江苏省2020届高考数学精编模拟试题(十二)
江苏省2020届高三数学下学期压轴卷含解析
【解析】
【分析】
由已知求得a6，再由S11＝11a6求得答案．
【详解】由a9 a12+6，得2a9﹣a12＝12，
即2a1+16d﹣a1﹣11d＝12，∴a1+5d＝12，a6＝12．
则S11＝11a6＝11×12＝132．
故答案为：132
点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和,是基础的计算题．
当 时, ,当 时, ,
令 ，则 ， ， ， ， ， ，
设 ， ， 所以 ， ，函数 单调递减， ，
的值域为 , 取值范围为 ,
故答案为: .
【点睛】本题考查分段函数的零点问题，关键在于讨论自变量的范围得出函数的表达式，再运用导函数得出函数的图象趋势，得出 的函数解析式，属于难度题。
14。 在 中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S,则 的最大值为______
【答案】
【解析】
【分析】
由 ， 都是锐角，得出 的范围，由 和 的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出 和 的值,然后把所求式子的角 变为 ，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值．
【详解】解： ， 都是锐角， ，
又 ， ，
， ,
则
．
故答案为:
【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．
（1）求椭圆 的方程；
（2)设斜率不为零的直线 与椭圆 的另一个交点为 ，且 的垂直平分线交 轴于点 ,求直线 的斜率。
【答案】（1) （2) 或
【解析】
【分析】
（1）由题得到关于a，b,c的方程，解方程组即得椭圆的标准方程；(2）设直线 的方程为 ，线段 的中点为 ，根据 ,得 ，解方程即得直线PQ的斜率.
2020届江苏省普通高中高三下学期高考全真模拟卷(四)数学试题(解析版)
绝密★启用前
江苏省普通高中
2020届高三下学期高考全真模拟卷(四)
(南通密卷)
数学试题
(解析版)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集运算即可求解.
【详解】因为，，
所以
【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于容易题.
2.已知复数，其中i为虚数单位，则的模是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的运算求出，求复数模即可.
【详解】因为，
所以，
故，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,复数的模,属于容易题.
3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n的值是
___________．
【答案】108
【解析】
【分析】
根据小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2,可知分层抽样时,高中生按的比例抽样即可求解.
【详解】因为小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2,
所以样本中高中生人数为,
解得,
故答案为：108
【点睛】本题主要考查了分层抽样,样本容量,属于容易题.
4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x的值为5,那么输出的y的值是
___________．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据框图,模拟程序运算即可求解.。
江苏省2020届高考数学模拟试题二解析版
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束
后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务势必自己的姓名、准考据号用0.5毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点。
3
cm.
18.在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
x2
y2
的离心率为
1
，且过点
0, 3.
C :a
2
b2
1 a b 0
2
1求椭圆C的方程；
2已知△BMN是椭圆C的内接三角形，
①若点B为椭圆C的上极点，原点O为△BMN的垂心，求线段MN的长；
②若原点O为△BMN的重心，求原点O到直线MN距离的最小值.
b
3
a2
，3x1x2
4 y1y2
6
4
3
4
3
4
3
3x1x2
4 kx1
m kx2
m
6
4k2
3 x1x2
4mk
x1
x2
4m2
6 0
y
kx m
，则4k2
3 x2
8mkx 4m212 0
3x2
4 y2
12
48 4k
2
3 m
2
0
4mk 2 3 4k2
3 m2
【答案】{1,3}
【分析】因为2k1,kZ表示为奇数，故A I B{1,3},故答案为：{1,3}
3．在一次知识比赛中，抽取5名选手，答对的题数分布状况如表，则这组样本的方差为．
【精准解析】江苏省南京市、盐城市2020届高三下学期第二次模拟考试数学试题
南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试卷数学一、填空题题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，则A B = _____________.【答案】{}1,3【解析】【分析】由集合A 和集合B 求出交集即可.【详解】解： 集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，∴{}13A B ⋂=，.故答案为：{}1,3.【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题.2.已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________.【答案】5【解析】【分析】利用复数模的计算公式求解即可.【详解】解：由12z i =+，得()221234z i i =+=-+，所以()222345z =-+=.故答案为：5.【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题.3.如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.【答案】14-【解析】【分析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可.【详解】解：程序的功能是计算()2log 21,02,0x x x y x ⎧+≤=⎨>⎩，若输出的实数y 的值为1-，则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得14x =-，当0x >时，由21x =-，此时无解.故答案为：14-.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题.4.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有_____________个．【答案】325【解析】【分析】根据数据先求出0.02x =，再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可.【详解】解： ()0.0150.0350.01101x x ++++⋅=，∴0.02x =.则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数为()10.0150.021*******-+⋅⋅=⎡⎤⎣⎦.故答案为：325.【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.5.从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________.【答案】12【解析】【分析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率.【详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==.故答案为12.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题.6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3af x x =+，则()f a 的值为___________________．【答案】0【解析】【分析】由题意可得：(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可.【详解】解： 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩.由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133a a+=-，∴0a =.∴()()00f a f ==.故答案为：0.【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.7.若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为________________.【答案】2π【解析】【分析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值.【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭，∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π.故答案为：2π.【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.8.在ABC 中，AB =AC =，90BAC ∠=︒，则ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.【答案】【解析】【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得.【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在ABC 中，AB =AC =90BAC ∠=︒，如下图所示，底面圆的半径为2r AD ==，则所形成的几何体的表面积为()(122S r l l ππ=+=⨯⨯=.故答案为：.【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.9.已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，则+a b 的值为_______________．【答案】5【解析】【分析】根据题意，判断出22b =-，根据等比数列的性质可得()2221324b b b ==-=，再令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，列出等式22a b =-+，求出a 和b 的值即可.【详解】解：由{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，可得22b =-，则()2221324b b b ==-=，令1b a =，3b b =，可得4ab =.①又令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，可得2132a a a =+，所以22a b =-+.②根据①②得出1a =，4b =.所以5a b +=.故答案为5.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.10.已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值为______________．【答案】2【解析】【分析】过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PM PAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PFPA 的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PFPA的最小值.【详解】解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PMPAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PAM ∠最小时，PFPA的值最小.设切点()P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==求得1a =，可得()2,1P ，∴2PM =，PA =，∴sin 2PM PAM PA ∠==.故答案为：22.【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.11.已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________.【答案】8【解析】【分析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解： x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()()2414949462468444x x y x x x x x x -++=+=++-≥+⋅-=+++.当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8.【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.12.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()222:0C x m y r m -+=>.已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D .若AB OD =，则直线1l 的斜率为_____________.【答案】5±【解析】【分析】设1l ：0kx y -=，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子r =⎪=⎪⎩，求出k 的值即可.【详解】解：由圆()()222:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r .设直线1l ：0kx y -=，则2l ：0x ky +=，圆心(),0C m 到直线1l，OD = AB OD =∴AB =.圆心(),0C m 到直线2lr =，并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩，解得5k =±.故答案为：5±.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.13.在ABC 中，BC 为定长，23AB AC BC +=，若ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为____________．【答案】2【解析】【分析】设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，()223,33AB AC a x y a +=--=，利用求向量模的公式，可得22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，根据三角形面积公式进一步求出a 的值即为所求.【详解】解：设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，则()223,33AB AC a x y a +=--=，即22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，由12ABCS BC y =⋅ ，可得2222a a y ≤=.则2BC a ==.故答案为：2.【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.14.函数()xf x e x b =--（e 为自然对数的底数，b R ∈），若函数()()12g x f f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭恰有4个零点，则实数b 的取值范围为__________________.【答案】11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.由()1x f x e '=-判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出b 的取值范围.【详解】解：令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.()0f t =有两个解，由()1x f x e '=-，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()()min 010f x f b ==-<，可得1b >.设()0f t =的负根为m ，由题意知，112m b +>-，12m b >-，102f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则12102b e ->，∴1ln 22b <+.∴11,ln 22b ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭故答案为：11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，计90分.15.