2016年江苏省高考数学第三轮复习：高考数学考前基础练习(及答案)(2)(精品资料)
2016年江苏省高考数学试题(精校高清)
⑴ 求 AB 的长； π ⑵ 求 cos A 的值． 6 4 3 【解析】⑴ cos B ， B 为三角形的内角， sin B 5 5 AB AC AB 6 ， ，即： AB 5 2 ； sinC sin B 2 3 5 2
【解析】由题意得 F c,0 ，直线 y
2
x a, 1 x 0, 11．设 f x 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1 上 f x 2 5 x , 0 x 1, 5 9 其中 a R ，若 f f ，则 f 5a 的值是 ． 2 2 2 【答案】 5 1 1 5 1 9 1 2 1 【解析】由题意得 f f a ， f f ， 2 2 2 2 2 5 2 10
．
．
【解析】 c a 2 b 2 10 ，因此焦距为 2c 2 10 ． 4．已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 【答案】 0.1 1 【解析】 x 5.1 ， s 2 0.42 0.32 02 0.32 0.42 0.1 ． 5 5．函数 y 3 2 x x 2 的定义域是 【答案】 3,1 ． 【解析】 3 2 x x 2 ≥ 0 ，解得 3 ≤ x ≤ 1 ，因此定义域为 3,1 ． ．
2 2 2
则 BA CA 9a b ， BF CF a b ， BE CE 4a b ，
2 2
可得 sin B cos C cos B sin C 2 sin B sin C （*）， 由三角形 ABC 为锐角三角形，则 cos B 0,cos C 0 ， 在（*）式两侧同时除以 cos B cos C 可得 tan B tan C 2 tan B tan C ，
专题15 三角函数与向量综合大题-2016年高考数学三轮讲练测核心热点总动员(江苏版)(原卷版)
2016年学易高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【江苏版】热点十五 函数与向量综合大题【名师精讲指南篇】【高考真题再现】例1 【2013江苏高考】已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，0βαπ<<<. （1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求α，β的值.例2 【2014江苏高考】（满分14分）已知sin 2παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，， （1）求sin()4πα+的值； （2）求5cos(2)6πα-的值. 例3 【2015江苏高考】在ABC ∆中，已知60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.【热点深度剖析】1. 从近几年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．向量中的数量积为考查的重点内容，仅作为沟通代数、几何与三角函数的一种工具，向量思想少有触及. 平面向量在13-15年高考填空题和解答题中均有所考查，题目多为中档题，涉及到函数与方程、数形结合和等价转化的思想，着重考查学生运算求解能力. 平面向量常在解答题第一题与三角函数知识结合考查.2. 利用正弦定理与余弦定理解题，经常利用转化思想，一个是边转化为角，另一个是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正余弦定理化简式子的最终目的.对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便.根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨论；利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是锐角还是钝角，但是计算麻烦.3. 处理三角问题强调“变”为主线，变角、变名、变次、变结构特别要强化变角的训练.注意三角函数与向量等内容的结合，重视三角函数的应用问题.4.平面向量的概念多，向量运算与数的运算有区别，复习时应予以甄别.向量具有“形”和“数”的特征，恰当的转化是解题的关键，而建立坐标系用坐标表示向量是转化的重要手段，尤其是在出现垂直关系时，这种转化会特别奏效，在复习时要善于把握，认真领悟，注意加强对数形结合思想的运用.5.预计16年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．【最新考纲解读】【重点知识整合】1.正余弦定理，三角形面积公式2.根据已知条件，正确合理选用正余弦定理.一般已知两角用正弦定理，已知一角求边用余弦定理3.关注三角形中隐含条件，如A>B⇔B>AC+=++π+==C-Ccos)cos(,sin.sin,sinBABAA)sin(,B4.诱导公式，两角和与差公式，二倍角公式，配角公式三角函数图像与性质.5. 向量加法、减法的运算，及其几何意义：若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB )．6．平面向量的基本定理及坐标表示. A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． 7. 平面向量的数量积 8. 向量的应用 【应试技巧点拨】1. ①给角求值问题，利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值；②对于给值求值的问题的结构特点是“齐次式”，求值时通常利用同角三角函数关系式，常数化为正弦和余弦的性质，再把正弦化为正切函数的形式.2. 求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解.3. 三角函数图象的变换规则是：平移时“左加右减，上加下减”，伸缩的倍数是，求三角函数的最值，一般要把三角函数化为f (x )=Asin(ωx +φ)+B 的形式，有时还要注意ωx+φ的取值范围．4. 正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．5.设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0 【考场经验分享】1.目标要求：三角题目一般不难；三角函数重点考查化简求值、图像变换、恒等变换；要重视与其它知识的综合，如平面向量.2.注意问题：①不可随意展开已知角，整体思想和等价转化是研究三角函数性质必备思想方法.首先将研究的对象化为形如sin()y A x B ωϕ=++，或cos()y A x B ωϕ=++或tan()y A x B ωϕ=++，再将x ωϕ+看做一个角，这样就等价转化为基本三角函数，以下套用基本三角函数相关性质即可. ②对于左右平移时，要记住相对x 轴而言，一定要在x 的基础上进行加减.3.经验分享：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
江苏省苏州市2016届高三高考数学考前指导卷(word版附答案)
一、填空题 ：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1. 设全集{}1,2,3,4.5U =，集合{}1,2A =，集合{}2,3,4B =，则()U C A B = ．2. 已知复数121,32,z ai z i a R =+=+∈，i 是虚数单位，若12z z 是实数，则a = ．3. 某班有学生60人，现将所有学生按 1,2,3,...，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为4,,28,,52a b 的学生在抽取的样本中，则a b += ．4.等比数列 {}n a 的前n 项和为n S ，且324321,21a S a S =+=+，则公比q 为 ．5. 执行如图所示的流程图，输出的S 的值为 ．6. 在三张奖券中有一等奖、二等奖各一张，另有一张无奖．若甲、乙两人各抽取一张，则两人都中奖的概率为 ．7. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> 的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30︒的直线， 交双曲线C 右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线C 的离心率为 ．8. 已知函数()()()sin 20,0f x A x k A k ϕ=++>>的最大值为4，最小值为2，且()02f x =，则04f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．9.在三棱锥 S ABC -中，底面ABC 是边长为3的等边三角形，,,2SA SC SB SC SA SB ⊥⊥==，则该三棱锥的体积为 ．10. 已知直线:1l x y -=与圆22:2210M x y x y +-+-=相交于,A C 两点，点,B D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为 ．11已知平行四边形ABCD 中，120,1,2BAD AB AD ∠=︒==，点P 是线段BC （含端点）上的动点，则AP DP的取值范围是 ．12. 若0,0x y >>，则2x yx y x++的最小值为 ．13. 在钝角ABC ∆中，已知2sin 21A A =，则sin cos B C 取得最小值时，角B 等于 ． 14. 若不等式3ln 1mx x -≥对任意(]0,1x ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 ．二、解答题（每题6分，满分90分，将答案填在答题纸上）15. （本小题满分14分） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知1cos 23A =-,c A C ==.（1）求a 的值；（2）若角A 为锐角，求b 的值及ABC ∆的面积.16. （本小题满分14分）在梯形ABCD 中，,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=，平面ACEF ⊥平面ABCD ,四边形ACEF 是矩形,AF a = ，点M 在线段EF 上. （1）求证：BC AM ⊥；（2）若AM 平面BDE ，试求线段AM 的长.17. （本小题满分14分）苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销,经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p 万件与广告费用 x 万元满足231p x =-+(其中 0,x a a ≤≤ 为正常数)．已知生产该批产品 p 万件还需投入成本 ()102p +万元(不含广告费用)，产品的销售价格定为 204p ⎛⎫+⎪⎝⎭元／件，假定厂商生产的产品恰好能够售完． （1）将该产品的利润y 万元表示为广告费用x 万元的函数； （2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？18. （本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b-=>>的离心率为12，焦点与短轴的两顶点的连线与圆2234x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0的直线l 与C 相交于,A B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得 NA NB为定值？如果存在，求出点N 的坐标及定值；如果不存在，请说明理由．19. （本小题满分16分）已知数列{}n a 与{}n b 满足11n n n n a qb a qb ++-=-，其中,q R n N *∈∈. （1）若{}n b 是公差为2的等差数列，且13a q ==,求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是首项为2，公比为q 的等比数列，130a q =<，且对任意,,0n m n N a *∈≠，都有1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,试求q 的取值范围.20. （本小题满分16分）已知,a R x ∈轴与函数()1x f x e ax -=-的图象相切. （1）求()f x 的单调区间；（2）当1x >时，()()1ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围.苏州市2016届高考考前指导卷参考答案一、选择题（每小题5分，共70分）1.{}52.23-3.564.35.26.137.8.3 11.1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12 13.12π 14.2,3e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、解答题:本大题共6小题 ，共计90分15. 解：（1）因为21cos 212sin 3A A =-=-，且0A π<<，所以sin A =，因为c A C ==，由正弦定理sin sin a cA C=，得a c ===16. 