2014——2017高考交流电真题
1.（2014 福建卷）16.图为模拟远距离输电实验电路图，两理想闫雅琪的匝数n 1=n 4＜n 2=n 3，四根模拟输电线的电阻R 1、R 2、R 3、R 4的阻值均为R ，A 1、A 2为相同的理想交流电流表，L 1、L 2为相同的小灯泡，灯丝电阻R L ＞2R ，忽略灯丝电阻随温度的变化。
当A 、B 端接入低压交流电源时（ ）A.A 1、A 2两表的示数相同B.L 1、L 2两灯泡的量度相同C.R 1消耗的功率大于R 3消耗的功率D.R 2两端的电压小于R 4两端的电压2（2014年 广东卷）19、如图11所示的电路中，P 为滑动变阻器的滑片，保持理 想变压器的输入电压U1不变，闭合电建S ，下列说法正确 的是A ．P 向下滑动时，灯L 变亮B ．P 向下滑动时，变压器的输出电压不变C ．P 向上滑动时，变压器的输入电流变小D ．P 向上滑动时，变压器的输出功率变大3. （2014 海南卷）2．理想变压器上接有三个完全相同的灯泡，其中一个与该变压器的原线圈串联后接入交流电源，另外两个并联后接在副线圈两端。
已知三个灯泡均正常发光。
该变压器原、副线圈的匝数之比为 A ．1:2 B ．2:l C ．2:3 D ．3:24. （2014年 江苏卷）3．远距离输电的原理图如图所示，升压变压器原、副线圈的匝数分别为n 1、n 2，电压分别为U 1、U 2，电流分别为I 1、I 2，输电线上的电阻为R 。
变压器为理想变压器，则下列关系式中正确的是 A ．1122I n I n = B ．22U I R= C ．2112I U I R = D ．1122I U I U =PR 0LU 1 U 2S图115. （2014年 全国卷2）21．如图，一理想变压器原、副线圈的匝数分别为n 1、n 2。
原线圈通过一理想电流表○A 接正弦交流电源，一个二极管和阻值为R 的负载电阻串联后接到副线圈的两端。
假设该二极管的正向电阻为零，反向电阻为无穷大。
用交流电压表测得a 、b 端和c 、d 端的电压分别为U ab 和U cd ，则A ．U ab :U cd =n 1:n 2B ．增大负载电阻的阻值R ，电流表的读数变小C ．负载电阻的阻值越小，cd 间的电压U cd 越大D ．将二极管短路，电流表的读数加倍6. （2014年 山东卷）17如图，将额定电压为60V 的用电器通过一理想变压器接在正弦交变电源上。
闭合开关S 后，用电器正常工作，交流电压表和交流电流表（均为理想电表）的示数分别为220V 、2.2A ，以下判断正确的是 （ ）A.变压器的输入功率为484VB.通过原线圈电流的有效值为0.6AC.通过副线圈电流的最大值为2.2AD.变压器原副线圈的匝数比为11：37. （2014年 四川卷）1.如图所示，甲是远距离输电线路的示意图，乙是发电机输出电压随时间变化的图像，则A.用户用电器上交流电的频率是100HzB.发电机输出交流电的嗲呀有效值是500VC.输电线的电流只由降压变压器原副线圈的匝数比决定VA用电器S1n 2n n 1 n 2a b RAD.当用户用电器的总电阻增大时，输电线上的损失的功率减小8. (2014 天津卷）7．如图1所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图象如图2中曲线a、b所示，则A．两次t=0时刻线圈平面与中性面重合B．曲线a、b对应的线圈转速之比为2∶3C．曲线a表示的交变电动势频率为25HzD．曲线b表示的交变电动势有效值为10V9.（2014.浙江卷）15 如图所示为远距离交流输电的简化电路图。
发电厂的输出电压是U，用等效总电阻是r的两条输电线输电，输电线路中的电流是I1，其末端间的电压为U1。
在输电线与用户间连有一想想变压器，流入用户端的电流是I2。
则A.用户端的电压为I1U1/I2B.输电线上的电压降为UC.理想变压器的输入功率为I12rD.输电线路上损失的电功率为I1U15年真题1. （15江苏卷）一电器中的变压器可视为理想变压器，它将220V交变电流改为110V，已知变压器原线圈匝数为800，则副线圈匝数为A．200 B．400 C．1600 D．32002．（15北京卷）利用所学物理知识，可以初步了解常用的一卡通（IC卡）的工作原理及相关问题。
IC 卡内部有一个由电感线圈L 和电容 C 构成的LC 振荡电路，公交车上的读卡机（刷卡时“嘀”的响一声的机器）向外发射某一特定频率的电磁波。
刷卡时，IC 卡内的线圈L 中产生感应电流，给电容 C 充电，达到一定的电压后，驱动卡内芯片进行数据处理和传输。
下列说法正确的是A．IC 卡工作所需要的能量来源于卡内的电池B．仅当读卡机发射该特定频率的电磁波时，IC 卡才能有效工作C．若读卡机发射的电磁波偏离该特定频率，则线圈L 不会产生感应电流D．IC 卡只能接收读卡机发射的电磁波，而不能向读卡机传输自身的数据信息3.（15福建卷）图为远距离输电示意图，两变压器均为理想变压器，升压变压器T 的原、副线圈匝数分别为n 1 、n 2 。
在T 的原线圈两端接入一电压sin m u U t ω=的交流电源，若输送电功率为P ，输电线的总电阻为2r ，不考虑其它因素的影响，则输电线上损失的电功率为( )212.()4m U n A n r 221B.()4mU n n r2212C.4()()m n P r n U 2221D.4()()mn Pr n U4.（15海南卷）如图，一理想变压器原、副线圈匝数比为4:1，原线圈与一可变电阻串联后，接入一正弦交流电源；副线圈电路中固定电阻的阻值为R 0，负载电阻的阻值R =11R 0，是理想电压表；现将负载电阻的阻值减小为R =5R 0，保持变压器输入电流不变，此时电压表读数为5.0V ，则A.此时原线圈两端电压的最大值约为34VB.此时原线圈两端电压的最大值约为24VC.原线圈两端原来的电压有效值约为68VD.原线圈两端原来的电压有效值约为48V5.（15四川卷）小型手摇发电机线圈共N 匝，每匝可简化为矩形线圈abcd ，磁极间的磁场视为匀强磁场，方向垂直于线圈中心轴OO ′，线圈绕OO ′匀速转动，如图所示。
矩形线圈ab 边和cd 边产生的感应电动势的最大值都为e 0，不计线圈电阻，则发电机输出电压A 2RV 3 V 2V 1A 1cda b~R 0A ．峰值是e 0B ．峰值是2e 0C ．有效值是022Ne D ．有效值是02Ne 6.（15安徽卷）图示电路中，变压器为理想变压器，a 、b 接在电压有效值不变的变流电源两端，R 0为定值电阻，R 为滑动变阻器。
现将变阻器的滑片从一个位置滑动到另一位置，观察到电流表A 1的示数增大了0.2 A ，电流表A 2的示数增大了0.8 A ，则下列说法正确的是 A ．电压表V 1示数增大 B ．电压表V 2、V 3示数均增大 C ．该变压器起升压作用 D ．变阻器滑片是沿c →d 的方向滑动7.（15新课标1卷）（15广东卷）16年真题1、（北京卷21－（1））热敏电阻常用于温度控制或过热保护装置中。
图1为某种热敏电阻和金属热电阻的阻值R随温度t变化的示意图。
由图可知，这种热敏电阻在温度上升时导电能力________（选填“增强”或“减弱”）；相对金属热电阻而言，热敏电阻对温度变化的影响更________（选填“敏感”或“不敏感”）。
2、（全国卷Ⅰ－16）一含有理想变压器的电路如图所示，图中电阻R1，R2和R3的阻值分别为3Ω，1Ω，4Ω，为理想交流电流表，U为正弦交流电压源，输出电压的有效值恒定。
当开关S断开时，电流表的示数为I；当S闭合时，电流表的示数为4I。
该变压器原、副线圈匝数比为（）。
A.2B.3C.4D.53、（全国卷Ⅲ－19）如图，理想变压器原、副线圈分别接有额定电压相同的灯泡a和b。
当输入电压U为灯泡额定电压的10倍时，两灯泡均能正常发光。
下列说法正确的是（）。
A.原、副线圈砸数之比为9:1B. 原、副线圈砸数之比为1:9C.此时a和b的电功率之比为9:1D.此时a和b的电功率之比为1:94、（全国卷Ⅲ－21）21.如图，M为半圆形导线框，圆心为O M；N是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为O N；两导线框在同一竖直面（纸面）内；两圆弧半径相等；过直线O M O N 的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面。
现使线框M、N在t=0时从图示位置开始，分别绕垂直于纸面、且过O M和O N的轴，以相同的周日T逆时针匀速转动，则（）。
A.两导线框中均会产生正弦交流电B.两导线框中感应电流的周期都等于TC.在时，两导线框中产生的感应电动势相等D.两导线框的电阻相等时，两导线框中感应电流的有效值也相等5、（四川卷－2）如图所示，接在家庭电路上的理想降压变压器给小灯泡L供电，如果将原、副线圈减少相同匝数，其它条件不变，则（）。
A. 小灯泡变亮。
B. 小灯泡变暗C. 原、副线圈两段电压的比值不变D. 通过原、副线圈电流的比值不变17年真题1．【2017·天津卷】在匀强磁场中，一个100匝的闭合矩形金属线圈，绕与磁感线垂直的固定轴匀速转动，穿过该线圈的磁通量随时间按图示正弦规律变化。
设线圈总电阻为2 Ω，则A ．t =0时，线圈平面平行于磁感线B ．t =1 s 时，线圈中的电流改变方向C ．t =1.5 s 时，线圈中的感应电动势最大D ．一个周期内，线圈产生的热量为28πJ2．【2017·北京卷】如图所示，理想变压器的原线圈接在2π(V)u t 的交流电源上，副线圈接有R =55 Ω的负载电阻，原、副线圈匝数之比为2:1，电流表、电压表均为理想电表。
