高三数学书本知识整理(代数部分)
高三数学书本知识整理（代数部分）
一、集合与简易逻辑
1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性.
2.对集合A B 、，A B =?I 时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；求集合的子集时是否注意到?是任何集合的子集、?是任何非空集合的真子集.
3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，
12-n .22-n 4.“交的补等于补的并，即()U U U C A B C A C B =I U ”；“并的补等于补的交，即()U U U C A B C A C B =U I
5.集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。
注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；
}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；
}12|),{(2++==x x y y x F ；},12|{2x
y z x x y z G =++== 6.符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，符号“??,”是表示集合与集合之间关系的。
7.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；
8.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系"A B B A "???判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；
9.反证法：当证明“若p ，则q ”感到困难时，改证它的等价命题“若q ?则p ?”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；
2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；
3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；
2、导出与假设相矛盾的命题；
3、导出一个恒假命题。
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
10.书本重要习题：
习题1.3 7，8 习题1.5 7 习题1.7 2，3，4
复习参考题一 (A)11, 12, 13 (B)1, 2, 3, 6
二、函 数
1.指数式、对数式，
m
n a =1m
n m n
a a -=，log a N a N = log (0,1,0)
b a a N N b a a N =?=>≠>，.
01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，
log log log c a c b b a
=，.log log m n a a n b b m =. 2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A 中的元素必有像，但第二
个集合B 中的元素不一定有原像（A 中元素的像有且仅有下一个，但B 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B 的子集”.
(2)函数图像与x 轴垂线至多一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.
(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.
(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）. 注意：①1()()f a b f b a -=?=，1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=，但11[()][()]f f x f f x --≠.
②函数(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+.
（5）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：
（6）函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：
),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x d
cx b ax y ∈++=； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k x
k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
3.单调性和奇偶性
判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或1)
()(±=-x f x f （f(x)≠0）; (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称 .确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.
对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==.
（2）若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =.即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()
f x 为奇函数的必要非充分条件.
（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导
数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.
（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.
(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.
(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有()0({0})f x x =∈ 有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
复合函数要考虑定义域的变化。（即复合有意义）
（8）导数与函数的单调性的关系
㈠0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系.
0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。
㈡0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。
㈢0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。
)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
㈣单调区间的求解过程，已知)(x f y =
（1）分析 )(x f y =的定义域;
（2）求导数 )(x f y '='
（3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间。
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函
数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(x f y =在某个区间内可导。
㈤求极值、求最值。
注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。f /(x 0)＝0不能得到当x=x 0时，函数有极值。但是，当x=x 0时，函数有极值? f /(x 0)＝0判断极值，还需结合函数的单调性说明
4.对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）
(1)函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=x （y 轴）对称.
推广一：如果函数()x f y =对于一切x ∈R ，都有()()f a x f b x +=-成立，那么
()x f y =的图像关于直线2
a b x +=（由“x 和的一半()()2a x b x x ++-=确定”）对称. 推广二：函数()x a f y +=，()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=
（由a x b x +=-确定）对称.
(2)函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=y （x 轴）对称.
推广：函数()x f y =与函数()y A f x =-的图像关于直线2
A y =对称（由“y 和的一半[()][()]2
f x A f x y +-=确定”）. (3)函数()x f y =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点中心对称.
推广：函数()x f y =与函数()y m f n x =--的图像关于点(,)22
n m 中心对称. (4)函数()x f y =与函数()1y f x -=的图像关于直线y x =对称.
推广：曲线(,)0f x y =关于直线y x b =+的对称曲线是(,)0f y b x b -+=；
曲线(,)0f x y =关于直线y x b =-+的对称曲线是(,)0f y b x b -+-+=.
(5)曲线(,)0f x y =绕原点逆时针旋转90o
，所得曲线是(,)0f y x -=（逆时针横变再交换）.
特别：()y f x =绕原点逆时针旋转90o ，得()x f y -=，若()y f x =有反函数
1()y f x -=，则得1()y f x -=-.
曲线(,)0f x y =绕原点顺时针旋转90o ，所得曲线是(,)0f y x -=（顺时针纵变再交换）.
特别：()y f x =绕原点顺时针旋转90o
，得()x f y =-，若()y f x =有反函数1()y f x -=，则得1()y f x -=-.
(6)类比“三角函数图像”得：
若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-.
若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-.
如果函数()y f x =的图像有下一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-.
如果()y f x =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么()()()f x nT f x n ±=∈Z . 若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；
若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；
若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；
若y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；
特别：若()()(0)f x a f x a +=-≠恒成立，则2T a =. 若1()(0)()f x a a f x +=
≠恒成立，则2T a =.若1()(0)()
f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =.
如果()y f x =是周期函数，那么()y f x =的定义域“无界”.
5.图像变换
(1)函数图像的平移和伸缩变换应注意哪些问题？
函数()y f x =的图像按向量(,)a k h =r 平移后，得函数()y h f x k -=-的图像.
(2)函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.
(3)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“鱼钩函数()0k y x k x =+>”及函数()0k y x k x =+<等）相互转化.
（4）掌握函数)0();0(>+=≠-
-+=+=c c x y ac b ac b a b ax y 的图象和性质；
注意： ①形如2y ax bx c =++的函数，不一定是二次函数.
