2020学年高二学业水平测试数学
新疆维吾尔自治区普通高中2022-2023学年高二7月学业水平考试数学试题(3)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 下列命题中，的是A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.B ．平行于同一平面的两条直线一定平行.C ．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.D ．若直线不平行于平面，且不在平面内，则在平面内不存在与平行的直线.假命题2. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 （ ）A．B．C．D．3. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．4. 定义在R 上的奇函数和偶函数满足∶，下列结论不正确的是（ ）A ．，且B ．，总有C ．，总有D ．，使得5. 已知，，三点，动点不在轴上，且满足，则直线的斜率取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 已知，且，则（ ）A．B．C．D．7. 定义在上的函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A ．函数在上单调递减B．C ．函数在x ＝5处取得极小值D．函数存在最小值8. 设函数（）（ ）A ．在上单调递减B ．当为偶数时，为偶函数C．有两个零点D ．当为奇数时，在上单调递增9. 对于函数，，设，，若存在m ，n 使得，则称与互为“近邻函数”.已知函数与互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数）10. 椭圆C ：的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上，，直线交椭圆于点B，，新疆维吾尔自治区普通高中2022-2023学年高二7月学业水平考试数学试题(3)新疆维吾尔自治区普通高中2022-2023学年高二7月学业水平考试数学试题(3)四、解答题则椭圆的离心率为______．11. 为了参加校教职工运动会，某校高三年级组准备为本年级教师订制若干件文化衫，经与厂家协商，可按出厂价结算，同时厂家也承诺超过50件就可以每件比出厂价低22元给予优惠.如果按出厂价购买年级组总共应付元，但若再多买15件就可以达到优惠条件并恰好也是共付元（为整数），则的值为___________.12.已知集合，若，则__________.13.在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦：.（是自然对数的底数，）(1)解方程：；(2)求不等式的解集；(3)若对任意的，关于的方程有解，求实数取值范围.14. 已知定义在上的函数（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）当时，判断的单调性，并求在上有解时，的取值范围.15.在梯形中，为钝角，，．(1)求；(2)设点为的中点，求的长．16.在数列中，a 1＝1，a n ＝2a n ﹣1+n ﹣2（n ≥2）．(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ．。
2023-2024学年北京市高二下学期第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市高二下学期第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题：本题共20小题，每小题5分，共100分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.函数的定义域为()A. B. C. D.3.在复平面内，复数对应的点的坐标为()A. B. C. D.4.如图，在三棱柱中，底面是BC的中点，则直线()A.与直线AC相交B.与直线AC平行C.与直线垂直D.与直线是异面直线5.如图，四边形ABCD是正方形，则()A. B. C. D.6.已知是定义在R上的奇函数，则()A. B.0 C.1 D.27.在下列各数中，满足不等式的是()A. B. C.1 D.28.命题“”的否定是()A. B.C. D.9.()A. B. C. D.10.在下列各数中，与相等的是()A. B. C. D.11.在下列函数中，在区间上单调递减的是()A. B. C. D.12.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，Ox为始边，终边在y轴上的角的集合为()A. B.C. D.14.在中，，则()A. B. C. D.315.下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为根据上述信息，下列结论中正确的是()A. B. C. D.16.函数的一个单调递增区间是()A. B. C. D.17.已知，则下面不等式一定成立的是()A. B. C. D.18.2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为()A. B. C. D.19.在区间上，的最大值是其最小值的4倍，则实数()A.1B.2C.3D.420.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为()A.108B.162C.180D.189二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省普通高中2022-2023学年高二下学期学业水平合格性考试数学试题(解析版)
A. B. C. D.
〖答案〗D
〖解析〗由正弦函数与余弦函数的性质可知 ， 为奇函数，
， 为偶函数，故A，B错误，
的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ，故C错误，D正确，
故选：D.
11.设p：四棱柱是正方体，q：四棱柱是长方体，则p是q的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
13.在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 ， ， ，则 （）
A. B. C. D.
〖答案〗C
〖解析〗由余弦定理可得： .
故选：C.
14.在 中，D为BC的中点，设 ， ，则 （）
A. B. C. D.
〖答案〗B
〖解析〗由题意得 ，
故 ，
故选：B.
15.函数 在一个周期内的大致图象是（）
故选：D.
4.函数 的定义域是（）
A. B. C. D.
〖答案〗B
〖解析〗由题意得 ，即 定义域是 .
故选：B.
5.已知i为虚数单位，则 （）
A. B. C. D.
〖答案〗B
〖解析〗由题意得 ，
故选：B.
6.垂直于同一平面的两条直线（）
A.平行B.垂直C.相交D.异面
〖答案〗A
〖解析〗若两直线垂直于同一个平面，则两直线平行.
C.充要条件D.既长方体不一定是正方体，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
12.已知 ，则 的最大值为（）
A. B. 1C. D. 2
〖答案〗D
〖解析〗因为 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，
所以 的最大值为2.
故选：D.
2020-2021学年江苏省扬州市仪征二中高二(下)学情检测数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省扬州市仪征二中高二（下）学情检测数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使得e≤0B．∀x＞0，且x≠1，则C．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件D．“”的必要不充分条件是“”2．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（x，y）到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和是10，则点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．3．下列说法中正确的个数是（）①f'（x0）与[f（x0）]'表示的意义相同；②求f'（x0）时，可先求f（x0）再求f'（x0）；③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点；④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线；⑤函数的导数是f′（x）＝﹣+1．A．1B．2C．3D．44．在等比数列{a n}中，a1+a2＝10，a3+a4＝60，则a7+a8＝（）A．110B．160C．360D．21605．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln26．已知点F是抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，O为坐标原点，若以F为圆心，|FO|为半径的圆与直线x﹣y+3＝0相切，则抛物线的准线方程为（）A．y＝﹣1B．y＝C．y＝2D．y＝7．过曲线y＝e x上一点P（x0，y0）作曲线的切线，若该切线在y轴上的截距小于0，则x0的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）8．已知正数a，b满足+＝1，若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）二、不定项选择题（共4小题）.9．设a，b，c∈R，则下列结论正确的有（）A．若a＜b，c＜0，则ac＞bc B．a+≥2C．若a＜b＜0，则D．（）2≤10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C上一点，且|PF1|＝5，则（）A．C的虚轴长为6B．|PF2|的值可能为3C．C的离心率为2D．|PF2|的值可能为711．已知平面α的法向量为，点A（x2，2x+1，2）为α内一点，若点P （0，1，2）到平面α的距离为4，则x的值为（）A．