解：（1）由题意知，梯形ABCD 为等腰梯形，且2,AB a AC ==，由222AB BC AC +=，可知AC BC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF 平面,ABCD AC BC =⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACEF ，又AM ⊂平面ACEF ，所以BC AM ⊥.（2）设AC 与BD 交于点N ，因为AM 平面BDE ，AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF 平面BDE EN =，所以,AM EN FE AC ，故四边形ANEM 是平行四边形，所以AM EN =，由,.120CD a CN DN DNC ==∠=︒，所以CN =,又CE a =，所以EN =所以AM =.17.解：（1）由题意知，()204102y p x p p ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，将231p x =-+代入化简得： ()41601y x x a x =--≤≤+.（2）()()()()()()()2222221431423'11111x x x x x y x x x x -+++--+-=--==-=-++++.当1a ≥时，()0,1x ∈时'0y >，所以函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增，()1,x a ∈时，'0y <，所以函数4161y x x =--+在()1,a 上单调递减，．促销费用投入 1 万元时，厂家的利润最大．当1a <时，因为函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增，4161y x x =--+在[]0,a 上单调递增， 所以x a =时,函数有最大值．即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．综上所述，当 1a ≥时，促销费用投入 1万元，厂家的利润最大；当1a <时, 促销费用投入a 万元，厂家的利润最大． (注：当1a ≥时，也可以：417117131y x x ⎛⎫=-++≤-=⎪+⎝⎭.当且仅当411x x =++， 即1x =时，上式取等号）.18. 解：（1）12e =，得224a c =，又焦点与短轴的两顶点的连线与圆 2234x y +=相切，()222234bc b c b c ∴=∴=+，即()()2222223,34a c c a a c -=-=，故2221,4,3c a b ===，所以椭圆方程为22143x y +=. （2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为()()()11221,,,,y k x A x y B x y =-，()()2222223412,34841201x y k x k k y k x ⎧+=⎪∴+-+-=⎨=-⎪⎩，则2122212284341243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，若存在定点 (),0N m 满足条件，则有()()()()()22121212121211NA NB x m x m y y m m x x x x k x x =--+=-+++--()()()222212121k x x m k x x k m =+-++++()()()22222222141284343k k m k k k m k k +-+=-++++()222248531243m m k m k --+-=+.如果要上式为定值，则必须有22485411,31238m m m m --==-,验证当直线l 斜率不存在时，也符合．故存在点11.08N ⎛⎫⎪⎝⎭满足13564NA NB =- . 19. 解：（1）由()1126n n n n a a q b b q ++-=-==，所以{}n a 是首项为3，公差为6的等差数列，故{}n a 的通项公式为63,n a n n N *=-∈.（2）因为12n n b q -=,所以()1112222n n n n n n a a q q qq q -++-=-=-, 当2n ≥时，()()()112211...n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()11222...32n n n n n q q q q q q q q q ---⎡⎤=-+-++-+=+⎣⎦. 当1n =时，13a q =，符合上式，所以2n n a q q =+，因为130a q =<，且对任意11,,66n a n N a *⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，故0n a <，特别地220q q +<，于是1,02q ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时对任意,0n n N a *∈≠. 当102q -<<时，221221,2n n n n a q q q a q q q --=+>=-+< ，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值 为 222a q q =+,最小值为13a q =， 由题意，m n a a 的最大值及最小值分别为21213a q a +=和12321a a q =+. 由21136q +>及3621q <+，解得104q -<<.综上所述，q 的取值范围为1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. 20. 解：（1）()1'x f x e a -=-,设切点为 ()0,0x 依题意,()()000'0f x f x =⎛=⎝即0010100x x e ax e a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得011x a =⎧⎨=⎩， 所以()1'1x f x e-=-，当1x <时，()'0f x <；当1x >时，()'0f x >；故()f x 的单调递减区间为 (),1-∞， 单调递增区间为()1,+∞ ． （2）令 ()()()1ln ,0g x f x m x x x =-->，则()11'ln 1x x g x em x x --⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，令()()'h x g x =，则()1211'x h x e m x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.①若12m ≤，因为当1x >时，11x e ->,2111m x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以()'0h x >，所以()h x 即()'g x 在()1,+∞上单调递增．又因为()'10g =，所以当1x >时，()'0g x >，从而()g x 在[)1,+∞上单调递增，而()10g =所以()0g x >，即()()1ln f x m x x >-成立·②若12m >，可得()1211'x h x e m x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,+∞上单调递增．因为()()()()()211'1120,'1ln 2201ln 21ln 2h m h m m m m m ⎡⎤⎢⎥=-<+=-+>+⎢⎥+⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以存在 ()()11,1ln 2x m ∈+，使得()1'0h x =，且当()11,x x ∈时，()'0h x <，所以()h x 即()'g x 在()11,x 上单调递减，又因为()'10g =，所以当()11,x x ∈时，()'0g x <，从而()g x 在()11,x 上单调递减，而()10g = 所以当()11,x x ∈时，()0g x <，即()()1ln f x m x x >-不成立，综上所述,k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。
2016年全国高考数学试题及答案-江苏卷
2016年全国高考数学试题及答案-江苏卷D7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ . 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0 的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10, ()2,01,5x a xf xx x+-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a∈R若59()()22f f-=，则f（5a）的值是▲ . 12. 已知实数x，y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x2+y2的取值范围是▲ .13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F 是AD上的两个三等分点，4BC CA⋅=，1BF CF⋅=-，则BE CE⋅的值是▲ .14.在锐角三角形ABC中，若sin A=2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC△中，AC =6，4πcos .54BC ，（1）求AB 的长； （2）求πcos(6A)的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111A CA B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111-，下部分的形状是P A B C D正四棱柱1111-(如图所示)，并要求正四棱柱ABCD A B C D的高1O O是正四棱锥的高1PO的四倍.(1)若1AB PO==则仓库的容积是多少？6m,2m,(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当1PO为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:221214600+--+=及其上一点A(2，4)x y x y(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C 两点，且BC=OA,求直线l的方程；(3)设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P 和Q,使得,+=,求实数t的取值范围。
2016江苏高考数学压轴题含答案
2016江苏高考数学压轴题（含答案）2016江苏高考压轴卷数学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：锥体的体积公式：V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在题中横线上）1.若集合，，则．2.若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数．3.若原点和点在直线的异侧，则的取值范围是．4.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为.5.右图是一个算法流程图，则输出的的值为．6.从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是.7.若且是第二象限角，则.8.正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为.9.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为.10.不等式组所表示的区域的面积为.11.已知外接圆的半径为2，圆心为，且，，则的值等于．12.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记（1，2，…，10），则．13.在等差数列中，首项，公差，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为．14.设关于的实系数不等式对任意恒成立，则．二、解答题15.（本小题满分14分）（本大题满分14分）如图，在△中，点在边上，，，，．（1）求的长；（2）求△的面积．16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E 为侧棱PA的中点．（1）求证：PC//平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．17.（本大题满分14分）如图，，是海岸线，上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线，的距离分别为，．测得，．以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以小时的平均速度在水上旅游线航行（将航线看作直线，码头在第一象限，航线经过）．（1）问游轮自码头沿方向开往码头共需多少分钟？（2）海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线航行时离景点最近的点的坐标．