下列说法正确的是 A ．原线圈的输入功率为2W B ．电流表的读数为1 A C ．电压表的读数为2D ．副线圈输出交流电的周期为50 s3．【2017·江苏卷】某音响电路的简化电路图如图所示，输入信号既有高频成分，也有低频成分，则（A ）电感L 1的作用是通高频（B ）电容C 2的作用是通高频（C ）扬声器甲用于输出高频成分（D ）扬声器乙用于输出高频成分。
2014-2017高考真题-选修4-5不等式选讲
不等式选讲1.（2017•新课标Ⅰ,23）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分）(1)当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；(2)若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2.（2017•新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．3.（2017•新课标Ⅲ,23）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．4.（2017•江苏,21D）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．．5.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)在图中画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集.6.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.7.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.78.(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________.9.(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}.(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值.10.(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.11.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.15.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f(x)＝|x＋1a|＋|x－a|(a>0).(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围.。
三年高考(2014-2016)物理真题分项版解析—— 专题07电场
专题07 电场一、选择题1．【2016·浙江卷】以下说法正确的是A．在静电场中，沿着电场线方向电势逐渐降低B．外力对物体所做的功越多，对应的功率越大C．电容器电容C与电容器所带电荷量Q成正比D．在超重和失重现象中，地球对物体的实际作用力发生了变化【答案】A【考点定位】电势；功率；电容器；超重和失重【名师点睛】此题考查了四个简单的知识点，都是很基础的知识，只要平时学习扎实，有一定的物理功底即可解答。
注意答案C中，电容器电容的决定因素是两极板相对面积、两极板间距离和两极板间的电介质的介电常数，要分清物理量的定义式和决定式。
2．【2016·全国新课标Ⅲ卷】关于静电场的等势面，下列说法正确的是A．两个电势不同的等势面可能相交B．电场线与等势面处处相互垂直C．同一等势面上各点电场强度一定相等D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功【答案】B【解析】等势面相交，则电场线一定相交，故在同一点存在两个不同的电场强度方向，与事实不符，A错误；电场线与等势面垂直，B正确；同一等势面上的电势相同，但是电场强度不一定相同，C错误；将一负电荷从高电势处移动到低电势处，受到的电场力的方向是从低电势指向高电势，所以电场力的方向与运动的方向相反，电场力做负功，D错误。
【考点定位】考查了电势、等势面、电场强度、电场力做功【方法技巧】电场中电势相等的各个点构成的面叫做等势面；等势面与电场线垂直，沿着等势面移动点电荷，电场力不做功，等势面越密，电场强度越大，等势面越疏，电场强度越小。
3．【2016·上海卷】国际单位制中，不是电场强度的单位是A ．N/CB ．V/mC ．J/CD ．T ⋅m/s【答案】C 【解析】由公式F E q=可知，N/C 为电场强度单位；由公式U E d =可知，V/m 也是电场强度单位；由qE qvB =可得E vB =，故T ⋅m/s 也是电场强度单位；由公式W U q =可知，J/C 是电势差单位，故选C 。
2014-2017高考真题-选修4-5不等式选讲
选修4-5不等式选讲 考点不等式选讲1. (2017?新课标 I ,23)已知函数 f (X ) =-x 2+ax+4, g (x ) =|x+1|+|x - 1| . (10 分) (1) 当a=1时，求不等式f (X) >g( X)的解集；(2) 若不等式f (X ) >g(X )的解集包含[-1, 1],求a 的取值范围.1. (1)解：当a=1时，f ( X ) = - X 2+X +4，是开口向下，对称轴为QI Ig (X ) =|x+1|+|x - 1|=-2x- 1当 x €( 1 , +S)时，令-x 2+x+4=2x ,解得综上所述，f ( X) >g( X)仿-1的解集为［-1 ,—刁—］;(2)依题意得：-x 2+ax+4 >在［-1, 1］恒成立，即 X 2 - ax - 2<0在 ［ - 1, F 1-2<0(一 1)1 一就一解得-1Waw,l故a 的取值范围是［-1, 1］.2. (2017?新课标n ,23 )已知 (I) (a+b) (a 5+b 5) >4(n) a+b<2a >0,b >0, a 3+b 3=2，证明:(n)v a 3+b 3=2,••( a+b) (a 2 - ab+b 2) =2,•••( a+b) [ (a+b) 2 - 3ab]=2 , ••( a+b)如9 =ab ,f (x )在(1 , +8)上单调递减, •••此时 f (X )>g(X )的解集为 衍-1(1,当 x € [ - 1, 1]时，g ( X ) 当 xC(- 8,- 1)时， =2, f g (x ) (X)>ff- 1) =2. 单调递减，f ( X )单调递增，且g (- 1) =f (-1)=2.2.证明：(I)由柯西不等式得: (a+b ) (a 5+b 5) + ) 2= (a 3+b 3)2>4当且仅当届=皈兀即a=b=1时取等号,1x=二的二次函数,在(1, +8)上单调递增，1］恒成立, 则只需3- 3ab (a+b ) =2,时沪2空由均值不等式可得：go+b) =ab < ( 2 ) 2••• 4 (a+b) 3<2••• a+b<2,当且仅当a=b=1时等号成立.3. (2017?新课标川,23 )已知函数 f (x ) =|x+1| - |x - 2| . f (x ) >1的解集；f (x ) >2- x+m 的解集非空，求 m 的取值范围.(I)求不等式 (n)若不等式 =|x+1| - |x - 2|=-3 - 12x- 1 厂 1<23 ,r>2(X) >1•••当-1< X < 时， 当x >2时，3>1恒成立，故x >2; 综上，不等式f (x ) >1的解集为{x|x > 1}(n)原式等价于存在 x € R 使得f (x )- x 2+x>m 成立, 即 m < [f ( x )- x +x]max ,设 g ( x ) =f ( X )- X 2+X.-X-+X- 5 庄 < -1—兀”女―1l<x<2由( 1)知，g (X )= -应十兀 +5,X >2,2x - 1>1,解得 K xw ； 当x<- 1时，g (x ) =- x 2+x - 3，其开口向下，对称轴方程为••• g (x) <g(- 1) =- 1 - 1 - 3=- 5;x=当-1<XV2时，g (x ) =- x 2+3x - 1,其开口向下，对称轴方程为3 9 9 5••• g (x) <g(丄)=-4 + 二-1= 4 ；x= 3一 € ( - 1 ,2),当x>2时，g (x ) =- x 2+x+3,其开口向下，对称轴方程为 x=-••• g (x) <g(2) =-4+2=3=1 ；5综上，g (x )max =卸,5• m 的取值范围为(-S, 4 ].4. (2017?江苏,21D )已知 a , b , c, d 为实数，且 a 2+b 2=4, c 2+d 2=16, 4.证明：••• a 2+b 2=4, c 2+d 2=16,令 a=2cosa, b=2sin a c=4cos g d=4sin 3•• ac+bd=8 ( cos a cos 3 +sin a Sinrgcos ( a- 3) <8 当且仅当 cos ( a- 3) =1 时取等号.证明 ac+bd <8因此ac+bdW8.(1)在图中画出y= f(x)的图象;⑵求不等式|f(x)|>1的解集.x —4，x<— 1 ,33x— 2 — 1vxW—5.解(1)f(x)= ，2^ y= f(x)的图象如图所示.3—x+ 4, x>2,当f(x)=—1时，可得x = 3或x = 5,故f(x)>1 的解集为{x|1<x<3} ; f(x)< — 1 的解集为x|x<7或x>5 .3所以|f(x)|>1的解集为x|x<3或1<x<3或x>5 .6.