历年高数复习题
高数试题 2008.7
一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 1.设直线1724
:
121x y z l -+-==
-，26,:23,
x y l y z -=??+=?则l 1 与l 2 的夹角为[ ]. （A ）
2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6
π. 2.函数 z = xe 2y 在点P (1, 0)出沿从P (1, 0)到Q (2, ?1)方向的方向导数为[ ].
3.函数2222
221sin ,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ?
+≠?+=??+=?
在(0, 0)点[ ].
(A ) 偏导数连续；(B ) 偏导数不存在； (C )偏导数存在但不可微； (D )可微但偏导数不连续。 4.
积分
1
1
x
dx =?
?[ ].
1
111()
()
()
()
3
4
12
24
A B C D 。 5.设?是由x 2 + y 2 + z 2 = 1所围成的区域，则三重积分
||
z e
dv Ω
=???[ ].
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是
2.
设2224,:x y z z ?++=?Γ?=??则2
x ds Γ
=?? 3. 满足微分方程初值问题20
d (1)d 1 x
x y y e
x y =?=+???=? 的解为y ＝ ．
4.设z = ln(1 + x 2 + y 2), 则(1,2)
dz =
三、（9分）求微分方程4cos y y x x ''+=的通解．
四、（9分）求函数f (x , y ) = xy 在闭区域x 2 + y 2 ? 1上的最大值和最小值。.
五、（9分）某物体的边界由曲面z = x 2 + y 2和平面z = 0, |x | = a ，|y | = a 围成, 其密度函数为? = x 2 + y 2, 求该物体的质量.
六、（9分）设直线0,
:30,
x y b L x ay z ++=??+--=?在平面? 上，而平面? 与曲面z = x 2 + y 2相切于(1, ?2, 5)，求a , b 的
值。.
七、（9分）计算曲面积分
333
()()()x y z dydz x y z dzdx x y z dxdy ∑
++++++++?? 其中?为由圆锥面x 2 + y 2 = z 2与上半球面x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (R > 0)围成曲面的外侧.
八、（8分）设函数Q (x , y )在xOy 平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分2(,)L
xydx Q x y dy +?与路径无
关，且对任意t ，有
(,1)
(1,)
(0,0)
(0,0)
2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+?
?
，求Q (x , y ).
九、（6分）设当1x >-时，可微函数()f x 满足
01()()()d 01
x
f x f x f t t x '+-
=+?， (0)1f =. 1. 求()f x '；
2. 证明：当0x ≥时，()x
f x e
-≥．
答案 一、1.B ；2.A ；3.D ；4.C ；5.D .二、1.
24231x y z --==
-；2.12
33
dz dx dy =+；3. tan(1)4x
y e π
=+-；4. 10(1)(2)3
n
n n n x ∞
+=--∑；
三、
1212cos 2sin 2cos sin 39y C x C x x x x =+++.四、max min 11,22f f ==-.五、6
11245a , 六、a = ?5, b
= ?2.
七、
59
(25
R π.八、Q (x , y ) = x 2 + 2y – 1. 高数试题 2009.7
一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 1. 函数(,)z f x y =在00(,)x y 处可微的充分条件是[ ]
(A)(,)f x y 在点00(,)x y 处连续； (B) (,)f x y 在点00(,)x y 处存在偏导数；
(C)
00000
lim[(,)(,)]0x y z f x y x f x y x ρ→?-?-?=
，ρ=
(D) 00000
(,)(,)lim
0x y z f x y x f x y x
ρρ
→?-?-?=.
2. 圆心在原点半径分别为R 和r 的()R r >的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为μ)关于原点的转动惯量为[ ].
(A)
44()R r πμ-； (B)
441
()2
R r πμ-； (C) 441()4R r πμ-； (D) 44
1()6
R r πμ-.
3. 微分方程x x
e xe
y y y 3265+=+'-''的特解形式为（ ）
(A)x x
cxe e
b ax x y 32)(*++=； （B ）x x e
c x b ae y 32)(*++=； （C ）x x
ce e
b ax y 32)(*++=； (D) x x cxe e b ax y 32)(*++=
4. 设Ω是由球面2
222
(0)x y z a a ++=>所围成的闭区域，则Ω
= [ ]
(A)
443a π； (B) 44a π； (C) 4a π； (D) 41
2
a π. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）
1. 已知3a =r
，26b =r ，72a b ?=r r ，则a b ?=r r
2．函数
),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为
3. 已知曲线Γ为连接(1,1,1)和(2,2,2)两点的直线段，则曲线积分
(23)x y z ds Γ
++?=
4. 由曲面2
2
43()z x y =-+与曲面2
2
z x y =+所围立体的体积为 ． 5. 设∑为平面
1234x y z
++=在第一卦限中的部分，则4(2)3z x y dS ∑
++??=
6. 以y 1 = cos2x , y 2 = sin2x 为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿． 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1．求点0(1,1,1)P 到直线
723
123
x y z ---==
的距离. 2．已知一平面通过球面x 2
+ y 2
+z 2
= 4(x ? 2y ? 2z )的中心, 且垂直于直线L :0
0x y z =??+=?
, 求（1）该平面的方程；
（2）该平面与球面的交线在xOy 平面上的投影。
3．设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y
x u
???2.
4．计算二重积分
D
??
，其中D 是由两条抛物线y =2
y x =所围成的闭区域. 5求解微分方程的初值问题：2(1)2(0)1,(0) 3
x y xy y y '''
?+=?'==?．
四、 (8分)计算积分222(cos cos cos )I
x y z dS αβγ∑
=++??, ?是抛物线z = x 2 + y 2被z = 4割下的有限部分的
下侧, cos ?, cos ? , cos ?是?上各点法线方向余弦. 五、(8分)设f (x ) 为连续可微函数，且
(1)2f =，对任一闭曲线L 有3
4()0L
x ydx f x dy +=??。求曲线积分
3
4()L
x ydx f x dy +?
?的值.其中L 是圆周4)2()2(22=-+-y x 上由(2,0)A 经(4,2)D 到(2,4)B 的一段弧.