如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =，求证：平面PBC ⊥平面ABC .【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【解析】【分析】()1利用线面平行的判定定理求证即可；()2D为AB 中点，E 为BC 中点，可得112DE AC ==，2PD =，PE =，可知222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，利用面面垂直的判定定理求证即可.【详解】解：()1证明： D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴//AC DE ，又 AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴//AC 平面PDE ；()2证明： D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴112DE AC ==，又2PD =，PE =，则222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE 平面ABC DE =，PE DE ⊥，PE ⊂平面PDE ，∴PE ⊥平面ABC ，又∵PE ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．()1求B 的值；()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =，7cos 25A =-，求b 的值.【答案】()14B π=；()2sin sin AD ADC b C ∠=.【解析】【分析】()1利用正弦定理化简求值即可；()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.【详解】解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=，()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=，sin Ccos sin sin B C B =，又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >，则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4B π=；（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5x =，则4sin 5x ==，24sin 25A ==，又4B π=，则333sin sin sin cos cos sin 44450C A A A πππ⎛⎫=---=⎪⎝⎭()sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛⎫∠=+=+=+=⎪⎝⎭在ACD 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADCb C∠=.【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.17.如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道 DE.记CBD ∠为θ.()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.【答案】()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.【解析】【分析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围；()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值.【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，则劣弧 DE的长为2πθ-，因此，优弧 DE 的长为2πθ+，又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=θ0,3πθ⎛⎫⎪⎝⎭3π,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f θ'-0+()f θ单调递减极小值单调递增故3πθ=时，()min 533f πθ=+所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的离心率为12，且过点(.()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长；②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.【答案】()122143x y +=；()2①7；②2.【解析】【分析】()1根据题意列出方程组求解即可；()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()()221212434460kx x mk x x m +++++=，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22443m k =+，根据d ===【详解】解：()1设焦距为2c，由题意知：22212b b a c c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=，解得：y =或7-，B ，M 不重合，故437y =-，213249x =，故43327MN x ==；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，1212346x x y y +=-()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得：22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ==0k =时，min 2d =；综上，原点O 到直线MN距离的最小值为2.【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.19.已知函数()()3216f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h xg x x=-的导函数()h x '在5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点.()1求实数a 的取值范围；()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.【答案】()1[]10,28；()24；()312.【解析】【分析】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求出实数a 的取值范围；()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数b 的最大值；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()ag x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln ay x x a x x =-+，整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12a a x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，最后求出实数a 的值.【详解】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x ah x x x x--'=--=，即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，解得[]10,28a ∈；()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，①当()412160a ∆=--+≤，即47103a ≤≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意；②当47163a <<时，令()232160f x x x a =--+='，解得：13x ==，当10,3x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意；③当1628a ≤≤时，()232160f x x x a =--+='，解得：1103x -=<，2103x +=>且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =，若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增，由题意可知，()()0f b f ≤，即()32160b b a b ---≤，整理得216b b a -≤-，因为存在[]16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤，综上，b 的最大值为4；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，即切线方程()()()232111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦整理得：()232111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦由题意可知，3211212x x -+=-，即32112120x x --=，即()()211122360x x x -++=，解得12x =所以切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()ag x x '=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+，整理得22ln ay x a x a x =+-.所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，消去a ，整理得2211ln 022x x +-=，且因为[]()22410,28aa a x =-∈，解得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =.【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.20.已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦MN .()1求矩阵N ；()2求矩阵N 的特征值.【答案】()112332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2113λ=，21λ=-.【解析】【分析】()1由题意，可得a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用矩阵的知识求解即可.()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，求出矩阵N 的特征值.【详解】()1设矩阵a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d MN c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以21202021a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13a =-，23b =，23c =，13d =-，所以矩阵12332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，解得113λ=，21λ=-，即矩阵N 的两个特征值为113λ=，21λ=-.【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题.21.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】16【解析】【分析】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得28x y =，直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y +=⎧⎨=⎩，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，根据弦长公式求解即可.【详解】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，又因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t ，整理得28x y =，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y+=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，所以AB ===，将1128,16x x x x +==-，代入上式，整理得16AB =.【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题.22.已知a ＞0，证明：1a a+-2．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用分析法，证明a 132a +即可．【详解】证明：∵a ＞0，∴a 1a +≥2，∴a 1a +-2≥0，1a a +-2，只要证明a 221a +（a 1a +）2﹣4（a 1a +）+4，只要证明：a 132a +＞，∵a 1a +≥232＞，∴原不等式成立．【点睛】本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题．23.某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有16-点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与()*2,m m m N ≥∈个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.()1若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；()2若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值.【答案】()135；()29.【解析】【分析】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为415，求出()P A ；()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，求出m 的最小值.【详解】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为24262264331515C C ⨯=⨯=，所以()1433155P A =+=；()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，且()()()()22221121100333321m m m m C P X C m m +-==+⨯=+++，()()()11222283003321m m C C m P X C m m +==⨯=++，()()()2222244003321m C P X C m m +==⨯=++，所以随机变量X 的数学期望，()()()()()()()()211841003004003321321321m m m E X m m m m m m ⎛⎫-=⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪++++++⎝⎭，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，化简得2323180m m --≥，因为*m N ∈，解得9m ≥，即m 的最小值为9.【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题.24.已知集合{}1,2,,n A n = ，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++ 的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.【答案】()14；()2证明见解析.【解析】【分析】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果；()2分类讨论，利用数学归纳法证明.【详解】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++= ；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++= ，此时令11a =，22a =，31a =，40a =，满足对任意()*3i i N ≤∈，都有11i i a a +-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,k M M M 满足题意，且20k a =，则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=，且()224124k k k j j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=，综上，原命题得证.【点睛】本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.。
江苏省2020届高考数学精编模拟试题(十六)
江苏省2020届高考数学精编模拟试题（十六）一．填空题1．若集合}2|{xy y M -==，}1|{-==x y y P ，则=P M I。
