a a n d =+-

②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；

③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ）

8、等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和

211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系

数之和相等。

（4）{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列

(6) 数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列

（7）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，则2121

n n n

n a A b B --=

（8）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m+n 项和()m n S m n +=-+，当然也有,n m a m a n ==，则0m n a +=

(9)求n S 的最值

法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和

即当，，001<>d a 由??

?≤≥+00

1

n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值． （2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

即 当，，001>

?≥≤+00

1

n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值． 或求{}n a 中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若S p = S q 则其对称轴为2

p q

n +=

注意：1(2)n n n S S a n --=≥，对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当1n =的情况。

解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和d 的方程； ②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是很难，并能够学会运用）

第二节：等比数列的相关公式和性质

1、等比数列的定义：()()1

2n

n a q q n a -=≠≥0，q 为公比 2、通项公式：

11n n a a q -=，1a 为首项，q 为公比

推广公式：n m n m a a q -=， 从而得n m n

m

a q a -= 3、等比中项

（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：

2A ab =或A ab =±

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项

有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列{}n a 是等比数列?211n n n a a a -+=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a q

S q

q

--==-- 11''11n n n a a

q A A B A B A q q

=

-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有1

1(0)n n n n n

a a qa q q a a ++==≠或为常数，?{}n a 为等比数列

（2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）?{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0n n a A B A B =??≠?{}n a 为等比数列 （4） 前n 项和公式：

()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-?=-或为常数?{}n a 为等比数列

6、 等比数列的证明方法 依据定义：若

()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=?{}n a 为等比数列 7、等比数列相关技巧：

（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、

q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中

的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：

11n n a a q -=

如奇数个数成等比，可设为…，

2

2

,,,,a a a aq aq q q

…（公比为q ，中间项用a 表示）；注意隐含条件公比q 的正负 8、等比数列的性质： (1) 当1q ≠时

①等比数列通项公式()1110n n

n n a a a q q A B A B q

-==

=??≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q

q q q

--=

=-=-?=-----，系

数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q

(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3) 若m n s t +=+(,,,m n s t ∈*N ),则n m s t a a a a ?=?。特别的,当2m n k +=时,得2n m k a a a ?=

注：12132n n n a a a a a a --?=?=???

(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n k a ,{}n k a ?,{}k n a ,{}n n k a b ??{}n n

a b (k 为非零常数) 均为等比数列。

(5) 数列{}n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等比数列

(6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列 (7) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列 (8) 若{}n a 为等比数列,则数列12n a a a ??????,122n n n a a a ++??????,

21223n n n a a a ++???????成等比数列

(9) ①当1q >时， ②当1q <0<时，

110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列

，则为递减数列, 110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列。

(10)在等比数列{}n a 中, 当项数为2n (n ∈*N )时,

1

S S q

=奇偶

,。 (11)若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+?

注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，一定要考虑到公比1q =的特殊情况。

解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和q 的方程； ②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。

关于等差、等比两个引申：1n n a ka b -=+模式（其中,k b 为常数，2n ≥）

；1n n n a pa p -=+模式（其中p 为常数，2n ≥） 在这里我们以具体的例子给出，使其更容易理解：

例1 已知数列{}n a ，有134n n a a -=+（2n ≥），则求该数列的通项公式

解题大致思路：先设13()n n a b a b -+=+，则对于134n n a a -=+?123(2)n n a a -+=+，那么我们就可以构造数列{}2n a +为等比数列，利用等比的相关性质去解决，注意：构造新数列的首项和公比分别是多少？还有你考虑到当1n =的这种情况了吗？

例2 已知数列{}n b ，有122n

n n b b -=+（2n ≥），求该数列的通项公式

解题的大致思路：122n

n n b b -=+（2n ≥）?

12122n n n n b b -=+?1

1122

n n n n b b --=+，相信你已经知道构造什么数列了吧，这两个模式考试中喜欢考，也比较基础，当然也希望通过这两个

模式能让你意识到求数列中的构造思想。