六、(8分)经过点1
(2,1,)3
P 作一平面,使该平面在第一卦限内与3个坐标面所围成的四面体的体积最小,求该平面方程.
七、(6分) 设函数f (x )在[1, +?)上连续，由曲线y = f (x ),直线x = 1, x = t (t > 1)与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周形成旋转体的体积为
2()[()(1)]3
V t t f t f π
=
-，
又已知
2
(2)9
f =，求f (x ).
答案 一、1.D ；2.B ；3.A ；4.C .二、1.?30；2.(1, 1)； 4.2?；5. 6. y ??+ 4y = 0. .
三、1. 2.?y + z = 0, 22241600.
x y x y z ?+-+=?=?; 3.f 1 + xf 11 + (x + y )f 12 + f 22 ; 4. 6
55; 5. y = x 3 + 3x + 1.
四、
643π.五、68, 六、163x y z ++=.七 3
1x
y x =
+. 高数试题 2010.7
一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分）
1. 函数2
2
2
)2(),(x y x y x f -+=在闭区域(x – 1)2 + y 2 ? 1上的最小值为[ ] (A)0； (B)1； (C) 2； (D) 3。 2. 设函数f (x , y )连续，则二次积分=??
y
dx y x f dy 01
),( [ ].
(A)
?
?1
10
),(y
dx y x f dy ； (B)
?
?y dx x y f dy 0
1
),(； (C)
?
?1
10
),(x
dy y x f dx ； (D)
?
?x
dy y x f dx 0
10
),(.
3. 设Ω为平面x + y + z = 1与三个坐标面所围成的闭区域，则???Ω
++dv z y x )(= [ ]
(A)
61； (B) 81； (C) 121； (D) 24
1. 4. 设y 1 , y 2是二阶线性方程y ? + P (x )y ? + Q (x )y = 0的两个解， 那么y = C 1y 1 + C 2y 2 (C 1, C 2是任意常数)是该方程通解的充分必要条件是[ ]． (A)
12210''+=y y y y ； (B) 12210''+≠y y y y ； (C) 12210''-=y y y y ； (D) 12210''-≠y y y y ．
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）
1. 已知1||=a ρ，2||=b ρ，a ρ与b ρ的夹角为4
π
，则=+||b a ρρ
2．设?是由曲面2
2
1y x z --=与z = 0围成的立体，则?的形心坐标为 3. 设曲线Γ为连接(1,1,1)和(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分?Γ
++ds z y x )(=
4. 设?为锥面22y x z +=
被平面z = 1截下的有限部分，则曲面积分=??∑zdS ．
5. 若方程y ? + y tan x = ?2cos2x 有一个特解y = f (x ), 且f (0) = 0, 则0
()
lim →=x f x x
＿＿＿＿． 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计30分）
1．求过点)5,2,3(-M 且与两平面x –4z = 3和2x – y – 5z = 1的交线垂直的平面方程.
2．求函数u = x 2 + 3yz 在点(1, 1, 1)处沿椭球面x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 6在该点的外法线方向的方向导数。 3．计算二重积分
??D
ydxdy ，其中D 是由y = x – 4与y 2
= 2x 所围成的闭区域.
4．如果y = f (x )满足
()?=
+?y x o x ，且f (1) = 1, 求f (x )．
5．若? (x )连续，且满足方程0
()e ()()???=+-??x x
x
x t t dt x t dt ，(1)写出与该方程等价的二阶微分方程初值
问题；(2)求? (x ). 四、 (8分)一质点在力j y x i y x F
ρ
ρ)sin ()(22+--=的作用下，由点O (0, 0)沿上半圆22x x y -=移到点
A (1, 1)，求力F ρ
所作的功.
五、(8分)计算曲面积分xydxdy zdzdx y xzdydz ++??∑
，其中?是由抛物面3z =x 2
+ y 2
和球面2
24y x z --=
所围成立体的表面外侧.
六、(8分)设函数f (x , y )有二阶连续偏导数，满足02=???y
x f
，且存在一元函数h (u )，使)(),(22y x h y x f +=，
求f (x , y ).
七、(5分)设F (x , y ) = (f 1(x , y ), f 2(x , y ))是(x 0, y 0)某邻域内定义的向量函数，定义 为(f 1(x , y ), f 2(x , y ))的模， 如果
)(||),(),(),(||220000y x o y D x C y B x A y x F y y x x F ?+?=?+??+?--?+?+，其中A , B , C , D 是与?x , ?y 无
关而仅与x 0, y 0有关，)(2
2
y x o ?+?是2
2y x ?+?的高阶无穷小，则称F (x , y )在(x 0, y 0)点可微，记为 设),(arctan ),(2
2y x x
y y x F +=，求)1,1(|),(y x dF 。 答案 一、1.A ；2.C ；3.B ；4.D .二、1.
5；2.
8
3 ；3. 146；4. π232；5. ?2.
三、1. 4x + 3y + z +1= 0; 2.
14
17; 3.18 ; 4.
5..
四、2sin 4167+-. 五、π2794. 六、2221)(2
1
C y x C ++. 七、
),(2
1
y x y x ?+??+?-. 一、选择题 1．设
=
),(y x f 42y x +，则函数在原点偏导数存在的情况是[ ].
（A ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都存在 （B ）)0,0(x f '不存在，)0,0(y f '存在 （C ）)0,0(x f '存在， )0,0(y f '不存在 （D ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都不存在
2．设平面? 的法向量为),,(C B A n =ρ
，直线L 的方向向量为),,(p n m s =ρ，则p
C
n B m A ==是平面? 与直线L
的垂直的[ ].
(A)充要条件； (B)充分条件； (C)必要条件； (D)无关条件. 3．设 ? 是球面x 2 + y 2 + z 2 = R 2，则下列结果正确的是[ ]. (A)
??∑
=++0)(2
dS z y x ； (B) ??∑=334R dS π； (C) ??∑
=++0)(222dS z y x ； (D) ??∑
=++4
2224)(R dS z y x π. 4．
5．设曲线1),(:=y x f L （),(y x f 具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N ，T 为
L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是[ ].