2．．设a 是实数，且211ii a +++是实数，则a=3．设双曲线12222=-by a x 的离心率]2 332[，∈e ，则双曲线的两条渐近线夹角a 的取值范围是。
4．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为。
5．如下图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM AB m =，AN AC n =，则n m +的值为。
6．棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是；设E ，F 分别是该正方体的棱AA 1，DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为。
7．设函数)(x f 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线)(x f y =在5=x 处的切线的斜率为。
8．设集合}02|){(A ≥-≥=x x y y x ，，，}|){(B b x y y x +-≤=，，若B A )(I ∈y x ，，且y x 2+的最大值为9，则b 的值是。
9．已知⎩⎨⎧><+-=1log 14)13()(x x x a x a x f a，，是（－∞，＋∞）上的减函数，那么a 的取值范围是。
10已知71cos =α，1413)cos(=-βα，且20παβ<<<，则=β 。
11．已知数列{a n }中，a 1=21,a n+1=a n +1412-n ，则a n =________． 12．设有一组圆k C ：4222)3()1(k k y k x =-++-)(*N k ∈。
下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交 ③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点。
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷数学(浙江专用)试题(十二)含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(十二)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U ＝{－1，0，1，2}，A ＝{x ∈Z |x 2＜2}，则∁U A ＝( ) A ．{2} B ．{0，2} C ．{－1，2}D ．{－1，0，2}2．设复数z ＝2－i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12－32i B ．12＋32iC ．1－3iD ．1＋3i 3．在△ABC 中，“A >π3”是“sin A >32”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设a ＝log 123，b ＝⎝⎛⎭⎫130.2，c ＝⎝⎛⎭⎫12－12，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c5．浙江新高考的要求是“七选三”，即考生从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理和技术这七个科目中选三个．已知某大学某专业对选考科目的要求是物理和化学这两个科目至少选一个，若考生甲想就读该专业，则他的选考方法的种数为( )A ．5B ．10C ．15D ．256．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫94，3 B ．⎣⎡⎭⎫94，3 C ．(1，3)D ．(2，3)7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －3≤0，x ∈N ，y ∈N ，则|x －3y |的最大值是( )A ．3B ．5C ．7D ．98．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，且2|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A.13 B ．132C ．13D ．1329．已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB >BC ，O 为AC 的中点，P 为△ABC 所在平面外一点，且P A ＝PB ＝PC ，设二面角P －AB －C 的大小为α，二面角P －BC －A 的大小为β，则( )A ．α<βB ．α>βC ．α＝βD ．α，β的大小与点P 的位置有关10．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a ⊥b ，则|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |的最小值为( ) A.29B ．29－3 2 C.19－2 3 D ．5第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分． 11．椭圆x 24＋y 23＝1的长轴长是________，离心率是________．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝________，S 7＝________． 14．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，其中a i ∈R ，i ＝1，2，…，10，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝________；a 7＝________．15.如图，△ABC 是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF ＝2AF ，AB ＝13，则△EDF的面积为________．16．设点P 是△ABC 所在平面内动点，满足CP →＝λCA →＋μCB →，3λ＋4μ＝2(λ，μ∈R )，|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.若|AB →|＝3，则△ABC 的面积最大值是________．17．记max{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≥qq ，p ＜q ，设M (x ，y )＝max{|x 2＋y ＋1|，|y 2－x ＋1|}，其中x ，y ∈R ，则M (x ，y )的最小值是________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx －12的最小正周期为π，ω＞0.(1)求f (x )的表达式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最大值和最小值．19.(本题满分15分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝π3.(1)求证：C 1B ⊥平面ABC ；(2)设CE →＝λCC 1→(0≤λ≤1)，且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．20．(本题满分15分)已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝a2n＋6a n＋6.(n∈N*)(1)设C n＝log5(a n＋3)，求证{C n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)设b n＝1a n－6－1a2n＋6a n，数列{b n }的前n项和为T n，求证：－516≤T n<－14.21．(本题满分15分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点M(m，－2)与其焦点的距离为2.(1)求实数p与m的值；(2)如图所示，动点Q在抛物线C上，直线l过点M，点A，B在l上，且满足QA⊥l，QB∥x轴．若|MB|2|MA|为常数，求直线l的方程．22．(本题满分15分)已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋mx(m∈R)．(1)当m≠0时，求函数f(x)的单调区间；(2)有这样的结论：若函数p(x)的图象是在区间[a，b]上连续不断的曲线，且在区间(a，b)内可导，则存在x0∈(a，b)，使得p′(x0)＝p（b）－p（a）b－a.已知函数f(x)在(x1，x2)上可导(其中x2>x1>－1)，若函数g(x)＝f（x1）－f（x2）x1－x2(x－x1)＋f(x1)．证明：对任意x∈(x1，x2)，都有f(x)>g(x)．高考仿真模拟卷(十二)1．解析：选A.因为A ＝{x ∈Z |x 2＜2}，所以A ∈{－1，0，1}，所以∁U A ＝{2}，故选A. 2．解析：选B.z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）2＝12＋32i.3．解析：选B.取A ＝2π3，则sin A ＝32，由sin A >32⇔π3<A <2π3. 所以“A >π3”是“sin A >32”的必要不充分条件．4．解析：选A.因为a ＝log 123<log 122＝－1，0<b ＝⎝⎛⎭⎫130.2<1，c ＝2>1，所以a <b <c . 5．解析：选D.根据题意可分以下三种情况：①考生甲选物理不选化学，有C 25种选考方法；②考生甲选化学不选物理，有C 25种选考方法；③考生甲同时选物理和化学，有C 15种选考方法．根据分类加法计数原理可知，考生甲的选考方法的种数为C 25＋C 25＋C 15＝25.6．解析：选D.因为数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )，n ∈N *， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f （8）>f （7）⇒2<a <3.7．解析：选B.约束条件对应的可行域如图中阴影部分内整点：令z ＝x －3y 知z max ＝3－3×0＝3，z min＝1－3×2＝－5，－5≤z ≤3，0≤|z |≤5，所以|x －3y |的最大值为5.故选B.8．解析：选A.由于⎩⎪⎨⎪⎧2|PF 1|＝3|PF 2||PF 1|－|PF 2|＝2a |PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，令|PF 1|＝3t ，则|PF 2|＝2t ，所以t ＝2a ，13t 2＝4c 2.所以13×4a 2＝4c 2，所以c 2＝13a 2.所以e 2＝c 2a 2＝13，所以e ＝13，故选A. 9．解析：选B.如图，分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连接OP ，OM ，ON ，PM ，PN ，则OM ∥BC ，ON ∥AB .因为∠ABC ＝90°，所以OM ⊥AB ，ON ⊥BC ，又P A ＝PB ＝PC ，所以PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，所以AB ⊥平面PMO ，BC ⊥平面PNO ，所以AB ⊥PO ，BC ⊥PO ，所以PO ⊥平面ABC ，易知∠PMO 为二面角P －AB －C 的平面角，∠PNO 为二面角P －BC －A 的平面角，即α＝∠PMO ，β＝∠PNO ，则tan α＝PO OM ，tan β＝POON .因为AB >BC ，所以ON >OM ，所以tan α>tan β，α>β，选B.10．解析：选A.设c ＝(x ，y )，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则x 2＋y 2＝1，从而|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |＝（2x ＋1）2＋（2y ）2＋（x －3）2＋（y －2）2＝3（x 2＋y 2）＋x 2＋y 2＋4x ＋1＋（x －3）2＋（y －2）2＝（x ＋2）2＋y 2＋（x －3）2＋（y －2）2≥52＋22＝29，等号可取到． 11．解析：因为a ＝2，所以2a ＝4， 因为b ＝3，所以c ＝1， 所以c a ＝12.答案：4 1212．解析：根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体截去一个三棱锥后剩下的几何体，其直观图如图所示，所以该几何体的表面积S ＝3×2×2＋2×（1＋2）×22＋12×2×2＋12×22×5－2＝20＋6，体积V＝23－13×12×1×2×2＝223.答案：20＋622313．解析：法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5a 1＋4d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7d ＝－1， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋(n －1)×(－1)＝8－n ，所以a 7＝8－7＝1， S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝28.法二：a n ＝a 3＋(n －3)×a 5－a 32＝8－n ，S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝7×（a 3＋a 5）2＝7×（5＋3）2＝28.答案：8－n 2814．解析：令x ＝2，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝310＝59 049. 令x －1＝y ，则(1＋2y )10＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋…＋a 10y 10，得a 7＝C 71027＝15 360.答案：59 049 15 36015．解析：由题意知DB ＝AF ＝CE ，设DB ＝x ，则AD ＝3AF ＝3x ，在△ABD 中，∠ADB ＝120°，根据余弦定理得AB 2＝AD 2＋DB 2－2AD ·DB cos 120°，即13＝9x 2＋x 2＋3x 2＝13x 2，解得x ＝1，所以DF ＝2x ＝2，因此△DEF 的面积为34×22＝ 3. 答案：316．解析：由3λ2＋2μ＝1(λ，μ∈R )知可配凑CP →＝3λ2·2CA →3＋2μ·CB →2＝3λ2·CD →＋2μ·CE →，故P ，D ，E 三点共线．又由|P A →|＝|PB →|＝|PC →|知，点P 为△ABC 的外接圆圆心．如图可知PE 是AB 的中垂线，故CD ＝BD ，且|BD ||AD |＝|CD ||AD |＝2，设点D (x ，y )，则（x －3）2＋y 2x 2＋y 2＝2，化简得(x ＋1)2＋y 2＝4 所以S △ABC ＝3S △ABD ≤3·12·3·r ≤9.答案：917．解析：由M (x ，y )＝max{|x 2＋y ＋1|，|y 2－x ＋1|}，可知当|x 2＋y ＋1|＝|y 2－x ＋1|时，M (x ，y )取得最小值，即x 2＋y ＋1＝y 2－x ＋1或x 2＋y ＋1＝－(y 2－x ＋1)，解得x ＝－y 或x ＝y －1或(x －12)2＋(y ＋12)2＝－32(舍)．当x ＝－y 时，M (x ，y )＝y 2＋y ＋1＝(y ＋12)2＋34≥34；当x ＝y －1时，M (x ，y )＝x 2＋x ＋2＝(x ＋12)2＋74≥74，所以M (x ，y )的最小值为34.答案：3418．解：(1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋1－cos 2ωx 2－12＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. 因为f (x )的最小正周期为π，故T ＝2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6.当2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，f (x )单调递增；当2x －π6∈⎝⎛⎦⎤π2，5π6， 即x ∈⎝⎛⎦⎤π3，π2时，f (x )单调递减； 又f (0)＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12.所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，f (x )min ＝f (0)＝－12. 19．解：(1)证明：因为AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC 1⊂侧面BB 1C 1C ，故AB ⊥BC 1，在△BCC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝π3，BC 21＝BC 2＋CC 21－2BC ·CC 1·cos ∠BCC 1＝12＋22－2×1×2×cos π3＝3， 所以BC 1＝3，故BC 2＋BC 21＝CC 21，所以BC ⊥BC 1，而BC ∩AB ＝B ， 所以C 1B ⊥平面ABC .(2)由(1)可知，AB ，BC ，BC 1两两垂直．以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则B (0，0，0)，A (0，1，0)，B 1(－1，0，3)，C (1，0，0)，C 1(0，0，3)． 所以CC 1→＝(－1，0，3)，所以CE →＝(－λ，0，3λ)，E (1－λ，0，3λ)， 则AE →＝(1－λ，－1，3λ)，AB 1→＝(－1，－1，3)． 设平面AB 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AE →n ⊥AB 1→，即⎩⎨⎧（1－λ）x －y ＋3λz ＝0－x －y ＋3z ＝0，令z ＝3，则x ＝3－3λ2－λ，y ＝32－λ，故n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ，32－λ，3是平面AB 1E 的一个法向量．