18.（本大题满分16分）已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，（，不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为，，证明：为定值；（3）若，是椭圆上不同的两点，轴，圆过，，且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆．试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．19.已知函数．（1）当时，求的单调减区间；（2）若存在m0，方程恰好有一个正根和一个负根，求实数的最大值．20.（本大题满分16分）已知数列的通项公式为，其中，，．（1）试写出一组，的值，使得数列中的各项均为正数；（2）若，，数列满足，且对任意的()，均有，写出所有满足条件的的值；（3）若，数列满足，其前项和为，且使(，，)的和有且仅有4组，，，…，中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求，的最小值．数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC．以AB为直径的⊙O交AC 于点D，过D作DEBC，垂足为E，连接AE交⊙O 于点F．求证：BECE＝EFEA．B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵，求矩阵的特征值和特征向量．C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数)，求直线被曲线所截得的弦长．D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）设均为正数，且，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．23.（本小题满分10分）若存在个不同的正整数，对任意，都有，则称这个不同的正整数为“个好数”．（1）请分别对，构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数，均存在“个好数”．答案与提示一、填空题1.2.3.4.0.0325.6.457.8.49.510.161.1212.18013.2001 4.9解析：11.如图，取BC中点D，联结AD，则，又因为，所以O为BC的中点，因为，所以是等边三角形，，因为ABC外接圆的半径为2，所以，，所以，故答案为12.12.延长，，则，又，所以，即，则，则，故答案为180.13.等差数列中的连续10项为，遗漏的项为且则，化简得，所以，，则连续10项的和为，故答案为200.14.令，在同一坐标系下作出两函数的图像：①如图(1)，当的在轴上方时，，，但对却不恒成立；②如图(2)，，令得，令得，要使得不等式在上恒成立，只需，，.综上，，故答案为9．二、解答题15.解：（1）在△中，因为，设，则．在△中，因为，，，所以．在△中，因为，，，由余弦定理得．因为，所以，即．解得．所以的长为5.（2）由（Ⅰ）求得，．所以，从而．所以．16.证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．因为PC/平面BDE，OE平面BDE，所以PC//平面BDE．（2）因为E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE．因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE平面BDE，DE平面BDE，OE∩DE ＝E，所以PA⊥平面BDE．因为PA平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．17.解：（1）由已知得，直线的方程为，设，由及图得，，直线的方程为，即，由得即，，即水上旅游线的长为．游轮在水上旅游线自码头沿方向开往码头共航行30分钟时间．（2）解法一：点到直线的垂直距离最近，则垂足为.由（1）知直线的方程为，，则直线的方程为，所以解直线和直线的方程组，得点的坐标为（1，5）．解法2：设游轮在线段上的点处，则，，．，，，当时，离景点最近，代入得离景点最近的点的坐标为(1，5).18.解：（1）由题意得，，所以又点在椭圆上，所以解得所以椭圆的标准方程为（2）由（1）知，设点则直线的方程为①直线的方程为②把点的坐标代入①②得所以直线的方程为令得令得所以又点在椭圆上，所以即为定值．（3）由椭圆的对称性，不妨设由题意知，点在轴上，设点则圆的方程为由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点的距离的最小值是设点是椭圆上任意一点，则当时，最小，所以①假设椭圆存在过左焦点的内切圆，则②又点在椭圆上，所以③由①②③得或当时，不合题意，舍去，且经验证，符合题意. 综上，椭圆存在过左焦点的内切圆，圆心的坐标是19.解：（1）当时，当时，，由，解得，所以的单调减区间为，当时，，由，解得或，所以的单调减区间为，综上：的单调减区间为，．（2）当时，，则，令，得或，x+0－0+↗极大值↘极小值↗所以有极大值，极小值，当时，同（1）的讨论可得，在上增，在上减，在上增，在上减，在上增，且函数有两个极大值点，，，且当时，，所以若方程恰好有正根，则（否则至少有二个正根）．又方程恰好有一个负根，则．令，则，所以在时单调减，即，等号当且仅当时取到．所以，等号当且仅当时取到．且此时，即，所以要使方程恰好有一个正根和一个负根，的最大值为．20.解：（1）、（答案不唯一）．（2）由题设，．当，时，均单调递增，不合题意，因此，．当时，对于，当时，单调递减；当时，单调递增．由题设，有，．于是由及，可解得．因此，的值为7，8，9，10，11．（4）因为，且，所以因为（，，），所以、．于是由，可得，进一步得，此时，的四个值为，，，，因此，的最小值为．又，，…，中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设，于是有，因为当时，，所以，因此，，即的最小值为．21．【选做题】A．选修4—1：几何证明选讲证明：连接BD．因为AB为直径，所以BD⊥AC．因为AB＝BC，所以AD＝DC．因为DEBC，ABBC，所以DE∥AB，所以CE＝EB．因为AB是直径，ABBC，所以BC是圆O的切线，所以BE2＝EFEA，即BECE＝EFEA．B．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵的特征多项式为，由，解得，．当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量.当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量．C．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线C的直角坐标方程为，圆心为，半径为，直线的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离为，所以弦长．D．选修4—5：不等式选讲因为x＞0，y＞0，x－y＞0，，=，所以．22．（本小题满分10分）解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率P＝C1323(13)2(12)3＋C23(23)2(13)C13(12)3＋C33(23)3C23(12)3＝1136．（2）ξ的取值为0，1，2，3，所以ξ的概率分布列为ξ0123P7241124524124所以数学期望E(ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1．分23.（本小题满分10分）解：（1）当时，取数，，因为，当时，取数，，，则，，，即，，可构成三个好数．（2）证：①由（1）知当时均存在，②假设命题当时，存在个不同的正整数，其中，使得对任意，都有成立，则当时，构造个数，，（*）其中，若在（*）中取到的是和，则，所以成立，若取到的是和，且，则，由归纳假设得，又，所以是A的一个因子，即，所以，所以当时也成立．所以对任意正整数，均存在“个好数”.。
2016年江苏高考数学试卷及参考答案清晰版
2016年全国高等学校招生考试数学试题江苏卷参考公式圆柱的体积公式：=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高.V 圆柱圆锥的体积公式： Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高.V圆锥131、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合 则________________. {1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<=A B I 2.复数 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________.(12i)(3i),z =+-3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的焦距是________________. 22173x y -=4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________________.5.函数y 的定义域是.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=—3，S 5=10，则a 9的值是.9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆的右焦点，直线与椭圆22221()x y a b a b +=＞＞02b y =交于B ，C 两点，且 ,则该椭圆的离心率是.90BFC ∠=o11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[−1,1)上， 其中 若，则f （5a ）的值,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩.a ∈R 59()()22f f -=是.12. 已知实数x ，y 满足，则x 2+y 2的取值范围是 .240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，，4=∙ ，则 的值是.1BF CF ⋅=-u u u r u u u r BE CE ⋅u u u r u u u r14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是.二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在中，AC =6，ABC △4πcos .54B C ==，（1）求AB 的长；（2）求的值.πcos(6A -)16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且，11B D A F⊥.1111A C A B ⊥求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下1111P A B C D -部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱1111ABCD A B C D -1O O锥的高的四倍.1PO (1)若则仓库的容积是多少？16m,2m,AB PO ==(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当为多少时，仓库1PO 的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :及其上一点A (2，4)221214600x y x y +--+=(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；(3)设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,求实数t 的取值范围。
推理与直接间接证明数学归纳法三轮复习考前保温专题练习(二)含答案人教版高中数学新高考指导
6．①
7．
8．
9．
10．
评卷人
得分
三、解答题
11．解：（1）由 得 ，求得 ， ， ，猜想 ……5分
(2)证明：①当 时，猜想成立．
②设当 时 时，猜想成立，即 ，
则当 时，有 ,
所以当 时猜想也成立
综合①②，猜想对任何 都成立．……10分
12．解：（1）用数学归纳法证明：
（i）当 时，原不等式成立；
当 时，左边 ，右边 ，
因为 ，
所以左边≥右边，原不等式成立；
（ii）假设当 时，不等式成立，即 ，
则当 时，
∵ ，
∴ ，
于是在不等式 两边同乘以 得，
所以
即当 时，不等式也成立
综合（i）（ii）知，对一切正整数，不等式都成立。3分
（2）当 时，由（1）得
于是 ， 。6分
（3）解：由（2），当 时，
10．观察下列不等式： ， ， ， ， , ,由此猜测第n个不等式为(n∈N*)．
评卷人
得分
三、解答题
11．已知数列 满足 ，且 ( )．
⑴求 的值，并猜想 的通项公式；
⑵用数学归纳法证明你的猜想．
12．已知 为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当 时， ；
（Ⅱ）对于 ，已知 ，求证： ， ；
（Ⅲ）求出满足等式 的所有正整数 .