(2016全国川，24)已知函数f(x) = |2x—a汁a.(1)当a = 2时，求不等式f(x)w 6的解集;⑵设函数g(x) = |2x—1|.当x€ R时，f(x)+ g(x)>3，求a的取值范围.6.解⑴当 a = 2 时，f(x) = |2x—2|+2.解不等式|2x—2| + 2 w 6 得一K xw 3.因此f(x)w 6的解集为{x|—1w xw 3}.(2)当x€ R 时，f(x) + g(x) =|2x—a|+ a + |1 —2x|> |2x —a+ 1 —2x| + a= |1 —a|+ a, 所以当x€ R 时，f(x) + g(x)>3 等价于|1 —a|+ a>3.①当aw 1时，①等价于1 — a + a> 3,无解.5.(2016全国I, 24)已知函数f(x) =|x + 1|—|2x—3|.⑵当f(x) = 1时，可得x当a > 1时，①等价于a — 1 + a > 3, 解得a > 2. (2)7—3t+12+>/!=V 3A /4—t +&w v [ (V 3)2+12][ (V 4—t)2+(V t)勺=刃4—1+1=4,所以a 的取值范围是［2 ,+8 ).b € M 时，|a + b|<|1 + ab|.1—2x ,x w — 2，7. (1)解 f(x)=. 1 1 1，— 2<x <2,12x , x >2.1 1 当 xw — 2时，由 f(x)<2 得一2x<2，解得 x> — 1,所以,-1<x < --;当-2<x<2时，f(x)<2； 当 x > 2时，由 f(x)<2 得 2x<2，解得 x<1，所以，-2<x<1. 所以 f(x)<2 的解集 M = {x — 1<x<1}.⑵证明 由 ⑴知，当 a,b € M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a + b)2-(1 + ab)2 = a 2 + b 2-a 2b 2-1 = (a 2-1)(1-b 2)<0，即(a + b)2<(1 + ab)2,因此 |a + b|<|1 + ab|.8. (2015重庆，16)若函数f(x) = X +1汁2|x — a|的最小值为 5,则实数a =8.4或一6 ［由绝对值的性质知 f(x)的最小值在x = -1或x = a 时取得，若f(-1) = 2|— 1-a|= 5, a=2或a = — 7,经检验均不合适；若f(a)= 5，则|x +1|= 5, a = 4或a = — 6,经检验合题意, 因此a = 4或a =— 6.]9. (2015陕西，24)已知关于x 的不等式|x + a|< b 的解集为{x|2<x < 4}. (1) 求实数a , b 的值； (2) 求7at + 12的最大值.—b — a = 2,9.解(1)由|x + a|v b ,得一b — a <xv b — a ，贝U解得 a =— 3, b = 1.b — a = 4,7.(2016 全国 n , 24)已知函数f(x)= 1 1x — 2 + X + - , M 为不等式f(x)<2的解集.(1)求 M ;(2)证明：当 a ,当且仅当半，即t = 1时等号成立，故 付-3t + 12 + P )max = 4.10. (2015 新课标全国 I, 24)已知函数 f(x) = |x + 1|— 2|x — a|, a>0.(1)当a = 1时，求不等式f(x)>1的解集；⑵若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.10.解 (1)当 a = 1 时，f(x)>1 化为 |x + 1| — 2|x — 1|— 1>0.当x <— 1时，不等式化为2所以f(x)>1的解集为x 2<x<2 .x — 1 — 2a , x< — 1,⑵由题设可得，f(x)= 3x + 1 — 2a , — K x < a ,—x + 1 + 2a , x>a.Oa 1所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A 筈1, 0 ,B(2a + 1,0),C(a,a+1),△ ABC 的面积为3(a + 1)2.由题设得|(a + 1)2>6，故a>2.所以a 的取值范围为(2 ,+s ).11. (2015新课标全国n, 24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且 a + b = c + d ，证明：(1) 若 ab >cd ,则 V a +7b>7C +;⑵诵+心〉a C+J d 是|a — b|v |c — d|的充要条件.11.证明(1)因为(需 + V b)2 = a +b + ^/ab ,(农+ 卫)2= c +d + ^/cd , 由题设 a + b = c + d , ab >cd 得(诟+ Q B)2>(&+V d)2.因此7^ + 2^>讥+诵.(2) ①若 a — b|v|c — d|,则(a — b)2< (c — d)2,即(a + b)2 — 4ab < (c + d)2— 4cd.因为 a + b = c +d ,所以 ab > cd.由(1)得^/a +托>伍+>/5.②若逅+血〉念+念，则(诟 + 7b)2> (讥+ T d)2,即卩 a + b + ^/ab >c +d + ^cd. 因为 a + b = c +d ,所以 ab >cd ,于是(a — b)2= (a + b)2— 4ab < (c + d)2— 4cd = (c — d)2. 因此|a — b|< |c — d|综上，寸a +寸b >^3+寸d 是|a — b|< |c — d|的充要条件.12. (2014广东，9)不等式|x — 1汁|x + 2|> 5的解集为X — 4>0,无解;当一1<x<1时，不等式化为 23x — 2>0 ,解得-<x<1 ; 3当x > 1时，不等式化为一 X + 2>0，解得 K x<2.（1）当q = 2, n = 3时，用列举法表示集合 A ;x > 1 ,12.{x|x w- 3或 x A 2}[原不等式等价于(x — 1) + ( x + 2)> 5—2<x<1, —(x — 1) + ( x + 2)> 5 …—(x — 1) — ( x + 2)> 5, 解得x > 2或xw — 3.故原不等式的解集为{x|xw — 3或x > 2}.]5 113.（2014湖南，13）若关于x 的不等式|ax —2|<3的解集为x|— 2<x<3，贝a =一 2 114.（2014重庆，16）若不等式|2x — 1汁|x + 2|> a 2+尹+ 2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取 值范围是1515 114. — 1，2[令 f(x) = |2x-1| + |x+2|,易求得 f(x)min = _,依题意得玄彳+衣+:w-? -1 w aw2.]115.(2014 新课标全国 n, 24)设函数 f(x) = |x +-|+ |x — a|(a>0). a (1)证明：f(x) > 2;⑵若f （3）<5，求a 的取值范围.1 1 115.(1)证明 由 a>0 ,有 f(x)=|x +一|+ |x — a|> |x +" — (x — a)| = "+ a >2.所以 f(x)>2. a a a 1 1 5 I 寸 21⑵解 f(3) = |3 + a|+ |3- a|.当 a>3 时，f(3) = a +1，由 f(3)<5 得 3<a<一汁1当 0<aw 3 时，f(3) = 6 — a +」, a综上，a 的取值范围是小由16.（2014天津，19）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M = {0,1,2，…，q — 1},集合 A = {x|x = x 1 + x 2q +…+ x n q n —1,为 € M , i = 1,2,…，n}.(2)设 s, t € A , s = a 1 + a 2q +…+ a n q n 1, t = b 1+ b 2q + …+ b n q n 1,其中 a i , b i € M , i = 1,2,…, n.证明：若 a n <b n ，贝U s<t.xw — 2,13.— 3a 工 0.|ax — 2|<3? — 3< ax — 2<3? —1<ax<5，当a>0时，不等式的解集出 1为-a ，5-，从而有a1 5此方程组无解. 3^当a<0时，不等式的解集为55 1a-，—1，从而有 a a53， 解得a =— 3.] 1 1 a = 3， 由 f(3)<5 得 < aw 3.16.(1)解当q= 2,n= 3 时,M = {0,1}, A = {x|x = x i + x2 • 2 + x3 • 22,x i € M,i = 1,2,3}.可得,A ={0,1,234,5,6,7}.⑵证明由s,t € A,s= a1 + a2q +…+ a n q n 1, t= b1+ b2q+…+ b n q n 1, a i, b i€ M , i = 1,2，…，n 及a n<b n,可得s-t = (a1 —b” + (a2—b2)q + …+ (a n-1 —b n —1)q n 2+ (a n—b n)q n 1< (q-1) + (q-1)q+ …+(q-1)q n—2—q n—「(「1一 "—q n—1= -1<0.所以，s<t.。
2014-2017高考真题 第五章 平面向量