因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，BA →＝(0，1，0)是平面BB 1E 的一个法向量，所以|cos 〈n ，BA →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BA →|n ||BA →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－λ1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ2＋⎝⎛⎭⎫32－λ2＋（3）2＝32. 两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0， 所以λ＝1或λ＝32(舍去)．20．解：(1)证明：由a n ＋1＝a 2n ＋6a n ＋6得a n ＋1＋3＝(a n ＋3)2，所以log 5(a n ＋1＋3)＝2log 5(a n ＋3)，即C n ＋1＝2C n ， 所以{C n }是以2为公比的等比数列． (2)又C 1＝log 55＝1，所以C n ＝2n －1， 即log 5(a n ＋3)＝2n －1，所以a n ＋3＝52n －1 故a n ＝52n －1－3.(3)证明：因为b n ＝1a n －6－1a 2n ＋6a n ＝1a n －6－1a n ＋1－6，所以T n ＝1a 1－6－1a n ＋1－6＝－14－152n －9.又0<152n －9≤152－9＝116，所以－516≤T n <－14.21．解：(1)设焦点为F ，由题意得|MF |＝m ＋p2＝2，又点M (m ，－2)在抛物线上，故2pm ＝4. 解得p ＝2，m ＝1.(2)设直线l 的方程为t (y ＋2)＝x －1，Q ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0. 则y B ＝y 0，所以|MB |＝1＋t 2|y 0＋2|. 取直线l 的一个方向向量e ＝(t ，1)，则MQ →＝⎝⎛⎭⎫y 204－1，y 0＋2.|MA |＝|MQ →·e |t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫y 204－1t ＋y 0＋2t 2＋1.故|MB |2|MA |＝（t 2＋1）1＋t 2（y 0＋2）2⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫y 204－1t ＋y 0＋2.则t ＝1，定值为82，此时直线l 的方程y ＝x －3.22．解：(1)f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1＋mx ＋m x ＋1＝m ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋1m x ＋1. 当m >0时，⎝⎛⎭⎫－m ＋1m －(－1)＝－1m <0， 即－m ＋1m<－1， 因为x >－1，所以f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．当m <0时，⎝⎛⎭⎫－m ＋1m －(－1)＝－1m >0，即－m ＋1m >－1， 由f ′(x )>0，解得－1<x <－m ＋1m， 由f ′(x )<0，解得x >－m ＋1m， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－m ＋1m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－m ＋1m ，＋∞上单调递减． (2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2(x －x 1)－f (x 1)，则h ′(x )＝f ′(x )－f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2. 因为函数f (x )在区间(x 1，x 2)上可导，则根据结论可知，存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，又f ′(x )＝1x ＋1＋m ， 所以h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝1x ＋1－1x 0＋1＝x 0－x （x ＋1）（x 0＋1）. 当x ∈(x 1，x 0]时，h ′(x )≥0，从而h (x )单调递增， 所以h (x )>h (x 1)＝0；当x ∈(x 0，x 2)时，h ′(x )<0，从而h (x )单调递减， 所以h (x )>h (x 2)＝0.故对任意x ∈(x 1，x 2)，都有h (x )>0，即f (x )>g (x )．。
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(二)附答案解析
2020 年江苏高考数学全真模拟试卷二数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题 ~第 20 题 ,共 20 题 ).本卷满分为160 分 , 考试时间为 120 分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米色水的署名笔填写在答题卡的规定地点.A．必做题部分3.请仔细查对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合.4.作答试题一定用0.5 毫米色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答，在其余地点作答律无效 .5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题 :本大题共14 小题 ,每题 5 分 ,合计 70 分 .请把答案填写在答题卡相应地点上1.已知会合 U={ x｜ x＞ 1}, A ={ x ｜ x ＞ 2}, 则 ?U A =▲．2.已知复数 z知足 (1+ i ) z= i 2020 (i 为虚数单位 ),则 z在复平面内对应的点位于第▲象限.3.已知一组数据 4,6,5,8,7,6, 那么这组数据的方差为▲．i ← 14.已知向量 a=(1,2), b=(2, － 1) 则 a? (a－ b)的值为▲．S ← 25.履行如下图的伪代码 ,则输出的 S 的值为▲．While S＜ 20 S ← S＋ i6.在一个不透明的口袋中装有形状、大小都同样的红球和黄球共 5 个 , i ← i＋ 22 End While 从中随机拿出 1 个球 ,该球是红球的概率是5 . 现从中一次随机拿出 2 Print S个球 ,则这 2 个球的颜色同样的概率为▲．（第 3 题图）x＋ y≥2，7.已知 x, y 知足拘束条件y≥x -2，,则 z= y -3的最大值为▲．xy≤1，π8.将函数 f ( x) = sinωx(ω>0)的图象向右平移6个单位长度 ,获得函数 y=g(x)的图像，若 y=g( x)是偶函数 ,则ω的最小值为▲．9. 已知一个圆柱的高为3cm, 体积为12π cm3 , 则该圆柱的外接球的表面积为▲cm 2．10.已知函数f( x) = 2x 1 ｜x - 2 ｜．若对随意 x1∈[1, + ∞ )，都存在 x2∈ [1, + ∞ )，2 , g(x) = ( ) + ax + 4 2使得 f(x 1 ) = g( x2 ), 则实数 a 的取值范围是▲ ．11.在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线C:x2 y2a 2－b 2 =1 ( a>0，b>0)的左焦点F作倾斜角为30°的直线 ,与圆 C′ : x2 +y 2 =b 2交于点 A,B.若∠ AOB=60 °,则双曲线 C 的离心率为▲．12.设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n ,若 1, a n , S n成等差数列 ,则 a 1 + a 2 + + a n的值为▲．13.如图 ,在等腰三角形ABC 中 ,AB =2, AC =BC = 5 .若 D是△ABC所→→→→→ C Dμ的最大值在平面内一点 ,且DB ? DC =0.设AD =λAB +μAC ,则λ+为▲．－x3＋ 3x2＋ t， x≤0，14.已知函数 f( x) = 若函数 y = f( f( x)) 恰3 x－ 1 ， x﹥ 0 ， A（第 13 B好有 4 个不一样的零点，则实数t 的取值范围是▲．题）二、解答题 :本大题共 6 小题 ,合计明、证明过程或演算步骤.90 分 .请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说15.(本小题满分14 分 )如图 ,在四棱锥P-ABCD 中,BA ⊥ AD ,CD ⊥ AD ,E 是棱 PD 上一点 ,AE ⊥ PD ,AE ⊥ AB .(1) 求证 : AB ∥平面 PCD ;P(2) 求证 : 平面 ADP⊥平面 PCD.EDCAB（第 15 题）在△ ABC 中 ,角 A ,B, C 的对边分别为 a,b,c 若 cos2 A +1=2 sin2A2.(1) 求角 A 的大小;π(2) 若 b =4, c=5, 求 sin(B+3 )的值.17.(本小题满分 14 分 )某企业准备设计一个精巧的心形巧克力盒子 ,它是由半圆 O 1、半圆 O 2 和正方形 ABCD 组成的 ,且 AB =8cm. 设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH , 标签的此中两个极点 E ,F 在 AM 上 ,此外两个极点 G ,H 在 CN 上(M,N 分别是 AB ,CB 的中点 )设 EF 的中点 为 P , ∠ FO 1 P = θ,矩形 EFGH 的面积为 Scm 2.M BNF · ·(1) 写出 S 对于 θ的函数关系式 S(θ);GP··(2) 当 θ为什么值时 ,矩形 EFGH 的面积最大 ?O 1O 2E AHCD（第 17 题）18.(本小题满分 16 分 )如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,已知椭圆 E: x 2 y2 2,离心率为 2a 2 +b 2 =1 ( a> b>0) 的短轴长为2.(1) 求椭圆 E 的标准方程 ;(2) 若直线 l 与椭圆 E 相切于点 P (点 P 在第一象限内 ), 与圆 x 2 + y 2=12 订交于点 A ,B, → →y且 AP =2 PB ,求直线 l 的方程 .APOxB（第 17 题）已知各项均为正数的两个数列 { a nna n+ 1+1a nn2 n2 n +1+ 1},{ b } 知足 a n +2 =a n + 1 － 1 ,2a =logb + log b且 a 1 = b 1 =1 .(1) 求证 : 数列 { a n } 为等差数列 ;(2) 求数列 { b n } 的通项公式 ;(3) 设数列 { a },{ b } 的前 n 项和分别为S ,T , 求使得等式 2S m + a m -36=T i 建立的有序nnnn数对 ( m,i )( m,i ∈ N ※) .20.(本小题满分 16 分 )已知函数 f( x)=( x -1)e x,g ( x)= a +ln x ,此中 e 是自然对数的底数 .(1) 若曲线 y= f( x )在 x=1 处的切线与曲线 y= g (x )也相切 . ①务实数 a 的值 ;②求函数 φ( x)= f( x )+e | g( x) | 的单一区间 ;1(2) 设 h( x)= bf ( x) － g( x )+ a, 求证 : 当 0< b< e 时 ,h( x) 恰巧有2个零点.数学Ⅱ附带题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 21 题 ~第 23 题 ).本卷满分为考试结束后 ,请将本试卷和答题卡一并交回40 分,考试时间为30 分钟,2.答题前 ,请您务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在答题卡的规定地点A．必做题部分3.请仔细查对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合4.作答试题一定用0.5 毫米黑色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答,在其余地点作答一律无效5.如需作图 ,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.21【选做題】此题包含 A 、 B 、C 三小题 ,请选定此中两小题,并在相应的答题地区内作答，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做 ,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚A. [ 选修 4-2:矩阵与变换 ] (本小题满分10 分)x x′ a x, 试写出变换 T 对应的矩阵 A,并求出其逆矩阵A-1. 已知变换 T:→=2x +2yy y′B.[ 选修 4:坐标系与参数方程 ] (本小题满分 10 分 )在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知直线 l 的参数方程x=1+ t(t 为参数 ), 曲线 C 的参数方程y=3t为x=2 m2(m 为参数 ). 若直线 l 与曲线 C 订交于点 A ,B , 求△ OAB 的面积 . y=2 mC.[ 选修 45:不等式选讲 ] (本小题满分10 分 )已知 a、 b、 c∈ R，且 a+ b+ c =3, a 2 + b2 +2 c 2 =6, 务实数 a 的取值范围 .【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分 ,合计 20 分 .请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图 ,在直三校柱ABC－ A1B1C1中 , △ABC 是等直角三角形 ,∠ ACB=90 °,AB=4 2 ,M是 AB 的中点 ,且 A1M⊥ B1C．(1)求 A1A的长;(2)已知点 N 在棱 CC1上,若平面 B1AN 与平面 BCC1B1所成锐二面角的平面角的余弦值为10 ，试确立点 N 的地点．1C110 AB1NA CM（第 22 B 题）23.(本小题满分 10 分 )已知正整数 n ≥ 2, 会合 P ={ x|1 ≤ x≤ n, x∈ N }, A ,B , C 是会合 P 的 3 个非空子集，记a n , 为全部知足 A B, AU BU C=P 的有序会合对 (A ,B,C) 的个数 .(1) 2求 a ；(2) 求 a n。
2020届江苏省高三高考全真模拟(二)数学试题(解析版)
2020届江苏省高三高考全真模拟（二）数学试题一、填空题1．已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则U A =ð________． 【答案】{}12x x <≤【解析】直接根据补集的定义进行计算，即可得答案； 【详解】Q {}1U x x =>，{}2A x x =>，∴{}12U A x x =<?ð，故答案为：{}12x x <?. 【点睛】本题考查集合的补运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足2020(1)i z i +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限． 【答案】四【解析】根据复数的次幂运算和除法运算，化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】Q 20202(111)1iz i i z i -⇒==++=， ∴z 在复平面内对应的点位于第四象限，故答案为：四. 【点睛】本题考查复数的次幂运算和除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为________ 【答案】53【解析】先计算平均数,再利用方差公式求解即可. 【详解】该组数据平均数46587666x +++++==.故方差()()()()()()222222214666568676666s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦ ()1540141063=+++++=. 故答案为：53【点睛】本题主要考查了方差的计算,属于基础题型.4．已知向量(1,2)a =r， (2,1)b =-r ，则()a ab ⋅-r r r 的值为________．【答案】5【解析】利用向量数量积的坐标运算，即可得答案； 【详解】Q (1,3)a b -=-r r，∴()(1,2)(1,3)5a a b ⋅-=⋅-=r r r，故答案为：5. 【点睛】本题考查向量减法和数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 5．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________．【答案】27【解析】根据程序语言所表示的当型循环，直接模拟程序运行，即可得答案； 【详解】3,3S i ==，6,5S i ==， 11,7S i ==， 18,9S i ==，27,11S i==，输出27S=，故答案为：27.【点睛】本题考查算法语言的当型循环，考查阅读理解能力，属于基础题.6．在一个不透明的口袋中装有形状、大小都相同的红球和黄球共5个，从中随机取出1个球，该球是红球的概率是25．现从中一次随机取出2个球，则这2个球的颜色相同的概率为________．【答案】25【解析】先求出红球和白球的个数，再利用古典概型计算概率，即可得答案；【详解】易得：红球2个，白球3个，∴22232525C CPC+==，故答案为：25.【点睛】本题考查古典概型概率计算，求解时注意利用计数原理进行计算，属于基础题.7．已知x，y满足约束条件221x yy xy+≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则3yzx-=的最大值为________．【答案】23-【解析】作出约束条件所表示的可域，再根据目标函数的几何意义为两点连线斜率的最大值，即可得答案；【详解】约束条件所表示的可行域，如图所示：目标式3yzx-=的几何意义是可行域内的点(,)x y与点(0,3)连线的斜率，由图可知过点（1，1）时，max 23z =-． 