2B．1C．﹣3D．﹣612．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，则下列说法中正确的（）A．xy的最大值为B．4x2+y2的最大值为2C．4x+2y的最小值为4D．的最小值为4三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若f（x）＝x2+2xf'（1），则f'（0）等于．14．过抛物线方程为y2＝4x的焦点作直线l交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则|PQ|＝．15．已知曲线y1＝2﹣与y2＝x3﹣x2+2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝．16．已知双曲线，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆．则M的横坐标为，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为．二、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知命题p：|x﹣1|＜c（c＞0）；命题q：|x﹣5|＞2，且p是q的充分条件，求c的取值范围．18．已知函数f（x）＝x+alnx（a∈R）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程为y＝2x+b，求a，b的值．19．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，条件①：a n+1＝a n+2n﹣1；条件②：S n+1＝a n+1．请在上面的两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，完成下列两问的解答：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a2n+1，记数列{a n•b n}的前n项和为T n，求T n．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点G，PB＝PD．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若∠ABC＝60°，PA＝PC＝AB＝2，E为PD的中点，求二面角E﹣AC﹣D的大小．22．已知椭圆的离心率为，右准线方程为x＝2．（1）求椭圆方程；（2）P（0，1），A、B为椭圆的左、右顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于E，连接EP并延长交椭圆于F，记直线BF的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF的方程．参考答案一、选择题（共8小题）.1．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使得e≤0B．∀x＞0，且x≠1，则C．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件D．“”的必要不充分条件是“”解：对于A：∀x0∈R，使得e＞0，故A错误；对于B：对∀x＞1时，，故B错误；对于C：当a＞1，b＞1时，ab＞1，但是当ab＞1时，得到a＞1，b＞1不一定成立，故a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，故C正确；对于D：当“”时，“”，当“”时，“x＝或（k∈Z）”，故“”充分不必要条件是“”，故D错误．故选：C．2．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（x，y）到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和是10，则点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．解：由已知可得动点P的轨迹E为椭圆，焦点在x轴上，c＝4，2a＝10，所以a＝5故b2＝a2﹣c2＝9，故E的方程为：．故选：A．3．下列说法中正确的个数是（）①f'（x0）与[f（x0）]'表示的意义相同；②求f'（x0）时，可先求f（x0）再求f'（x0）；③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点；④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线；⑤函数的导数是f′（x）＝﹣+1．A．1B．2C．3D．4解：对于①，f'（x0）与[f（x0）]'表示的意义不相同，f'（x0）表示x在x0处的切线的斜率，而[f（x0）]'表示的是函数f（x0）的导数，故①错误；②求f'（x0）时，可先求f′（x）再求f'（x0），故②错误；③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点，可能有两个交点，故③正确；④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线，不一定正确，例如过抛物线上的点且平行于对称轴的直线，不叫切线，故③错误；⑤函数＝的导数是，故④正确．故选：B．4．在等比数列{a n}中，a1+a2＝10，a3+a4＝60，则a7+a8＝（）A．110B．160C．360D．2160解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2＝10，a3+a4＝60，∴q2（a1+a2）＝10q2＝60，解得：q2＝6．则a7+a8＝q6（a1+a2）＝10×63＝2160．故选：D．5．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln2解：∵f（x）＝xlnx，∴f′（x）＝lnx+1，由f′（x0）＝2，得lnx0+1＝2，即lnx0＝1，则x0＝e，故选：B．6．已知点F是抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，O为坐标原点，若以F为圆心，|FO|为半径的圆与直线x﹣y+3＝0相切，则抛物线的准线方程为（）A．y＝﹣1B．y＝C．y＝2D．y＝解：由抛物线的方程可得焦点F（0，），半径r＝，由题意＝，解得：p＝2，所以抛物线的方程为：x2＝4y，所以准线的方程为：y＝﹣1，故选：A．7．过曲线y＝e x上一点P（x0，y0）作曲线的切线，若该切线在y轴上的截距小于0，则x0的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）解：根据题意，曲线y＝e x，则y′＝e x，在点P（x0，y0）处切线的斜率k＝，则切线的方程为y﹣y0＝（x﹣x0），即y﹣＝（x﹣x0），变形可得：y＝x+（1﹣x0），其在y轴上的截距为（1﹣x0），若该切线在y轴上的截距小于0，则有（1﹣x0）＜0，解可得：x0＞1，则x0的取值范围是（1，+∞）；故选：C．8．已知正数a，b满足+＝1，若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）解：∵a＞0，b＞0，且+＝1，∴a+b＝（a+b）（）＝10+．当且仅当3a＝b，即a＝4，b＝12时，（a+b）min＝16．若不等式a+b≥﹣x2+4x+18﹣m对任意实数x恒成立，则﹣x2+4x+18﹣m≤16，即m≥﹣x2+4x+2对任意实数x恒成立，∵﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6≤6，∴m≥6．∴实数m的取值范围是[6，+∞）．故选：D．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9．设a，b，c∈R，则下列结论正确的有（）A．若a＜b，c＜0，则ac＞bc B．a+≥2C．若a＜b＜0，则D．（）2≤解：对于A：若a＜b，c＜0，则ac＞bc，故A正确；对于B：当a为正数时，才成立，故B错误；对于C：由于a＜b＜0，所以，故，故C正确，对于D：根据平方平均值和算数平均值的关系，≥0，所以，故D正确；故选：ACD．10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C上一点，且|PF1|＝5，则（）A．C的虚轴长为6B．|PF2|的值可能为3C．C的离心率为2D．|PF2|的值可能为7解：双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，可知a＝1，b＝，c＝2，若P为C上一点，且|PF1|＝5，如果P在双曲线左支上，则|PF2|＝7，然后P在右支上，则|PF2|＝3，双曲线的离心率为：e＝2，虚轴长为2，故选：BCD．11．已知平面α的法向量为，点A（x2，2x+1，2）为α内一点，若点P （0，1，2）到平面α的距离为4，则x的值为（）A．2B．1C．﹣3D．﹣6解：点P（0，1，2）到平面α的距离，即在平面α的法向量上的投影的绝对值，，平面α的法向量为，则，即，解得x＝2或x＝﹣6．故选：AD．12．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，则下列说法中正确的（）A．xy的最大值为B．4x2+y2的最大值为2C．4x+2y的最小值为4D．的最小值为4解：x＞0，y＞0，且2x+y＝2，由基本不等式得，2＝2x+y，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，解得，xy，此时xy取得最大值，A正确；4x2+y2＝（2x+y）2﹣4xy＝4﹣4xy≥4﹣2＝2，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，此时4x2+y2的最小值2，B错误；4x+2y＝＝4，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，此时4x+2y的最小值4，C正确；＝＝2＝4，当且仅当且2x+y＝2即x＝y＝时取等号，此时取得最小值4，D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若f（x）＝x2+2xf'（1），则f'（0）等于﹣4．