概率论课本习题答案

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；

（2） X 的分布函数并作图； (3)

133

{},{1},{1},{12}222

P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.

【解】

3

1331512213

3151133

150,1,2.

C 22

(0).

C 35C C 12(1).

C 35

C 1

(2).C 35

X P X P X P X ==========

（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0

当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=

2235

当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435

当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数

0,

022

,0135()34,12351,2x x F x x x

(3)

1122()(),

2235333434

(1)()(1)0

223535

3312

(1)(1)(1)2235

341

(12)(2)(1)(2)10.

3535

P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=

<<=--==--=

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？

【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）

(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=

0.1

0.11e

0.1e --=--?

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则

14223

55C (1)C (1)p p p p -=-

故 1

3

p =

所以 4

451210

(4)C ()

33243

P X ===

. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）

5

553(3)C (0.3)(0.7)0.16308k

k k k P X -=≥==∑

(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）

7

773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑

10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松

分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32

(0)e P X -== (2) 52

(1)1(0)1e

P X P X -

≥=-==-

12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书

中恰有5册错误的概率.

【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,

20000.0012np λ==?=

得 25

e 2(5)0.00185!

P X -=≈= 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;

（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为

(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤

由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有

514

e 5(15)10.000069!k

k P X k -=>≈-≈∑

(2) P (保险公司获利不少于10000)

(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤

510

e 50.986305!k

k k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤

55

e 50.615961!k

k k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为

f (x )=?????<≥.100,

0,

100,1002

x x x

求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F （x ）. 【解】

（1） 150

2

1001001

(150)d .3P X x x ≤=

=? 33128

[(150)]()327

p P X =>==

(2) 12

23124C ()339

p ==

(3) 当x <100时F （x ）=0

当x ≥100时()()d x

F x f t t -∞

=

?

100

100

()d ()d x

f t t f t t -∞

=+??

2

100100100

d 1x

t t x

=

=-? 故 100

1,100()0,

0x F x x

x ?-

≥?=??

值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即

1

,25

()3

0,x f x ?≤≤?=???其他 53

12

(3)d 33

P X x >==?

故所求概率为

223333

21220C ()C ()33327

p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1

()5

E .某顾客在窗

口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他

未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5

X E ，即其密度函数为

5

1e ,0()50,x

x f x -?>?=??≤?

x 0

该顾客未等到服务而离开的概率为

25

101(10)e d e 5

x P X x -∞

->==?

2~(5,e )Y b -,即其分布律为

225525

()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5

(1)1(0)1(1e )0.5167

k

k k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服

从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则

406040(60)(2)0.9772710

10x P X P Φ--??

<=<== ???

若走第二条路，X~N （50，42），则

506050(60)(2.5)0.99384

4X P X P Φ--??

<=<== ???++

故走第二条路乘上火车的把握大些.

（2） 若X~N （40，102），则

404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--??

<=<== ???

若X~N （50，42），则

504550(45)( 1.25)4

4X P X P Φ--??

<=<=- ???

1(1.25)0.1056Φ=-=

故走第一条路乘上火车的把握大些.

21.设X ~N （3，22），

（1） 求P {2

<≤=<≤

???

11(1)(1)1220.841310.69150.5328

ΦΦΦΦ????

=--=-+ ? ?

????=-+=

433103(410)222X P X P ----??

-<≤=<≤ ???

770.999622ΦΦ????

=--=

? ?????

(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-

323323222

215151122220.691510.99380.6977

X X P P ΦΦΦΦ-----????=>+< ? ?

????????????

=--+-=+- ? ? ? ?????????=+-=

333

(3)(

)1(0)0.522

X P X P Φ->=>=-=- (2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.06

0.06X P X P ?-?

->=>

???

1(2)(2)2[1(2)]0.0456

ΦΦΦ=-+-=-=

求Y =X 的分布律.

【解】Y 可取的值为0，1，4，9

1(0)(0)5

117(1)(1)(1)61530

1(4)(2)511

(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X ====

===-+==+====-=

====

故Y 的分布律为

49.设随机变量X 在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y =e 2X 的概率密度f Y (y ). 【解】1,12

()0,X x f x <

?

其他

因为P （1

当y ≤e 2时F Y （y ）=P (Y ≤y )=0.

当e 2

Y F y P Y y P y =≤=≤

1

(1ln )

2

P X

y =<≤

1ln 21

1

d ln 12

y x y -=

=

-?

当y ≥e 4时，()()1Y F y P Y y =≤=

即 22440,e 1

()ln 1,e e 21,e Y y F y y y y ?≤??=-<

故 241,e e

2()0,Y y y f y ?<

其他

8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,

0,.y x x y x -≤≤≤≤??

?

其他

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

x

204.8(2)d 2.4(2),01,

=0,.0,

y x y x x x ??--≤≤?=??

????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞

-∞

=

?

12y 4.8(2)d 2.4(34),01,

=0,.0,

y x x y y y y ?-?-+≤≤?

=??????其他

题8图 题9图

9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???<<-.,

0,

0,其他e y x y

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

e d e ,0,

=0,.0,

y x x y x +∞

--??>?=??

