高三数学立体几何专题训练

高三数学立体几何专题训练【考点】1.三视图；2求体积；3证线面垂直(垂直关系)；4求二面角的平面角；5求线面 角；6求异面直线所成角；7.求三角形面积；8判断平行、垂直、相交、重合位置关系。

【复习建议】本题为低中档，一般分为两小问，可得满分。

第(1)问，一般考查平行与垂直的证明 及相关问题，需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理，并注意证明过程的书写规范， 如能建系。

也可用向量法；第(2)问一般研究空间角，如用综合法请注意证明过程。

如用空间向量需注意：异面直线所成角(一定不大于900)、线面所成角(此类题最容易错，记 住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦)、二面角(注意观察是钝角还是锐角，一般 情况下是锐角)。

向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建，并用文字说明，注意检查所写 的点或向量坐标有无错，注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算，注意是否作答。

特别 的说明：广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别，但其实都很简单，无需紧张。

用向量 还是综合法，视题目(更适合哪种方法)和个人情况而定。

最后适当注意：求解线面所成角 要转换(比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系)和翻折问题。

下面的例题仅供参考。

【题例】 1.如图3所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，342=PB ．F是线段PB 上一点，341715=CF ,点E 在线段AB 上且EF⊥PB．(I)证明：PB⊥平面CEF ；(Ⅱ)求二面角B —CE-F 的正切。

选题目的，练好计算(包括三角形各边，二面角求解)练好规范；判定是否适用向量。

2．翻折问题．体积问题．函数导数)如图6所示，等腰△ABC 的底边66=AB ,高CD=3，点E 是线段BD 上异于点B,D 的动点，点F 在BC 边上，且EF⊥AB，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE⊥AE，记BE=x ，V(x)表示四棱锥P 一ACEF 的体积.(1)求V(x)的表达式；(2)当x 为何值时，V(x)取得最大值?(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值3、(组合图形问题)如图所示：边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且2=DE ,ED∥A F,且∠DAF=900(1)求BD 和面BEF 所成的角的正弦；(2)线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的 平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF 的比值； 若不存在，说明理由。

总结：解决存在性问题方法：1．先假设存在，再去推理，下结论： 2．运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算。

4．(视图，无棱二面角问题)四棱锥P —ABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．(1)写出四棱锥P 一ABCD 中四对线面垂直关系(不要求证明)；(2)在四棱锥P--ABCD 中，若E 为PA 的中点，求证：BE∥平面 PCD ；(3)在四棱锥P 一ABCD 中，设面PAB 与面PCD 所在的角为θ(00<θ≤900)，求cos θ的值．5．(无棱二面角问题)如图，四棱锥S 一ABCD 的底面是边长为l 的正方形．SD垂直于底面ABCD ，.3=SB(1)求证：BC⊥SC(2)求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；(3)设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小．6．如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将ABEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示．(1)求证：PD⊥EF：(2)求三棱锥P—DEF的体积；(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值．7、如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=600，Q为AD的中点。

(1)若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB(3)在(2)的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2求二面角M—BQ-C的大小。

8．(本小题满分l4分)如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形，SA⊥平面ABC，SA=BC=2。

AB=4．M、N、D分别是SC、AB、BC的中点。

(1)求证：MN⊥AB；(2)求二面角S-ND—A的余弦值：(3)求点A到平面SND的距离。

参考答案l(I)证明：2221006436PC AC PA ==+=+∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形．故PA⊥平面ABC,又3061021||||21=⨯⨯==∆BC AC S PBC 而PBC S CF PB ∆==⨯⨯=3017341534221||||21,故CF⊥PB，又已知EF⊥PB∴PB ⊥平面CEF(II)由(I)知PB⊥CE，PA⊥平面ABC ．∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB⊥CE 在平面PAB 内，过F 作FF 1垂直AB 交AB 于F 1，则FF 1⊥平面ABC ，EF l 是EF 在平面ABC 上的射影，∴EF⊥EC ,故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角．35610tan tan ===∠=∠AP AB BPA FEB 二面角B —CE 一F 的正切为35 说明：本题不适宜用向量2(1)由折起的过程可知，PE⊥平面ABC ，2212654,69x S x S S BDC AEFABC =⋅==∆∆∆ )630)(1219(36)(2<<-=x x x x V (2))419(36)(2x x V -='所以)6,0(∈x 时，)(,0)(x V x V >'单调递增；636<<x 时,)(,0)(x V x V <'单调递减；因此6=x 时，V(x)取得最大值.612(3)过F 作MT∥AC 交AD 与M ，则26,122,21======PM BE MB ABBEBD BE BC BF AB BM 4295436636=+====BC PF BF MF在△PFM 中，72427284cos =-=∠PFM ∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为723解(1)因为AC 、AD 、AB 两两垂直，建立如图坐标系，则B(2，0，0)，D(0，0，2) E(1，l ，2)，F(2，2，0)。