解：根据题意，f（x）＝x2+2xf'（1），则f′（x）＝2x+2f'（1），令x＝1可得：f′（1）＝2+2f'（1），解可得f′（1）＝﹣2，则f′（x）＝2x﹣4，则f′（0）＝﹣4；故答案为：﹣4．14．过抛物线方程为y2＝4x的焦点作直线l交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则|PQ|＝8．解：抛物线y2＝4x（p＞0）中p＝2，∵x1+x2＝6，∴由抛物线的定义可知，|PQ|＝|PF|+|QF|＝x1++x2 +＝（x1+x2）+p＝6+2＝8，故答案为：8．15．已知曲线y1＝2﹣与y2＝x3﹣x2+2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝1．解：由题意可得，y1′＝，y2′＝3x2﹣2x+2设曲线y1＝2﹣与y2＝x3﹣x2+2x在x＝x0处切线的斜率分别为k1，k2由导数的几何意义可知，k1k2＝＝3，解得x0＝1故答案为：116．已知双曲线，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆．则M的横坐标为1，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为24．解：记△PF1F2的边PF1、PF2、F1F2上的切点分别为K、N、D，易见M、D横坐标相等，|PK|＝|PN|，|F1K|＝|F1D|，|F2N|＝|F2D|，由|PF1|﹣|PF2|＝2a，即：|PK|+|KF1|﹣（|PN|+|NF2|）＝2a，得|KF1|﹣|NF2|＝2a即|F1D|﹣|F2D|＝2a，记M的横坐标为x0，则D（x0，0），于是：x0+c﹣（c﹣x0）＝2a，得x0＝a，双曲线的a＝1，b＝2，c＝3，所以M的横坐标为1；设M（1，r），而F1（﹣3，0），由题意可得|F1M|+r＝4，即有+r＝4，解得r＝，则tan∠MF1F2＝＝，可得∠MF1F2＝30°，即有∠PF1F2＝60°，cos∠PF1F2＝＝，解得|PK|＝12，所以△PF1F2的面积为S＝×6×16×＝24．故答案为：1，24．二、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知命题p：|x﹣1|＜c（c＞0）；命题q：|x﹣5|＞2，且p是q的充分条件，求c的取值范围．解：由p：|x﹣1|＜c（c＞0）得1﹣c＜x＜1+c；由q：|x﹣5|＞2得x＞7或x＜3，∵p是q的充分条件，则1+c≤3或1﹣c≥7，∴c≤2或c≤﹣6，又c＞0，∴0＜c≤2．∴c的取值范围是（0，2]．18．已知函数f（x）＝x+alnx（a∈R）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程为y＝2x+b，求a，b的值．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x+lnx，所以f′（x）＝1+，当x＝1时，f（1）＝1，f′（1）＝1＝1+1＝2，切点为（1，1），则切线方程y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1．（2）因为f′（x）＝1+（x＞0），所以f′（2）＝1+＝2，解得a＝2，则f（x）＝x+2lnx，所以f（2）＝2+2ln2．则2+2ln2＝4+b，解得b＝2ln2﹣2．19．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：（1）行车所用时间为，根据汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（2+）升，司机的工资是每小时14元，可得行车总费用：y＝＝（50≤x≤100）（2）y＝≥26，当且仅当，即时，等号成立∴当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，条件①：a n+1＝a n+2n﹣1；条件②：S n+1＝a n+1．请在上面的两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，完成下列两问的解答：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a2n+1，记数列{a n•b n}的前n项和为T n，求T n．解：a1＝1，（1）选择条件①：a n+1＝a n+2n﹣1；则a n+1﹣a n＝2n﹣1，n≥2时，a n﹣a n﹣1＝2n﹣2．∴a n＝a1+（a2﹣a1）+……+a n﹣a n﹣1＝1+1+2+……+2n﹣2＝1+＝2n﹣1．n＝1时也成立，∴a n＝2n﹣1．选择条件②：S n+1＝a n+1．n≥2时，S n﹣1+1＝a n，相减可得：a n＝a n+1﹣a n，即a n+1＝2a n，n＝1时，a1+1＝a2＝2，∴a2＝2a1．∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为2，∴a n＝2n﹣1．（2）b n＝log2a2n+1＝+1＝2n，∴a n•b n＝2n•2n﹣1＝n•2n．∴数列{a n•b n}的前n项和T n＝2+2×22+3×23+……+n•2n，∴2T n＝2×2+2×23+……+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴﹣T n＝2+22+23+……+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点G，PB＝PD．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若∠ABC＝60°，PA＝PC＝AB＝2，E为PD的中点，求二面角E﹣AC﹣D的大小．解：（1）证明：连结PG，∵底面ABCD为菱形，∴G为BD的中点，又PB＝PD，∴BD⊥PG，又BD⊥AC，AC，PG⊂平面PAC，AC∩PG＝G，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：连结EG，∵PA＝PC，且G为AC的中点，∴PG⊥AC，又BD⊥AC，BD，PG⊂平面PBD，BD∩PG＝G，∴AC⊥平面PBD，∵EG⊂平面PBD，∴AC⊥EG，∴∠EGD是二面角E﹣AC﹣D的平面角，由题意PG＝DG＝，在Rt△PGD中，GE＝DE＝，∴tan∠EGD＝＝1，∵∠EGD∈（0，），∠EGD＝，∴二面角E﹣AC﹣D的大小为．22．已知椭圆的离心率为，右准线方程为x＝2．（1）求椭圆方程；（2）P（0，1），A、B为椭圆的左、右顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于E，连接EP并延长交椭圆于F，记直线BF的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF的方程．解：（1）根据题意可得＝，＝2，解得a2＝4，c2＝2，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣2＝2，所以椭圆的方程为+＝1．（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），所以过点A的直线方程为y＝k1（x+2），联立，得（1+2k12）x2+8k12x+8k12﹣4＝0，所以（﹣2）•x E＝，解得x E＝，所以y E＝k1（+2）＝，所以E（，），同理可得F（，），又因为k1＝3k2，所以F（，），由点E，F，P三点共线可得＝，即4k14+8k13+12k1﹣9＝0，所以（2k12+3）（2k12+4k1﹣3）＝0，所以2k12+4k1﹣3＝0，所以直线EF的斜率为＝＝＝1，所以直线EF的方程为y＝x+1．。
安徽省2023-2024学年高二下学期普通高中学业水平合格性考试仿真模拟数学试卷
安徽省2023-2024学年高二下学期普通高中学业水平合格性考试仿真模拟数学试卷一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,2,3,230M N x x x =-=--<，则M N =I （ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}0,1,2D ．{}1-2．下列图象中，表示定义域和值域均为[0,1]的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量()()1,3,3,a b m =-=r r ，若a b r r∥，则m =（ ） A ．9B ．9-C ．1D ．1-4．已知函数()()222,22,2x x x f x f x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．35．若函数()25742xy a a a a =-++-是指数函数，则有（ ）A ．2a =B ．3a =C ．2a =或3a =D ．2a >，且3a ≠6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．3-B ．3C ．13-D ．137．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，已知3,2A C B C ''''==，则ABC V 的面积是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．命题“21,10x x ∀≥-≤”的否定是（ ） A ．21,10x x ∃<-> B ．21,10x x ∃≥-> C ．21,10x x ∀<-≤D ．21,10x x ∀-<>9．函数π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是（ ）A ．π6x =- B ．π2x =C ．2π3x =D ．5π6x =10．已知复数z 满足()34i i z +=，则z =（ ）A ．34i 55-B ．34i 55+C ．43i 55+D ．43i 55-11．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长200丈（1丈＝10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（ ）A ．5310⨯立方尺B ．5610⨯立方尺C ．