简谐运动位移公式推导资料讲解
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简谐运动位移公式推导
问题:质量为m的系于一端固定的轻弹簧(弹簧质量可不计)的自由端。如图(a)所示,
将物体略向右移,在弹簧力作用下,若接触面光滑,m物体将作往复运动,试求位移x与时间t的函数关系式。
图(a)
分析:m物体在弹力F的作用下运动,显然位移X与弹力F有关,进而由弹簧联想起胡克定律,但结果只有位移与时间,故要把弹力F替换成关于X与t的量,再求解该微分方程。
推导:取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴,向右为正。设弹力为F,
由胡克定律,K为劲度系数,负号表示力与位移方向相反。
根据牛顿第二定律,m物体加速度a====-x (1)
可令=(2)
代入(a),得
=X或X=0(3)
显然,想求出位移X与时间t的函数关系式,须解出此微分方程
求解:对于X=0,即X’’+X=0 (4)
(4)式属可将阶的二阶微分方程,
若设X’=u,消去t,就要把把X”转化为关于X与t的函数,那么
X’’===u,
u+X=0, u X
下面分离变量再求解微分方程,然后两边积分,得
=
得=+C,即+C1(5)
u=x’,x’==
(6)
再次分离变量,=dt (7)
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