13．已知 ，（其中 ）
⑴求 及 ；
⑵试比较 与 的大小，并说明理由．
14．已知正项数列 中, 是其前 项的和,且 , .
（Ⅰ）计算出 ，然后猜想数列 的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想.
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评卷人
2016年高考数学江苏省(理科)试题及答案【解析版】
2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分,满分70分）【2016江苏(理）】已知集合A={﹣1，2，3,6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．【答案】｛﹣1，2｝【解析】解：∵集合A=｛﹣1，2，3，6}，B=｛x｜﹣2＜x＜3}，∴A∩B=｛﹣1，2}，【2016江苏（理）】复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．【答案】5【解析】解：z=(1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，【2016江苏(理）】在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是．【答案】2【解析】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．【2016江苏（理）】已知一组数据4。
7，4.8，5。
1，5。
4，5.5，则该组数据的方差是．【答案】0。
1【解析】解：∵数据4。
7,4。
8,5.1，5。
4，5。
5的平均数为:=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5。
1,∴该组数据的方差：S2=［（4.7﹣5。
1)2+(4。
8﹣5。
1)2+(5。
1﹣5。
1)2+(5.4﹣5。
1）2+（5.5﹣5。
1)2］=0。
1．【2016江苏(理）】函数y=的定义域是．【答案】［﹣3,1］【解析】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0,解得：x∈[﹣3，1]，【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．【答案】9【解析】解：当a=1,b=9时，不满足a＞b，故a=5,b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，【2016江苏（理)】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4,5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【答案】【解析】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次,基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：(4，6)，（6，4)，(5，5),（5，6），（6,5），（6，6),共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．【2016江苏（理）】已知{a n｝是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．【答案】20【解析】解：∵｛a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴,解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．【2016江苏（理）】定义在区间［0，3π］上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．【答案】7【解析】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间［0，3π］上的图象如下：由图可知,共7个交点．【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B(﹣a,）,C(a，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1,即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=,可得e2==，可得e=，【2016江苏（理）】设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R,若f（﹣）=f（），则f(5a)的值是．【答案】﹣【解析】解：f(x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f(﹣）=f（﹣）=﹣+a，f(）=f(）=｜﹣｜=,∴a=，∴f（5a)=f(3）=f(﹣1）=﹣1+=﹣，【2016江苏(理）】已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是．【答案】［,13］【解析】解:作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方,由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC:2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3）,此时z=22+32=4+9=13,点O到直线BC:2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d2=（）2=，故z的取值范围是［,13]，故答案为:[，13]．【2016江苏（理）】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点,•=4,•=﹣1，则•的值是．【答案】【解析】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1,•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，【2016江苏（理）】在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．【答案】8【解析】解：由sinA=sin(π﹣A）=sin（B+C)=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0,在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0,解得t＞1,tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号,此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+,tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．二、解答题（共6小题，满分90分）【2016江苏(理）】在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．(1）求AB的长; （2)求cos（A﹣)的值．【解析】解：（1）∵△ABC中，cosB=,∴sinB=，∵，∴AB==5;（2）cosA=﹣cos(C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角,∴sinA=，∴cos(A﹣）=cosA+sinA=．【2016江苏(理）】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点,点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证:(1)直线DE∥平面A1C1F；（2)平面B1DE⊥平面A1C1F．【解析】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点,∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1,∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B,∵DE∥A1C1,∴DE⊥平面AA1B1B,又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D,且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P ﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【解析】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=m,则仓库的容积V=×(•）2•x+（•）2•4x=x3+312x，（0＜x＜6）,∴V′=﹣26x2+312,(0＜x＜6），当0＜x＜2时,V′＞0，V(x)单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，V（x)单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；即当PO1=2m时，仓库的容积最大．【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2+y2﹣12x ﹣14y+60=0及其上一点A（2,4）．(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程;（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=,求实数t的取值范围．【解析】解:（1）∵N在直线x=6上,∴设N（6,n）,∵圆N与x轴相切,∴圆N为：(x﹣6）2+（y﹣n)2=n2,n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（(x﹣6）2+（x﹣7)2=25，∴｜7﹣n|=|n｜+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+(y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC｜=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即｜｜=||，|｜=，又||≤10，即≤10，解得t∈［2﹣2，2+2］，对于任意t∈［2﹣2，2+2]，欲使，此时,｜｜≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为,必然与圆交于P、Q两点，此时｜｜=|｜,即，因此实数t的取值范围为t∈［2﹣2，2+2]，．【2016江苏（理）】已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1,b≠1)．(1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf(x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1,b＞1，函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【解析】解:函数f（x)=a x+b x（a＞0,b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2;即:=2，可得x=0．②不等式f(2x)≥mf(x）﹣6恒成立，即≥m（）﹣6恒成立．令t=,t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m的最大值为：4．（2)g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，g′（x）=axlna+bxlnb=ax[+］，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h(x0）=0，因此x∈（﹣∞,x0）时，h（x）＜0,a x lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h(x）＞0，a x lnb＞0,则g′（x）＞0,则g(x）在（﹣∞，x0）递减,（x0，+∞）递增,因此g（x）的最小值为：g（x0)．①若g（x0）＜0，x＜log a2时，a x＞=2,b x＞0，则g（x)＞0，因此x1＜log a2，且x1＜x0时,g(x1）＞0,因此g（x）在(x1，x0）有零点，则g(x)至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x)的最小值为g（x0）,可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x0=0,因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0,ln（ab)=0,则ab=1．可得ab=1．【2016江苏（理)】记U={1，2,…，100}，对数列{a n}(n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0;若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如:T=｛1，3，66｝时，S T=a1+a3+a66．现设｛a n｝（n∈N*）是公比为3的等比数列,且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；(2)对任意正整数k(1≤k≤100），若T⊆｛1，2，…,k}，求证：S T＜a k+1；(3）设C⊆U,D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【解析】解：(1）当T=｛2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3,从而a1==1，故a n=3n﹣1,(2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，(3）设A=∁C(C∩D），B=∁D（C∩D),则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅,设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=＜=,即S A≥2S B,综上所述，S A≥2S B,故S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2016年高考数学江苏省(理科)试题及答案【解析版】