（A ）?T
dx y x f ),( （B ）?T
dy y x f ),(
（C ）
?
T
ds y x f ),( （D ）dy y x f dx y x f y T
x ),(),('+'?
二、填空题
1．设3||=a ?
，1||=b ρ，6
),(π=∧b a ρρ，则b a ρρ+在b a ρρ-上的投影为
2.交换积分次序
?
?--2
222
1
),(x x x
dy y x f dx 为 ?
?-+-2
1121
),(y y
dx y x f dy
3. 设正向闭曲线L 的方程为1||||
=+y x ，则?
++L
ds y x 2||||1
=
4. 5．设函数),(y x z z =由方程)(bz y az x -=-?所确定，其中)(u ?有连续导数，则=??+??y
z
b x z a
三、计算题
1. 设y
xe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续偏导数，求y
x z
???2。
2. 求曲面2
2y x z +=的与直线???=+=+2
21
2z y z x 垂直的切平面。
3.计算二重积分??
-D
dxdy x y ,其中D 是由直线x y =,1=y ，0=x 所围成的平面区域.
4.求
??
∑
-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，?是抛物面2
2y x z +=被平面z = 1截下的有限部分，法向量与z 轴正向成锐角。
5. 求解初值问题32,
(1)1,(1)2,
xy y x y y '''?-=?'==?
四、设球体占有闭区域z z y x 2:2
2
2
≤++Ω，它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求球体对于z 轴的转动惯量。
五、(8分)求抛物面 2
2y x z += 与平面 1=++z y x 的交线（椭圆）到原点的最长距离和最短距离．
六、5．设)(x f 是非负连续函数，且
1)(2
=?
dx x f ，计算曲线积分
?
+-L
x dx e y xdy )(，式中L 为沿)(x f y =从点)0,0(O 到)0,2(A 的曲线段.
七、求32sin y y y x '''-+=的通解.
答案
一、1.B, 2.A, 3.D, 4.C, 5.B.
二、1.2， 2. 2.
?
?
-+-2
1121
),(y y
dx y x f dy , 3.
23
4
, 4. ?2 + 2, 5. 1。 三、1. 21f e f x
z y
+?=??，
23211311212f f xe f e f xe e f y x z y y y y ++++?=??? 2. 222=-+z y x 。 3. 154， 4.2
π
- 5. 421424x x y =
++ 四、
π35
32
。 五、曲线到原点的最长距离和最短距离分别为
221015+ 和 2
2
1015-． 六、2
3e - 七、
21231
e e cos sin 1010
x x y C C x x =++
+ 一、选择题
1．设? (x )为任意一个x 的可微函数，? (y ) 为任意一个y 的可微函数，若已知22F f
x y x y
??≠
????，则F (x , y )是[ ]. (A) f (x , y ) + ? (x )； (B) f (x , y ) + ? (y )；
(C) f (x , y ) + ? (x ) + ? (y )； (D) f (x , y ) + ? (x )? (y ). 2．在曲线x = t , y = ?t 2, z = t 3的所有切线中，与平面x + 2y + z = 4平行的切线[ ]. (A)只有1条； (B)只有2条； (C)至少3条； (D)不存在。 3．设f (x , y )是连续函数，D 是由y = x 2, y = 0, x = 1所围的区域，且f (x , y )满足恒等式 则f (x , y ) = [ ].
(A)xy + 1； (B)12xy +； (C)14xy +； (D)1
8
xy +。 4． 二、填空题
1．过点(3, ?1, ?4)且与y 轴相交，又与平面y + 2z = 0平行的直线方程为_______________. 2．交换积分次序
?
??
?
--+x
x x dy y x f dx dy y x f dx 20
21
20
1
),(),(2
为__________________.
3．设L 为圆周x = acost , y = a sin t (0 ? t ? 2?), 则2
23()L
x
y ds +?= _______________.
4．
三、计算下列各题 1．已知(
)y
x e
y x f u +-=,22，其中f 具有二阶连续偏导数，求y
x u
x u ?????2，。
2．计算
(23)x y z dv Ω
-+???，?
是半球面z =
和旋转抛物面22z x y =+围成的立体。
3．求平行于平面6x + y + 6z + 5 = 0，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程。
4．求解初值问题00|,
t dy ky
dt y y =?=???=?。
5．求
()x y z dS ∑
++??
，式中?是平面y + z = 5被柱面22
25x y +=所截得的有限部分。 四、(8分)计算积分32I x dydz y dzdx zdxdy ∑
=++??，?是柱面x 2 + y 2 = a 2在0 ? z ? h 部分外侧。
五、(8分)在抛物线1:22++=∑y x z 上求一点),,(0000z y x M )1,0,0(202000≤+≥≥y x y x 使∑在
0M 处的切平面与柱面21x y -=及三个坐标面在第一卦限的立体体积最大。
六、(8分)已知L 是第一象限中从点(0, 0)沿圆周x 2 + y 2 = 2x 到点(2, 0), 再沿圆周x 2 + y 2 = 4到点(0, 2)的曲线
段。计算曲线积分233(2)L
I
x ydx x x y dy =++-?。
七、(8分)
八、(6分)设有一半径为R 的球体，P 0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P 0距离成
正比(比例常数k > 0)，求球体对于P 0的转动惯量。 答案：一、1．D ； 2．B ；3．D ；A
二、1．314
384
x y z -++==
-；2．?
?
---y
y
dx y x f dy 2111
2
),(；3．2?a 7；4．32
三、1．解
122e x y u
xf f x
+?''=+?， 122e x y u
yf f y
+?''=-+?。
2．解
2
(23)x y z dv Ω
-+??? = zdv Ω
???
= 2
21
r
d rdr π
θ?
?
= 1
2401
2[(2)]2
r r r dr π--?
=
7
12
π。 3．解 ()x y z dS ∑
++?? = (5)x dS ∑
+??
=
2225
(x y x +≤+??