6610⨯立方尺D ．6310⨯立方尺12．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E =“点数为奇数”，F =“点数为偶数”，G =“点数大于2”，H =“点数小于2”，R =“点数为3”．则下列结论不正确的是（ ）A ．,E F 为对立事件B ．,G H 为互斥不对立事件C ．,E G 不是互斥事件D ．,G R 是互斥事件13．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC V 且π1,3b C ==，则边c =（ ）A ．7B ．3C D 14．已知,,αβγ是空间中三个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）A ．若,,m n αβα⊥⊥//β，则m //nB ．若,αββγ⊥⊥，则α//γC ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D ．若α//,ββ//γ，则α//γ15．若不等式2430ax x a -+-<对所有实数x 恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．()(),14,-∞-⋃+∞B ．(),1∞--C ．(][),14,-∞-⋃+∞D ．(],1-∞-16．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的小学生近视人数分别为（ ）A ．100，30B ．100，21C ．200，30D ．200，717．已知向量a r 与b r 的夹角为π,2,16a b ==rr ，则向量a r 与b r 上的投影向量为（ ）A ．b rBC ．a rD r18．若函数()22log 3y x ax a =-+在(2,)+∞上是单调增函数，则实数a 的取值范围为A ．(,4]-∞B ．(,4)-∞C ．(4,4]-D ．[4,4]-二、填空题19．已知5sin cos 4αα-=，则sin 2α=． 20．已知单位向量a r 与单位向量b r的夹角为120︒，则3a b +=r r ．21．某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参赛同学抽到的主题不相同的概率为．22．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买x 台设备的总成本为()21800200f x x x =++（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备台．三、解答题23．已知()f x a b =⋅r r，其中向量())()sin2,cos2,R a x x b x ==∈r r ，(1)求()f x 的最小正周期；(2)在ABC V 中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若224A f ⎫⎛== ⎪⎝⎭，求角B 的值．24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，点D 是AB 的中点.(1)证明：1AC BC ⊥； (2)证明：1//AC 平面1CDB . 25．已知函数()[]()211,1x b f x x x a+-=∈-+是奇函数，且()112f = (1)求,a b 的值；(2)判断函数()f x 在[]1,1-上的单调性，并加以证明；(3)若函数()f x 满足不等式()()12f t f t -<-，求实数t 的取值范围．。
福建省普通高中2022-2023学年高二学业水平合格性考试数学试题(含答案解析)
福建省普通高中2022-2023学年高二学业水平合格性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．c b c >”是“a b >”．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分又不必要条件．某学校新建的天文观测台可看作一个球体，其半径为3m ．现要在观测台的表面涂一层防水漆，若每平方米需用涂料，则共需要涂料（单位：．1.5πB ．6π二、多选题16．下列函数中，是偶函数的有（）A ．21y x =+B ．2log y x=C ．2xy =D ．cos y x=17．袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中随机摸取2A ．11AB CC ⊥B ．11//A B B CC ．平面1A BD ⊥平面D ．平面1//A BD 平面19．某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断正确的有（A ．该简谐运动的振幅是3cmB ．该简谐运动的初相是2π5C ．该简谐运动往复运动一次需要D ．该简谐运动100s 往复运动三、填空题20．已知i 为虚数单位，计算()i 1i -=________．四、解答题(1)求证：//EF 平面ABD (2)若AD BD ⊥，3AD =，的体积．26．某地有农村居民320息，采用分层抽样的方法抽取得样本民户样本的均值为8.3，方差为(1)根据以上信息，能否求出(2)如果A 中农村居民户、城镇居民户的样本量都是(3)能否用（2）的结论估计该地居民的户月均用水量的均值和方差？若能，若不能，请给出一个可以用来估计该地居民的户月均用水量的均值和方差的样本．参考答案：共需36π0.518π⨯=kg 涂料.故选：D 16．AD【分析】先求出函数的定义域，然后将x -代入，结合偶函数的性质，即可得出答案.【详解】对于A 项，设()21f x x =+，函数()f x 定义域为R ，且()()21f x x f x -=+=，所以函数21y x =+为偶函数，故A 正确；对于B 项，因为函数2log y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以函数2log y x =为非奇非偶函数，故B 错误；对于C 项，设()2xg x =，函数()g x 定义域为R ，但()22x x g x --=≠，所以函数2x y =不是偶函数，故C 错误；对于D 项，设()cos h x x =，函数()h x 定义域为R ，且()()()cos cos h x x x h x -=-==，所以函数cos y x =为偶函数，故D 正确.故选：AD.17．BC【分析】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为{}0,1,2Ω=.将事件用集合表示出来，即可得出答案.【详解】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为{}0,1,2Ω=.对于A 项，“恰有一个红球”可用{}1A =来表示，“都是红球”可用事件{}0B =来表示.所以，事件,A B 互斥，但,A B 不是对立事件，故A 项错误；对于B 项，“恰有一个黑球”可用{}1A =来表示，“都是黑球”可用事件{}2C =来表示.所以事件,A C 互斥，故B 项正确；对于C 项，“至少有一个黑球”可用事件{}1,2D =来表示，“都是红球”可用事件{}0B =来表示.所以，事件,B D 为互斥事件，也是对立事件，故C 项正确；对于D 项，“至少有一个红球”可用事件{}0,1E =来表示，“都是红球”可用事件{}0B =来表示.所以，事件{}0B E = ，即交事件为“都是红球”，故D 项错误.故选：BC.18．CD【分析】根据长方体的性质推得11//AA CC ，即可判断A 项；根据长方体的性质推得四边形11DCB A 是平行四边形，得出11//A D B C ，即可判断B 项；根据长方体的性质以及线面垂直的判定定理，可得出BD ⊥平面11AAC C ，即可得出C 项；根据长方体的性质以及线面平行的判定定理，可得出1//A D 平面11CB D ，//BD 平面11CB D ，然后即可判定面面平行，得出D 项.【详解】对于A 项，由长方体的性质可知11//AA CC .又11,AA A B 不垂直，所以11,A B CC 不垂直，故A 错误；对于B 项，由长方体的性质可知11//A B CD ，11A B CD =，所以，四边形11DCB A 是平行四边形，所以，11//A D B C .因为11,A B A D 不平行，所以11,AB BC 不平行，故B 错误；对于C 项，因为AB BC =，根据长方体的性质可知ABCD 是正方形，所以，BD AC ⊥.根据长方体的性质可知，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以，1CC BD ⊥.因为AC ⊂平面11AAC C ，1CC ⊂平面11AAC C ，1AC CC C = ，所以，BD ⊥平面11AAC C .因为BD ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面11AAC C ，故C 项正确；）,AD BD的中点为,G H，连结H分别为,,,AC BC AD BD的中点，CD，且12GE CD=，//HF，且GE HF=.GHFE为平行四边形，GH.平面ABD，EF⊄平面ABD，平面ABD.）由已知可得，在BCD△中，有BD 根据余弦定理可知，。
广东省佛山市普通高中2020-2021 学年度高二上学期教学质量检测数学试题(含答案)
D． m N ， m2 1 N
2．直线 x 3y 2 0 的倾斜角是（ ）
A． 30
B． 60
C． 120
D． 150
3．两平行直线 l1 : ax y 2 0 ， l2 : 2x y 3 0 之间的距离是（ ）
A． 5 5
B． 5
C．1
4．已知 l, m 为两条不同直线， , 为两个不同平面，则下列命题正确的是（
D．若圆 Ck 上总存在两点到原点的距离为1，则 k (
2,3 2) 22
12．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效．因地方习
俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图 1 的平行四边形 ABCD 由六
个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图 2 所示的六面体形状的香囊．那么在图 2 这个
积的最大值为（ ）
A． 2 5 5
B． 4 5 5
C． 5
D． 2 5
