新湘教版九年级下册数学教案修改

第1章二次函数

1.1 二次函数

教学目标

【知识与技能】1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.

【过程与方法】经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.

【情感态度】体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识.

【教学重点】二次函数的概念.

【教学难点】在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.

教法：小组合作自主探究式

教学媒体：课件

教学过程

一、情境导入，初步认识

1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S(m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0

2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?有.

二、思考探究，获取新知

二次函数的概念及一般形式

在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,

b,c 是常数,a ≠0)的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出.

三、典例精析，掌握新知

例1 指出下列函数中哪些是二次函数.

(1)y=(x-3)2

-x 2

；(2)y=2x(x-1)；(3)y=32

x-1；(4)y=

22x

；(5)y=5-x 2

+x. 【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析. 解:(2)(5)是二次函数,其余不是.

【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路: 1.将函数化为一般形式. 2.自变量的最高次数是2次.

3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0. 例2 讲解教材P3例题.

【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围. 例3 已知函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)(m 是常数），当m 为何值时: (1)函数是一次函数; (2)函数是二次函数.

【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或不等式.

解:(1)由200

m m m ?-=?≠? 得01

0m m ?=≠??或 ,

∴m=1.即当m=1时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是一次函数. (2)由m 2-m ≠0得m ≠0且m ≠1,

∴当m ≠0且m ≠1时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是二次函数.

【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式.

四、运用新知，深化理解

1.下列函数中是二次函数的是（ ） A. 2

123

y x x =

+- B.y=3x 3+2x 2 C.y=(x-2)2-x 3

D.212y x =- 2.二次函数y=2x(x-1)的一次项系数是（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.若函数2

32

(3)1k

k y k x kx -+=-++ 是二次函数，则k 的值为（ ）

A.0

B.0或3

C.3

D.不确定

4.若y=(a+2)x 2-3x+2是二次函数，则a 的取值范围是 .

5.已知二次函数y=1-3x+5x 2,则二次项系数a= ,一次项系数b= ,常数项c= .

6.某校九（1）班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式 ，它 （填“是”或“不是”）二次函数.

7.如图,在边长为5的正方形中,挖去一个半径为x 的圆（圆心与正方形的中心重合），剩余部分的面积为y.

(1)求y 关于x 的函数关系式； （2）试求自变量x 的取值范围；

（3）求当圆的半径为2时，剩余部分的面积（π取3.14，结果精确到十分位）.

【答案】1.D 2.D 3.A 4.a ≠-2 5.5,-3,1 6.211

22

y x x =- 是 7.（1）y=25-πx 2=-πx 2+25. (2)0＜x ≤52.

(3)当x=2时，y=-4π+25≈-4×3.14+25=12.44≈12.4.

即剩余部分的面积约为12.4.

【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后，教师指导.

五、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾二次函数的有关概念.

2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?与同伴交流.

【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳.

课后作业

第1~3题.

1.教材P

4

2.完成同步练习册中本课时的练习.

教学反思

1.2 二次函数的图象与性质

第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质

教学目标

【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.

2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题.

【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.

【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.

【教学重点】

1.会画y=ax2(a＞0)的图象.

2.理解,掌握图象的性质.

【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.

教法：小组合作自主探究式

教学媒体：课件

教学过程

一、情境导入，初步认识

问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?

问题2 如何用描点法画一个函数图象呢? 【教学说明】 ①略；②列表、描点、连线. 二、思考探究，获取新知

探究1 画二次函数y=ax 2(a ＞0)的图象. 画二次函数y=ax 2的图象.

【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x 2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.

②从列表和描点中,体会图象关于y 轴对称的特征. ③强调画抛物线的三个误区.

误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.

如图(1)就是y=x 2的图象的错误画法.

误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形. 如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x 2的图象的错误画法.

误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.

如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=x 2图象的错误画法. 探究2 y=ax 2(a ＞0)图象的性质在同一坐标系中，画出y=x 2, 212

y x ,y=2x 2

的图象.

【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一

个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数y=ax2(a ＞0)的图象和性质.

【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y 随x 的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调.

y=ax 2(a ＞0)图象的性质 1.图象开口向上.

2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点.

3.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，简称右升；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，简称左降.

三、典例精析，掌握新知 例 已知函数24

(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数.

(1)求k 的值.

(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？

【分析】此题是考查二次函数y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k+2＞0，求出k 的取值范围，最后由y 随x 的增大而增大，求出x 的取值范围.

解:(1)由已知得220

42k k k +≠+-=??? ,解得k=2或k=-3.

所以当k=2或k=-3时，函数2

4

(2)k

k y k x +-=+是关于x 的二次函数.

(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+2＞0.

由（1）知k=2，最低点是（0,0),当x ≥0时，y 随x 的增大而增大. 四、运用新知，深化理解

1.（广东广州中考）下列函数中，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ）

A.y=x 2

B.y=x-1

C. 34y x =

D.y=1

x

2.已知点（-1,y

1),(2,y

2

),(-3,y

3

)都在函数y=x2的图象上，则（）

A.y

1＜y

2

＜y

3

B.y

1

＜y

3

＜y

2

C.y

3

＜y

2

＜y

1

D.y

2

＜y

1

＜y

3

3.抛物线y=1

3

x2的开口向，顶点坐标为，对称轴

为，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ,当x≤0时，y随x的增大而；当x＞0时，y随x的增大而 .