=
4．解 设所求平面方程为6x + y + 6z = D , 则 |D | = 6
故所求平面方程为6x + y + 6z = 6或6x + y + 6z = ?6。 5．
四、解 设?1：z = 0 (x 2 + y 2 ? a 2)下侧；
?1：z = h (x 2 + y 2 ? a 2)上侧
五、解 过0M 点的切平面方程为 2x 0(x – x 0) + 2y 0(y – y 0) – (z – z 0) = 0 即 1222
02
000-+=-+y x z y y x x 立体的体积为
22
00002()(1)34V x y x y π=+-+-。
002032x V x π'=-=，002032y V y π
'=-=，
故所求的点为44
(,)33ππ
。
六、解 补充L 1：x = 0, y 从2到0，由L 和L 1围成的平面区域记为D ，由格林公式 七、解 由题设a n > a n + 1，若lim 0n
n a →∞
=，则交错级数1
(1)n n n a ∞
=-∑收敛，与题设矛盾，故
lim n n a l →∞
= (l > 0).
由根值法，有1
11n l =<+， 故级数收敛。
八、解 以P 0点为坐标原点，球心在z 轴上建立坐标系，则球面方程为x 2 + y 2 + z 2 = 2Rz . 转动惯量为
高数试题 2013.07
一、选择题
1．设(,,)x y z a a a a =r
，(,,)x y z b b b b =r
，则//a b r
r
的充要条件是[ ]. (A) ,,x x y y z z a b a b a b ===； (B) 0x x y y z z a b a b a b ++=；
(C)
y x z x y z
a a a
b b b ==
； (D)
x y z x y z a a a b b b ++=++. 2
．设(,)f x y =f (x , y )在原点（0，0）处[ ].
(A)连续且(0,0),(0,0)x y f f ''存在； (B) 连续且(0,0),(0,0)x y f f ''不存在；
(C) 不连续且(0,0),(0,0)x y f f ''存在； (D) 不连续且(0,0),(0,0)x y f f ''不存在。 3．设?是球面2222:x y z R ∑++=所围成的闭区域，则下列结果正确的是[ ]. (A) 2
()0x y z dv Ω
++=???； (B) 222
54()3x y z dv R πΩ
++=???； (C)
()0x y z dv Ω
++=???； (D) 2
222()4x y z dS R π∑
++=??
ò。
4．微分方程y ? + y = sin x 的一个特解的形式为[ ] (A)
sin Ax x ；(B) cos sin A x B x +；(C) cos sin Ax x B x +；(D) cos sin Ax x Bx x +。
5．设f (u )连续可微，且
4
()0f u du k =≠?
，其中L
为圆周y =2，0）的部分，则
22()()L
f x y xdx ydy ++=?
[ ]
(A) 0； (B)
2
k
； (C) k ； (A) 2k . 二、填空题
1．函数z = f (x , y )由方程2sin(23)23x y z x y z +-=+-所确定，则d z = _______________. 2．交换积分次序
?
?
--y
y dx y x f dy 11
1
),(为__________________.
3．设L 为圆周x = acost , y = a sin t (0 ? t ? 2?), 则
2
()L
x y ds +?= _______________.
4．设平面薄板所占闭区域D 由直线 x + y = 2，x = 2和y = 2围成 ，它在点(x , y )处的面密度为2
y ，则平面薄板的质量为____________。
5．微分方程10250y y y '''-+=的通解是__________。 三、计算下列各题
1．已知(,)y z f xy x
=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,,z z z
x y x y ???????。
2．一平面通过两平行直线
32321x y z ++==-和341
321
x y z +++==
-，求此平面方程。 3．计算22
()x y dv Ω
+???，其中?是由yoz 面上曲线22y x =绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面z = 8所围成的闭
区域。 4．求
4(2)3x y z dS ∑
+
+??，式中?是平面1234
x y z
++=在第一卦限 的部分。 四、(8分)计算积分222()()()I y xz dydz z xy dzdx x yz dxdy ∑
=-+-+-??，?
是锥面
)z z h =≤≤的下侧。
五、(8分)求球面2222x y z a ++=的内接长方体，使长方体的体积最大。 六、(8分)一个体积为V ，外表面积为S 的雪堆，融化的速度是
dV
aS dt
=-，其中a 是正常数，假设在融化过程中雪堆的形状保持为22
(0)x y z h z h
+=-≥，其中h = h (t ), 问一个高度等于0h 的雪堆全部融化消失需要多少时间。
七、(4分) 设函数f (x )满足方程2()3()6xf x f x x '-=-，且由曲线y = f (x )，直线x = 1与x 轴围成的平面图
形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求D 的面积。
高等数学（下）2014年7月
一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
1. 设向量(2,2,5)a =--r
的起点坐标为(2,1,7)，则[ ]
（A ）a r 的终点坐标为(4,2,1)-； （B ）a r
的长度为6；
（C ）a r
与y
轴的夹角为； （D ）a r 在z 轴上的投影为5。 2．设平面区域22
:1D x y +≤；2
2
1:1,0,0D x y x y +≤≥≥则下列等式不成立的是[ ] (A )
2
2ln()0D x x
y d σ+=?? (B
)
1
4D
D σσ=
(C)
1||4D
D xy d xyd σσ=???? (D)
1
224D
D xy d xy d σσ=???? 3．
4．设函数22
e ()x
z x y =+则1
(,0)2
-
是该函数的[ ].
（A ）驻点但非极值点； （B ）驻点且极小值点； （C ）驻点且极大值点； （D ）极值点但非驻点.
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
5．曲线在点处的切线方程是_________.
6
．交换积分次序
11142210
4
(,)(,)y
y
dy f x y dx dy f x y dx +?
??=__________
7. 设f (x )可微分,2(3)x z f y z -=-，则2
3z z
x y
??+??= ___________. 8．若二阶常系数线性非齐次方程 )('"x f qy py y =++ 的三个解是：
)(21x x e e x y --+=，x x e xe y 22--+=，x x e x xe y 23)1(--++=，
则q p 42
-＝__________________.