②应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系. ③形如(0,)ax b y c ad bc cx d
+=≠≠+的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线d x c =-(由分母为零确定)、直线a y c
=(由分子、分母中x 的系数确定)，双曲线的中心是点(,)d a c c
-. ④处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；
⑤恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；
⑥依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：
)0
f(b)0f(a)(0f(b)0f(a)b)u (a 0(0)()()(???≤≤???≥≥?≤≤≤≥+=或）或x h u x g u f ； 6.补充内容：
抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
①)()()(2121x f x f x x f +=+?正比例函数)0()(≠=k kx x f
②)()()(2121x f x f x x f ?=+；)()()(2121x f x f x x f ÷=- ? )1,0()(≠>=a a a x f x
③)()()(2121x f x f x x f +=?；)()()(
2121x f x f x x f -= ?)1,0(log )(≠>=a a x x f a ④)2
()2(
2)()(212121x x f x x f x f x f -?+=+?x x f cos )(= 7.书本重要习题：
习题2.1 6 习题2.2 6 习题2.3 5，6 习题2.4 4，5
习题2.5 2，6，7 习题2.7 3 习题2.8 4
§2.9例1 ，例3 本节练习题2（你能利用此题改编出一道最值问题的应用题吗？） 本章小节与复习的参考例题1，2，3
复习参考题二 （A ）3，12， （B ） 2, 3, 5
三、数 列
1.数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n 项和公式的关系：
{11,(1),(2)
n n n S n a S S n -==-≥(必要时请分类讨论). 注意：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；
121121
n n n n n a a a a a a a a ---=????L . 2.等差数列{}n a 中：
（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性.
（2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-；p q m n p q m n a a a a +=+?+=+.
(3)1(1){}n k m a +-、{}n ka 也成等差数列.
(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.
(5)1211,,m k k k m a a a a a a ++-++++++L L L 仍成等差数列.
（6）1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+，21()22
n d d S n a n =+-， 2121n n S a n -=-，()(21)n n n
n A a f n f n B b =?=-. (7),()0p q p q a q a p p q a +==≠?=；,()()p q p q S q S p p q S p q +==≠?=-+；m n m n S S S mnd +=++.
(8)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；
“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和；
(9) 对等差数列｛a n ｝,当项数为2n 时，S 偶—S 奇＝nd ；项数为2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中（n ∈N*）；
（10）两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解.
(11)判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法
(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式).
3.等比数列{}n a 中：
（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性.
（2）11n n a a q -=n m m a q -=； p q m n p q m n b b b b +=+??=?.
(3) {||}n a 、1(1){}n k m a +-、{}n ka 成等比数列；{}{}n n a b 、
成等比数列{}n n a b ?成等比数列.
(4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.
(5)1211,,m k k k m a a a a a a ++-++++++L L L 成等比数列.
（6）111111 (1) (1)(1) (1) (1)1111n n n n na q na q S a a a a q a q q q q q q q q ==????==--??-+≠=≠??----??
. 特别：123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++L .
(7) m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+.
(8)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是
奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.
（9）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数,a b 同号时，实数,a b 存在等比中项.对同号
两实数,a b
的等比中项不仅存在，而且有一对G =也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时).在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解.
(10)判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法(也就是
说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式).
4.等差数列与等比数列的联系
(1)如果数列{}n a 成等差数列，那么数列{}n a
A (n a A 总有意义)必成等比数列. (2)如果数列{}n a 成等比数列，那么数列{log ||}(0,1)a n a a a >≠必成等差数列.
(3)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列；但数列{}n a 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.
(4)如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.
如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列.
注意：(1)公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.但也有少数问题
中研究n n a b =，这时既要求项相同，也要求项数相同.
(2)三(四)个数成等差(比)的中项转化和通项转化法.
5.数列求和的常用方法：
（1）公式法：
①等差数列求和公式（三种形式），
②等比数列求和公式（三种形式）， ③1123(1)2n n n ++++=+L ，22221123(1)(21)6
n n n n ++++=++L ， 2135(21)n n ++++-=L ，2135(21)(1)n n +++++=+L .
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列
前n 和公式的推导方法之一）.
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①
111(1)1n n n n =-++， ②1111()()n n k k n n k
=-++， ③2211111()1211k k k k <=---+， 211111111(1)(1)1k k k k k k k k k
-=<<=-++--， ④
1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =--++++ ， ⑤11(1)!!(1)!
n n n n =-++,
⑥
<<, ⑦1(2)n n n a S S n -=-≥，⑧1111m m m m m m n n n n n n
C C C C C C --+++=?=-. 特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论.
（6）通项转换法。
若一阶线性递归数列a n =ka n －1+b （k ≠0,k ≠1）,则总可以将其改写变形成如下形 式:)1
(11-+=-+-k b a k k b a n n (n ≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
6.分期付款型应用问题
(1)重视将这类应用题与等差数列或等比数列相联系.
(2)若应用问题像“森林木材问题”那样，既增长又砍伐，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
(3)“分期付款”、“森林木材”等问题的解决过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”作为相应的“指数”.
7.书本重要习题：
习题3.1 4（要注意，这题可改造成综合题）
习题3.3 10（若改成G.P 又会有什么结论呢？）
本章阅读材料
习题3.4 11
本章小节与复习的参考例题2
复习参考题三 (A) 14,15 (B) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8