第五章 平面向量考点1 平面向量的概念及坐标运算1.(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC →1.A[∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2.(2015·湖南，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.92.B [由A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆直径,故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4，0),设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[-1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(x -6，y ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.]3.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)3.B [法一 若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B.法二 因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1.所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.]4.(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b ).曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A.1<r <R <3B.1<r <3≤RC.r ≤1<R <3D.1<r <3<R4.A [由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R <3.]5.（2017•浙江,15）已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|﹣|的最小值是________，最大值是________． 5. 4；记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：| + |=，| ﹣ |=，则x 2+y 2=10（x 、y ≥1），其图象为一段圆弧MN ，如图，令z=x+y ，则y=﹣x+z ，则直线y=﹣x+z 过M 、N 时z 最小为z min =1+3=3+1=4，当直线y=﹣x+z 与圆弧MN 相切时z 最大，由平面几何知识易知z max 即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN 所在圆的半径的倍，所以z max =×=．综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ．故答案为：4、．6.（2017•江苏,12）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，， 与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m ，n ∈R ），则m+n=________．6. 3 如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由与的夹角为α，且tan α=7．∴cos α= ，sin α= ．∴C ．cos （α+45°）= （cos α﹣sin α）= ．sin （α+45°）= （sin α+cos α）= ．∴B．∵ =m +n （m ，n∈R ），∴=m ﹣n ，=0+n ，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．7.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 7.－2[由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2.]8.(2015·新课标全国Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.8.12[∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.]9.(2015·北京，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.9.12 －16 [MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.]10.(2015·江苏，6)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.10.－3 [∵a ＝(2,1),b ＝(1,-2),∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ,m －2n )＝(9,-8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.]11.(2014·新课标全国Ⅰ，15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC→的夹角为________.11.90°[由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90.]12.(2014·湖南，16)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.12.1＋7 [设D (x ，y )，由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.]考点2 平面向量的数量积及其应用1.（2017•北京,6）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件1. A ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 • ＜0．反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 • ＜0，而 =λ 不成立．∴ ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的充分不必要条件．故选A ．2.（2017•新课标Ⅲ,12）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（ ）A.3B.2C.D.22. A 如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD= = ,∴BC•CD= BD•r，∴r= ，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ +μ ，∴（cosθ+1，sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选A.3.（2017•浙江,10）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD 交于点O，记I1= •，I2= •，I3= •，则（）A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I33. C ∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2 ，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选C．4.（2017•新课标Ⅱ,12）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+ ）的最小值是（）A.﹣2B.﹣C.﹣D.﹣14. B 建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A （0， ），B （﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则=（﹣x ，﹣y ），=（﹣1﹣x ，﹣y ），=（1﹣x ，﹣y ），则 •（ + ）=2x 2﹣2 y+2y 2=2[x 2+（y ﹣ ）2﹣ ]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣ ）=﹣，故选B.5.