故答案为：23-. 【点睛】本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意目标函数几何意义的运用. 8．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =是偶函数，则ω的最小值为________． 【答案】3【解析】求出()y g x =的解析式，再利用函数为偶函数，则(0)1g =±从而得到ω的表达式，进而得到其最小值. 【详解】由题意得()sin 6g x x πω⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为()y g x =是偶函数，所以(0)sin 16g πω⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭， ∴()62k k Z ππωπ-=+∈，解得63()k k Z ω=--∈．因为0>ω，所以ω的最小值为3． 故答案为：3. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换及偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．已知一个圆柱的高为3cm ，体积为312cm π，则该圆柱的外接球的表面积为________2cm ． 【答案】25π【解析】设圆柱的底面半径为rcm ，求出圆柱的外接球的直径，再代入球的表面积公式，即可得答案； 【详解】设圆柱的底面半径为rcm ．由2312r ππ⨯=，得2r =（负值舍去），所以圆柱的外接球的直径为5cm ，故外接球的表面积为2254252cm ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：225cm π. 【点睛】本题考查圆柱的外接球表面积，考查空间想象能力、运算求解能力.10．已知函数22()4x f x x =+，21()2x g x a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若对任意[)11,x ∈+∞，都存在[)21x ∈+∞,，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是________．【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】根据题意可得函数()f x 的值域为函数()g x 值域的子集，从而得到关于a 的不等式组，解不等式组即可得答案； 【详解】Q222()44x f x x x x==++当[)11,x ∈+∞时，1144x x +…，当且仅当12x =时取等号，所以()1f x 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 当[)21x ∈+∞,时，[)22x -∈+∞0,，所以221()2x -∈(]0,1，∴()2g x 的取值范围为(],1a a +．由题意知(]10,,12a a ⎛⎤⊆+ ⎥⎝⎦，所以0a …且112a +…，解得102a -剟． 综上，实数a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查全称量词与存在量词的运用、函数值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用子集关系解题.11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点F 作倾斜角为30°的直线，与圆222:C x y b '+=交于点A ，B ．若60AOB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________．【答案】2【解析】过双曲线C 的左焦点F 作倾斜角为30°的直线l的方程为0x c -+=（c为双曲线C 的半焦距），易得22c =，再结合222c a b =+，即可得答案； 【详解】过双曲线C 的左焦点F 作倾斜角为30°的直线l的方程为0x c +=（c 为双曲线C的半焦距），由题意知圆心O 到直线l，所以22c b =． 因为222c a b =+，所以双曲线C的离心率c e a =．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列，则1210a a a +++L 的值为________． 【答案】1023【解析】根据等差中项的性质得12n n S a +=，再利用临差法可得12n na a +=，从而得到数列为等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式，即可得答案； 【详解】由题意得12n n S a +=，所以1112a a +=，解得11a =．由12n n S a +=，得1112n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n na a +=， 所以数列{}n a 是等比数列．因为11a =，所以12n n a -=，故10121012102312a a a -++⋯+==-．故答案为：1023. 【点睛】本题考查数列的n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.13．如图在等腰三角形ABC 中，2AB =，5AC BC ==．若D 是ABC V 所在平面内一点，且0DB DC ⋅=u u u r u u u r，设AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最大值为________．【答案】138． 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，求得点D 的轨迹方程，再利用三角函数的有界性，即可得答案； 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ．由0DB DC ⋅=u u u r u u u r知DB DC ⊥，所以点D 在以BC 为直径的圆上．以BC 为直径的圆的方程为2215(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，所以可设1,12D θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，则3,12AD θθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ．因为(2,0)AB u u u r =，(1,2)AC =u u u r，AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ．所以3cos 22212θλμθμ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1212λθθμθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以511sin )1sin()8λμθθθθθϕ+=++=++=++， 其中tan 2ϕ=， 所以λμ+的最大值为138． 故答案为：138． 【点睛】本题考查平面向量基本定理的坐标运算、参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意辅助角公式和三角函数有界性的运用.14．已知函数323,0()31,0x x t x f x x x ⎧-++≤=⎨->⎩，若函数(())y f f x =恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是________．【答案】3|42t t ⎧⎪-<⎨⎪⎩…或}0t =【解析】令()s f x =，则()y f s =，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求s 的值，再求x 的值，对t 分5种情况进行讨论，结合函数图象，即可得答案； 【详解】因为2()360f x x x '=-+≤在0x ≤上恒成立，所以()f x 在(],0-∞上单减，令()s f x =，则()y f s =．（ⅰ）当0t >时，只有13s =，显然不成立（ⅱ）当0t =时，10s =，213s =，此时如图：有四个交点，∴满足题意．（ⅲ）当10t -<<时，如图1，由()0f s =得10s <，213s =． 由213s =得3x x =或4x ， 由10s <且321130s s t -++=，知32113t s s =-．要使()y f s =有4个不同的零点，必须由1()f x s =得1x x =或2x ， 此时321113t s s s =-…，解得1313s -…，133s +…（舍去）， 又211360t s s '=->在313,2⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦恒成立， 所以()2113t s s =-在313,2⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦上为增函数，所以31312t --<…．（ⅳ）当1t =-时，由(1)0f ->，(0)0f <，得110s -<<，此时满足题意． （ⅴ）当1t <-时，如图2，由()0f s =得10s <，213s =． 要使()y f s =有4个不同的零点，必须110s -<<，此时32113(4,0)t s s =-∈-，所以41t -<<-．综上，实数t 的取值范围是3134t t ⎧-⎪-<⎨⎪⎩…或}0t =．【点睛】本题考查分段复合函数的零点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，BA AD ⊥，CD AD ⊥，E 是棱D 上一点，AE PD ⊥，AE AB ⊥．（1）求证：//AB 平面PCD ； （2）求证：平面ADP ⊥平面PCD ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证明AB CD ∥，再根据线面平行的判定定理，即可证得结论； （2）证明AE ⊥平面PCD ，再利用面面垂直的判定定理，即可证得结论； 【详解】（1）在四边形ABCD 内，因为BA AD ⊥，CD AD ⊥，所以AB CD ∥． 又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ． （2）因为AE AB ⊥，//AB CD ，所以AE CD ⊥．又因为AE PD ⊥，CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ． 又因为AE ⊂平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面PCD ． 【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查空间想象能力. 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos 212sin 2AA +=． （1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，求sin 3B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）3A π=；（2 【解析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，可得关于cos A 的一元二次方程，即可得答案；（2）利用余弦定理求出a 的值，再利用正弦定理求得sin B ，进而利用同角三角函数的基本关系求得cos B ，最后代入两角和的正弦公式，即可得答案； 【详解】（1）因为2cos 212sin2AA +=， 所以cos2cos 0A A +=，故22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-． 又因为0A π<<，所以3A π=．（2）由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-．因为4b =，5c =，3A π=，所以222145245212a =+-⨯⨯⨯=，即a =由正弦定理知sin sin a b A B=，即4sin sin 3B π=．所以sin B =．因为b c <，所以B C <，即B 为锐角，故cos 7B =．所以1sin sin cos cos sin 33327B B B πππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17．某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆1O 、半圆2O 和正方形ABCD 组成的，且8AB cm =．设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH ，标签的其中两个顶点E ，F 在AM 上，另外两个顶点G ，H 在CN 上（M ，N分别是AB ，CB 的中点）．设EF 的中点为P ，1FO P θ∠=，矩形EFGH 的面积为2Scm ．（1）写出S 关于θ的函数关系式()S θ （2）当θ为何值时矩形EFGH 的面积最大？ 【答案】（1）()32sin (2cos 2)S θθθ=+，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，为264cm ． 【解析】（1）由题意知0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，可得8sin EF θ=，8cos 42EH θ=+，利用矩形的面积公式，即可得答案； （2）利用导数可得：当0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0S θ'>恒成立，所以()S θ在0,4E π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，即可得答案； 【详解】（1）由题意知0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，8sin EF θ=，8cos 42EH θ=+，则()8sin (8cos 42)S EF EH θθθ=⋅=+， 即()32sin (2cos 2)S θθθ=+，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）()32[cos (2cos 2)sin (2sin )]S θθθθθ'=+⋅-()22322cos 2sin 2θθθ=-()2324cos 22θθ=+-．因为0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以224cos 4θ<…，122θ<…，所以24cos 2cos 20θθ+->，故当0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0S θ'>恒成立，所以()S θ在0,4E π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增． 故当4πθ=时，[]max ()32sin2cos 26444S ππθ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭． 答：当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，为264cm ． 【点睛】本题考查导数在实际问题中的运用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为22．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆E 相切于点P （点P 在第一象限内），与圆2212x y +=相交于点A ，B ，且2AP PB =u u u r u u u r，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）162y x =-+．【解析】（1）直接根据短轴和离心率的值，求出,a b ，即可得椭圆的方程；（2）由题意可设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，与椭圆22:12+=x E y 联立并消去y 得()222214220k x kmx m +++-=，根据三角形相似可得12333OP OD ==，再利用点P 的坐标标可得,k m 的关系，从而得到直线的方程. 【详解】（1）设椭圆E 的焦距为2c ，则2222222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）由题意可设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，与椭圆22:12+=x E y 联立并消去y 得()222214220k x kmx m +++-=．因为直线l 与椭圆E 相切，所以()()222216422210k m m k ∆=--+=，整理得2221m k =+．设点P 的坐标为()00,x y ，则022221km k x k m -==-+，01y m=． 设直线OP 交圆2212x y +=于点C ，D ，则AP CPBP DP=．又因为2AP PB =u u u r u u u r ，所以1233OP OD ==2224143k m m +=，与2221m k =+联立解得12k =-（正值舍去），6=m 所以直线l 的方程为162y x =-+． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、直线方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是利用向量关系得到长度的比例关系.19．已知各项均为正数的两个数列{}n a ，{}n b 满足11121n nn n a a a a +++=+-，2212log log 1n n n a b b +=++．且111a b ==．（1）求证数列{}n a 为等差数列； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求使得等式236m m i S a T +-=成立的有序数对()(,),*m i m i N ∈． 