高二教学质量检测 数学试题 第 1 页 共 4 页
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
9．已知 M
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．若 A, B 是抛物线 C : y2 4x 上的两个动点，满足 | AB | 8 ，则线段 AB 的中点 M 到抛物线 C 的准线 l 的
距离的最小值为（ ）
A． 2
B． 4
C． 6
D． 8
8．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2 ，点 O 为底面 ABCD 的中心， 点 P 在侧面 BB1C1C 的边界及其内部运动，若 D1O OP ，则△ D1C1P 面
江苏省天一中学2020-2021学年高二下学期期末学情检测高二数学试题
天一中学2020~2021学年度第二学期期末学情检测高二年级数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合，，则A∩B=A. 0，1，B.C. 0，D.2.已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.3.若且，则与的夹角是A. B. C. D.4.已知函数，在上有且仅有2个实根，则下面4个结论：在区间上有最小值点；在区间上有最大值点；的取值范围是；在区间上单调递减所有正确结论的编号为A. B. C. D.5.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是A. a，b，c成公比为2的等比数列，且B. a，b，c成公比为2的等比数列，且C. a，b，c成公比为的等比数列，且D. a，b，c成公比为的等比数列，且6.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是A. 增加，增加B. 增加，减小C. 减小，增加D. 减小，减小7.若直线l是曲线的切线，且l又与曲线相切，则a的取值范围是A. B. C. D.8.已知正方体的棱长为2，M，N分别是棱BC，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面AMN，则线段的长度范围是A. B.C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线则下面说法正确的是A. 曲线与x轴围成的面积等于B. 与的公切线方程为：C. 所在圆与所在圆的交点弦方程为：D. 用直线截所在的圆，所得的弦长为10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，，则下列说法正确的是A. 双曲线C的渐近线方程为B. 双曲线C的方程为C. 为定值D. 存在点P，使得11.如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止则下列说法正确的是A. 甲从M到达N处的方法有120种B. 甲从M必须经过到达N处的方法有9种C. 甲、乙两人在处相遇的概率为D. 甲、乙两人相遇的概率为12.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复N次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是A. ，B. 数列是等比数列C. 的数学期望ND. 数列的通项公式为N三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设复数z满足条件，那么的最大值是▲ ．14.已知F为抛物线的焦点，过F作斜率为的直线和抛物线交于A，B两点，延长AM，BM交抛物线于C，D两点，直线CD的斜率为若，则▲ ．15.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有▲ 人．参考数据及公式如下：，．16.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体。
四川省成都市2019-2020学年普通高中学生学业水平测试数学试题-含答案
四川省成都市2019-2020学年普通高中学生学业水平测试数学试题-含答案2019年四川省成都市普通高中生学业水平考试数学试题注意事项：1.考生在答题前需使用0.5毫米黑色签字笔填写姓名、座号、考生号、县区和科类到答题卡和试卷规定的位置上。
2.选择题需使用2B铅笔将答案标号涂黑，如需改动，需使用橡皮擦干净后再涂其他答案标号。
在试卷上作答无效。
3.答案必须使用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，如需改动，需先划掉原来的答案，再写上新的答案。
不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按要求作答的答案无效。
一、选择题1.把复数z的共轭复数记为-z，i为虚数单位，若z=1+i，则(1+z)·-z=()A.3-i。
B.3+1.C.1+3i。
D.3- 解析：(1+z)·z=(2+i)(1-i)=3-i。
答案：A2.设U=R，M={x|x^2-2x>0}，则∁U M=()A.[0,2]。
B.(0,2)。
C.(-∞,0)∪(2,+∞)。
D.(-∞,0]∪[2,+∞)解析：因为M={x|x^2-2x>0}={x|x>2或x<0}，所以∁UM={x|0≤x≤2}．答案：A3.若函数f(x)=(2x+1)(x-a)/(x+1)(x+2)，为奇函数，则a=()A.1.B.2.C.-1.D.-2解析：因为f(x)为奇函数，所以f(-1)=-f(1)，即(-1-a)/(1-a)=-1，解得a=1.答案：A4.命题“∀x>0，x^2+x>0”的否定是()A.∃x>0，x^2+x≤0.B.∃x>0，x+x≤0C.∀x>0，x^2+x≤0.D.∀x≤0，x^2+x>0解析：根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x>0，x^2+x≤0.答案：B5.若等比数列{an}满足an·an+1=16n，则公比为()A.2.B.4.C.8.D.16解析：由an·an+1=an^2·q=16n，得q>0，又an+1/an=q，所以q^2=an+1/an=16，所以q=4.答案：B6.根据图中的三视图，可以确定多面体的形状。
2022-2023学年海南省高二下学期学业水平诊断(二)数学试题【含答案】
2022-2023学年海南省高二下学期学业水平诊断（二）数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}270A x x x =-<，则U A =ð（）A ．{}07x x <<B ．{}07x x ≤≤C ．{|0x x <或7}x >D ．{|0x x ≤或7}x ≥【答案】D【分析】解一元二次不等式求集合，应用补集运算求集合.【详解】由{|(7)0}{|07}A x x x x x =-<=<<，则{|0U x A x =≤ð或7}x ≥.故选：D2．已知复数z 在复平面内对应的点为()3,4-，则2iz=-（）A ．2i +B ．2i-C ．2i-+D ．2i--【答案】B【分析】根据复数的几何意义，结合复数的除法，可得答案.【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为()3,4-，则34i z =-，所以()()()()34i 2i 34i 105i 2i 2i 2i 2i 2i 5z -+--====----+，故选：B.3．已知向量()4,2a = ，()3,b x =- ，a b ⊥，则x 的值为（）A ．6B ．6-C ．32D ．32-【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式计算，即得答案.【详解】由题意向量()4,2a = ，()3,b x =- ，且a b ⊥，则()4320,6x x ⨯-+=∴=.故选：A4．已知函数()f x 及其导数()f x '满足()()322f x x xf '=+，则()f x 的图象在点()()22f ,处的切线斜率为（）A ．4B ．4-C ．12D ．12-【答案】D【分析】由导数的四则运算求()f x '，将2x =代入即可得对应点斜率.【详解】由题设2()32(2)f x x f ''=+，则(2)122(2)f f +'='，可得(2)12f '=-，故()f x 的图象在点()()22f ,处的切线斜率为12-.故选：D5．在正项数列{}n a 中，13a =，113n na a +=-，则{}n a （）A ．为递减数列B ．为递增数列C ．先递减后递增D ．先递增后递减【答案】A【分析】先判断123,,a a a 大小关系，进而假设数列单调性，利用数学归纳法证明即可得结论.【详解】由123121812133338a a a a a ==-==-=，，，且03n a <≤，显然123a a a >>成立，假设3n k =≥，1k k a a +>成立，当1n k =+时，则121111111130k k k k k k k k k k a aa a a a a a a a +++++++--+=-==>-，所以12k k a a ++>，故{}n a 为递减数列.故选：A6．()()()222123x x x +++的展开式中5x 的系数为（）A ．1B ．6C ．12D ．144【答案】C【分析】根据二项式定理的展开原理，结合组合数，可得答案.【详解】由题意，对于整式()()()222123x x x +++中，5个括号选出x ，1个括号不选x ，则1515155555222C 3C 2C 164212x x x x x x x ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅=++=.故选：C.7．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《咏柳》《送元二使安西》《黄鹤楼送孟浩然之广陵》《绝句》《江畔独步寻花》五首古诗，并要求《黄鹤楼送孟浩然之广陵》《绝句》默写次序相邻，则不同的默写次序有（）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种【答案】B【分析】应用捆绑法，结合分步乘法及排列数求不同默写次序数.