相交线和平行线典型例题及拔高训练(附答案)
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4.2 相交线和平行线
典型例题及强化训练
课标要求
① 了解对顶角，知道对项角相等。
② 了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
③ 知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
④ 知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质
⑤ 知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条 直线的平行线。
⑥ 体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。 典型例题
1.判定与性质 例1判断题： 1） 不相交的两条直线叫做平行线。
2） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 3） 两直线平行，同旁内角相等。
4） 两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
答案：（1）错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。 （2） 错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 （3） 错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。 （4） 错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。 例2已知：如图， AB// CD 求证：/ B+/ D=/ BED 分析：可以考虑把/ BED 变成两个角的和。如图5，过E 点引 一条直线EF// AB,则有/ B=/ 1，再设法证明/ D=/ 2,需证 EF// CD 这可通过已知 AB// CD 和EF// AB 得至 证明：过点E 作 EF // AB,则/ B=/ 1 （两直线平行，内错角 相等）。
•/ AB// CD （已知）， 又••• EF// AB （已作），
••• EF// CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。 •••/ D=/ 2 （两直线平行，内错角相等）。 又•••/ BED 玄 1+/ 2,
•••/ BED 玄B+/ D （等量代换）。 变式 1 已知：如图 6, AB// CD 求证：/ BED=360 - （/ B+/ D ）。 分析：此题与例1的区别在于E 点的位置及结论。我们通常所说的/ BED 都是指 小于平角的角，如果把/ BED 看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例 结论是一致的。因此，我们模仿例 1作辅助线，不难解决此题。 证明：过点E 作EF// AB,则/ B+/ 1=180。（两直线平行，同旁内角互补）。 •/ AB// CD （已知）， 又••• EF// AB （已作）， ••• EF// CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。 •••/
•••/ 又•••/
•••/
•••/
F
1的
E
D+/ 2=180° （两直线平行，同旁内角互补）。 B+/ 1 + / D+/ 2=180° +180°（等式的性质）。
BED 玄 1+/ 2, B+/ D+/ BED=360 （等量代换）。 BED==360 - （/ B+/
D ）（等式的性质）。
变式2已知：如图7, AB// CD 求证：/ BED=/ D- / B 。
分析：此题与例1的区别在于E 点的位置不同，从而结论也不同。模仿例
1
( ( ( (
) ) ) )
与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。
证明：过点E乍EF// AB,则/ FEB=Z B （两直线平行，内错角相等）。
•/ AB/ CD（已知），
又••• EF/ AB （已作），
••• EF/ CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。
•••/ FED=Z D （两直线平行，内错角相等）。
•// BED玄FED-/ FEB
•••/ BED=/ D-/ B （等量代换）。
变式3已知：如图8, AB// CD求证：/ BED=/ B- / D。
分析：此题与变式2类似，只是/ B、/ D的大小发生了变化。
证明：过点E作EF// AB,则/ 1 + / B=180° （两直线平行，同旁内角互补）。
•/ AB// CD（已知），
又••• EF// AB （已作），
••• EF// CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。
FED+Z D=180° （两直线平行，同旁内角互补）。
1 + / 2+/ D=180°o
1 + / 2+/ D- （/ 1+/ B）=180° -180 ° （等式的性
质）。
2=/ B- / D （等式的性质）。
•••/
•••/
•••/
•••/
即/
例3 已知：如图9, AB// CD / ABF=/ DCE 求证：/ BFE=/ FEC
证法一：过F点作FG// AB，则/ ABF=/ 1 （两直线平行，内错角相等）。
过E点作EH// CD，则/ DCE/ 4 （两直线平行，内错角相等）。
•/ FG// AB（已作），AB// CD（已知），
• FG// CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。
又••• EH// CD （已知），
••• FG// EH （平行于同一直线的两条直线互相平行）。
•••/ 2=/3 （两直线平行，内错角相等）。
•••/ 1 + / 2=/3+/ 4 （等式的性质）
即/ BFE=/ FEC
证法二：如图10,延长BF、DC相交于G点。
•/ AB// CD（已知），
•••/ 1 = / ABF（两直线平行，内错角相等）。
又•••/ ABF=/ DCE（已知），
•••/ 1 = / DCE（等量代换）。
••• BG// EC （同位角相等，两直线平行）。
•••/ BFE=/ FEC（两直线平行，内错角相等）。
如果延长CE、AB相交于H点（如图11）,也可用同样的方法证明
程略）。
证法三：（如图12）连结BCo