金融数学课后习题答案
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第一章习题答案
1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息In 。
解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:
a(t) =
A(t)
A(0)
=
t2 + 2t + 3
3
In = A(n) − A(n −1)
= (n2 + 2n + 3) −((n −1)2 + 2(n −1) + 3))
= 2n + 1
2. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t < n) 时刻的利息: (1)Ir(0 < r <
n); (2)Ir = 2r(0 < r < n).
解:
(1)
I = A(n) − A(t)
= In + In¡1 + ・・・+ It+1
=
n(n + 1)
2
− t(t + 1)
2
(2)
I = A(n) − A(t)
=
Σn
k=t+1
Ik =
Σn
k=t+1
Ik
= 2n+1 −2t+1
3. 已知累积函数的形式为: a(t) = at2 + b 。若0 时刻投入的100 元累积到3 时刻为172 元，试计算：5 时刻投入的100 元在10 时刻的终值。
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解: 由题意得
a(0) = 1, a(3) =
A(3)
A(0)
= 1.72
⇒ a = 0.08, b = 1
∴A(5) = 100
A(10) = A(0) ・ a(10) = A(5) ・ a(10)
a(5)
= 100 × 3 = 300.
4. 分别对以下两种总量函数计算i5 和i10 :
(1) A(t) = 100 + 5t; (2) A(t) = 100(1 + 0.1)t. 解：
(1)
i5 =
A(5) − A(4)
A(4)
=
5
120
≈4.17%
i10 =
A(10) − A(9)
A(9)
=
5
145
≈3.45%
(2)
i5 =
A(5) − A(4)
A(4)
=
100(1 + 0.1)5 −100(1 + 0.1)4
100(1 + 0.1)4
= 10%
i10 =
A(10) − A(9)
A(9)
=
100(1 + 0.1)10 −100(1 + 0.1)9
100(1 + 0.1)9
= 10%
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5.设A(4) = 1000, in = 0.01n. 试计算A(7) 。
解:
A(7) = A(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7)
= 1000 ×1.05 ×1.06 ×1.07
= 1190.91
6. 试计算500 元经过两年半的累积达到615 元的对应年单利率？另外，500 元以单利率
7.8% 累积多少时间可以达到630 元？
解: 设年单利率为i
500(1 + 2.5i) = 615
解得i = 9.2%
设500 元需要累积t 年
500(1 + t ×7.8%) = 630
解得t = 3 年4 个月
7. 已知单利率为4% ，问：经过多少时间它对应的实利率可以达到2.5% ？
解: 设经过t 年后，年利率达到2.5%
1 + 4% × t = (1 + 2.5%)t
t ≈36.367
8. 已知：(1 + i)5 = X, (1 + i)2 = Y. 求(1 + i)11.
解:
(1 + i)11 = (1 + i)5+2£3 = XY 3
9. 已知600 元投资两年将产生利息264 元（复利方式），问：2000 元以同样的实利率投资3 年的终值。
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解: 设实利率为i
600[(1 + i)2 −1] = 264
解得i = 20%
∴A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元
10. 已知：第n 年底的一个货币单位与第2 年底的一个货币单位的现值之和为一个货币单位。计算(1 + i)2n.
解: 设实利率为i
1
(1 + i)n +
1
(1 + i)2n = 1
解得(1 + i)¡n =
√
5 −1
2
所以(1 + i)2n = (
√
5 −1
2
)¡2
=
3 +
√
5
2
11. 已知：500元经过30年的投资将增为4000元，计算：分别在第20、40和60年底投资10,000元的现值之和。
解:
由500×(1 + i)30 = 4000 ⇒(1 + i)30 = 8
于是PV =
10000
(1 + i)20 +
10000
(1 + i)40 +
10000
(1 + i)60
= 1000 ×(8¡2
3 + 8¡4
3 + 8¡2)
= 3281.25
12.以同样的实利率，1元经过a年增为2元，2元经过b 年增为3元，3元经过c年增为15元。若已知6元经过n年增为10元。试用a,b和c表示n。
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解:
(1 + i)a = 2 (1)
(1 + i)b =
3
2
(2)
(1 + i)c = 5 (3)
(1 + i)n =
5
3
(4)