(2016·四川，10)在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37＋634 D.37＋23345.B[由题意,|DA →|＝|DB →|＝|DC →|,所以D 到A ,B ,C 三点的距离相等,D 是△ABC 的外心；DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝-2⇒DA →·DB →－DB →·DC →＝DB →·(DA →－DC →)＝DB →·CA →＝0,所以DB ⊥AC ， 同理可得，DA ⊥BC ，DC ⊥AB ，从而D 是△ABC 的垂心，∴△ABC 的外心与垂心重合，因此△ABC 是正三角形，且D 是△ABC 的中心. DA →·DB →＝|DA →||DB →|cos ∠ADB ＝|DA →||DB →|×⎝⎛⎭⎫－12＝－2⇒|DA →|＝2， 所以正三角形ABC 的边长为23；我们以A 为原点建立直角坐标系,B ,C ,D 三点坐标分别为B (3,－3)，C (3,3)，D (2,0)，由|AP →|＝1,设P 点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)，而PM →＝MC →，即M 是PC 的中点，可以写出M 的坐标为M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋cos θ2，3＋sin θ2则|BM →|2＝⎝⎛⎭⎫cos θ－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋sin θ22＝37＋12sin ⎝⎛⎭⎫θ－π64≤37＋124＝494， 当θ＝23π时，||2取得最大值494.故选B.6.(2016·山东，8)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A.4B.－4C.94D.－946.B [∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.]7.(2016·全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°7.A [|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.]8.(2016·全国Ⅱ，3)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8 B.－6 C.6 D.88.D[由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.]9.(2015·山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 29.D [如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°. BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →|·|CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]10.(2015·安徽，8)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A.|b |＝1B.a ⊥bC.a ·b ＝1D.(4a ＋b )⊥BC →10.D [由于△ABC 是边长为2的等边三角形；∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即(AB →＋AC →)·CB →＝0，∴(4a ＋b )⊥CB →，即(4a ＋b )⊥BC →，故选D.]11.(2015·四川，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A.20 B. 15 C.9 D.611.C[AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]12.(2015·福建，9)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A.13B.15C.19D.2112.A [建立如图所示坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC→＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13，故选A.]13.(2015·重庆，6)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D.π 13.A [由题意(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－a·b －2b 2＝0，即3|a |2－|a |·|b |cos θ－2|b |2＝0，所以3×⎝⎛⎭⎫2232－223cos θ－2＝0，cos θ＝22，θ＝π4，选A.]14.(2015·陕西，7)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a ·b |≤|a ||b | B.|a －b |≤||a |－|b || C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D.(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 214.B [对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cos<a ,b >|≤|a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立.故选B.]15.(2014·新课标全国Ⅱ，3)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.515.A [由向量的数量积运算可知,∵|a ＋b |＝10,∴(a ＋b )2＝10,∴a 2+b 2+2a ·b ＝10,① 同理a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ① －②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.]16.(2014·大纲全国，4)若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A.2 B. 2 C.1 D.2216.B [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝a 2＋a ·b ＝0，（2a ＋b ）·b ＝2a ·b ＋b 2＝0⇒-2a 2+b 2＝0,即－2|a |2＋|b |2＝0,又|a |＝1， ∴|b |＝ 2.故选B.]17.(2014·天津，8)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.71217.C [如图所示,以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy ,不妨设A (0，－1),B (－3，0),C (0，1),D (3，0),由题意得CE →＝(1－λ)·CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF →＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1).因为CE →·CF →＝-23，所以3(λ-1)·(1-μ)＋(λ-1)(μ-1)＝－23，即(λ-1)(μ-1)＝13.因为AE →＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1).AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）（μ－1）＝13.（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56.选C.] 18.（2017•新课标Ⅰ,13）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2|=________． 18. ∵向量 ， 的夹角为60°，且| |=2，| |=1，∴=+4 • +4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴| +2 |=2 ．故答案为：2 ．19.（2017•山东,12）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．19. ，是互相垂直的单位向量，∴| |=| |=1，且•=0；又﹣与+λ 的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ ）=| ﹣|×| +λ |×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ =× × ，化简得﹣λ= × × ，即﹣λ= ，解得λ= ．故答案为：．20.（2017·天津,13）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2 ，=λ ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为________．20.如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2 ，∴= += += + （﹣）= + ，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+ ）•（λ﹣）=（ λ﹣ ） • ﹣ +λ=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ= ．