最优路径规划算法设计报告

最优路径规划算法设计

一、 问题概述

兵力机动模型的功能是支持实施机动的实体按照指定路线，由作战空间的一点向另外一点的位置移动，并带入实体在移动过程中发生变化的状态信息。

兵力机动模型包括行军模型、战斗转移模型、机动能力评估模型。涉及的关键算法包括最优路径规划、行军长径计算、行军时间计算、行军所需油料计算、行军方案评估与优选等。

最优路径问题又称最短路问题。是网络优化中的基本问题，如TSP 问题等。下面先举例说明该问题。

最短路问题（SPP －shortest path problem ）

一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地

到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。

旅行商问题（TSP －traveling salesman problem ）

一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他（她）设计一条最短的旅行路线（从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地？）

最短路问题是组合优化中的经典问题，它是通过数学方法寻找离散时间的最优编排、分组、次序、或筛选等，这类问题可用数学模型描述为

min )(x f

..t s 0)( x g

D x ∈.

其中，)(x f 为目标函数，)(x g 为约束函数，x 为决策变量，D 表示有限个点组成的集合。

一个组合最优化问题可用三个参数),,(f F D 表示，其中D 表示决策变量的定义域，F 表示可行解区域}0)(,|{≥∈=x g D x x F ，F 中的任何一个元素称为该问题的可行解，f 表示目标函数，满足}|)(m in{)(*F x x f x f ∈=的可行解*x 称为该问题的最优解。组合最优化的特点是可行解集合为有限点集。由直观可知，只要将D 中有限个点逐一判别是否满足0)(≥x g 的约束并比较目标值的大小，就可以得到该问题的最优解。

以上述TSP 问题为例，具体阐述组合优化问题：

此模型研究对称TSP 问题,一个商人欲到n 个城市推销产品，两个城市i 和j 之间的距离ji ij d d =，用数学模型描述为

∑≠j

i ij ij x d min

1..1=∑=n

j ij x t s n i ,,2,1Λ=，

1..1=∑=n

i ij x t s n j ,,2,1Λ=，

},,,2,1{,2||2,1||,n s n s s x s j i ij Λ?-≤≤-≤∑∈

j i n j i x ij ≠=∈,,,2,1,},1,0{Λ

约束条件决策变量1=ij x 表示商人行走的路线包含从城市i 到j 的路，而0=ij x 表示商人没有选择走这条路；j i ≠的约束可以减少变量的个数，使得模型中共有)1(-?n n 个决策变量。

每一个组合优化问题都可以通过完全枚举的方法求得最优解。枚举是以时

间为代价的，在TSP问题中，用n个城市的一个排列表示商人按这个排列序推

( n个枚举。以计算机s1

销并返回起点。若固定一个城市为起终点，则需要)!1

可以完成24个城市所有路径枚举为单位，则25个城市的计算时间为：以第1个城市为起点，第2个到达城市有可能是第2个、第3个、……、第25个城市。决定前两个城市的顺序后，余下是23个城市的所有排列，枚举这23个城市的排列需要s1，所以，25个城市的枚举需要24s。类似地归纳，城市数与计算时间的关系如表1所示。

表1 枚举时城市数与计算时间的关系

通过表1可以看出，随着城市数的增加，计算时间增加非常之快，当城市数增加到30时，计算时间约为10.8年，实际计算中已无法承受。在城市数较多时，枚举已不可取，我们可以采用一些别的方法缩短计算时间。

TSP问题是NP难问题，其可能的路径数目与城市数目n是成指数型增长的，所以一般很难求出其最优解，因而一般是找出其有效的近似求解算法。遗传算法可以用来解决一些较为复杂的系统问题，显然旅行商问题是需要编码运算的，而遗传算法本身的特征正好为解决这一问题提供了很好的途径。

NP问题：是指非确定多项式问题类。若存在一个多项式函数)(x

g和一个验证算法H，使得：判定问题A的任何一个实例I为“是”实例当且仅当存在一个验证字符串S，满足其输入长度)(S

d为I的输入长

d

g，其中)(I

d不超过))