4.如图，抛物线y=ax2上的点B，C与x轴上的点A（-5，0），D（3，0）构成平行四边形ABCD，BC与y轴交于点E（0，6），求常数a的值.

【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.

【答案】1.D 2.A 3.上,(0,0),y轴，4

3

，±3,减小，增大

4.解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x轴，且抛物线y=ax2上的点B，C关于y 轴对称，又∵BC与y轴交于点E（0，6），∴B点为（-4，6），C点为（4，6），

将（4，6）代入y=ax2得：a=3

8

.

五、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法及其性质.

2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流. 课后作业

1.教材P

7

第1、2题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

教学反思

第2课时二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质

教学目标

【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.

2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题.

【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.

【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.

【教学重点】①会画y=ax2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质. 【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.

教法：小组合作自主探究式

教学媒体：课件

教学过程

一、情境导入，初步认识

1.在坐标系中画出y=1

2

x2的图象，结合y=

1

2

x2的图象，谈谈二次函数

y=ax2(a＞0)的图象具有哪些性质？

2.你能画出y=-1

2

x2的图象吗？

二、思考探究，获取新知

探究1画y=ax2(a＜0)的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=-1

2

x2的图象.

【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学.

问:从所画出的图象进行观察,y=1

2x2与y=-

1

2

x2有何关系？

归纳：y=1

2x2与y=-

1

2

x2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两

图象关于y轴对称.(教师引导学生从理论上进行证明这一结论) 探究2二次函数y=ax2(a＜0)性质问：你能结合y=-1

2

x2的图象，归纳出y=ax2(a＜0)图象的性质吗？

【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y随x的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调y=ax2(a<0)图象的性质.

1.开口向下.

2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最高点.

3.当x＞0时，y随x的增大而减小，简称右降，当x＜0时，y 随x的增大而增大，简称左升.

探究3二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质

学生回答：

【教学点评】一般地，抛物线y=ax2的对称轴是，顶点是，当a＞0时抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a 越大，抛物线开口越；当a＜0时，抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越，总之，|a|越大，抛物线开口越 .

答案:y轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小

三、典例精析，掌握新知

例1 填空：①函数y=(-2x)2的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是 .

②函数y=x2,y=1

2

x2和y=-2x2的图象如图所示，

请指出三条抛物线的解析式.

解:①抛物线，（0，0），y轴，向上；

②根据抛物线y=ax2中,a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为

y=1

2

x2,中间为y=x2,在x轴下方的为y=-2x2.

【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错

误.抛物线y=ax2中，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小.

例2 已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值.

【分析】把点(1,-1)的坐标代入y=ax2,求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值.

解:∵点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a·12，∴a=-1,∴抛物线为y=-x2.

当y=-4时，有-4=-x 2，∴x=±2.

【教学说明】在求y=ax 2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a 值.

四、运用新知，深化理解

1.下列关于抛物线y=x 2和y=-x 2的说法，错误的是（ ） A.抛物线y=x 2和y=-x 2有共同的顶点和对称轴 B.抛物线y=x 2和y=-x 2关于x 轴对称 C.抛物线y=x 2

和y=-x 2

的开口方向相反

D.点（-2，4）在抛物线y=x 2上，也在抛物线y=-x 2上

2.二次函数y=ax 2与一次函数y=-ax(a ≠0)在同一坐标系中的图象大致是（ ）

3.二次函数2

26(1)m m y m x +-=-,当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，则m= . 4.已知点A （-1，y 1),B(1,y 2),C(a,y 3)都在函数y=x 2的图象上，且a ＞1,则y 1,y 2,y 3中最大的是 .

5.已知函数y=ax 2经过点(1,2).①求a 的值；②当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况.

【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.

【答案】1.D 2.B 3.2 4.y 3

5.①a=2 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 五、师生互动，课堂小结

这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评：（1）y=ax 2(a<0)图象的性质；（2）y=ax 2(a ≠0)关系式的确定方法.

课后作业

1.教材P

第1~2题.

10

2.完成同步练习册中本课时的练习.

教学反思

第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质

教学目标【知识与技能】

1.能够画出y=a(x-h)2的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h对二次函数图象的影响.

2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

【过程与方法】经历探索二次函数y=a(x-h)2的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想.

【情感态度】

1.在小组活动中体会合作与交流的重要性.

2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,初步形成积极参与数学活动的意识.

【教学重点】掌握y=a(x-h)2的图象及性质.

【教学难点】理解y=a(x-h)2与y=ax2图象之间的位置关系，理解a,h对二次函数图象的影响.

教法：小组合作自主探究式

教学媒体：课件

教学过程

一、情境导入，初步认识

1.在同一坐标系中画出y=1

2

x2与y=

1

2

(x-1)2的图象，完成下表.