【答案】（1）证明见解析；（2）12n nb -=；（3）见解析.【解析】（1）根据递推关系可得()2211n n a a +=+，从而得到数列{}n a 是等差数列；（2）分别求出数列{}n b 的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列{}n b 的通项公式；（3）求出n S ，n T ，代入236m m l S a T +-=中，则存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=，再证明5s …不成立，从而得到4s =，9m =，6l =． 【详解】（1）由11121n nn n a a a a +++=+-得()()()11112n n n n a a a a +++-=+，即()2221211n n n n a a a a +=++=+．因为数列{}n a 各项均为正数，所以11n n a a +=+，即11n n a a +-=， 故数列{}n a 是公差为1的等差数列． （2）由（1）及11a =知n a n =．由2212log log 1n n n a b b +=++，得2112n n n b b -+=．所以21122n n n b b +++=，上面两式相除得24n nb b +=， 所以数列{}n b 的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．由11b =及2112n n n b b -+=知22b =，所以1(21)121142k k k b ----=⨯=，()121*2242k k k b k N --=⨯=∈，所以12n nb -=．综上，数列{}n b 的通项公式为12n nb -=．（3）由（1）和（2）知(1)2n n n S +=，122112nn n T -==--．由236m m l S a T +-=，得(1)236212l m m m +⨯+-=-，即(7)(5)2l m m +-=． 则必存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=．若5s …，则221220t s =-…，故5t …． 又因为s t >，所以12222232s t t t t +--=厖．这与2212s t -=矛盾，所以4s …．由于2212s t -=，则只能4s =，2t = 此时9m =，6l =． 【点睛】本题考查数列递推关系、等差、等比数列基本量运算、及数论的相关知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20．已知函数()(1)x f x x e =-，()ln g x a x =+，其中e 是自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线()y g x =也相切． ①求实数a 的值；②求函数()()()x f x e g x ϕ=+的单调区间； （2）设()()()h x bf x g x a =-+，求证：当10b e<<时，()h x 恰好有2个零点． 【答案】（1）①2a e =-，②函数()x ϕ的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析【解析】（1）①利用导数的几何意义求出在1x =处的切线方程，再利用切线与曲线()g x 也相切，可求得a 的值；②由①知()(1)2ln xx x e e e x ϕ=-+-+，对绝对值内的数进行分类讨论，再利用导数分别研究分段函数的单调性.（2）由()(1)ln xh x b x e x =--，得211()x xbx e h x bxe x x-'=-=，令2()1x m x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()2()20xm x bx bx e '=+>，故()m x 在(0,)+∞上单调递增，再利用零点存在定理证明函数()h x 的极小值小于0，及1ln0h b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证得结论；【详解】（1）①由()(1)x f x x e =-得()x f x xe '=，所以切线的斜率(1)k f e '==． 因为切点坐标为(1,0)，所以切线的方程为(1)y e x =-． 设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y ． 由()ln g x a x =+得1()g x x'=， 所以()111g x e x '==，得11x e =． 所以切点坐标为1,1a e⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为点1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线(1)y e x =-上．所以2a e =-． ②由①知()(1)2ln xx x e e e x ϕ=-+-+． 当2e x e -…时，()(1)(2ln )xx x e e e x ϕ=-+-+， 因为()0xe x xe xϕ'=+>恒成立，所以()x ϕ在)2,e e -⎡+∞⎣上单调递增． 当20e x e -<<时，()(1)(2ln )xx x e e e x ϕ=---+． 所以()xex xe xϕ'=-． 因为[]2()(1)0xex x e xϕ''=++>恒成立，所以()x ϕ'在()20,e e -上单调递增． 注意到(1)0ϕ'=，所以当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<；当()21,e x e -∈时，()0x ϕ'>． 所以()x ϕ在(0,1)上单调递减，在()21,e e -上单调递增．综上，函数()x ϕ的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞．（2）由()(1)ln xh x b x e x =--，得211()x xbx e h x bxe x x-'=-=．令2()1xm x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()2()20xm x bx bx e '=+>， 故()m x 在(0,)+∞上单调递增．又因为(1)10m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()0m x =在(0,)+∞上有唯一解，从而()0h x '=在(0,)+∞上有唯一解．不妨设为0x ，则011lnx b<<． 当()00,x x ∈时，()0()()0m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0()()0m x m x h x x x'=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增． 故0x 是()h x 的唯一极值点．令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，1()10t x x'=-<，所以()t x 在(1,)+∞上单调递减， 从而当1x >时，()(1)0t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111111ln ln 1ln ln ln 1ln ln ln 0b h b e t b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()0(1)0h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点． 又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1， 所以()h x 在(0,)+∞上恰好有2个零点． 【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程、导数研究函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.21．换T :22x x x y y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试写出变换T 对应的矩阵A ，并求出其逆矩阵1A -． 【答案】110112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． 【解析】设1a b c d A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，可得方程组，解方程组即可得答案； 【详解】由1022x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1022A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，设1a b c d A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则1101022222201a b ab AAcd a c b d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以10220221a b a c b d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得10112a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，所以110112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． 【点睛】本题考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力，求解时注意待定系数法的应用. 22．直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程13x ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为222x m y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）．若直线l 与曲线C 相交于点A ，B ．求OAB V 的面积．． 【解析】将直线的参数方程化为普通方程，再利用直线过定点，得到三角形的面积12112S y y =⨯⨯-，求出直线与抛物线交点的纵坐标，即可得答案；【详解】由13x t y t =+⎧⎨=⎩，消去参数t 得3(1)y x =-，由222x m y m ⎧=⎨=⎩消去参数m 得22y x =． 联立方程组23(1)2y x y x =-⎧⎨=⎩，消去x 得23260y y --=，解得y =或y =． 因为直线l 过定点(1,0)．所以OAB V的面积12112S y y =⨯⨯-=． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系、三角形面积求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.23．已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求实数a 的取值范围． 【答案】120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】利用柯西不等式可得关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围． 【详解】因为()222222221226221()(3)3233a b c b c b c a ⎛⎫-=+=+++=- ⎪⎝⎭… 所以25120a a -…，解得1205a 剟． 综上，实数a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 24．在直三校柱111ABC A B C -中，ABC V 是等直角三角形，90ACB ∠=︒，42AB =，M 是AB 的中点，且11A M B C ⊥．（1）求1A A 的长；（2）已知点N 在棱1CC 上，若平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角的余10N 的位置． 【答案】（1）22（2）N 在棱1CC 的中点处．【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设1A A a =，利用直线垂直向量的数量积为0，可得关于a 的方程，解方程即可得答案；（2）由（1）知1(0,0,22)C ，设(0,0,)(02)N λλ剟，所以1(4,4,22)B A =--u u u r ，1(0,4,22)BN λ=--u u u u r ，求出平面1B AN 的一个法向量12241,1,n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r ，平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r ，再代入向量的夹角公式，即可得答案；【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系．设1A A a =．由42AB =4AC BC ==，则(4,0,0)A ，(0,0,0)C ，1(4,0,)A a ，1(0,4,)B a ，(2,2,0)M所以1(2,2,)AM a =--u u u u r ，1(0,4,)=--u u u r B C a ． 因为11A M B C ⊥，所以(2)02(4)()()0a a -⨯+⨯-+-⨯-=，解得22a =1A A 的长为22（2）由（1）知1(0,0,22)C设(0,0,)(02)N λλ剟，所以1(4,4,22)B A =--u u u r ，1(0,4,22)B N λ=--u u u u r ．设平面1B AN 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r ．由1111n B A n B N ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u v u u u v u v u u v r ，得1111144204(2)0x y z y z λ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩，取12241,1n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r ． 易知平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r ，设平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角为θ，1212122210cos cos ,22411n n n n n n θλλ⋅====⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r u u r u r u u r u r u u r ．解得λ=2λ=-（舍去） 所以N 在棱1CC 的中点处．【点睛】本题考查空间中线段的长度、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.25．整数2n …，集合{}1,P x x n x N =∈剟，A ，B ，C 是集合P 的3个非空子集，记n a ，为所有满足A B ，A B C P ⋃⋃=的有序集合对(,,)A B C 的个数．（1）求2a ；（2）求n a ．【答案】（1）26a =；（2）52323n n n -⋅-+． 【解析】（1）由题意得{1}A =，{}1,2B =，{}1C =，{}2，{}1,2或{}2A =，{}1,2B =，{}1C =，{}2，{}1,2，即可得到2a 的值；（2）当B 中的元素个数为(21)k k n -剟时，集合A 的种数为22k -，集合C 的种数为2k ；当B 中的元素个数为n 时，集合A 的种数为22n -，集合C 的种数为21n -，即可得到n a 的值；【详解】（1）当2n =时，集合{}1,2P =，非空子集为{1}，{2}，{1,2}，因为A B ，A B C P ⋃⋃=，所以当{1}A =时，{}1,2B =，则{}1C =，{}2，{}1,2；当{}2A =时，{}1,2B =，则{}1C =，{}2，{}1,2．综上，26a =．（2）当B 中的元素个数为(21)k k n -剟时，集合A 的种数为22k -，集合C 的种数为2k ；当B 中的元素个数为n 时，集合A 的种数为22n -，集合C 的种数为21n -． 所以()()()12C 222C 2221n kk k n n n n nn k a -==-+--∑()()()()()()00011102222221222222222nk k n n n n k n nn n n k C C C C ==-+--------∑()0C 42223n kk k n n k ==-⋅-+∑0042223n nkkk k n n n k k C C ===-⋅-+∑∑ (14)2(12)23n n n =+-⋅+-+52323n n n =-⋅-+．【点睛】本题考查集合的新定义、二项式定理的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑思维能力、运算求解能力，难度较大.。
江苏省南京师大附中2020届高三数学下学期模拟考试试题2含解析
(2）求立柱 和立柱 总造价的最小值．
【答案】（1） 万元；（2) 万元．
【解析】
【分析】
设两立柱的总造价为y万元．
（1）过C作 的垂线分别交 ， 于 ， ，根据题中数据,求出 ，即可得出结果；
（2）过B作 的垂线，垂足为F，过C作 的垂线，垂足为G，设 ，
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可知 与 共线反向，令 ,然后由 和 列方程求解即可。
【详解】解：因为平面向量 与 的夹角是 ,
所以设 ，即 ，
因为 ，所以 ,得 ,
因为 ，所以 ,
所以 ,
故答案为：
【点睛】此题考查共线向量,向量的模,向量的坐标运算，属于基础题.