2016 年江苏省高考数学试卷一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）【2016 江苏（理）】已知集合 A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x ＜3}，则 A ∩B= ． 【答案】{﹣1，2}【解析】解：∵集合 A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x ＜3}， ∴A ∩B={﹣1，2}，【2016 江苏（理）】复数 z=（1+2i ）（3﹣i ），其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 ． 【答案】5【解析】解：z=（1+2i ）（3﹣i ）=5+5i ， 则 z 的实部是 5，【2016 江苏（理）】在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 【答案】 2﹣=1 的焦距是 ．【解析】解：双曲线 ﹣=1 中，a=，b= ，∴c= = ，∴双曲线﹣=1 的焦距是 2．【2016 江苏（理）】已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ． 【答案】0.1【解析】解：∵数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5 的平均数为： = （4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S = [（4.7﹣5.1） +（4.8﹣5.1） +（5.1﹣5.1） +（5.4﹣5.1） +（5.5﹣5.1） ]=0.1．【2016 江苏（理）】函数 y=的定义域是 ．【答案】[﹣3，1]【解析】解：由 3﹣2x ﹣x ≥0 得：x +2x ﹣3≤0， 解得：x ∈[﹣3，1]，【2016 江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 ．第 1 页（共 19 页）2 2 2 2 2 22 2【答案】9【解析】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，【2016江苏（理）】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【答案】【解析】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6 个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣= ．【2016江苏（理）】已知{a n}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．【答案】20【解析】解：∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴解得a1=﹣4，d=3，，∴a9=﹣4+8×3=20．【2016江苏（理）】定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．第2 页（共19 页）【答案】7【解析】解：画出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共 7 个交点．【2016 江苏（理）】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，直线 y= 与椭圆交于 B ，C 两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是 ．【答案】【解析】解：设右焦点 F （c ，0），将 y= 代入椭圆方程可得 x=±a =±a ，可得 B（﹣ a ， ），C （a ， ），由∠BFC=90°，可得 k BF •k CF =﹣1， 即有 •=﹣1，化简为 b =3a ﹣4c ， 由 b =a ﹣c ，即有 3c =2a ，由 e= ，可得 e = = ，可得 e= ，第 3 页（共 19 页）2222 2 2 2 2 2【2016 江苏（理）】设 f （x ）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x ）=，其中 a ∈R ，若 f （﹣ ）=f （ ），则 f （5a ）的值是 ．【答案】﹣【解析】解：f （x ）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x ）=，∴f （﹣ ）=f （﹣ ）=﹣ +a ， f （ ）=f （ ）=| ﹣ |= ，∴a= ，∴f （5a ）=f （3）=f （﹣1）=﹣1+ =﹣ ，【2016 江苏（理）】已知实数 x ，y 满足 ，则 x +y 的取值范围是 ．【答案】[ ，13]【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，设 z=x +y ，则 z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方， 由图象知 A 到原点的距离最大， 点 O 到直线 BC ：2x+y ﹣2=0 的距离最小， 由 得，即 A （2，3），此时 z=2 +3 =4+9=13，点 O 到直线 BC ：2x+y ﹣2=0 的距离 d= =则 z=d =（ ） = ，故 z 的取值范围是[ ，13]，故答案为：[ ，13]．，第 4 页（共 19 页）2 2 2 2 2 2 22【2016江苏（理）】如图，在△ABC 中，D是BC的中点，E，F 是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．【答案】【解析】解：∵D 是BC的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点，∴= += +3，，=﹣=﹣++3，，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵= +2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，【2016江苏（理）】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是．【答案】8【解析】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，第5 页（共19 页）则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）﹣，由t＞1 得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．二、解答题（共6 小题，满分90分）【2016江苏（理）】在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解析】解：（1）∵△ABC中，cosB= ，∴sinB= ，∵，∴AB= =5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣∵A 为三角形的内角，．∴sinA=∴cos（A ﹣，）= cosA+ sinA=．【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E 分别为AB，BC的中点，点F 在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．2第6 页（共19 页）【解析】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE 为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A 1B1C1为棱柱，∴AC∥A 1C1，∴DE∥A 1C1，∵A 1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A 1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A 1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A 1C1，∴DE⊥平面AA 1B1B，又∵A 1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A 1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4 倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？第7 页（共19 页）【解析】解：（1）∵PO 1=2m ，正四棱柱的高 O 1O 是正四棱锥的高 PO 1 的 4 倍． ∴O 1 O =8m ， ∴仓库的容积 V= ×6 ×2+6 ×8=312m ，（2）若正四棱锥的侧棱长为 6m ， 设 PO 1 =xm ，则 O 1 O =4xm ，A1 O 1 = m ，A 1 B 1 =m ，则仓库的容积 V= ×（•） •x+（•）2 •4x= x3 +312x ，（0＜x ＜6），∴V ′=﹣26x +312，（0＜x ＜6），当 0＜x ＜2 时，V ′＞0，V （x ）单调递增； 当 2 ＜x ＜6 时，V ′＜0，V （x ）单调递减； 故当 x=2 时，V （x ）取最大值；即当 PO 1 =2 m 时，仓库的容积最大．【2016 江苏（理）】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M ：x +y ﹣12x ﹣14y+60=0 及其上一点 A （2，4）．（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程； （2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B 、C 两点，且 BC=OA ，求直线 l 的方程； （3）设点 T （t ，0）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q ，使得 范围．+ =，求实数 t 的取值【解析】解：（1）∵N 在直线 x=6 上，∴设 N （6，n ），∵圆 N 与 x 轴相切，∴圆 N 为：（x ﹣6） +（y ﹣n ） =n ，n ＞0， 又圆 N 与圆 M 外切，圆 M ：x +y ﹣12x ﹣14y+60=0，即圆 M ：（（x ﹣6） +（x ﹣7） =25， ∴|7﹣n|=|n|+5，解得 n=1，∴圆 N 的标准方程为（x ﹣6） +（y ﹣1） =1． （2）由题意得 OA=2 ，k O A=2，设 l ：y=2x+b ，则圆心 M 到直线 l 的距离：d= =， 则|BC|=2=2，BC=2，即 2=2，解得 b=5 或 b=﹣15，2 23 22 2 2 2 2222222 2∴直线l的方程为：y=2x+5 或y=2x﹣15．第8 页（共19 页）（3） = | |=又| |≤10，即对于任意 t ∈[2﹣2 ，即，即||=||， ，≤10，解得 t ∈[2﹣2，2+2]，欲使，，2+2]，此时，| |≤10，只需要作直线 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为 ，必然与圆交于 P 、Q 两点，此时| |=||，即，因此实数 t 的取值范围为 t ∈[2﹣2，2+2]，．【2016 江苏（理）】已知函数 f （x ）=a +b （a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1）． （1）设 a=2，b= ．①求方程 f （x ）=2 的根；②若对于任意 x ∈R ，不等式 f （2x ）≥mf （x ）﹣6恒成立，求实数 m 的最大值； （2）若 0＜a ＜1，b ＞1，函数 g （x ）=f （x ）﹣2有且只有 1 个零点，求 ab 的值． 