2.二次函数y=1

2

(x-1)2的图象与y=

1

2

x2的图象有什么关系？

3.对于二次函数1

2

(x-1)2,当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当

x取何值时，y的值随x值的增大而减小?

二、思考探究，获取新知

归纳二次函数y=a(x-h)2的图象与性质并完成下表.

三、典例精析，掌握新知

例1 教材P12例3.

【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”. 例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2,y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象.

例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A 重合.①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1,y1),C(x2,y2)在抛物线l上，且-1

＜x1＜x2，试比较y1,y2的大小.

2

解:①∵y=x+1,∴令y=0，则x=-1,∴A（-1,0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，

0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为

y=-2(x+1)2.

②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1,∵a=-2＜0,∴当x＞-1时，y随x 的增大而减小，又-1

2

＜x1＜x2,∴y1＞y2.

【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点.

四、运用新知，深化理解

1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（）

A.-1

B.1

C.0

D.没有最小值

2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（）

A.第一、二象限

B.第二、四象限

C.第三、四象限

D.第二、三象限

3.在反比例函数y=k

x

中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数

y=k(x-1)2的图象大致是（）

4.（1）抛物线y=1

3

x2向平移个单位得抛物线y=

1

3

(x+1)2;

(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2.

5.（广东广州中考）已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2,且过点（1，-3）.

(1)求抛物线的解析式;

(2)画出函数的大致图象;

(3)从图象上观察,当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？

【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑.

【答案】1.C 2.A 3.B 4.(1)左,1 (2)y=-2x2

5.解：(1)y=-1

3

(x+2)2 (2)略（3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当

x=-2时，y有最大值0.

五、师生互动，课堂小结

1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?

2.在学生回答的基础上,教师点评:(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系.

课后作业

1.教材P

12

第1、2题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

教学反思

第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质

教学目标【知识与技能】

1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.掌握y=a(x-h)2+k的图象和性质.

2.掌握y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的位置关系.

3.理解y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2,y=ax2+k及y=ax2的图象之间的平移转化. 【过程与方法】经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力.

【情感态度】1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性.

2.体验数学活动中充满着探索性,感受通过认识观察,归纳,类比可以获得数学猜想的乐趣.

【教学重点】二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.

【教学难点】由二次函数y=a(x-h)2+k的图象的轴对称性列表、描点、连线. 教法：小组合作自主探究式

教学媒体：课件

教学过程

一、情境导入，初步认识

复习回顾:同学们回顾一下:

①y=ax2,y=a(x-h)2,（a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y随x 的增减性分别是什么？

②如何由y=ax2(a≠0)的图象平移得到y=a(x-h)2的图象？

③猜想二次函数y=a(x-h)2+k的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x 的增减性如何？

二、思考探究，获取新知

探究1 y=a(x-h)2+k的图象和性质

1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：

①y=-1

2

(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？

②将抛物线y=-1

2

x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线

y=-1

2

(x+1)2-1.

2.同学们讨论回答：

①一般地，当h＞0,k＞0时，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，再向上平

移k个单位得抛物线y=a(x-h)2+k;平移的方向和距离由h,k的值来决定.

②抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？

探究2二次函数y=a(x-h)2+k的应用

【教学说明】二次函数y=a(x-h)2+k的图象是，对称轴是，顶点坐标是，当

a＞0时，开口向，当a＜0时，开口向.

答案：抛物线，直线x=h,(h,k),上，下

三、典例精析，掌握新知

例1 已知抛物线y=a(x-h)2+k,将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴

向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=-3(x+1)2-4,求原抛物线的解析式.

【分析】平移过程中,前后抛物线的形状,大小不变,所以a=-3,平移时应抓

住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式.

解:抛物线y=-3(x+1)2-4的顶点坐标为（-1,-4),它是由原抛物线向右平移3

个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2).故原抛物线的解析式为y=-3(x+4)2-2.

【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：顶点的变化.

例2 如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图，发射台OA的高度为2m，火炬的高度为12m,距发射台OA的水平距离为20m,在A处的发射装置向目标C

发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为抛物线形，当火球运动到距地面最大高度20m时，相应的水平距离为12m.请你判断该火球能否点燃目标C？并说明理由.

【分析】建立适当直角坐标系,构建二次函数解析式,然后分析判断.

解:该火球能点燃目标.如图,以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，则点（12，20）为抛物线顶点，设解析式为y=a(x-12)2+20,∵点

（0，2）在图象上，∴144a+20=2,∴a=-1

8,∴y=-

1

8

(x-12)2+20.当x=20时，

y=-1

8

×(20-12)2+20=12,即抛物线过点（20,12),∴该火球能点燃目标.

【教学说明】二次函数y=a(x-h)2+k的应用关键是构造出二次函数模型.

四、运用新知，深化理解

1.若抛物线y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2,则必须（）

A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位

B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位

C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位

D.先向右平移1个单位，再向上平移4个单位

2.抛物线y=x2-4与x轴交于B,C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（）

+4

3.函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是（）