【详解】将相邻的两首诗捆绑有22A 2=种方法，再作为一个元素，与其它3首诗作全排有44A 24=种方法，所以共有22448⨯=种.故选：B 8．若19a =，10ln 9b =，219c =，则（）A ．a c b >>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．a b c>>【答案】D【分析】构造ln(1)y x x =-+，(0,1)x ∈，利用导数研究单调性判断,a b 大小，构造2()ln(1)2xf x x x=----且01x <<，利用导数研究单调性判断,b c 大小.【详解】对于11ln(1)99a b -=-+，令ln(1)y x x =-+，(0,1)x ∈，所以11011x y x x'=-=>++，即ln(1)y x x =-+在(0,1)上递增，故0ln(10)0y >-+=，即ln(1)x x >+在(0,1)上恒成立，所以a b >；由ln 0.9ln(10.1)b =-=--，0.220.11.920.1c ⨯==-，则20.1ln(10.1)20.1b c ⨯-=----，令24()ln(1)2ln(1)22x f x x x x x =---=+----，且01x <<，所以22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=>----，即()f x 在(0,1)上递增，所以4(0.1)(0)2ln(10)002f f >=+--=-，即b c >.综上，a b c >>.故选：D二、多选题9．下列有关线性回归分析的说法正确的是（）A ．经验回归直线是经过散点图中样本点最多的一条直线B ．经验回归直线y bx a =+$$$一定经过点(),x yC ．残差图中所有散点的纵坐标之和为0D ．两个变量的负相关关系越强，回归模型的2R 越接近于–1【答案】BC【分析】根据回归直线的实际意义判断A 、B ；由残差图、相关关系中相关指数的意义判断C 、D.【详解】A ：经验回归直线不一定经过散点图中样本点，故错误；B ：经验回归直线必过样本中心，正确；C ：在残差图中残差对应纵轴值，各散点围绕x 轴(零点)两侧分布，又预测值与观测值的总体均值相等，故所有散点的纵坐标之和为0，正确；D ：两个变量的负相关关系越强，回归模型的相关系数越接近于1-，错误；故选：BC10．已知函数()361f x ax x =-+在2x =处取得极值，则（）A ．1a =B ．()f x 在2x =-处取得极大值C ．()f x 有3个不同的零点D ．()f x 在区间[]0,2上的值域为[]3,1-【答案】ABC【分析】利用极值点和导数，求出a 的值，得到函数解析式，再利用导数求函数的极值、零点和区间内的值域.【详解】函数()361f x ax x =-+定义域为R ，()236f x ax '=-，函数()f x 在2x =处取得极值，则()2660f a '=-=，得1a =，A 选项正确；()361f x x x =-+，()()()236322f x x x x '=-=+-，()0f x ¢>，解得2x <-或2x >，()0f x '<，解得22x -<<，()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()f x 在2x =-处取得极大值，在2x =处取得极小值，B 选项正确；()()()33363180f -=--⨯-+=-<，()()()3226214210f -=---+=+>，()()3226214210f=-+=-+<，()333631100f =-⨯+=>，所以()f x (),2-∞-上、()2,2-上和()2,+∞上各有一个零点，C 选项正确；[]0,2x ∈时，()f x 在()0,2上单调递减，在()2,2上单调递增，()01f =，()2421f=-+，()3226213f =-⨯+=-，()f x 在区间[]0,2上的值域为421,1⎡⎤-+⎣⎦，D 选项错误.故选：ABC11．某小学六年级有3个班，六（1）班、六（2）班、六（3）班的学生人数之比为3∶3∶4.在某次数学考试中，六（1）班的不及格率为10%，六（2）班的不及格率为20%，六（3）班的不及格率为15%，从该校随机抽取一名六年级学生.记事件A =“该学生本次数学考试不及格”，事件i B =“该学生在六（i ）班”（1i =，2，3），则（）A ．()0.3i PB =B ．()0.15P A =C ．A 与i B （1i =，2，3）均不相互独立D ．()()1312P B A P B A =【答案】BD【分析】对于A ，利用古典概型的概率计算公式，可得答案；对于B ，根据全概率公式，可得答案；对于C ，根据独立事件的概率乘法公式，可得答案；对于D ，根据条件概率公式的计算公式，可得答案.【详解】对于A ，()1330%334P B ==++，()2330%334P B ==++，()3440%334P A B ==++，故A 错误；对于B ，由题意，()110%P A B =，()220%P A B =，()315%P A B =，()()()()()()()1122330.15P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=，故B 正确；对于C ，由()()30.15P A P A B ==，则()()()()()3333P AB P A B P B P A P B ==，即A 与3B 相互独立，故C 错误；对于D ，()()()()()()11111=5P A B P B P AB P B A P A P A ==，()()()()()()33332=5P A B P B P AB P B A P A P A ==，则()()1312P B A P B A =，故D 正确.故选：BD.12．已知双曲线C ：2211x y t t-=-的一条渐近线方程为20x y -=，圆O ：222x y +=上任意一点P 处的切线l 交双曲线C 于M ，N 两点，则（）A ．2t =B ．满足22MN =的直线l 仅有2条C ．满足OM ON ⊥的直线l 仅有4条D ．PM PN ⋅为定值2【答案】AD【分析】由双曲线及其渐近线方程求得2t =，写出双曲线方程，讨论0l k =或斜率不存在易得22MN =，判断A 、B ；若1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)P x y 且022x -<<，得到00:2l y y x x +=，联立双曲线方程应用韦达定理及向量夹角的坐标表示求得cos 0MON ∠=为定值，即OM ON ⊥，进而有Rt Rt NOP OMP ，即可判断C 、D.【详解】因为双曲线C ：2211x y t t-=-，所以其渐近线方程为()2210tx t y ±-=，又双曲线C 的一条渐近线方程为20x y -=，即2220x y -=，所以121t t -=，解得2t =，故:C 2212y x -=，A 对；若0l k =时，||||2M N x x ==，此时22MN =，若l 斜率不存在时，||||2M N y y ==，此时22MN =，所以22MN =对应直线l 有4条，B 错；若1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)P x y 且022x -<<，直线l 斜率存在为0x k y =-，则0000:()x l y y x x y -=--，即00:2l y y x x +=（02x =±也满足），代入2222x y -=，消y 得：22002200)44(220x x y y x x ---=+，即220020(432(4))40x x x x x -+-=+，220200(4316(4)80)x x x ∆--->=，所以01202443x x x x +=--，2012202(4)43x x x x -=-，则22010********00010200221)(2()[2()4)3](44x x x x x x y y x x x x x y y y x ---=-++=-=，所以12120x x y y +=，即1212||||cos 0||||x x y y OM ONOM ON OM ON MON ∠===+⋅，所以OM ON ⊥，则直线l 有无数条，C 错误；由C 分析易知：Rt Rt NOP OMP ，则||||||||PM OP OP PN =，故2||2PM PN OP ⋅==，D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：对于C 、D ，设切点坐标并写出切线方程，联立双曲线方程，应用韦达定理、向量夹角坐标表示判断cos MON ∠为定值为关键.三、填空题13．若3cos 5α=-，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=；【答案】【详解】因为3cos 5α=-，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则24sin 1sin 5αα=--=-，所以sin 4tan cos 3ααα==．14．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若752S S =，则75a a =.【答案】1913【分析】利用等差数列前n 项和、等差中项可得43710a a =，再应用通项公式求结果.【详解】177415537()7225()52a a S a a a S a +===+，则()43471010a a a d ==+，其中d 为公差，则41003a d =≠，故745431913a a d a a d +==+.故答案为：1913四、双空题15．某制药公司为了验证一种药物对治疗“抑郁症”是否有效，随机选取了100名抑郁症患者进行试验，并根据试验数据得到下列2×2列联表：用药未用药症状明显减轻3733症状没有减轻822根据表中数据，计算可得2χ=（结果精确到0.001），依据小概率值α=（填临界值表中符合条件的最小值）的独立性检验，可以认为该药物对治疗“抑郁症”是有效的.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.841 6.6357.87910.828【答案】 5.8200.05【分析】根据给定数表，求出2χ的观测值，再结合临界值表，求出符合条件的α作答.【详解】由22⨯列联表中数据得：22100(3722833)11005.82045557030189χ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为0.055.820 3.841x >=，所以0.05α=.