故答案为：．21.(2016·浙江，15)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.21.12 [由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e | 由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.]22.(2015·天津，14)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则|AE →|·|AF →|的最小值为________.22.2918 [在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.]23.(2015·浙江，15)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.23.1 2 22 [∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，e 2＝(1，0，0)，b ＝(m ，n ，t ).由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝⎛⎭⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝⎛⎭⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝⎛⎭⎫52－x 2－y 2＋⎝⎛⎭⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝⎛⎭⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值.此时t 2＝1， 故|b |＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322＋t 2＝2 2.] 24.（2017•江苏,16）已知向量 =（cosx ，sinx ）， =（3，﹣ ），x ∈[0，π]．（Ⅰ）若∥，求x 的值；（Ⅱ）记f （x ）= ，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值．24.（Ⅰ）∵ =（cosx ，sinx ）， =（3，﹣ ）， ∥ ，∴﹣ cosx+3sinx=0， ∴tanx=，∵x ∈[0，π]， ∴x=，（Ⅱ）f （x ）= =3cosx ﹣ sinx=2 （ cosx ﹣ sinx ）=2 cos （x+ ），∵x ∈[0，π]，∴x+ ∈[ ， ]，∴﹣1≤cos （x+ ）≤ ，当x=0时，f （x ）有最大值，最大值3，当x= 时，f （x ）有最小值，最大值﹣225.(2015·广东，16)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22,n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值. (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.25.解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1,所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.26.(2014·北京，10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________. 26.5 [∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)，∵λa ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎨⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ，由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5.]27.(2014·江西，14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.27.223 [因为a 2＝(3e 1-2e 2)2＝9-2×3×2×cos α＋4＝9,所以|a |＝3,b 2＝(3e 1-e 2)2＝9-2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.]28.(2014·湖北，11)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. 28.±3 [(a ＋λb )⊥(a －λb )⇒(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.]29.(2014·江苏，12)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.29.22 [因为AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝|AD →|2－316|AB →|2－12AD →·AB →＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB →·AD →＝22.]P。
2014-2017高考真题-选修4-5不等式选讲
选修4-5 不等式选讲考点不等式选讲1。
（2017•新课标Ⅰ,23）已知函数f（x)=﹣x2+ax+4，g(x）=｜x+1｜+|x﹣1|．（10分）（1)当a=1时,求不等式f（x)≥g（x）的解集;（2)若不等式f（x）≥g（x）的解集包含［﹣1，1］，求a的取值范围．1。
（1）解：当a=1时,f（x)=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数，g（x)=｜x+1|+|x﹣1｜= ，当x∈(1，+∞)时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ,g（x)在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1,+∞）上单调递减，∴此时f（x)≥g（x)的解集为（1，]；当x∈[﹣1,1］时,g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．当x∈（﹣∞，﹣1)时，g(x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1)=f（﹣1）=2．综上所述,f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在［﹣1，1］恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立,则只需,解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1］．2.（2017•新课标Ⅱ,23)已知a＞0,b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5)≥4；(Ⅱ）a+b≤2．2。
证明:（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+ ）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当= ，即a=b=1时取等号，（Ⅱ）∵a3+b3=2，∴（a+b）(a2﹣ab+b2）=2，∴(a+b)[（a+b)2﹣3ab］=2,∴（a+b）3﹣3ab(a+b)=2,∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2,∴（a+b）3﹣2≤ ,∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．3.（2017•新课标Ⅲ,23）已知函数f（x）=|x+1|﹣｜x﹣2｜．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集;(Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围．3.（Ⅰ）∵f（x)=｜x+1|﹣｜x﹣2|= ,f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2;当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为｛x|x≥1}．（Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤［f（x)﹣x2+x]max，设g（x）=f（x)﹣x2+x．由（1）知，g（x）= ，当x≤﹣1时，g(x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，∴g（x)≤g(﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（)=﹣+ ﹣1= ；当x≥2时,g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，∴g（x)≤g（2）=﹣4+2=3=1;综上，g(x）max= ，∴m的取值范围为（﹣∞, ］．4.（2017•江苏，21D）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．4。