????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞

-∞

=?

0e d e ,0,

=0,.0,

y

y x x y y --??>?=??

????其他

题10图

10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=?

??≤≤.,0,

1,22其他y x y cx

（1） 试确定常数c ；

（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）

(,)d d (,)d d D

f x y x y f x y x y +∞+∞

-∞

-∞

??

??如图

21

1

2-1

4

=

d d 1.21

x

x cx y y c =

=?

? 得

214

c =

. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

2124

22121(1),11,

d 84

0,0,

.x x x x x y y ??--≤≤??==???????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞

=?

52

2217d ,01,

4

20,0,

.y y x y x y y -??≤≤??==??????其他 2 5 8 X

Y

0.4 0.8

0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03

（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布； （2） X 与Y 是否相互独立？

2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8

0.05 0.12 0.03 0.2

{}i P X x =

0.2

0.42

0.38

(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===?0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.

22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和

y 1 y 2 y 3 P {X =x i }=p i

x 1 x 2 1/8 1/8

P {Y =y j }=p j 1/6 1

【解】因2

1

{}{,}j j i

j

i P Y y P P X x Y y ====

==∑,

故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824

P X x Y y ===

-= 而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====,

从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =?

==== 即：1111

{}/.2464

P X x ===

又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==

即1,3111{},4248

P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y === 同理21{},2P Y y == 223

{,}8

P X x Y y ===

又

3

1

{}1j j P Y y ===∑,故3

111

{}1623P Y y ==--=. X

Y Y

X

同理23{}.4

P X x == 从而

23313111

{,}{}{,}.3124

P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=

故

1.设随机变量X 的分布律为

求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111()(1)012;8

2842

E X =-?+?

+?+?= (2) 22

22211115()(1)012;82844

E X =-?+?+?+?=

(3) 1

(23)2()32342

E X E X +=+=?+=

5.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=??

?

??≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x

求E （X ），D （X ）. 【解】1

2

2

1

()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞

-∞

=

=+-?

??

2

1

3

32011 1.33x x x ??

??=+-=???????

?

1

2

2

2

3

20

1

7()()d d (2)d 6

E X x f x x x x x x x +∞

-∞

==+-=

?

?? 故 2

2

1()()[()].6

D X

E X E X =-=

6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.

（1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X .

【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=?+?+=

(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立

1184568.=?-?=

7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E

（3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=?-?=

(2) 2

2

(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?= 9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

f X （x ）=???≤≤;,0,

10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,

0,

.

y y --?>?

?其他 求E （XY ）.

【解】方法一：先求X 与Y 的均值 1

2

()2d ,3

E X x x x ==? 5

(5)5

()e d 5e d e d 51 6.z y y z z E Y y y

z z z +∞

+∞+∞

=-----=

+=+=?

??

令

由X 与Y 的独立性，得

2

()()()6 4.3

E XY E X E Y ==?=

方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为

(5)2e ,01,5,

(,)()()0,

,y X Y x x y f x y f x f y --?≤≤>==??其他

于是

1

1

(5)

2

(5)5

5

2

()2e

d d 2d

e d 6 4.3

y y E XY xy x x y x x

y y +∞

+∞

----===?=?

?

??

34. -1 0 1

0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20

试求X 和Y 【解】由已知知E (X )=0.6,E (Y )=0.2，而XY 的概率分布为

YX -1 0 1 P 0.08 0.72

0.2

所以E （XY Cov(X ,Y )=E (XY ) -E (X )·E (Y )=0.12 -0.6×0.2=0 从而 XY ρ=0

1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

1

i

i X X

==

∑

22222221111117

()123456,

6666662

11111191

()123456,

6666666

i i E X E X =?+?+?+?+?+?==?+?+?+?+?+?=

从而 2

2291735

()()[()].6212

i i i D X E X E X ??=-=-= ???

又X 1,X 2,X 3,X 4独立同分布.

从而4

4

1

1

7

()(

)()414,2

i i i i E X E X E X =====?

=∑∑ 4

4

1

1

3535()(

)()4.123

i i i i D X D X D X =====?

=∑∑ 所以 2

35/3

{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-

≈

14. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契

比雪夫不等式给出P {|X -Y |≥6}的估计. （2001研考） 【解】令Z =X -Y ，有

()0,()()()()2()

() 3.E Z D Z D X Y D X D Y D X D Y ρ==-=+-=

所以

Y X

2()31

{|()|6}{||6}.63612

D X Y P Z

E Z P X Y --≥=-≥≤

==

5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100

根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？

【解】设100根中有X 根短于3m ，则X ~B （100，0.2）

从而

{30}1{30}11000.20.8P X P X ≥=-<≈-Φ ?????

1(2.5)10.99380.0062.=-Φ=-=

11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？

【解】用X 表10000个婴儿中男孩的个数，则X ~B （10000，0.515）要求女孩个数不少

于男孩个数的概率，即求

P {X ≤5000}. 由中心极限定理有

{5000}(3)1(3)0.00135.100000.5150.485P X ≤≈Φ=Φ-=-Φ=??