故答案为：5.820；0.05五、填空题16．已知四棱锥P ABCD -的外接球O 的体积为256π3，PA ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，4PA =，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为.【答案】32【分析】将四棱锥P ABCD -补成长方体，求得四棱锥外接球半径，利用长方体体对角线长求得四棱锥底面积的最大值，即可求得答案.【详解】由于PA ⊥平面ABCD ，故可将四棱锥P ABCD -补成长方体，如图示：可知四棱锥P ABCD -外接球直径即为该长方体的体对角线；设四棱锥P ABCD -外接球半径为R ，则34256ππ,433R R =∴=，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，不妨设,AB a BC b ==，其中4c PA ==，则22228a b c ++=，即2248a b +=，由222a b ab +≥，即24ab ≤，当且仅当26a b ==时等号成立，所以底面ABCD 面积的最大值为24，故四棱锥P ABCD -体积的最大值为1244323⨯⨯=，故答案为：32六、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且45n n S a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：514n S <≤.【答案】(1)115n n a -=(2)证明见解析【分析】（1）根据公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求通项公式；（2）根据（1）的结果，首先求n S ，即可证明不等式.【详解】（1）当1n =时，1145S a +=，解得111S a ==.当2n ≥时，1145,45n n n n S a S a --+=+=，两式相减整理得115n n a a -=，所以{}n a 是11a =，公比15q =的等比数列，故11115n n n a a q --==.（2）111551114515n nnS ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，而51145nn S ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦关于n 单调递增，11n S S ≥=，且5151454nn S ⎡⎤⎛⎫=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以514n S <≤.18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()cos cos 4cos cos b C c B a B b A +=+，且37cos 8C =，角A 为锐角.(1)求A ；(2)若373b =+，求ABC 的面积.【答案】(1)π6A =(2)3732+【分析】（1）根据正弦定理，利用边化角整理等式，结合和角公式，可得答案；（2）利用三角函数的和角公式，结合正弦定理，求得边长，利用三角形的面积公式，可得答案.【详解】（1）由条件及正弦定理可得()sin cos sin cos 4sin cos cos sin B C C B A B A B +=+，即()()sin 4sin B C A B +=+，所以sin 4sin A C =.因为37cos 8C =，0πC <<，所以1sin 8C =，所以1sin 2A =，又因为A 为锐角，所以π6A =.（2）由（1）可知1sin 2A =，因为A 是锐角，所以3cos 2A =，()13731373sin sin sin cos cos sin 282816B AC A C A C +=+=+=⨯+⨯=，所以由正弦定理得sin sin b c B C =，即3731373816c +=+，解得2c =，所以()111373sin 37322222ABC S bc A +==⨯+⨯⨯=△.19．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，ABC 是正三角形﹐点D 在棱PC 上，且BD AC ⊥，点E 为AC 的中点.(1)证明：D 为PC 的中点；(2)若24PC AC ==，求二面角E BD C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)155【分析】（1）证明//PA DE ，由三角形中位线可得D 为PC 的中点；（2）以E 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角E BD C --的余弦值.【详解】（1）因为ABC 是正三角形，E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥，又BD AC ⊥，,BD BE ⊂平面BDE ，且BD BE B ⋂=，所以AC ⊥平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以AC DE ⊥.因为PA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥，平面PAC 内，AC DE ⊥，PA AC ⊥，则有//PA DE ，点E 为AC 的中点，所以D 为PC 的中点.（2）由（1）可知DE ⊥底面ABC ，以E 为坐标原点，,,EB EC ED 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.由24PC AC ==，得23PA =，所以3DE =，则()()()3,0,0,0,0,3,0,1,0B D C .所以()()3,1,0,0,1,3BC CD =-=- .设平面BCD 的法向量为(),,n x y z = ，则3030n CD y z n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令3y =，则()1,3,1n =r ，又平面BDE 的一个法向量为()0,1,0m = ，所以()()0,1,01,3,115cos ,515m n m n m n ⋅⋅===⨯ ，由图可知二面角E BD C --的平面角为锐角，所以二面角E BD C --的余弦值为155.20．某智力问答节目中，选手要从A ，B 两类题中各随机抽取2个进行作答.A 类题一共有5个，每个题答对得5分，答错得0分，B 类题数量非常多，每个题答对得3分，答错得0分.小明参与该节目，在A 类题中小明仅能答对其中的4个，每个B 类题小明能答对的概率都是23.且每个B 类题回答正确与否相互独立.(1)求小明恰好答对2个题的概率；(2)求小明答A 类题和答B 类题得分的期望之和.【答案】(1)1145(2)12【分析】（1）分两种情况求出概率：①答对2个A 类题，②答对1个A 类题和1个B 类题，然后利用互斥事件的概率公式可求得结果，（2）设小明答对A 类题的个数为X ，答对B 类题的个数为Y ，则由题意可得X 服从超几何分布，Y 服从二项分布22,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后利用期望公式可得结果.【详解】（1）小明恰好答对2题，分两种情况：①答对2个A 类题：24125C 111C 3315P =⨯⨯=；②答对1个A 类题和1个B 类题：111412225C C 128C C 3345P =⨯⨯⨯=.所以小明恰好答对2个题的概率为121145P P P =+=.（2）设小明答对A 类题的个数为X ，答对B 类题的个数为Y ，则X 服从超几何分布，则()24855E X ⨯==，则小明答A 类题得分的期望为()58E X =.Y 服从二项分布22,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()24233E Y =⨯=，则小明答B 类题得分的期望为()34E Y =.综上，小明答A 类题和答B 类题得分的期望之和为8412+=.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为23，点A ，B ，D 分别是椭圆C 的左、右、上顶点，F 是C 的左焦点，坐标原点O 到直线DF 的距离为253.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，求FP FQ ⋅ 的取值范围.【答案】(1)22195x y +=(2)255,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由离心率、等面积法及椭圆参数关系列方程求椭圆参数，即可得方程；（2）讨论直线l 的斜率，设l 的方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及向量数量积的坐标表示得到FP FQ ⋅ 关于所设参数的关系式，进而求范围.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为(0)c c >，根据题意2222,325,3,c a bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得3,5,2,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故C 的方程为22195x y +=.（2）由（1）知：()2,0F -.当直线l 的斜率为0时，点,P Q 为椭圆的左、右顶点，不妨取()()3,0,3,0P Q -，此时()()1,0,5,0FP FQ =-= ，则5FP FQ ⋅=- .当直线l 的斜率不为0或l 与x 轴垂直时，设其方程为2x my =-，代入椭圆C 并消去x 得()225920250m y my +--=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212222025,5959m y y y y m m -+==++.而()()11222,,2,FP x y FQ x y =+=+ ，所以()()1212121222FP FQ x x y y my my y y ⋅=+++=⋅+ ()()22122225201155959m y y m m m -=+=+=-+++.