三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求平面方程，使得这个平面垂直于平面
，平行于向量(1,2,s =-r
，并且过点
。
2. 求二重积分
arctan
D
y
dxdy x
??，其中D 由圆221x y +=，224x y +=及直线0y =，y x =所围成的在第一象限的闭区域。
3. 设2
(,)y
z x f xy x
=，f 具有二阶连续偏导数，求2,z z y x y ?????。 4. 计算曲面积分1I dS z ∑
=
??，其中?是球面2222x y z ++=
在锥面z =上方的部分。 5. 计算曲线积分2
()L
x y ds +?，其中L 是由点O (0,0)到A (0,1)
的直线段和y =
A (0,1)到
B (1,0)的圆
弧组成。
四、（8分）求解二阶初值问题：??
?
?
???
==+=+0)0('0)0()2cos (214"y y x x y y .
五、（8分）修建一座容积为V ，形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。 六、（8分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=++-??，其中?是曲面221z x y =-- （0z ≥）
的上侧。
七、（8分）设f (u )连续可微，L 为由23,3A ??
???
到()1,2B 的直线段，求 八、（6分） 答案 （2014年7月）
一、1：C ； 2：D ； 3：B ； 4：B 。
二、1：121223
x y z --==-； 2：21
2
0(,)x x dx f x y dy ??； 3：1； 4：0
三、1．求平面的方程，使得这个平面垂直于平面，平行于以为方向余弦的直
线，并且过点
。
解 所求平面的法向量为
11
(41)12i
j n =-=----，
平面方程为(45)(2(1)0x y z --+---=。
2．求二重积分
arctan
D
y
dxdy x
??，其中D 由圆221x y +=，224x y +=及直线0y =，y x =所围成的在第一象限的闭区域。
解 22
4013arctan 64D
y dxdy d rdr x π
θθπ==????。
3．设2
(,)y
z x f xy x
=，f 具有二阶连续偏导数，求2,z z y x y ?????。 解
2312121
()z x xf f x f xf y x
?=+=+? 231211223)y
x f f x yf f x
=++-
。 4．计算曲面积分1I dS z ∑
=
??，其中?是球面2222x y z ++=
在锥面z =上方的部分。 解
:z ∑=，22:1xy D x y +≤，
5．计算曲线积分2()L
x y ds +?
，其中L 是由点O (0,0)到A (0,1)
的直线段和y =上从A (0,1)到B (1,0)
的圆弧组成。
解
1
2
220
()(cos sin )L
x y ds y dy π
θθθ+=++??
?
1132
π
=++。 四、
五、修建一座容积为V ，形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。
解 设长、宽、高分别为x ，y ，z , 则V
xyz =，设单位造价为k ，则
设444()L xy xz yz V xyz λ=+++- 解得
x y z === 六、计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=++-??，其中?是曲面221z x y =-- （0z ≥）的
上侧。
解 设2
2
1:0,(1)z x y ∑=+≤下侧
七、设f (u )连续可微，L 为由23,3A ??
???到()1,2B 的直线段，求2221()[()1]L
y f xy x dx y f xy dy y y ++-?
解 2221(),[()1]y f xy x P Q y f xy y y +==-，21P Q
f xyf y y x
??'=-++=??，所以积分与路径无关，
(1,2)
(1,2)
22(3,)(3,)33
[()][()]4x x d F xy F xy y y =
+=+=-?。 八、设函数f (x )在[,]a b 上满足()a f x b ≤
≤，|()|1f x q '≤<，令1()n n u f u -=，
01,2,3,,[,]n u a b =∈L ，证明：级数11
()n n n u u ∞
+=-∑绝对收敛。
证明 1111|||()()||()()|||n n n n n n n n n u u f u f u f u u q u u ξ+---'-=-=-≤-
01q <<，从而1
n n q ∞=∑收敛，由比较审敛法，级数11
()n n n u u ∞
+=-∑绝对收敛。
高等数学（下）2015年7月
一、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）
1. 求点0(1,1,1)P 到直线的距离
723
123
x y z ---==
。 2. 求曲线2226
x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处的切线与法平面方程。
3. 函数2
u xy z =在点(1,1,1)-沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。
4. (,)u f x xy =具有二阶偏导数，求2u
x y
???。
5. 计算二重积分
22229
(7321)x y x y x y dxdy +≤+-++??
。
二、（16分）
1. 求解微分方程的初值问题221
|1x x y xy y ='?+=?=?
2. 已知点(0,0)O 与()1,1A
，且曲线积分?
22(cos sin )(cos sin )OA
I ax y y x dx by x x y dy =-+-?与路径无
关，试确定a,b 的值并求出I 。 三、（8分）求2
()y y '''=的通解
四、（8
分）设函数222222()sin ,0,(,)0,
0,
x y x y f x y x y ???
?++≠?=?
?+=??， （1）求偏导数(,),(,)x y f x y f x y ；（2）讨论(,),(,)x y f x y f x y 在点（0, 0）处是否连续 （3）讨论(,)f x y 在点（0, 0）处是否可微分？
五、（8分）设cos ,cos ,cos αβγ为球面2
2
2
2
(0)x y z a a ++=>在点(,,)x y z 处的外法线方向余弦，求
cos ,cos ,cos αβγ，并计算曲面积分4
441()x y z dS a
∑++??ò，∑是球面2222x y z a ++=。 六、（8分） 已知∑是2
2
2
(0)x y a a +=>在0x ≥的一半中被0,(0)y y h h ==>所截下部分的外侧，计算
2xyzdxdy xzdydz z dzdx ∑
++??