(

(I

度，且算法H验证实例I为“是”实例的计算时间)

d

g,则称判定

(I

(H

f不超过))

(

问题A 是非确定多项式的。对于判定问题A ，若NP 中的任何一个问题可在多项式时间内归约为判定问题A ，则称A 为NP 难问题。

二、 知识准备

根据实际需求，本文拟给出三种算法针对不同的情况做出解答。分别是基于图论和网络优化的Dijkstra 和Floyd —Warshall 算法。这两种算法用来解决起点与终点不重合的问题。最后根据现有智能优化计算中的遗传算法计算哈密尔顿回路问题，即起点与终点重合问题。

1、 图论基本知识

有向图的定义：一个有向图G 是由一个非空有限集合)(G V 和)(G V 中某些元素的有序对集合)(G E 构成的二元组，记为))(),((G E G V G =。其中},...,,{)(21n v v v G V =称为图G 的顶点集，)(G V 中的每一个元素),...,2,1(n i v i =，称为该图的一个顶点；},...,,{)(21m e e e G E =称为图G 的弧集，记为),(j i k v v e =，记有向图),(E V G =

（a ） 和（c ）是无向图，（b ）是有向图

2、 邻接矩阵表示法

图),(E V G =的邻接矩阵C 是如下定义的：C 是一个n n ?的0-1矩阵，即

n n n n ij c C ??∈=}1,0{)(，???∈?=A

j i A j i c ij ),(,1),(,0，也就是说，如果两节点之间有一条弧，则邻接矩阵中对应元素为1，否则为0.

图（a ）和图（b ）的邻接表矩阵即为

3、 ???????? ??00010001001000100001

00110y x w v u y x

w v u

在计算机中用二维数组表示，两节点之间有弧相应的元素为1.

必须指出的是：目前为止，一切最短路算法都只对不含负有向圈的网络有效。实际上，对于含负有向圈的网络，其最短路问题是NP-hard 。因此，除非特别说明，一律假定网络不包含负有向圈。此外在实际问题中也会遇到无向网络上的最短路问题，这时原问题一般可以转化为有向网络中上的最短路问题。如果所有弧上的权ij w 全为非负数，只需将无向图的一条边代之以两条对称的有向弧即可。如果弧上的权ij w 有负有正，一般来说问题要复杂得多，要具体问题具体分析。本文中所要解决的问题都取权值为正，无向图皆采取两条对称的有向弧问题。

k k v e e v e v W ...2110=，其中k j G V v k i G E e j i ≤≤∈≤≤∈0),(,1),(，i e 与i i v v ,1-关

联，称W 是图G 的一条道路，k 为路长，顶点0v 和k v 分别称为W 的起点和终点，而121,...,,-k v v v 称为他的内部顶点。

若道路W 的边互不相同，则W 称为迹。若道路W 的顶点互不相同，则W 称为轨。

称一条道路是闭的，如果它有正的长且起点和终点相同。起点和终点重合

的轨叫做圈(cycle)。

若图G 的两个顶点u , v 间存在道路，则称u 和v 连通(connected)。u , v 间的最短轨的长叫做u , v 间的距离。记作d (u ,v )。若图G 的任二顶点均连通，则称G 是连通图。

显然有：

(i)图P 是一条轨的充要条件是P 是连通的，且有两个一度的顶点，其余顶点的度为2；

(ii)图C 是一个圈的充要条件是C 是各顶点的度均为2 的连通图

三、应用

以行军途中各目标为图G 的顶点，两目标之间的连线为图G 相应两顶点间的边，得图G 。对G 的每一边e ，赋以一个实数w (e )—两目标之间的距离长度，称为e 的权，得到赋权图G 。G 的子图的权是指子图的各边的权和。问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点00,v u 间的具最小权的轨。这条轨叫做00,v u 间的最短路，它的权叫做00,v u 间的距离，亦记作),(00v u d 。

四、算法设计 1 Dijkstra 算法

1.1 定义预览：

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra 算法是很有代表性的最短路径算法，注意该算法要求图中不存在负权边。