因为2599m +≥，所以220200599m <≤+，所以2202555599m -<-+≤-+.综上，FP FQ ⋅ 的取值范围为255,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.22．已知函数()()e ln 1R x f x a x a =--∈，()()ln 1g x f x x x =+-+.(1)当1ea =时，求()f x 的极小值；(2)若()g x 有2个零点，求a 的取值范围.【答案】(1)0；(2)1(0,)e.【分析】（1）把1ea =代入，求出函数()f x 的导数，利用导数求出极小值作答.（2）求出函数()g x 及定义域，由零点的意义分离参数，构造函数并求出最大值，数形结合求解作答.【详解】（1）当1ea =时，()1e ln 1e x f x x =⋅--，则()1111e e ,0e x x f x x x x -=⋅-=->'，由函数1e x y -=和1y x=-在()0,∞+上单调递增，知()f x '在()0,∞+上单调递增，又()01e 10f '=-=，因此当()0,1x ∈时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，即()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()f x 的极小值为()10f =.（2）依题意，()e =-x g x a x ，其定义域为()0,∞+，由()e 0x g x a x =-=，得e xx a =，令()(),0,e xx h x x =∈+∞，则()g x 有2个零点，等价于函数()y h x =与y a =的图象有2个交点，求导得()1e x x h x -'=，当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，即函数()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()max 1()1eh x h ==，且当0x >时，()0h x >恒成立，函数()y h x =的大致图象如下：观察图象知，当10ea <<时，()e x x h x =与y a =的图象有2个交点，所以a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020学年广州市高二年级学生学业水平数学测试
本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项:
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的
451.函数f
A ．[2.集合A. 5 3.A. 2 4.A. x C. 2x 5. 函数A ．⎣
⎦⎣
⎦⎣⎦
⎣
⎦6.做一个体积为32m 3，高为2m 的无盖长方体的纸盒，则用纸面积最小为 （ ）
A. 64m 2
B. 48m 2
C. 32m 2
D. 16m 2
7. 已知变量x y ,满足约束条件201010x y x y y ⎧--≥⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩
,,.则目标函数2z y x =-的最小值为（ ）
A ．5-
B ．4-
C ．3-
D ．2-
8.如图1所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是 （ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 9.关于x 的不等式2
2
20x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，则实数a 的取值范围是（ ）
A. ()(),12,-∞-+∞U
B.（-1,2）
C. (
1⎛⎫
110.（A.13
11.在△为 .
12.图表示13.14.已知()2log f x x x
=-
的零点，则g(0x )的值等于 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.（本小题满分12分）
某中学高一年级新生有1000名，从这些新生中随机抽取100名学生作为样本测量其身高（单位：cm ），
（1（2)上的概率.
16.
（1（233
⎝
⎭
17. （本小题满分14分）
A 1
C 1
F
如图3，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是A 1D 1,A 1A 的中点。
（1）求证：1//BC 平面CEF ；
（2）在棱11A B 上是否存在点G ，使得EG CE ⊥？若存在，求1A G 的长度；若不存在，说明理由。
18. ,l 相切
于点(M （1（2（3
19. （本小题满分14分）
设数列{}n a 是等比数列，对任意*
n N ∈，()12335...21n n T a a a n a =++++-，已知11T =，27T =。
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求使得()1260n n T T +<+成立的最大正整数n 的值。
20. （本小题满分14分）
已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2.f x x x =- （1）求函数()f x 的解析式；
（2）求函数()f x 在区间[],1a a +上的最大值。
2013学年广州市高二年级学生学业水平数学测试答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. A DCDA BA CB B
3解：∵111,n n a a a n +==+，∴令n=1，1111112a a +=+=+=，令n=2，2122224a a +=+=+=. 解：关于x 的不等式2
2
20x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，所以()2120f a a =+->，
2
，它311⨯⨯ x 的最
16. 解（1）11(0)sin cos 01622f π⎛⎫
=-
+=-+= ⎪⎝⎭
， 4
5
5
5
2x
x
（2）∵1sin cos 3633f πππααα⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫+
=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭，
即111
sin cos cos cos 2
2223ααααα++-==
， 又α
是第四象限角，所以sin sin tan 3cos αααα
==-==- 17. 证明：（1）连接AD 1，∵AB //C 1D 1,∴ABC 1D 1是平行四边形，所以11//BC AD ，又E,F 分别是A 1D 1,A 1A
的中点，所以1//EF AD ，
所以
平面平面所以（2以A 1则EG k 1A G EG CC 11CC E =（2直线l 点C 1AB （3是y 2C 与圆1C 相外切，且与直线l 相切于点(M 。
所以1221C C MC =+,
1=+
14a =或20a =，
对应的圆心（4,0），半径为2；圆心（0,，半径为6；
所以圆2C 的方程为()2
2
44x y -+=
或(2
2
36x y +-=。
方法2：设圆2C 的方程为()()()22
2
0x a y b r
r -+-=>
则12221C C r MC r l MC ⎧=+⎪=⎨⎪⊥⎩，即
1 (1)
........(2)1......................(3)3
3r r b a =+==--
， 由（3
再把b
解得1
a =
所以圆C 方法3：/
l 相
交于点P ，∴
OM =1C P =121C C =0，又直线l 的所以圆C /l 相
交于点P ，∴
OM =1C P =121C C r =+，在直角三角形1C 2C P 中，()2
2
2
112r r ⎛⎫+=++ ⎪⎝
⎭⎝⎭，解得r=6.
在直角三角形OM 2C 中，2OC ==cos ∠MO 2C 12
=,∴∠MO 2C =600，又直线l
的倾斜角为300，所以
2C 在y 轴正半轴上，得2C （0,，所以圆2C 的方程为(2
2
36x y +-=。
19. （2）()()2
1
12335...2113252 (212)
n n n T a a a n a n -=++++-=+⨯+⨯++-⨯。
①
()()2312123252...232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯。
②
①-②: ()()1
231
42221222222 (22)
212121212
n n n
n n T n n ---⨯⨯-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=+--⨯-
()3223n n =-⨯-，所以()2323n n T n =-⨯+。
【这是错位相减法】 【求和n T 的方法2（裂项相消法．．．．．+．待定系数法．．．．．
）】令()1212n n --⨯=()()()()()()1111222122n n n n a n b an b a n b an b ---++⨯-+⨯=++⨯-+⨯
()()11222222n n an a b an b an a b --=++--⨯=++⨯，比较系数得到a=2,2a+b=-1,解得a=2,b=-5. 所以()()()()()111212232252252232n n n n n n n n n n ----⨯=-⨯--⨯=--⨯+-⨯， 所以()()2112335...2113252...212n n n T a a a n a n -=++++-=+⨯+⨯++-⨯
31n ⎡⎤=-⎣⎦
(3=+又1n T +<又42
2
+=20. 解：又当x >所以当x 函数(f 即()f x （2）分别是x f(a+1)=(当a ≥12时，a+1≥32
，()2
.f x x x =-函数()f x 的最大值为f(a)=2a a -,所以，函数()f x 在区间[]
,1a a +上的最大值()222
,1
1,12111
,4
221,2
a a a a a a g a a a a a ⎧+<-⎪
⎪---≤<-⎪⎪=⎨-≤≤
⎪⎪⎪->⎪⎩当当当当
x。