。
九、（8分）（1）设()y x 满足微分方程25x
y y y xe '''-+=，曲线()y y x =过原点，且在原点处得切线垂直
于直线210x y +-=，求此直线方程. （2）()f x 在[0, 1]上连续，证明
1
1
()
()0
1f x f y e
dx e dy -≥??。
答案：一、（1
）（2）切线121
101
x y z -+-==
，法平面0x z -=；（3
；（4）21222f xf xyf ++；（5）
99
2
π。 二、（1）。 （2）2,2,2cos1a b ==。 三、
五、5
125
a π。
六、32
3
a h 。
高等数学（下）2016年7月
一、计算下列各题 （本题共10小题，每小题6分，共计60分）
1. 设x y
u x z
+=+，求2u x y ???。
2.若(,)z f x y =是由方程()x az y bz ?-=-确定的隐函数，这里,a b 为常数，()u ?'连续，求z z
a
b x y
??+??的值。
3.已知平面?过点(2,0,0),(0,3,0)A B -，且与三个坐标所围成的立体体积为2，求平面?的方程。
4.三个非零向量,,a b c r r r 满足：,,a b c b c a c a b =?=?=?r r r r r r r r r ，求||||||a b c ++r r r
的值。
5.
计算积分2
11
x
I
dx =??
6.
计算
L
?
，其中22:(0)L x y ax
a +=>
7. 计算
2
222
()(sin )x L
e x y dx xy y dy -+-?
?，222:L x y a +=逆时针方向一周。 8.
已知立体z Ω≤≤
，计算Ω
???
9.求解初值问题：021|2x x x dy
e
e y dx y =?+=???=?
10.在曲面z xy =上求一点，使得该点处的法线垂直于平面390x y z +++=。
二、（8分）计算||D
x y dxdy -??
，其中22
:1,0D x y x +≤≥ 三、（8分）函数
()y f x =在定义域内()0f x '>，其图形上任意一点(,())M x f x 处的切线与直线x x =，以
及x 轴所围成的面积为4，(0)2f =，求()f x 的表达式。
四、（8分）在平面1x y z ++=上求一点P ，使得点P 到两点(1,0,1),(2,1,0)A B 的距离的平方和最小，并求
这个最小值。 五、（8分）求22()()I z x dydz z z dxdy ∑
=++-??，其中∑是曲面22z x y =+位于1,2z z ==之间部分的下
侧。
六（每小题4分，共8分） 1.已知
sin y x x =是方程cos sin y ay by A x B x '''++=+的一个解（,,,a b A B 为常数），求,A B 的值，并
写出该方程的通解。
2.设(,),(,)P x y Q x y 在光滑有向曲线L 上连续，及l 表示曲线L 的长度，(,)max
x y M ∈=(.)(,)L
P x y dx Q x y dy Ml +≤?。
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
高等数学模拟试题一
高等数学模拟试题一
内蒙古农业大学农科《高等数学》模拟试卷（一） 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1.设 ln(12)0()10 x x f x x x +?≠?=??=? ，则()f x 在0x =处（ ）. A.极限不存在 B. 极限存在但不连续 C.连续但不可导 D.可导 2.设22()1 2 x e x f x x ?+≤?=? >??，则[]()f f x =（ ）. A ．22e + B. 2 C. 1 D. 4 3.1()x f x e =在0x =处的极限为（ ） A.∞ B.不存在 C. 1 D. 0 4．0sin lim x y k xy x →→=（ ） A ．1 B.不存在 C. 0 D. k. 5．若()2sin 2 x f x dx C =+?，则()f x =（ ） A ．cos 2x B.cos 2x C + C. 2cos 2x C + D. 2sin 2 x 6. 设(,)z f x y =是由方程(,)0F x az y bz --=所定义的隐函数，其中(,)F u v 可微，,a b 为常数，则必有（ ） A ．1f f a b x y ??+=?? B.1f f a b x y ??-=?? C. 1f f b a x y ??+=?? D.1f f b a x y ??-=?? 7.1 10 (,)y dy f x y dx -=?? （ ） A ．11 00 (,)y dx f x y dy -? ? B. 1 10 0(,)y dx f x y dy -?? C. 1 1 (,)dx f x y dy ?? D. D. 1 10 (,)x dx f x y dy -??
2018最新大一高等数学期末考试卷(精编试题)及答案详解
大一高等数学期末考试卷（精编试题）及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
高等数学下考试题库(附答案)复习过程
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
山东专升本高等数学,很好的模拟题1
2008年成人高考专升本高等数学模拟试题一 高等数学（二） 一. 选择题（1-10小题，每题4分，共40分） 1. 设0 lim →x sinax x =7,则a 的值是（ ） A 17 B 1 C 5 D 7 2. 已知函数f(x)在点x 0处可等，且f ′(x 0)=3,则0 lim →h f(x 0+2h )-f(x 0)h 等于（ ） A 3 B 0 C 2 D 6 3. 当x 0时，sin(x 2+5x 3)与x 2比较是（ ） A 较高阶无穷小量 B 较低阶的无穷小量 C 等价无穷小量 D 同阶但不等价无穷小量 4. 设y=x -5+sinx ，则y ′等于（ ） A -5x -6+cosx B -5x -4+cosx C -5x -4-cosx D -5x -6-cosx 5. 设y=4-3x 2 ，则f ′(1)等于（ ） A 0 B -1 C -3 D 3 6. ??(2e x -3sinx)dx 等于（ ） A 2e x +3cosx+c B 2e x +3cosx C 2e x -3cosx D 1 7. ? ??0 1 dx 1-x 2 dx 等于（ ） A 0 B 1 C 2 π D π 8. 设函数 z=arctan y x ，则x z ??等于（ ）y x z ???2 A -y x 2+y 2 B y x 2+y 2 C x x 2+y 2 D -x x 2+y 2 9. 设y=e 2x+y 则y x z ???2=（ ） A 2ye 2x+y B 2e 2x+y C e 2x+y D –e 2x+y 10. 若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5 P （AUB ）＝0.8,则P （B ）等于（ ） A 0.3 B 0.4 C 0.2 D 0.1 二、填空题（11-20小题，每小题4分，共40分） 11. ∞ →x lim (1-1x )2x = 12. 设函数f(x)= 在x=0处连续，则 k ＝ Ke 2x x<0
南京理工大学高数考试题
期中高等数学测验 一 填空（共20分，每小题4分） 1 已知)(cos )(sin 2 2 x f x f y +=，则___________________=dx dy 2 已知x x x y )1( +=,则_________ __________=dx dy 。 3 已知曲线的极坐标方程为θ3sin a r =，则它在6 π θ=处的切线方程____________. 4 x x y 2sin =则) (n y =__________________________. 5 已知 02 ] )2([522 lim =-+--+→x B x A x x ，则A=________,B=___________ 二 计算或证明 （每小题7分，共56分 ） 1求 x x x x e sin 1 )23( lim +-→ 的极限。 2 求函数??????? <<+≤≤-=21,2112 1,ln 2)(x x x x x f 的导数。 3求f(x) = ln x 在x = 1 点的n 阶泰勒公式（Peano 余项） 4求由方程y y x =+)cos(确定的隐函数)(x y y =的二阶导数2 2dx y d 。 5 222,1)1ln(dx y d arctgt y t x 求?? ?-=+= 6. 求函数3326)(x x x f -=的极值 7 求?????>-≤=) 1|(||,1|); 1|(|,2 cos )(x x x x x f π的间断点，并判断其类型。 8 证明方程0132 =---x x e x 有且仅有三个实根。