【解析】解：函数 f （x ）=a +b （a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1）． （1）设 a=2，b= ．①方程 f （x ）=2；即：=2，可得 x=0．②不等式 f （2x ）≥mf （x ）﹣6恒成立，即≥m （）﹣6恒成立．令 t=，t ≥2．不等式化为：t ﹣mt+4≥0 在 t ≥2 时，恒成立．可得：△≤△ 0 或即：m ﹣16≤0 或 m ≤4， ∴m ∈（﹣∞，4]．实数 m 的最大值为：4． （2）g （x ）=f （x ）﹣2=a +b ﹣2，g ′（x ）=axlna+bxlnb=ax[ + ]，0＜a ＜1，b ＞1 可得 ，令 h （x ）= +，则 h （x ）是递增函数，而，lna ＜0，lnb ＞0，因此，x 0 =时，h （x 0 ）=0，第 9 页（共 19 页）x xx x 2 2x x因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，a lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，a lnb＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）．①若g （x 0）＜0，x＜loga2 时，a ＞=2，b ＞0，则g（x）＞0，因此x 1＜loga2，且x1＜x0时，g（x1）＞0，因此g（x）在（x1，x0）有零点，则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，由g（0）=a +b ﹣2=0，因此x 0=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．可得ab=1．【2016江苏（理）】记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N ）和U 的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t 1，t2，…，tk}，定义ST= + +…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥SD，求证：S C+SC∩D≥2SD．【解析】解：（1）当T={2，4}时，S T=a 2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1= =1，故a n=3 ，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+3 +…+3 =＜3 =a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B ，由条件S C≥SD，可得SA≥SB，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2SB，②、若B≠∅，由S A≥SB可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤SB相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，xxx x0 0*n﹣12 k﹣1k2 m﹣1S B≤a1+a2+…a m=1+3+3+…+3 =＜=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+SC∩D≥2SD．第10 页（共19 页）附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】【2016江苏（理）】如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC 的中点，求证：∠EDC=∠ABD．【解析】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，则：∠EDC=∠C，由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，所以，∠EDC=∠ABD．B.【选修4—2：矩阵与变换】【2016江苏（理）】已知矩阵A=AB．，【解析】解：∵B =，矩阵B的逆矩阵B =，求矩阵∴B=（B ﹣1）﹣1= =，又A=，∴AB= =．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】第11 页（共19 页）﹣1﹣1【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l 的参数方程为（t为参数），椭圆C 的参数方程为（θ为参数），设直线l 与椭圆C相交于A，B 两点，求线段AB的长．【解析】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得∴|AB|=或．．【2016江苏（理）】设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．【解析】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+ =a，则|2x+y﹣4|＜a 成立．附加题【必做题】【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y =2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l 对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p 的取值范围．第12 页（共19 页）2【解析】解：（1）∵l ：x ﹣y ﹣2=0，∴l 与 x 轴的交点坐标（2，0）， 即抛物线的焦点坐标（2，0）． ∴ ，∴抛物线 C ：y =8x ．（2）证明：①设点 P （x 1 ，y 1 ），Q （x 2 ，y 2），则： ，即：，k PQ= =，又∵P ，Q 关于直线 l 对称，∴k P Q =﹣1，即 y 1 +y 2=﹣2p ，∴，又 PQ 的中点在直线 l 上，∴==2﹣p ，∴线段 PQ 的中点坐标为（2﹣p ，﹣p ）； ②因为 Q 中点坐标（2﹣p ，﹣p ）． ∴ ，即∴，即关于 y 2 +2py+4p 2 ﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞△ 0，（2p ） ﹣4（4p ﹣4p ）＞0， ． ∴p ∈【2016 江苏（理）】（1）求 7C﹣4C的值；（2）设 m ，n ∈N ，n ≥m ，求证：（m+1）C +（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．2 22 *第13 页（共19 页）【解析】解：（1）7= ﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意 m ∈N ，①当 n=m 时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1） =m+1，等式成立．②假设 n=k （k ≥m ）时命题成立， 即（m+1）C +（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）当 n=k+1 时，=（m+1），左边=（m+1） +（m+2）+（m+3） ++（k+1）+（k+2）=右边= ∵=（m+1）[=（m+1）×=（k+2）=（k+2），∴ ，﹣[k+3﹣（k ﹣m+1）]=（m+1），]∴左边=右边，∴n=k+1 时，命题也成立，∴m ，n ∈N ，n ≥m ，（m+1）C+（m+2）C +（m+3）C +…+nC +（n+1）C=（m+1）C．第 14 页（共 19 页）**2016 年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．【2016 江苏（理）】已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．2．【2016 江苏（理）】复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i 为虚数单位，则z的实部是．3．【2016 江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1 的焦距是．4．【2016 江苏（理）】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．5．【2016 江苏（理）】函数y=的定义域是．6．【2016 江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．7．【2016 江苏（理）】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．8．【2016 江苏（理）】已知{a n}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9 的值是．9．【2016 江苏（理）】定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．第15 页（共19 页）10．【2016 江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆+ =1（a＞b＞0）的右焦点，直线y= 与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．11．【2016 江苏（理）】设f（x）是定义在R上且周期为2 的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．12．【2016 江苏（理）】已知实数x，y满足，则x +y 的取值范围是．13．【2016 江苏（理）】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．14．【2016 江苏（理）】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是．二、解答题（共6 小题，满分90分）15．【2016 江苏（理）】在△ABC中，AC=6，cosB=，C=（1）求AB的长；．（2）求cos（A﹣）的值．16．【2016 江苏（理）】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F 在侧棱B1B 上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；2 2第16 页（共19 页）（2）平面 B 1DE ⊥平面 A 1C 1F ．17．【2016 江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱 锥 P ﹣A 1 B 1 C 1 D 1 ，下部的形状是正四棱柱 ABCD ﹣A 1 B 1 C 1 D 1（如图所示），并要求正四棱柱 的高 O1 O 是正四棱锥的高 PO 1 的 4 倍． （1）若 AB=6m ，PO 1 =2m ，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为 6m ，则当 PO 1 为多少时，仓库的容积最大？18．【2016 江苏（理）】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M ：x +y ﹣12x ﹣14y+60=0 及其上一点 A （2，4）．（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程； （2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B 、C 两点，且 BC=OA ，求直线 l 的方程； （3）设点 T （t ，0）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q ，使得 范围．+ =，求实数 t 的取值19．【2016 江苏（理）】已知函数 f （x ）=a +b （a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1）． （1）设 a=2，b= ．①求方程 f （x ）=2 的根；②若对于任意 x ∈R ，不等式 f （2x ）≥mf （x ）﹣6恒成立，求实数 m 的最大值； （2）若 0＜a ＜1，b ＞1，函数 g （x ）=f （x ）﹣2有且只有 1 个零点，求 ab 的值．22xx第17 页（共19 页）20．【2016 江苏（理）】记 U={1，2，…，100}，对数列{a n }（n ∈N ）和 U 的子集 T ，若 T=∅，定义 S T =0；若 T={t 1 ，t 2 ，…，tk}，定义 S T = + +…+ ．例如： T={1，3，66}时，S T =a 1 +a 3 +a 66 ．现设{a n }（n ∈N ）是公比为 3 的等比数列，且当 T={2，4}时，S T =30． （1）求数列{an }的通项公式； （2）对任意正整数 k （1≤k ≤100），若 T ⊆{1，2，…，k}，求证：S T ＜a k+1； （3）设 C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C +S C ∩D ≥2S D ．附加题【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区 域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.A ．【选修 4—1 几何证明选讲】21．【2016 江苏（理）】如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 为 BC 的 中点，求证：∠EDC=∠ABD ．B.【选修 4—2：矩阵与变换】22．【2016 江苏（理）】已知矩阵 A=，矩阵 B 的逆矩阵 B =，求矩阵AB ．C.【选修 4—4：坐标系与参数方程】23．【2016 江苏（理）】在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t为参数），椭圆 C 的参数方程为 （θ 为参数），设直线 l 与椭圆 C 相交于 A ，B 两点，求线段 AB 的长．24．【2016 江苏（理）】设 a ＞0，|x ﹣1|＜ ，|y ﹣2|＜ ，求证：|2x+y ﹣4|＜a ．附加题【必做题】25．【2016 江苏（理）】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l ：x ﹣y ﹣2=0，抛物线 C ：y =2px （p ＞0）．（1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q ． ①求证：线段 PQ 的中点坐标为（2﹣p ，﹣p ）；**﹣12②求p 的取值范围．第18 页（共19 页）26．【2016 江苏（理）】（1）求7C﹣4C的值；*，n≥m，求证：（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C+…+nC （2）设m，n∈N+（n+1）C =（m+1）C．第19 页（共19 页）。