高三物理一轮复习 专题11 交变电流(含2014年高考真题)(2021年整理)
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专题11 交变电流1． [2014·新课标Ⅱ卷］如图所示，一理想变压器原、副线圈的匝数分别为n1、n2.原线圈通过一理想电流表A接正弦交流电源,一个二极管和阻值为R的负载电阻串联后接到副线圈的两端．假设该二极管的正向电阻为零，反向电阻为无穷大．用交流电压表测得a、b端和c、d端的电压分别为U ab和U cd，则（)A．U ab∶U cd＝n1∶n2B．增大负载电阻的阻值R，电流表的读数变小C．负载电阻的阻值越小，c、d间的电压U cd越大D．将二极管短路，电流表的读数加倍答案：BD解析：经交流电压表、交流电流表测得的值分别为交变电压和交变电流的有效值，根据变压器公式错误!＝错误!得到输出电压，而输出电压U2不等于c、d端电压,因二极管具有单向导电性,输入电压通过变压器变压后经二极管整流后有效值发生变化，U cd＝2U22＝错误!，则U ab∶U cd＝错误!n1∶n2，故A错误．增大负载电阻的阻值R， U ab不变，U cd也不变，根据P出＝错误!可知输出功率减小，根据理想变压器的输入功率等于输出功率可知,输入功率必减小，故电流表读数变小，B正确，C错误．二极管短路时，U′cd＝U2，输出功率P′出＝错误!＝错误!＝2P出，故输入功率P1也加倍，而输入电压U1不变，根据P1＝U1I1得电流表读数加倍，D正确．2．［2014·四川卷］如图所示，甲是远距离输电线路的示意图,乙是发电机输出电压随时间变化的图像，则（）甲乙A．用户用电器上交流电的频率是100 HzB．发电机输出交流电的电压有效值是500 VC．输出线的电流只由降压变压器原副线圈的匝数比决定D．当用户用电器的总电阻增大时，输电线上损失的功率减小答案：D解析：从图乙得到交流电的频率是50 Hz，变压器在输电过程中不改变交流电的频率， A错误；从图乙得到发电机输出电压的最大值是500 V，所以有效值为250 2 V，B错误；输电线的电流是由降压变压器的负载电阻和输出电压决定的，C错误；由于变压器的输出电压不变，当用户用电器的总电阻增大时，输出电流减小，根据电流与匝数成反比的关系可知，输电线上的电流减小，由P线＝I线R线可知，输电线上损失的功率减小,D正确．3．[2014·山东卷］如图所示，将额定电压为60 V的用电器通过一理想变压器接在正弦交变电源上．闭合开关S后，用电器正常工作，交流电压表和交流电流表(均为理想电表)的示数分别为220 V和2。
(2017-2019)高考物理真题分类汇编专题13交流电(学生版)
专题13 交流电1．（2019·江苏卷）某理想变压器原、副线圈的匝数之比为1：10，当输入电压增加20 V时，输出电压A．降低2 VB．增加2 VC．降低200 VD．增加200 V2．（2018·江苏卷）采用220 V高压向远方的城市输电．当输送功率一定时，为使输电线上损耗的功率减小为原的14，输电电压应变为A．55 V B．110 V C．440 V D．880 V3．（2018·天津卷）教学用发电机能够产生正弦式交变电流。
利用该发电机（内阻可忽略）通过理想变压器向定值电阻R供电，电路如图所示，理想交流电流表A、理想交流电压表V的读数分别为I、U，R消耗的功率为P。
若发电机线圈的转速变为原的12，则A．R消耗的功率变为1 2 PB．电压表V的读数为1 2 UC．电流表A的读数变为2ID．通过R的交变电流频率不变4．（2018·全国III卷）一电阻接到方波交流电上，在一个周期内产生的热量为Q方；若该电阻接到正弦交变电上，在一个周期内产生的热量为Q正。
该电阻上电压的峰值为u0，周期为T，如图所示。
则Q方Q正等于A ．1:2B ．2:1C ．12D ．215．（2018·全国III 卷）如图（a ），在同一平面内固定有一长直导线PQ 和一导线框R ，R 在PQ 的右侧。
导线PQ 中通有正弦交流电流i ，i 的变化如图（b ）所示，规定从Q 到P 为电流的正方向。
导线框R 中的感应电动势A ．在4T t =时为零 B ．在2T t =时改变方向 C ．在2T t =时最大，且沿顺时针方向 D ．在t T =时最大，且沿顺时针方向6．（2017·天津卷）在匀强磁场中，一个100匝的闭合矩形金属线圈，绕与磁感线垂直的固定轴匀速转动，穿过该线圈的磁通量随时间按图示正弦规律变化。
设线圈总电阻为2 Ω，则A ．t =0时，线圈平面平行于磁感线B ．t =1 s 时，线圈中的电流改变方向C ．t =1.5 s 时，线圈中的感应电动势最大D ．一个周期内，线圈产生的热量为28πJ7．（2017·北京卷）如图所示，理想变压器的原线圈接在2202π(V)u t =的交流电上，副线圈接有R =55 Ω的负载电阻，原、副线圈匝数之比为21，电流表、电压表均为理想电表。
三年(2017-2019)高考真题物理分项汇编：专题13 交流电(含解析)
专题13 交流电1．（2019·江苏卷）某理想变压器原、副线圈的匝数之比为1：10，当输入电压增加20 V 时，输出电压 A ．降低2 V B ．增加2 V C ．降低200 V D ．增加200 V 【答案】D【解析】由理想变压器原、副线圈的电压比等于匝数比即1122U n U n =，得：2211n U U n =，即副线圈两端电压与原线圈两端电压成正比，所以有：，当输入电压增加20V 时，输出电压增大200V ，故D 正确。
2．（2018·江苏卷）采用220 kV 高压向远方的城市输电．当输送功率一定时，为使输电线上损耗的功率减小为原来的14，输电电压应变为 A ．55 kV B ．110 kVC ．440 kVD ．880 kV【答案】C【解析】本意考查输电线路的电能损失，意在考查考生的分析能力。
当输电功率P =UI ，U 为输电电压，I 为输电线路中的电流，输电线路损失的功率为P 损=I 2R ，R 为输电线路的电阻，即P 损=2P R U ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
当输电功率一定时，输电线路损失的功率为原来的14，则输电电压为原来的2倍，即440 V ，故选项C 正确。
3．（2018·天津卷）教学用发电机能够产生正弦式交变电流。
利用该发电机（内阻可忽略）通过理想变压器向定值电阻R 供电，电路如图所示，理想交流电流表A 、理想交流电压表V 的读数分别为I 、U ，R 消耗的功率为P 。
若发电机线圈的转速变为原来的12，则A ．R 消耗的功率变为12PB ．电压表V 的读数为12U C ．电流表A 的读数变为2I D ．通过R 的交变电流频率不变 【答案】B【解析】根据公式m E nBS ω=分析电动机产生的交流电的最大值以及有效值、频率的变化情况；根据判断原副线圈中电流电压的变化情况，根据副线圈中功率的变化判断原线圈中功率的变化；根据2πn ω=可知转速变为原来的12，则角速度变为原来的12，根据m E nBS ω=可知电动机产生的最大电动势为原来的12，根据U =可知发电机的输出电压有效值变为原来的12，即原线圈的输出电压变为原来的12，根据1122n U n U =可知副线圈的输入电压变为原来的12，即电压表示数变为原来的12，根据2U P R=可知R 消耗的电功率变为14P ，A 错误B 正确；副线圈中的电流为212U I R=，即变为原来的12，根据1221n I n I =可知原线圈中的电流也变为原来的12，C 错误；转速减小为原来的12，则频率变为原来的12，D 错误。
专题12 交流电-五年高考(2014-2018)三年模拟(2016-2018)物理试题精选精编分项解析汇编
1. 【2014·上海卷】将阻值随温度升高而减小的热敏电阻Ⅰ和Ⅱ串联，接在不计内阻的稳压电源两端。
开始时Ⅰ和Ⅱ阻值相等，保持Ⅰ温度不变，冷却或加热Ⅱ，则Ⅱ的电功率在（A）加热时变大，冷却时变小（B）加热时变小，冷却时变大（C）加热或冷却时都变小（D）加热或冷却时都变大【答案】C考点：串并联电路电功率2．【2014·天津卷】如图1所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图象如图2中曲线a、b所示，则A ．两次t =0是时刻线圈平面均与中性面重合B ．曲线a 、b 对应的线圈转速之比为2：3C ．曲线a 表示的交变电动势频率为25HzD ．曲线b 表示的交变电动势有效值为10V 【答案】AC【考点定位】交流电的产生、交流电的有效值3．【2014·海南卷】理想变压器上接有三个完全相同的灯泡，其中一个与该变压器的原线圈串联后接入交流电源，另外两个并联后接在副线圈两端，已知三个灯泡均正常发光。
该变压器原、副线圈的匝数之比为 A ．1∶2 B.2∶1 C.2∶3 D.3∶2 【答案】B 【解析】试题分析：三个灯泡都相同，并且都正常发光，可知三个灯泡此时的电流都相同，即原线圈中的电流是副线圈中电流的一半，由1221n n I I =和2121I I =可知，该变压器原、副线圈的匝数之比为2∶1，B 正确。
考点：理想变压器的电流与匝数的关系4.【2014·新课标全国卷Ⅱ】如图所示，一理想变压器原、副线圈的匝数分别为n 1、n 2。