三 （8分）设 ??? ??=≠-=-0,0;0,)()(x x x e x g x f x 其中，)(x g 有二阶连续导数且 1)0(,1)0('-==g g 。 （1）求)(' x f ; （2）讨论)(' x f 在),(+∞-∞上的连续性。 四（8分） 设 ),,,max (21m a a a A =, 且0>k a （m k ,,2,1 =），证明 A n n m n n n a a a =++∞ → 21lim 。 五 （8分）设 n n x x x +-==+11 2,111（ 3,2,1=n ），证明数列}{n x 的极限存在，并求极限。 紫金学院期中高等数学测验 一 填空（共32分，每小题4分） 3 设???≤<≤≤=2 1,21 0,)(2x x x x x f ，则f(x +1) =_______________________- 4 已知)(cos )2(sin 2 x f x f y +=，则 ___________________=dx dy 5 当a=_____,b=_____时，点（1，3）为曲线y = a x 3 +b x 2 的拐点 6 已知x x x y 2)1( +=,则_________ __________=dx dy 。 7 已知曲线?? ?==θ θsin sin b y a x ，（θ为参数），则它在6π θ=处的切线方程____________. 8 x x y 2sin =则) (n y =__________________________. 9 已知02 ] )2([522 lim =-+--+→x B x A x x ，则A=________,B=___________ 10 1 1 1lim 0--→x x e x ＝_______________-- 二 计算或证明 （每小题7分，共49分 ） 1求 x x x x e sin 1 )23(lim +-→ 的极限。
大一下学期高等数学考试题
大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在 处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值
C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。
四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则
高数下A试题及答案
高等数学A （下） 课程考试试题参考解答 一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题), 请将合适选项填在括号内． 1. 函数3y z x e =-的全微分dz =【 C 】． (A) 2 2y x dx e dy -； (B) 2 3y x dx e dy +； (C) 2 3y x dx e dy -； (D) 2 3y e dx x dy -． 2. 球面2 2 2 1x y z ++= 在点P 处的切平面方程是【 D 】． (A) 0x y -=； (B) 0x y ++=； (C) 0x y -=； (D) 0x y +=． 3. 设区域{} 2(,)11, 1.D x y x x y =-≤≤≤≤，二重积分 ()2 cos D x x xy dxdy +=??【 B 】 ． (A) 1-； (B) 0； (C) 1； (D) 1 2 ． 4. 级数n n ∞ = A 】． (A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 发散； (D) 其它选项都不对． 5. 曲线22 1() 4 4 z x y y ?=+???=?在点)5,4,2(处的切线对于x 轴的倾角为【 C 】． (A) 3 π ； (B) 3π-； (C) 4 π ； (D) 4π-． 二、填空题 ( 满分15分，每小题3分，共5道小题 )，请将答案填在横线上． 1. dx x y dy I y ? ? = 55 1 ln 1 = 4 . 2. 设L 是圆周2 2 2 R y x =+，曲线积分 ()2 2L x y ds +??= 32R π .
3. 设?? ?? ? ≤<≤≤=πππx x x f 20201)(可以展开为正弦级数，此正弦级数在4x π=处收敛于 1 . 解 由于4 π= x 是)(x f 的连续点，则)(x f 的正弦级数在4 π= x 收敛于1)4 (=π f ． 4. 微分方程20y y y '''-+=的通解为 12()x y c c x e =+ . 5. 函数33 (,,)3f x y z z xyz y =-+在点(1,2,3)处的梯度为 (18,3,21)- . 三．（满分10分）设( ) 22 ,ln 2z f xy x y =+，求z x ??和2z x y ???（其中f 具有二阶连续偏导数）. 解 2122z f y f xy x ?''=+? 2z x y ???33221211 221222225yf xf xy f x yf x y f ''''''''=++++ 四. （满分10分）计算曲线积分22 L xy dy x ydx -??，其中L 为圆周222a y x =+的正向. 解 2 2 ,xy Q y x P =-=， 22,y x Q x y P =??-=??，由格林公式，得 ydx x dy xy L 22-? = 222x y a Q P dxdy x y +≤????- ???? ??? ()222 2 2x y a x y dxdy +≤= +?? 2 4 3 20 a dr r d a πθπ= =?? . 五．（满分10分）试将函数()2 x t f x e dt =? 展成x 的幂级数， （要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）。 解： 因为 ∑∞ ==0! n n t n t e ()+∞<<∞-t 则∑∞ ==02! 2 n n t n t e ()+∞<<∞-t ， 将上式两端逐项积分，得 ()?∑????? ??==∞=x n n x t dt n t dt e x f 00 20!2
高等数学1模拟试卷
《高等数学》模拟题）（1 __________ 成绩学号________________ _____________ 姓名_______________ 年级 名词解释第一题 ．区间：1 ; 2. 邻域 函数的单调性：3. 导数：4. 最大值与最小值定理：5. 选择题第二题 x?1的定义域是（．函数） 1y?1?x?arccos2x?1?3?x?1；； (B) (A)????1x??x?3xx?1?)13(?,. ； (D)(C)x?(x)f)xf(定义为（在点2、函数的导数）00f(x??x)?f(x)；）A （00?x f(x??x)?f(x)；（B）00lim x?xx?0． f(x)?f(x)0lim；（C） ?x x?x0))x?f(xf( D）；（0lim xx?xx?003、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（） （A）它们都给出了ξ点的求法 . （B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。
?点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以它们都先肯定了） （C 用定 理给出的公式计算ξ的值 . （D ） 它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . I )(xx),FF(内连续函数4、设是区间的两个不同的原函数，且)(xf 21I 0?(x)f 内必有（ 则在区间） ,F(x)?F(x)?C (A) ；） ； （B C))?F(x ?(Fx 1221 F(x)?CF(x)F(x)?F(x)?C . (C) ； (D) 2121nnn ?? ( ) 5、lim ???? ?? 22222n ?1n ?2n ?n ????n 01； ） （ （A ）B ； 2?? . ） （ （C ）D ； 42 x ?e 1y ?0xyln ? 所围成及，与 直线 6的区域的面、曲线?x e S ?（ ）；积11e ?)1?2(； ）（A （B ）； e e11e ??1 . ）（）（C ； D ee ???? a ?a ?b b . 为共线的单位向量，则它们的数量积 （， ）若 、 7 -1；）； （B （A ） 1??),bcos(a . ）（C ） 0； （D 41的定义域是8( ). 、二元函数z ?ln ?arcsin 2222 yx ?x ?y 22?yx4?1?22?4?y1?x ；）A ） ；（B （2222 4y1?x ???4?y1?x . ）（ C ）； （D 11?x ??f(x,dxy)dy =(D ) 9、0011?x 11?x ； (B) (A)； ??,dydxxf(y)??dx)dyx,yf( 00001111?y ???? (D)；.
