精讲精练第1讲函数概念与表
第1讲 函数概念与表示
一、要点精讲
1．函数的概念：
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作：y =f (x )，x ∈A 。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，定义域含三种：①自然型：②限制型： ③实际型： （2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。 3．两个函数的相等：4．区间 5．映射的概念 6．常用的函数表示法：（1）解析法：；（2）列表法：；（3）图象法：。 7．分段函数
8．复合函数：若y =f (u)，u=g(x ),x (a ，b )，u (m,n)，那么y =f [g(x )]称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是g(x )的值域。 【课前练习】
1.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)
()1
f x
g x x =
-的定义域是 A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)
(1,4] D ．(0,1)
2.设函数2
211()21x x f x x x x ?-?=?+->??，
，，，
≤则
1(2)f f ??
???
的值为（ ）
A ．
15
16
B ．2716
-
C ．
89
D ．18
3.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(2)f -等于（ ）A ．2 B ．3
C ．6
D ．9
4.函数221()x f x --=
的定义域为 ．
二、典例解析
题型1：函数概念 例1．（1）设函数).89(,)100()]5([)100(3
)(f x x f f x x x f 求?
?
?<+≥-=
（2）请设计一个同时满足下列两个条件的函数y = f （x ）：
①图象关于y 轴对称；②对定义域内任意不同两点12x x 、, 都有12
12()()2()2
x x f x f x f ++< 答： .
变式题：设12
32,2()((2))log (1) 2.
x e x f x f f x x -??=?-≥??＜，
则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
例2．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
1
2f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__ ________； 题型二：判断两个函数是否相同
例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f （x ）=2x ，g （x ）=3
3x ；（2）f （x ）=
x x |
|，g （x ）=?
??<-≥;01,01x x
（3）f （x ）=
1
212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；
（4）f （x ）=x
1+x ，g （x ）=x x +2；
（5）f （x ）=x 2
－2x －1，g （t ）=t 2
－2t －1。
题型三：函数定义域问题 例4．求下述函数的定义域：
（1）02
)23()
12lg(2)(x x x x x f -+--=； （2）).lg()lg()(22a x ka x x f -+-=
例5．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) 2
()23f x +；
(2)2y =。
变式题：已知函数f （x ）=
3
1
32
3
-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞3
1
B ．－12＜a ≤0
C ．－12＜a ＜0
D ．a ≤
3
1 题型四：函数值域问题 例6．求下列函数的值域：
（1）2
32y x x =-+；（2
）y ；（3）31
2
x y x +=
-； （4
）y x =+（5
）y x =（6）|1||4|y x x =-++；
（7）22221x x y x x -+=++；（8）2211()212x x y x x -+=>-；（9）1sin 2cos x
y x
-=-。
题型五：函数解析式
例7．（1）已知3
3
1
1
()f x x x
x +=+
，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x
+=，求()f x ；
（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ； （4）已知()f x 满足12()()3f x f x x
+=，求()f x 。 题型六：函数的综合题
例8. 已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f = (3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.
(I)求(0)f 的值； (II)求()f x 的最大值；
三、课外作业
1.函数1()f x x
=的定义域为
A. (,4][2,)-∞-+∞
B. (4,0)
(0.1)- C. [-4,0)(0,1] D. [4,0)(0,1)-
2.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）
132 （Ｄ）213
3.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+
的值域是（ ） A ．1
[,3]2
B ．10[2,
]3 C ．510[,]23 D ．10
[3,]3
4.若函数()1222
-=
--a
ax x
x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围 。
5.（1）设
d cx bx ax x x f ++++=2
34)(，其中a 、b 、c 、d 是常数。 如果,30)3(,20)2(,10)1(===f f f 求的值)6()10(-+f f ；
（2）若不等式
)1(122
->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的取值范围。 【课前预习】
1. B
2. A
3. A 4．[3,)+∞
四．典例解析
例1． 解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，
)))101((())))104(((()))99((())94(()89(f f f f f f f f f f f f f ====
=)99())102(()97())100(()))103((())98((f f f f f f f f f f f ===== =.98)101())104((==f f f
（2）答案不唯一，在定义域内图象上凸的偶函数均可，如
2(),()cos (),()|tan |()2
2
2
2
f x x f x x x f x x x π
π
π
π
=-=-
≤≤
=--
<<
等等.
首先由①知f （x ）为偶函数，由②知f （x ）在定义域内图象上凸，然后在基本初等函数中去寻找符合这两点的模型函数. 变式题解：选项为C 。 例2．解：由()()
1
2f x f x +=
得()()14()2f x f x f x +=
=+， 所以(5)(1)5f f ==-，则()()11
5(5)(1)(12)5
f
f f f f =-=-=
=--+。
例3．解：（1）由于f （x ）=2x =|x |，g （x ）=3
3x =x ，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们
不是同一函数； （2）由于函数f （x ）=
x x |
|的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g （x ）=???<-≥;
01,01x x 的定义域为R ，所以它们不是同一函数；
（3）由于当n ∈N *
时，2n ±1为奇数，∴f （x ）=
1
212++n n x =x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1=x ，
它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数； （4）由于函数f （x ）=x
1+x 的定义域为{x |x ≥0}，而g （x ）=x x +2的定义域为{x |x ≤－1或x
≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数。
例4．解：（1）?????
??≠-≠->-≥-0231
120
12022x x x x x ，解得函数定义域为]2,23()23,1()1,21( .
（2）???>>2
2a
x ka
x ，（先对a 进行分类讨论，然后对k 进行分类讨论）， ①当a =0)(R k ∈时，函数定义域为),0(+∞；
②当0>a 时，得??
?>-<>a
x a x ka
x 或，
1）当?
?
?≥>10
k a 时，函数定义域为),(+∞ka ， 2）当??
?<≤->1
10
k a 时，函数定义域为),(+∞a ，
3）当??
?-<>1
k a 时，函数定义域为),(),(+∞-a a ka ；