则)0,2,0(),2,1,1(),2,0,2(=-=-=BF BE DB 设平面BEF 的法向量),,(z y x n =,则x -,0,02==++y z y 则可取),1,0,2(=n∴向量DB 和)1,0,2(=n 所成角的正弦为1010)2(21220222222=-++-+⋅ 即BD 和面BEF 所成的角的正弦1010 (2)假设线段EF 上存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，不妨设)0(>=m PF m EP则P 点坐标为)12,121,121(m m m m m +++++ 则向量)12,121,121(m m m m m AP +++++=向量⋅++-++=)12,11,121(m m m m CP所以,012)2(12101212=+-++++++m m m m m所以21=m故存在这样的点P ，当点P 为EF 中点时，BD ⊥面PAC4．解(1)如图，在四棱锥P 一ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥平面PAB ，BC ⊥平面PAB ，AB ⊥平面PAD ．(2)依题意AB 、AD 、AP 两两垂直，分别以直线AB 、AD 、AP 为z y x 、、轴，建立空间直角坐标系，如图．则P(0，0，2)，B(2，0，0),C(2,2，0)，D(0，4，0)． ∵E 是PA 中点，∴点E 的坐标为(0，0，1)，())2,4,0(),2,2,2(,1,0,2-=-=-=PD PC BE设),,(1z y x n =是平面PCD 的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥PDn PC n 11.，即⎩⎨⎧=-=-+0240222z y z y x取y=1，得)2,1,1(1=n 为平面PCD 的一个法向量．//,n ,021101211BE BE n BE ∴⊥∴=⨯+⨯+⨯-=⋅ 平面PCD.又⊄BE 平面PCD ，∴BE ∥平面PCD ．(3)由(2)，平面PCD 的一个法向量为)2,1,1(1=n 又∵AD ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的一个法向量为6661|cos ),0,1,0(21212==⋅⋅=∴=n n n n n θ5、方法一．解：(1)如图建立空间直角坐标系．则有B(1,1，0)，C(0，1，0)，S(0，0,1) 于是)1,1,0(),0,0,1(-=-=SC BC .于是0=⋅SC BC 所以SC BC ⊥,于是BC⊥SC，(2)显然平面ASD 的法向量为)0,1,0(=n ,设平面SCB 的法向量为),1,,(2y x n = 则有SC n BC n ⊥⊥22,,即⎩⎨⎧=-=-010y x ,解得)1,1,0(2=n由于22,cos 21>=<n n 所以1n 与2n 的夹角为450，由图可以判断面ASD 与面BSC 所成的角为锐角，因此与1n 与2n 的夹角相等，从而面ASD 与面BSC 所成的角为450．(3)M 点坐标为)21,0,21(于是)21,0,21(=DM ，而)1,1,1(-=SB ,并且0,cos >=<SB DM 于是DM⊥SB，即异面直线DM 与SB 所成角的为900 ：方法二：几何法更快6．(1)证明：依题意知图①折前AD ⊥AE,CD ⊥CF ．∴PD⊥PE，PF⊥PD，……2分 P PF PE = ,∴PD⊥平面PEF ……… 3分又⊂EF 平面PEF ∴PD⊥EF………4分 (2)解法l ：依题意知图①中2121==∴==PF PE CF AE在△BEF 中222==BE EF在△PEF 中PF PE EF PF PE ⊥∴=+2228121212121=⋅⋅=⋅⋅=∴∆PF PE S PEF …………7分 2411813131=⨯⨯=⋅==∴∆--PD S V V PEF PEF D DEFP ………8分(2)解法2：依题意知图①中2121==∴⋅==PF PE CF AE在△BEF 中222==BE EF ……………………5分 取EF 的中点M ，连结PM,则PM ⊥EF 4222=-=∴EM PE PM …………6分 8142222121=⨯⨯=⋅=∴∆PM EF S PEF ……………7分2411813131=⨯⨯=⋅==∴∆--PD S V V PEF PEF D DEF P …………8分(3)由(2)知PE ⊥PF, 又PE⊥PD ∴PE⊥平面PDF…………10分∴∠PDE 为DE 与平面PDF 所成的角， …………………………11分 在Rt △PDE 中．21,2541122==+=+=PE PE PD DE ……………l2分 552521sin ===∠∴DE PE PDE …………14分 7．解：(1)连BD ，四边形ABCD 菱形，∵AD⊥AB，∠BAD=600,△ABD 为正三角形，Q 为AD 中点，∴AD⊥BQ ,∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，AD⊥PQ ,又BQ∩PQ=Q．∴AD⊥平面PQB ， ⊂AD 平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD(2)当31=t 时，PA∥平面MQB, 下面证明，若PA∥平面MQB ，连AC 交BQ 于N, 由AQ∥BC ,可得ANQ ∆∽BNC ∆,21==∴NC AN BC AQ 即31=NC AN ∵PA∥平面MQB ，⊂PA 平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN ，∴PA∥MN31==AC AN PC PM 即：PC PM 31=,31=∴t(3)由PA=PD=AD=2，Q 为AD 的中点，则PQ⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD ，所以PQ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为)3,0,0(),0,0,0(),0,3,0(),0,0,1(P Q B A)0,3,0(),3,3,2(),0,3,2(),0,23,0(=--=-QB PC C N 令()c b a M ,,,则)3,,(-=c b a PM ,由PC PM 31=,得点的坐标)332,33,32(--M ,),332,63,32(-=MN设平面MQB 的法向量为)1,,(y x n =,可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00MN n QB n ,MN PA // ,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PA n QB n ,解得)1,0,3(=n 取平面ABCD 的法向量()21,cos 1,0,0=⋅>=<=nm n m n m m 又因为二面角M —BQ —C 为锐二面角，所以其大小为600。