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
高等数学模拟试题一
高等数学模拟试题一 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
内蒙古农业大学农科《高等数学》模拟试卷（一） 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1.设ln(12)0()10 x x f x x x +?≠? =??=? ，则()f x 在0x =处（ ）. A.极限不存在 B. 极限存在但不连续 C.连续但不可导 D.可导 2.设22()1 2 x e x f x x ?+≤?=? >??，则[]()f f x =（ ）. A ．22e + B. 2 C. 1 D. 4 3.1()x f x e =在0x =处的极限为（ ） A.∞ B.不存在 C. 1 D. 0 4．0sin lim x y k xy x →→=（ ） A ．1 B.不存在 C. 0 D. k. 5．若()2sin 2x f x dx C =+?，则()f x =（ ） A ．cos 2x B.cos 2x C + C. 2cos 2x C + D. 2sin 2 x 6. 设(,)z f x y =是由方程(,)0F x az y bz --=所定义的隐函数，其中(,)F u v 可微， ,a b 为常数，则必有（ ）
A ．1f f a b x y ??+=?? B.1f f a b x y ??-=?? C. 1f f b a x y ??+=?? D.1f f b a x y ??-=?? 7.1 10 (,)y dy f x y dx -=?? （ ） A ．1100 (,)y dx f x y dy -? ? B. 110 0(,)y dx f x y dy -?? C. 1 1 (,)dx f x y dy ?? D. D. 1 10 (,)x dx f x y dy -?? 8. 设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则()0f x '=在区间[]1,4上有（ ）个根. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9. 若在(,)a b 内()0,()0f x f x '''<>，则在此区间内下列（ ）成立. A. ()f x 单调减少曲线上凸 B ．()f x 单调减少曲线下凸 C ．()f x 单调增加曲线上凸 D ．()f x 单调减少曲线下凸 10.已知12cos ,3cos y x y x ωω==是方程20y y ω''+=的解，则11122y C y C y =+ （其中1C ，2C 为任意常数）（ ） A ．是方程的解但非通解 B ．是方程的通解 C ．不是方程的解 D ．不一定是方程的解 二、填空题（每小题2分，共20分） 1 ．函数z =. 2.设(2) lim x f x A x →∞ =，则lim (3)x x f x →∞= . 3.设函数()y f x =在1x =处的切线方程为32x y +=，则()y f x =在1x =处自变量的增量为0.03x ?=的微分dy =. 4．设()f x ''连续，则0002 ()()2() lim x f x x f x x f x x →++--=.
(完整)高等数学考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ） ()()11102f f -????（C ）()()1 202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3．21 x y x =-的垂直渐近线有条. 4． ()21ln dx x x = +?. 5． ()4 22 sin cos x x x dx π π - += ?.
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?
5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分
高等数学模拟试题1 .doc
高等数学模拟试题1 一、填空题 1.函数1 ||)3ln(--= x x y 的定义域为_____________. 2..____________1lim =?? ? ??+-∞→x x x x 3.曲线33)4(x x y -+=在点（2，6）处的切线方程为__________. 二、选择题 1. 设)(x f 在点0x 处可导，且2)(0-='x f ,则=--→h x f h x f h ) ()(lim 000 ( ) 21).A ( 2).B ( 2 1 ).C (- 2).D (- 2. .当0→x 时, 2 x 与x sin 比较是 ( ). (A).较高阶的无穷小 (B). 较低阶的无穷小 (C). 同阶但不等价的无穷小 (D).等价的无穷小 3.设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3,则点M 的坐标为( ) )0,1).(A ( )0,1).(B (- )4,2).(C ( )0,-2).(D ( )cos(arcsin ).C (C x y += C x +arcsin ).D ( 三、计算题 1.计算) 1ln(arctan lim 3 x x x x +-→ 2.设,cos ,,sin t v e u t uv z t ==+=求全导数.dt dz 3.求微分方程x x y y x cos =+'的通解.
4.求幂级数∑∞ =--1 2 1)1(n n n x n 的收敛域. 答案 一、填空题： 1.分析 初等函数的定义域，就是使函数表达式有意义的那些点的全体. 解 由? ??>->-010 3|x |x 知，定义域为{}131-<< 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) . d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ． 求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+30 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422Y 11、(本小题5分) ．求? π +20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案
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