10. 已知 是椭圆 的长轴的两个端点， 是椭圆 上的动点,且 的最大值为 ，则椭圆 的离心率为______．
试题解析：（1）在直三棱柱 中， , ，所以 ,因为 ，所以 ,又 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为在平面 中， ，所以四边形 为正方形，因为点 分别为 的中点，所以 ∽ ，所以 ，所以 ，即 ，又因为 ，所以 。
（2）连接 交 于点 ,连接 交 于点 ，连接 ，
在正方形 中利用 及平面几何知识可得 ，在正方形 中利用 ∥ 且 可得 ，所以在 中, ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
12. 在△ABC中,角A，B,C的对边分别是a，b，c．已知a＝2，3bsinC－5csinBcosA＝0，则△ABC面积的最大值是．
【答案】2
【解析】
试题分析:由正弦定理 得: 又 即 ．
又 ∴ ， ，
由余弦定理得 ，
当且仅当 时，等号成立；
所以，
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷06(解析版)
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷06数学试题I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x|x 2＋x≤0}，则M∩N ＝____________．答案：{－1，0}解析：由N ＝{x|－1≤x≤0}，M ＝{－1，0，1}，得M∩N ＝{－1，0}．2.命题“∃x ＞1，使得x 2≥2”的否定是“____________”．答案：∀x ＞1，使得x 2＜2解析：本题主要考查特称命题的否定是全称命题．3.已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z.若2z ＝z ＋2－3i ，则z ＝____________．答案：2－i解析：设z ＝a ＋bi ，由已知条件，得2a ＋2bi ＝a ＋2－(b ＋3)i ，则2a ＝a ＋2，2b ＝－(b ＋3)，则a ＝2，b ＝－1，则z ＝2－i.4.现有4名学生A ，B ，C ，D 平均分乘两辆车，则“A ，B 两人恰好乘坐在同一辆车”的概率为________．答案：13解析：4名学生A ，B ，C ，D 平均分乘两辆车，有(A ＋B ，C ＋D)，(A ＋C ，B ＋D)，(A ＋D ，B ＋C)，(C ＋D ，A ＋B)，(B ＋D ，A ＋C)，(B ＋C ，A ＋D)共6个基本事件，A ，B 两人恰好乘坐在同一辆车共有(A ＋B ，C ＋D)，(C ＋D ，A ＋B)2个基本事件，则所求事件的概率为13.5.曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线方程是____________．答案：y ＝x ＋1解析：k ＝y′＝e 0＝1，切点坐标为(0，1)，则切线方程为y ＝x ＋1.6.如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是__________．答案：30解析：这列数的第一项是3，第二项是6，第三项是30.7.定义在R 上的奇函数f(x)，当x ＞0时，f(x)＝2x －x 2，则f(0)＋f(－1)＝______________．答案：－1解析：f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－1，f(0)＋f(－1)＝0－1＝－1.8.已知等差数列{a n }的公差为d ，若a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的方差为8，则d 的值为____________．答案:±2解析：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的平均数为a 3，而a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的方差为8，由方差公式，得4d 2＋d 2＋d 2＋4d 2＝40，d 2＝4，则d ＝±2.9.如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3cm ，AA 1＝2cm ，则三棱锥AB 1D 1D 的体积为________cm 3.(第9题)答案：3解析：三棱锥AB 1D 1D 的体积＝13×322×12×2×32＝3(cm 3)．10.已知αβcos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则cos β＝__________．答案：－4＋62解析：由αcos α＝13，得sin α＝223.又βαsin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝－45，则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－4＋6215.11.已知函数f(x)x ＞1，，－1≤x≤1.若关于x 的方程f(x)＝k(x ＋1)有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是__________．解析：方程f(x)＝k(x ＋1)有两个不同的实数根，说明y ＝k(x ＋1)与y ＝f(x)的图象有两个交点，画出函数f(x)的图象，y ＝k(x ＋1)是过(－1，0)的动直线，可得k 12.圆心在抛物线y ＝1x 2上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为____________．答案：(x±1)2＝1解析：抛物线2y ＝x 2，则该抛物线的准线方程为y ＝－12.设圆心坐标为(a ，b)＝b ＋12，2＝2b ，解＝±1，＝12，则圆的半径r ＝1，圆的标准方程为(x±1)2＝1.13.已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →，m ，n ∈R ，则(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是____________．解析：点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →，，＋n<1，作出可行域，可知点E(2，2)到可行域的最小距离为32，最大距离为22，则(m －2)2＋(n －2)214.已知a ＋b ＝2，b ＞0，当12|a|＋|a|b取最小值时，实数的a 值是____________．答案：－2解析：12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥－14＋214＝34，当且仅当a ＝－2，b ＝4时等号成立．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bcos C ＋ccos B ＝2acos A.(1)求A 的大小；(2)若AB →·AC →＝3，求△ABC 的面积．解：(1)(解法1)在△ABC 中，由正弦定理及bcos C ＋ccos B ＝2acos A ，得sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝2sin Acos A ，(3分)即sin A ＝2sin Acos A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos A ＝12，(6分)所以A ＝π3.(8分)(解法2)在△ABC 中，由余弦定理及bcos C ＋ccos B ＝2acos A ，得b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a·b 2＋c 2－a 22bc ，(3分)所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(6分)因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(8分)(2)由AB →·AC →＝cbcos A ＝3，得bc ＝23，(11分)所以△ABC 的面积为S ＝12bcsin A ＝12×23sin 60°＝32.(14分)16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22若E ，F 分别为PC ，BD 的中点．求证：(1)EF ∥平面PAD ；(2)EF ⊥平面PDC.证明：(1)连结AC ，因为正方形ABCD 中，F 是BD 的中点，则F 是AC 的中点．又E 是PC 的中点，所以在△CPA 中，EF ∥PA.(3分)因为PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD.(6分)(2)因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD.(8分)又PA ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PA.因为EF ∥PA ，所以EF ⊥CD.(10分)又PA ＝PD ＝22AD ，所以△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2，即PA ⊥PD.又EF ∥PA ，所以EF ⊥PD.(13分)而CD∩PD ＝D ，所以EF ⊥平面PDC.(14分)17.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P(3，1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为22，点Q 是PF 2的延长线与椭圆的交点．(1)①求椭圆C 的标准方程；②若∠PQF 1＝π3，求QF 1·QF 2的值；(2)直线y ＝x ＋k 与椭圆C 相交于A ，B 两点．若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．解：(1)①由条件，点P(3，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，△PF 1F 2的面积为22，得9a 2＋1b 2＝1，c ＝2 2.(2分)又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝12，b 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(4分)②当∠PQF 1＝π3时，QF 1＋QF 2＝2a ＝43，QF 21＋QF 22－QF 1·QF 2＝（2c ）2＝32，(6分)所以QF 1·QF 2＝163.(8分)A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 212＋y 24＝1，y ＝x ＋k ，得4x 2＋6kx ＋3k 2－12＝0.(10分)x 1＋x 2＝－3k 2，x 1x 2＝3k 2－124，y 1y 2＝k 2－124.(12分)因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－6＝0，解得k ＝±6，此时Δ＝120＞0，满足条件．因此k ＝± 6.(14分)18.(本小题满分16分)如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB ＝20m ，广场的一角是半径为16m 的扇形BCE 绿化区域．为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN(宽度不计)，点M 在线段AD 上(不与端点重合)，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN(宽度不计)摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角∠NBE ＝θ，总造价为W 元．(1)试将W 表示为θ的函数W(θ)，并写出cos θ的取值范围；(2)如何选取点M 的位置，能使总造价W 最小．解：(1)过N 作AB 的垂线，垂足为F ；过M 作NF 的垂线，垂足为G.在Rt △BNF 中，BF ＝16cos θ，则MG ＝20－16cos θ.在Rt △MNG 中，MN ＝20－16cos θsin θ.(4分)由题意得CN ︵＝π2－θ(6分)因此，W(θ)＝2a·20－16cos θsin θ＋(7分)cos θ分)(2)W′(θ)＝－16a ＋8a·4－5cos θsin 2θ＝8a·（2cos θ－1）（cos θ－2）sin 2θ.令W′(θ)＝0，得cos θ＝12，设锐角θ1满足cos θ1＝45，θ1因为θ1θ＝π3，(12分)当θ1W′(θ)＜0，W(θ)单调递减；当θW′(θ)＞0，W(θ)分所以当θ＝π3时，总造价W 最小，最小值为163，此时MN ＝83，NG ＝43，NF ＝83，因此当AM ＝43m 时，能使总造价最小．(16分)19.(本小题满分16分)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2n －1.(1)求证：数列{a n ＋n}为等比数列；(2)记b n ＝a n ＋(1－λ)n ，且数列{b n }的前n 项和为T n .若T 3为数列{T n }中的最小项，求λ的取值范围．(1)证明：∵a n ＋1＝3a n ＋2n －1，∴a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n)．又a 1＝2，∴a n ＞0，a n ＋n ＞0，故a n ＋1＋n ＋1a n ＋n＝3，∴{a n ＋n}是以3为首项，公比为3的等比数列．(4分)(2)解：由(1)知a n ＋n ＝3n ，∴b n ＝3n －nλ.(6分)∴T n ＝31＋32＋…＋3n －(1＋2＋3＋…＋n)λ＝32(3n －1)－n （n ＋1）2λ.(8分)若T 3为数列{T n }中的最小项，则对∀n ∈N *有32(3n －1)－n （n ＋1）2λ≥39－6λ恒成立，即3n ＋1－81≥(n 2＋n －12)λ对∀n ∈N *恒成立．(10分)1°当n ＝1时，有T 1≥T 3⇒λ≥365；2°当n ＝2时，有T 2≥T 3⇒λ≥9；(12分)3°当n≥4时，n 2＋n －12＝(n ＋4)(n －3)＞0恒成立，∴λ≤3n ＋1－81n 2＋n －12对∀n≥4恒成立．令f(n)＝3n ＋1－81n 2＋n －12，则f(n ＋1)－f(n)＝3n ＋1（2n 2－26）＋162（n ＋1）（n 2＋3n －10）（n 2＋n －12）＞0对∀n≥4恒成立，∴f(n)＝3n ＋1－81n 2＋n －12在n≥4时为单调递增数列．∴λ≤f(4)，即λ≤814.(15分)综上，9≤λ≤814，即λ的取值范围为9，814.(16分)20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x －ln x ，g(x)＝x 2－ax.(1)求函数f(x)在区间[t ，t ＋1](t ＞0)上的最小值m(t)；(2)令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x 1，h(x 1))，B(x 2，h(x 2))(x 1≠x 2)是函数h(x)图象上任意两点，且满足h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2＞1，求实数a 的取值范围；(3)若存在x ∈(0，1]，使f(x)≥a －g （x ）x 成立，求实数a 的最大值.解：(1)f′(x)＝1－1x，令f′(x)＝0，得x ＝1.当t≥1时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递增，f(x)的最小值为f(t)＝t －ln t ；(1分)当0＜t ＜1时，f(x)在区间(t ，1)上为减函数，在区间(1，t ＋1)上为增函数，f(x)的最小值为f(1)＝1.综上，当0＜t ＜1时，m(t)＝1；当t≥1时，m(t)＝t －ln t ．