二次型的矩阵表示

用矩阵可表示为

1
f ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) 2
2 2
1
2 0

x1 x2



1
0
3


x3

注：
2

第五章 二次型
1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 A A.
2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B，则 A B.
x12 4x22 x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 5y12 5y22 4y32
z12 z22 z32
• 三次齐次多项式 ( 三次型 ) :
x3 7z3 y2 z
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aij xi x j
i 1
1i jn
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二、二次型的矩阵表示
第五章 二次型
1) 用和号表示
约定①中 aij a ji (i j), 由xi x j x j xi , 有 f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 a12 x1x2 L L a1n x1xn
平方项的多项式。
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2、二次型的定义
第五章 二次型
设P为数域， aij P,i, j 1,2,L ,n,
n个文字 x1, x2 ,L , xn的二次齐次多项式
f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 2a12 x1x2 L 2a1n x1xn
二次型可表示为
f X T AX 因为 aij a ji , i, j 1, 2,L , n, 所以
A A
矩阵A称为二次型 f X T AX 的矩阵.
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例1 二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 x1 x3
a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn
L L L L L L L L
an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
nn

aij
x i
x
j
②
i1 j1
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例如
x12 x1x2 3x1x2 2x22 4x2 x3 3x32
第五章 二次型
就是有理数域上的一个三元二次型 。
注：
1) 为了计算和讨论的方便,式①中xi x j (i j)的 系数写成 2aij .
2) 式① 也可写成
nபைடு நூலகம்
f ( x1, x2 ,L , xn ) aii xi2 2
a22 x22 L L L 2a2n x2 xn
a33 x32 L 2a3n x3 xn ①
L L L L
ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型．
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第五章 二次型
• 二次齐次多项式 ( 二次型 ) :
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第五章 二次型 若 A, B都 是实对称矩阵, 且对应的二次型 相同，即
nn
xT Ax
( x1, x2 ,L
,
xn

)

a21
x1

a22
x2 L M
a2n xn


an1 x1

an2 x2
L

ann
xn

a11

x1 ,
x2
,
,
xn

a21
an1
a12 a22 an2
a1n x1 a2n x2 ann xn
第五章 二次型
一、二次型的定义
1.问题的引入 在解析几何中，当坐标原点与中心重合时，
一个有心二次曲线的一般方程是
ax2 2bxy cy2 d
为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可以选
择适当的角度θ作转轴（反时针方向转轴）
x xcos ysin y xcos ysin
x2 (a21 x1 a22 x2 L a2n xn ) L xn (an1 x1 an2 x2 L ann xn )
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第五章 二次型
a11 x1 a12 x2 L a1n xn
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2) 用矩阵表示
第五章 二次型
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21 x2 x1

a22
x
2 2

a2n x2 xn
L an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 L a1n xn )
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把方程化成标准方程。
第五章 二次型
ax2 cy2 d 在二次曲面的研究中也有类似的情况 .
从代数的观点看，所谓化标准方程就是对二次齐 次多项式，作适当的非退化线性替换, 使它化为只含
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第五章 二次型
a11
A


a21 L
an1
a12 L a22 L LL an2 L
a1n
a2 L
n

,
ann
x1
X


x2

M
,
xn