原线圈通过一理想电流表接正弦交流电源，一个二极管和阻值为R 的负载电阻串联后接到副线圈的两端；假设该二极管的正向电阻为零，反向电阻为无穷大；用交流电压表测得a 、b 端和c 、d 端的电压分别为U ab 和U cd ，则A.U ab∶U cd=n1∶n2B.增大负载电阻的阻值R，电流表的读数变小C.负载电阻的阻值越小，cd间的电压U cd越大D.将二极管短路，电流表的读数加倍【答案】BD【考点定位】变压器中原副线圈的电压及电流关系；二极管的特性；交流电的有效值。
2014-2017高考真题 选修4-5不等式选讲
选修4-5 不等式选讲考点不等式选讲1.（2017•新课标Ⅰ,23）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分）(1)当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；(2)若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．1.（1）解：当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数，g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．2.（2017•新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．2.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+ ）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当= ，即a=b=1时取等号，（Ⅱ）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤ ，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．3.（2017•新课标Ⅲ,23）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．3.（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）= ，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+ ﹣1= ；当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；综上，g（x）max= ，∴m的取值范围为（﹣∞，]．4.（2017•江苏,21D）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．4. 证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．5.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.5.解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示.(2)当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或1<x <3或x >5.6.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围. 6.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}.(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解.当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).7.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.7.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时,由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1,所以,-1<x ≤-12；当-12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以，-12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a ＋b )2-(1＋ab )2＝a 2＋b 2-a 2b 2-1＝(a 2-1)(1-b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.8.(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 8.4或－6 [由绝对值的性质知f (x )的最小值在x ＝-1或x ＝a 时取得,若f (-1)＝2|－1-a |＝5,a ＝32或a ＝－72，经检验均不合适；若f (a )＝5，则|x ＋1|＝5，a ＝4或a ＝－6，经检验合题意，因此a ＝4或a ＝－6.]9.(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.9.解(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.10.(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 10.解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0,B (2a ＋1,0),C (a ,a +1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).11.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.11.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2.因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.12.(2014·广东，9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________.12.{x |x ≤－3或x ≥2} [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.]13.(2014·湖南，13)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.13.－3 [依题意，知a ≠0.|ax －2|<3⇔－3<ax －2<3⇔－1<ax <5，当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1a ，5a ，从而有⎩⎨⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解. 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫5a ，－1a ，从而有⎩⎨⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.]14.(2014·重庆，16)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.⎣⎡⎦⎤－1，12 [令f (x )＝|2x -1|＋|x +2|,易求得f (x )min ＝52,依题意得a 2+12a +2≤52⇔-1≤a ≤12.]15.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |(a >0).(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.15.(1)证明 由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋21216.(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1,2，…，n }. (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1,2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.16.(1)解当q＝2,n＝3时,M＝{0,1},A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22,x i∈M,i＝1,2,3}.可得,A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明由s,t∈A,s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i＝1，2，…，n及a n<b n,可得s-t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q-1)＋(q-1)q+…+(q-1)·q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝-1<0.所以，s<t.。