(3分)(2)h(x)＝x 2－(a ＋1)x ＋ln x ，对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，不妨取x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，则由h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2＞1，可得h(x 1)－h(x 2)＜x 1－x 2，变形得h(x 1)－x 1＜h(x 2)－x 2恒成立．(5分)令F(x)＝h(x)－x ＝x 2－(a ＋2)x ＋ln x ，则F(x)＝x 2－(a ＋2)x ＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故F′(x)＝2x －(a ＋2)＋1x ≥0在(0，＋∞)上恒成立，(7分)∴2x ＋1x ≥a ＋2在(0，＋∞)上恒成立．∵2x ＋1x ≥22，当且仅当x ＝22时取“＝”，∴a≤22－2，即a 的取值范围为(－∞，22－2]．(10分)(3)∵f(x)≥a －g （x ）x ，∴a(x ＋1)≤2x 2－xln x.∵x ∈(0，1]，∴x ＋1∈(1，2]，∴存在x ∈(0，1]，使得a≤2x 2－xln x x ＋1成立．令t(x)＝2x 2－xln x x ＋1，则t′(x)＝2x 2＋3x －ln x －1（x ＋1）2.(12分)令y ＝2x 2＋3x －ln x －1，则由y′＝（x ＋1）（4x －1）x ＝0可得x ＝14或x ＝－1(舍)．当x ＜0，则y ＝2x 2＋3x －ln x －1当x y′＞0，则y ＝2x 2＋3x －ln x －1∴y ＞ln 4－18＞0，∴t′(x)＞0在x ∈(0，1]上恒成立．∴t(x)在(0，1]上单调递增．∴a≤t(1)，即a≤1.(15分)∴实数a 的最大值为1.(16分)数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A ＝2－21－3，B ＝100－1，设M ＝AB .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．解：(1)M ＝AB ＝2－21－3100－1＝2213.(5分)(2)矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝|λ－2－2－1λ－3|＝(λ－2)(λ－3)－2.令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，所以矩阵M 的特征值为1或4.(10分)B ．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为m.若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．解：曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x.即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆．(3分)直线l 的极坐标方程是m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ，化为直角坐标方程为x ＋3y －2m ＝0.(6分)因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|1－2m|2＝1，解得m ＝－12或m ＝32.所以，所求实数m 的值为－12或32.(10分)C ．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）解不等式：|x －1|＋2|x|≤4x.解：原不等式等价于，x －2x≤4x ＜x≤1，－x＋2x≤4x ＞1，－1＋2x≤4x.(6分)，－x ＋2x≤4x ，得x ∈∅；＜x≤1，－x ＋2x≤4x ，得13≤x≤1；＞1，－1＋2x≤4x ，得x ＞1.所以原不等式的解集为13，＋分)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，点E 是线段PC 的中点．(1)求异面直线AP 与BE 所成角的大小；(2)若点F 在线段PB 上，使得二面角FDEB 的正弦值为33，求PF PB的值．解：(1)在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz.因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)．因为E 是PC 的中点，所以E(0，1，1)．所以AP →＝(－2，0，2)，BE →＝(－2，－1，1)，所以cos 〈AP →，BE →〉＝AP →·BE →|AP →|·|BE →|＝32，从而〈AP →，BE →〉＝π6.因为异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6.(4分)(2)由(1)可知，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，PB →＝(2，2，－2)．设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的一个法向量，·DF →＝0，·DE →＝0，1＋λy 1＋（1－λ）z 1＝0，1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1.所以m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量．(6分)设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的一个法向量，·DB →＝0，·DE →＝0，2＋2y 2＝0，2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1.所以n ＝(1，－1，1)为平面BDE 的一个法向量．(8分)因为二面角FDEB 的正弦值为33，所以二面角FDEB 的余弦值为63，即|cos 〈m ，n 〉|＝63，所以|m·n||m|·|n|＝63，|4λ－1|3·（2λ－1）2＋2λ2＝63，化简得4λ2＝1.因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即PF PB ＝12.(10分)23．（本小题满分10分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的分布列与期望．解：(1)设甲第i 次投中获胜的事件为A i (i ＝1，2，3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥．甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3.P(A 1)＝25；P(A 2)＝3×1×2＝2；P(A 3)×25＝2125.所以P(A 1＋A 2＋A 3)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3)＝25＋225＋2125＝62125.答：甲获胜的概率为62125.(4分)(2)X 所有可能取的值为1，2，3.则P(X ＝1)＝25＋35×23＝45；P(X ＝2)＝2＋3×1×35×23＝425；P(X ＝3)×1＝125.即X 的概率分布列为X 123P45425125(8分)所以X 的数学期望E(X)＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.(10分)。
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江苏省2020届高考数学精编模拟试题（十二） 一．填空题 1．设全集U=R，集合M=｛x|x<0｝，N=｛x|－1≤x≤1｝，则CuM∩N=___________、 2. 复数满足(12)5iz，则z= . 3．已知81cossin，且24，则sincos的值是___________ 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T为 .
5．如果直线04byax与圆C：422yx有2个不同的交点，那么点P(a，b)与圆C的位置关系是___________
6．不等式|2x+2|=|x|+|x+2|的解集可以用区间表示为___________ 7. 已知点P(2，1)在圆C：x2+y2+ax－2y+b=0上，点P关于直线x+y－1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心标为___________、半径为_________．
8. 已知函数xxfsin2（其中2||,0）的最小正周期是π，且f(0)=3，则_______，=________． 9. 已知点O为ABC的外心，且2,4ABAC,则•BCAO ．
10. 下列关于2的说法中，正确的是 ． ①2在任何相互独立问题中都可以用于检验是否相关； ②2越大，两个事件的相关性越大； ③2是用来判断两个相互独立事件相关与否的一个统计量， 它可以用来判断两个事件是否相关这一类问题.
11.设数列2*()nannnN，且满足123naaaak，则实数的取值范围是 。
12．一次研究性课堂上，老师给出函数||1xxxf (x∈R)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
T←1 I←3 While I<50 T←T +I I←I +2 End While Print T 甲：函数f(x)的值域为(－1，1)； 乙：若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)； 丙：若规定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn－1(x))，则||1xnxxfn对任意n∈N*恒成立． 你认为上述三个命题中正确的个数有___________ 13. 过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是___________
14．记ba,min 为a、b两数的最小值，当正数x、y变化时，22,minyxyxt也在变化，则t的最大值为___________． 二．解答题 15. 已知：axxxf2sin3cos2)(2（aR，a为常数）． （1）若Rx，求f（x）的最小正周期；
（2）若0[x，]2π时，f（x）的最大值为4，求a的值．
16. 如图，三棱柱111CBAABC的底面是边长为a的正三角形，侧面11AABB是菱形且垂直于底面，∠ABA1＝60°，M是11BA的中点．
（1）求证：BM⊥AC； （2）求三棱锥CBAM1的体积． 17. 假设A型进口车关税税率在2002年是100％，在2020年是25％，2002年A型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）． （1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2002年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2020年B型车的价格不高于A型车价格的90％，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？ （2）某人在2002年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8％（5年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的B型车一辆？
18. E、F是椭圆2224xy的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点Pl，过点E的直线交椭圆于A、B两点. （1） 当AEAF时，求AEF的面积； （2） 当3AB时，求AFBF的大小； （3） 求EPF的最大值.
19. 已知函数22log)(xxxfa的定义域为[，]，值域为)1([logaa，)]1(logaaa，MFEOyABPx并且)(xf在[，]上为减函数． （1）求a的取值范围；
（2）求证：42；
（3）若函数22log)1(log)(xxxaxgaa，[x，]的最大值为M，求证：10M
20.设数列na的前n项和为nS，已知1231611aaa，，，且 1(58)(52)123nnnSnSAnBnL，，，，， 其中AB，为常数. (Ⅰ)求A与B的值； (Ⅱ)证明：数列na为等差数列； (Ⅲ)证明：不等式51mnmnaaa对任何正整数mn，都成立. 试题答案： 一，填空题
1. ｛x|0≤x≤1｝ 2. 12i 3. 23 4. 625 5. 在圆外 6. ,02, 7.（0，1）， 2 8. 2 ，3 9. 6 10. ③ 11. 3
12. 3个 13. π3400 14. 22 二．解答题 15. 解：∵ 1)6π2sin(22sin32cos1)(axaxxxf
（1）最小正周期 π2π2T （2）π676π26π2π0xx， ∴ 2π6π2x时 12)(maxaxf，∴ 43a， ∴ a＝1． 16. 解： （1）证明：∵ 11AABB是菱形，∠ABA1＝60°△BBA11是正三角形
又∵ 11111111111CBABMCBABBAABABMBAM平面平面平面又的中点是， ACBECAACCABM
1111
//又
（2）321612343312121212111111aaaVVVVABCACBAACBABCBAM 17. 解：（1）2020年A型车价为32＋32×25％＝40（万元） 设B型车每年下降d万元，2002，2020……2020年B型车价格为：（公差为-d）
1a，2a……6a ∴ 6a≤40×90％ ∴ 46-5d≤36 d≥2
故每年至少下降2万元 （2）2020年到期时共有钱 5%)8.11(33＞33（1＋0.09＋0.00324＋……）＝36.07692＞36（万元）
故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B型车
18. 解：（1）2241282AEFmnSmnmn
（2）因484AEAFABAFBFBEBF， 则5.AFBF （1） 设(22,)(0)Ptt ()tanEPFtanEPMFPM
22132232222223()(1)663ttttttt
，
当6t时，3303tanEPFEPFo 19. 解：（1）按题意，得)1(log)(22logmaxaxfaa．
∴ ．，01022 即 2． 又)1(log)(22logminaxfaa ∴ 关于x的方程)1(log22logxaxxaa． 在（2，＋∞）内有二不等实根x＝、．关于x的二次方程xaax)1(2 0)1(2a在（2，＋∞）内有二异根、．
9100)1(2)1(242210)1(8)1(102a
aaaaa
aaa
aa且
．
故 910a． （2）令)1(2)1()(2axaaxxΦ，则)218(4)4()2(aaΦΦ)19(8aa 0．
∴ 42．
（3）∵ 12)2)(1(log)(xxxxga，
∴ 22)2()2()2)(12()2)(1(2ln1)(xxxxxxxxaxg
)2)(1)(2()4(ln1xxxxxa． ∵ 0lna， ∴ 当x（，4）时，0)(xg；当x（4，）是0)(xg． 又)(xg在[，]上连接， ∴ )(xg在[，4]上递增，在[4，]上递减． 故 agMaa9log19log)4(． ∵ 910a， ∴ 0＜9a＜1．故M＞0． 若M≥1，则Maa9． ∴ 191Ma，矛盾．故0＜M＜1．
20. 解：（Ⅰ）由已知，得111Sa，2127Saa，312318Saaa. 由1(58)(52)nnnSnSAnB，知
2132
372122SSABSSAB，
， 即 28248ABAB，，
解得 20A，8B. （Ⅱ）方法1 由（Ⅰ），得 1(58)(52)208nnnSnSn， ① 所以 21(53)(57)2028nnnSnSn. ② ②-①，得 21(53)(101)(52)20nnnnSnSnS， ③ 所以 321(52)(109)(57)20nnnnSnSnS. ④ ④-③，得 321(52)(156)(156)(52)0nnnnnSnSnSnS.