江苏省苏州市2016届高三数学考前指导卷 Word版含解析
2016年江苏省苏州市高考数学考前指导卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∪B）=．2．已知复数z1=1+ai，z2=3+2i，a∈R，i是虚数单位，若z1z2是实数，则a=．3．某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a+b=．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为．5．执行如图所示的流程图，输出的S的值为．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．8．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）+k（A＞0，k＞0）的最大值为4，最小值为2，且f（x0）=2，则f（x0+）=．9．在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA=SB=2，则该三棱锥的体积为．10．已知直线l：x﹣y=1与圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为．11．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是．12．若x＞0，y＞0，则的最小值为．13．在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于．14．若不等式|mx3﹣lnx|≥1对∀x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题（每题6分，满分90分，将答案填在答题纸上）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．16．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF=a，点M在线段EF上．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM∥平面BDE，试求线段AM的长．17．苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用x万元满足p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品p万件还需投入成本（10+2p）万元（不含广告费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完．（1）将该产品的利润y万元表示为广告费用x万元的函数；（2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．19．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣qb n+1=a n﹣qb n，其中q∈R，n∈N*．（1）若{b n}是公差为2的等差数列，且a1=q=3，求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}是首项为2，公比为q的等比数列，a1=3q＜0，且对任意m，n∈N*，a n≠0，都有∈（，6），试求q的取值范围．20．已知a∈R，函数f（x）=e x﹣1﹣ax的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．2016年江苏省苏州市高考数学考前指导卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∪B）={5} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A与B的并集，找出并集的补集即可．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}，∵全集U={1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）={5}．故答案为：{5}2．已知复数z1=1+ai，z2=3+2i，a∈R，i是虚数单位，若z1z2是实数，则a=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数定义是法则、复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：∵z1z2=（1+ai）（3+2i）=3﹣2a+（3a+2）i是实数，∴3a+2=0，解得a=﹣．故答案为：．3．某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a+b=56．【考点】系统抽样方法．【分析】求出样本间隔即可得到结论．【解答】解：∵样本容量为5，∴样本间隔为60÷5=12，∵编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，∴a=16，b=40，∴a+b=56，故答案为：564．等比数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】a3=2S2+1，a4=2S3+1，两式相减即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2S2+1，a4=2S3+1，∴a4﹣a3=2a3，化为=3=q．故答案为：3．5．执行如图所示的流程图，输出的S的值为2．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序执行的结果是什么．【解答】解：i=0＜4，s==，i=1＜4，s==﹣，i=2＜4，s==﹣3，i=3＜4，s==2，i=4，输出s=2，故答案为：2．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率．【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．故答案为：．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c 的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）在△MF1F2中tan30°=即解得故答案为：8．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）+k（A＞0，k＞0）的最大值为4，最小值为2，且f（x0）=2，则f（x0+）=3．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数最值列式求得A，k的值，由f（x0）=2，得到sin（2x0+φ）=﹣1，则cos（2x0+φ）=0，写出f（x0+），结合诱导公式求值．【解答】解：由f（x）=Asin（2x+φ）+k，∵f（x）=Asin（2x+φ）+k（A＞0，k＞0）的最大值为4，最小值为2，∴，解得：A=1，k=3．∴f（x）=sin（2x+φ）+3．由f（x0）=2，得sin（2x0+φ）+3=2，∴sin（2x0+φ）=﹣1，则cos（2x0+φ）=0．则f（x0+）=+3=cos（2x0+φ）+3=3．故答案为：3．9．在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA=SB=2，则该三棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，结合已知可得SC⊥平面SAB，并求出SC，解三角形求得△ASB 的面积，代入体积公式求得三棱锥的体积．【解答】解：如图，∵SA⊥SC，SB⊥SC，且SA∩SB=S，∴SC⊥平面SAB，在Rt△BSC中，由SB=2，BC=3，得SC=．在△SAB中，由取AB中点D，连接SD，则SD⊥AB，且BD=．∴．∴．故答案为：．10．已知直线l：x﹣y=1与圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求出弦长|AB|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，然后将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．【解答】解：把圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0化为标准方程：（x﹣1）2+（y+1）2=3，圆心（1，﹣1），半径r=．直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距d==，由勾股定理的半弦长==，所以弦长|AB|=2×=．又B，D两点在圆上，并且位于直线AC的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=×|AB|×|CE|+×|AB|×|DE|==．故答案为：．11．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是[﹣，2]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，求出A（，），D（，），设点P（x，0），0≤x≤2，根据向量的坐标运算以及向量的数量积的运算得到•=（x﹣）2﹣，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，∵∠BAD=120°，AB=1，AD=2，∴∠ABC=60°，∴AE=，BE=，∴A（，），D（，），∵点P是线段BC上的一个动点，设点P（x，0），0≤x≤2，∴=（x﹣，﹣），=（x﹣，﹣），∴•=（x﹣）（x﹣）+=（x﹣）2﹣，∴当x=时，有最小值，最小值为﹣，当x=0时，有最大值，最大值为2，则•的取值范围为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．12．若x＞0，y＞0，则的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】设=t＞0，变形=+t=+﹣，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设=t＞0，则=+t=+﹣≥﹣=﹣，当且仅当=时取等号．故答案为：﹣．13．在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A﹣）=，由A∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），从而可求A的值，又sinB•cosC=﹣sin（2B+），由题意可得sin（2B+）=1，解得B=kπ+，k∈Z，结合范围B∈（0，π），从而可求B 的值．【解答】解：∵sin2A+sin2A=1，可得： +sin2A=1，整理可得：sin2A ﹣cos2A=1，∴（sin2A﹣cos2A）=1，可得：sin（2A﹣）=1，∴解得：sin（2A﹣）=，∵A∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，或，从而解得解得：A=或（由题意舍去），∴sinB•cosC=sinBcos（﹣B）=sinB（﹣cosB+sinB）=﹣cos2B﹣sin2B=﹣sin（2B+），∴当sin（2B+）=1时，sinB•cosC=﹣sin（2B+）取得最小值，此时，2B+=2kπ+，k∈Z，∴解得：B=kπ+，k∈Z，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．14．若不等式|mx3﹣lnx|≥1对∀x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是[e2，+∞）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】根据绝对值不等式的性质，结合不等式恒成立，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数以及函数的最值即可．【解答】解：|mx3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立等价为mx3﹣lnx≥1，或mx3﹣lnx≤﹣1，即m≥，记f（x）=，或m≤，记g（x）=，f'（x）==，由f'（x）==0，解得lnx=﹣，即x=e﹣，由f（x）＞0，解得0＜x＜e﹣，此时函数单调递增，由f（x）＜0，解得x＞e﹣，此时函数单调递减，即当x=e﹣时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e﹣）===e2，此时m≥e2，若m≤，∵当x=1时，=0，∴当m＞0时，不等式m≤不恒成立，综上m≥e2．故答案为：[e2，+∞）．二、解答题（每题6分，满分90分，将答案填在答题纸上）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据题意和正弦定理求出a的值；（Ⅱ）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，由正弦定理，得．…（Ⅱ）由得，，由得，，则，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，化简得，b2﹣2b﹣15=0，解得b=5或b=﹣3（舍负）．所以．…16．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF=a，点M在线段EF上．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM∥平面BDE，试求线段AM的长．【考点】直线与平面平行的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知及等腰梯形的性质，勾股定理可证明AC⊥BC，又平面ACEF⊥平面ABCD，从而可证BC⊥平面ACEF，进而可证BC⊥AM．（2）设AC与BD交于点N，由AM∥平面BDE，可得四边形ANEM是平行四边形，可得AM=EN，由CD=a，CN=DN，∠DNC=120°，解得，又CE=a，从而可求EN，进而可求AM的值．【解答】证明：（1）由题意知，梯形ABCD为等腰梯形，且，由AB2+BC2=AC2，可知AC⊥BC，又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACEF，又AM⊂平面ACEF，所以BC⊥AM．解：（2）设AC与BD交于点N，因为AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE=EN，所以AM∥EN，FE∥AC，故四边形ANEM是平行四边形，所以AM=EN，由CD=a，CN=DN，∠DNC=120°，所以，又CE=a，所以，所以．17．苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用x万元满足p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品p万件还需投入成本（10+2p）万元（不含广告费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完．（1）将该产品的利润y万元表示为广告费用x万元的函数；（2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由题意知，，将代入化简即可得出．（2）y′=，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题意知，，将代入化简得：．（2）．①当a≥1时，x∈（0，1）时，y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增；x∈（1，a）时，y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减，∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．②当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增，在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上所述，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3∴椭圆方程为（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=如果要上式为定值，则必须有验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点满足19．已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣qb n+1=a n ﹣qb n ，其中q ∈R ，n ∈N *． （1）若{b n }是公差为2的等差数列，且a 1=q=3，求数列{a n }的通项公式；（2）若{b n }是首项为2，公比为q 的等比数列，a 1=3q ＜0，且对任意m ，n ∈N *，a n ≠0，都有∈（，6），试求q 的取值范围．【考点】等比数列的性质；数列递推式． 【分析】（1）确定{a n }是首项为3，公差为6的等差数列，即可求数列{a n }的通项公式；（2）确定a n =2q n +q ，a n ＜0，由指数函数的单调性知，{a n }的最大值为，最小值为a 1=3q ，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q 的取值范围．【解答】解：（1）由a n+1﹣a n =q （b n+1﹣b n ）=2q=6，所以{a n }是首项为3，公差为6的等差数列，故{a n }的通项公式为．（2）因为，所以，当n ≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=2[（q n ﹣q n ﹣1）+（q n ﹣1﹣q n ﹣2）+…+（q 2﹣q ）]+3q=2q n +q ．当n=1时，a 1=3q ，符合上式，所以，因为a 1=3q ＜0，且对任意，故a n ＜0，特别地2q 2+q ＜0，于是，此时对任意n ∈N *，a n ≠0．当时，，由指数函数的单调性知，{a n }的最大值为，最小值为a 1=3q ，由题意，的最大值及最小值分别为和．由及，解得．综上所述，q 的取值范围为．20．已知a∈R，函数f（x）=e x﹣1﹣ax的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数图象与x轴相切，求出a的值，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性以及f（x）＞m（x﹣1）lnx，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x﹣1﹣a，设切点为（x0，0），依题意，，解得所以f′（x）=e x﹣1﹣1．当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）lnx，x＞0．则g′（x）=e x﹣1﹣m（lnx+）﹣1，令h（x）=g′（x），则h′（x）=e x﹣1﹣m（+），（ⅰ）若m≤，因为当x＞1时，e x﹣1＞1，m（+）＜1，所以h′（x）＞0，所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上单调递增．又因为g′（1）=0，所以当x＞1时，g′（x）＞0，从而g（x）在[1，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以g（x）＞0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx成立．（ⅱ）若m＞，可得h′（x）在（0，+∞）上单调递增．因为h′（1）=1﹣2m＜0，h′（1+ln（2m））＞0，所以存在x1∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x1）=0，且当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（1，x1）上单调递减，又因为g′（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g′（x）＜0，从而g（x）在（1，x1）上单调递减，而g（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx不成立．纵上所述，k的取值范围是（﹣∞，]．2016年8月1日。
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2016年江苏省高考数学第三轮复习考前基础练习及答案（2）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.已知角的终边过点P(－5,12),则cos=____ ____ 。
2.设(3)10izi(i为虚数单位),则||z=____ ____ 。
3. 已知复数122i,2izaz，若 | z1 |＜| z2 |，则实数a的取值范围是____
____ 。
4.设不等式组0,022xyxy所表示的区域为A,现在区域A中任意丢进一个粒子,则该粒子
落在直线12yx上方的概率为____ ____ 。
5. 已知向量,ab满足||3,||5,||7abab，则ba,的夹角
为____ ____ 。
6.设方程2ln72xx的解为0x,则关于x的不等式02xx
的最大整数解为____ ____.
7.对一个作直线运动的质点的运动过程观测8次,得如下表所示的数据.
观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8
观测数据ia 40 41 43 43 44 46 47 4
8
在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a
是这8个数据的平均数),则输出的S的值是____ ____ 。
8. 若复数)2)(1(ibi是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b等于 。
9. 做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A、B、C、D四个单位回收的
2
问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样
本，若在B单位抽取20份问卷，则在D单位抽取的问卷份数是 。
10. 在ABC中，AB3，BC1， coscosACBBCA，则ACAB____
____ 。
11. 设)2,1(OA，)1,(aOB，)0,(bOC，0,0ba,O为坐标原点，若A、
B
、C三点共线，则ba21的最小值是____ ____ 。
12. 已知、是平面，m、n是直线，给出下列命题
①若m，m，则。 ②若m，n，m∥，n∥，则．//。
③如果mnm,,、n是异面直线，那么与n相交。
④若m，n∥m，且nn,，则n∥且n∥。其中正确命题的个
数是__ 。
13. 已知na是等比数列,242,8aa,则1223341nnaaaaaaaa=____
____ 。
14. 设P为曲线2:1Cyxx上一点,曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[1,3],
则点P纵坐标的取值范围是____ ____ 。
1、513；2.10；3、（-1,1）；4、34；5、23；6、4；7、7；8、2；9、40份；
10、32或2；11、8；12、2；13、2(14)3n；14、3[,3]4.
二、解答题：本大题共2小题，共计30分，
15．已知在ABC中,6cos3A,,,abc分别是角,,ABC所对的边.
3
(1)求tan2A；
(2)若22sin()23B,22c,求ABC的面积.
15、解: (Ⅰ)因为6cos3A,∴3sin3A,则2tan2A„„„„„„„„„(4分)
∴22tantan2221tanAAA„„„„„„„„„„„„„„„„ (7分)
(Ⅱ)由22sin()23B,得22cos3B,∴1sin3B„„„„„„„„(9分)
则6sinsin()sincoscossin3CABABAB „„„„„„„(11分)
由正弦定理,得sin2sincAaC,∴ABC的面积为122sin23SacB„„(15分)
16．已知函数axaaxxxf12)(223（其中2a）的图象在2x处的切线与直
线
0125yx
平行。
（1）求实数a的值及该切线方程；
（2）若对于任意的Mxfxfxx|)()(|],1,0[,2121恒成立，求实数M的最小值.
16、（1）105,1xya；（2）274.